五年级下册数学讲义-奥数思维训练：6物不知其数 全国通用【精品】

第2讲盈亏问题第一部分：趣味数学盈亏问题《九章算术》第七章介绍了盈亏问题，这一类问题是把一定数量的物品平均分给若干对象，每个对象少分，则物品有余；如果每个对象多分，则物品不足。

所以分物时经常出现盈（有余）、亏（不足）、尽（恰好分完）的情况，所以古人把这类问题称为盈不足问题。

盈亏问题情况多样，解法巧妙，倍受古人重视，在许多古代算书上留下了不少好题。

下面选取其中的一个给同学欣赏：题目今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？题意：有一群人凑钱买一件物品。

如果每人出8枚钱币，就比物价多出3个钱币。

如果每人出7枚钱币，就比物价少4个钱币。

求人数和钱数各是多少？分析：这是属于“一盈一亏”类的问题。

当第一次每人出8枚钱币时多3枚，当第二次每人出7枚钱币时不但不多，还要少4枚，即第二次比第一次共少了4＋3＝7枚。

这是由于第二次比第一次每人少出了8－7＝1枚钱币。

相差7枚，就说明有7÷1＝7人。

这样物价也就可以算出来了。

解答：4＋3＝7（枚）8－7＝1（枚）7÷1＝7（人）7×8 – 3 = 53（枚）答：一共有7人，物价为53枚。

事实上，古代数学家发现，在计算人数（即分物对象的个数）时，还有一个简单易记、琅琅上口的口诀：“有余加不足，大减小来除”。

这种算法的绝妙之处在于它几乎可以不动脑筋，只要把几个数按口诀对号入座，马上可以得出答案。

同学们如果你学会了，有兴趣就试试下面这个题目吧！钱几何今有散钱不知其数，作七十七陌穿之，欠五十凑穿；第二部分：奥数小练盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。

一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。

解题时我们可以记住：1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。

五年级数学下思维训练11．各位上的数字的和是34的四位数一共有多少个？2．在一个两位数的两个数字中间加写一个0得到的三位数与原来的两位数相加，和是1002，求原来的两位数。

3． 3.一道减法题被减数各位上的数字的和是37，减数各位上的数字的和是25，如果被减数减去减数所得的差的数字的和是39，那么，在减的过程中有几次退位？4． 4.甲数和乙数的数字和都能被11整除，这两数相加，和的数字和是6，甲数减乙数，差最小是几？5． 5.把一包小玩具送给几个小朋友，如果送给1个小朋友7件，剩下的玩具其余每人正好分得3件；如果送给3个小朋友每人3件，剩下的玩具每人正好分得4件。

这包玩具有多少件？6． 6.把一些橙和柑分装入袋，如果每袋6个橙、5个柑，橙分完了还剩3个柑；如果每袋8个柑、6个橙，柑分完了还剩18个橙。

橙和柑一共有多少个？7．陈叔叔骑自行车从甲地到乙地，每小时行10千米，下午1时到达；每小时行15千米，上午11时到达。

他想在中午12时到达，每小时应行多少千米？8．从甲地到乙地的路全是上坡路和下坡路，其中上坡路的路程是下坡路的2倍。

一辆汽车从甲地到乙地，行上坡路的速度是下坡路的一半，行1.5小时到达，从乙地返回甲地，要行多少小时？9.把一个小数去掉小数点后再与原数的4倍相加，和是702，求原来的小数。

10.在一个整数的某两个数字间点上小数点后，把得到的小数与原来的整数相加，和是10063.64，原来的整数是几？五年级数学下思维训练2有四箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个。

苹果和桃平均每箱37个。

一箱苹果多少个？一箱桃多少个？2. 一次考试，甲乙丙三人平均91分，乙丙丁三人平均89分，甲丁二人平均95分，甲丁二人各多少分？3. 五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16，这个改动的数原来是多少？4. 把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？5. 求等差数列3、7、11、……、643的平均数6. 小明上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5千米，小明往返的平均速度是多少？7. 有一个正方形的草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米，求草坪的面积。

五年级数学奥数精品讲义1-34讲(总87页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录第一讲消去问题（一）第二讲消去问题（二）第三讲一般应用题第四讲盈亏问题（一）第五讲盈亏问题（二）第六讲流水问题第七讲等差数列第八讲找规律能力测试（一）第九讲加法原理第十讲乘法法原理第十一讲周期问题（一）第十二讲周期问题（二）第十三讲巧算（一）第十四讲巧算（二）第十五讲数阵问题（一）第十六讲数阵问题（二）能力测试（二）第十七讲平面图形的计算（一）第十八讲平面图形的计算（二）第十九讲列方程解应用题（一）第二十讲列方程解应用题（二）第二十一讲行程问题（一）第二十二讲行程问题（二）第二十三讲行程问题（三）第二十四讲行程问题（四）能力测试（三）第二十五讲平均数问题（一）第二十六讲平均数问题（二）第二十七讲长方体和正方体（一）第二十八讲长方体和正方体（二）第二十九讲数的整除特征第三十讲奇偶性问题第三十一讲最大公约数和最小公倍数第三十二讲分解质因数（一）第三十三讲分解质因数（二）第三十四讲牛顿问题能力测试（四）2第一讲消去问题（一）在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。

我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。

这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”。

例题与方法在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。

(1)买1个皮球和1个足球共用去40元，买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？（3）6行桃树和6行梨树一共120棵，照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯，一共用去172元，每个水瓶18元，每个茶杯多少元？例1学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个差杯，共用去118元。

问题解决（一）知识讲解一、探究解决方案1、解决问题14辆汽车在5个生产厂之间循环运输零配件,每个站点所需装卸工如下：将工人全部安排站内,一共要31人。

人手不够可以让随车工人去各站装卸。

列表分析如下：解决这道题的过程中,你还想到了什么？选择下面的问题或自己编出类似的问题进行研究。

并在小组内交流自己的想法。

（1）如果在线路上增加一个需要10名装卸工人的站点,车的辆数保持不变,最少需要多少名工人。

（2）如果线路上的站点不变,车的辆数减少1辆,最少需要多少名工人？ 学生互相讨论、交流出示交流结果,并说出解题思路。

2、模仿练习五辆汽车在7个站点之间循环运输,每个站点所需装卸工人如图所示。

怎样安排可以使运输工人人数最少？最少需要多少人？A B CGFE D 3、解决问题2AB 两地相距4a 千米,中间是荒无人烟的戈壁,只有一条公路连接,现有50辆卡车要从A 地到B 地,然后再返回A 地,已知卡车自身携带的汽油只能走3a 千米,为完成任务配备了运油车（耗油量与卡车相同）,保证供油。

运油车一次● ● ● ●●●能运送一辆卡车行150a千米的汽车。

请你设计一个方案,用若干辆运油车保证任务完成？解题方案：卡车自身携带的汽油可以行3a千米,卡车从A地到B地,然后再返回A地,一共需要行8a千米的汽油,还需要性5a千米的汽油,50辆卡车一共需要行5a×50=250a千米的汽油。

要使整个任务的耗油量最少,必须使运油车的耗油量最少；要使运油车的耗油量最少,必须使运油车行尽可能少的路,尽可能利用卡车的载油量,使加油地点到B地往返的距离等于3a,因此加油地点在离B地1.5a处。

运油车携带能行150a千米的汽车,运到从A地到B地2.5a千米处停下,它为维持自身往返需要行5a千米的汽油,能为卡车提供145a千米的汽油。

一共需要行250a千米的汽油,因此,至少需要2辆运油车：一辆满载,另一辆至少载行250a －145a＋5a=110a千米汽油。

专题一(等比数列)等比数列的性质和特点 借来还去＋错位相减法一、 认识等比数列等比数列1、2、4、8、16…比相等 等比数列首项：1第n 项：a n公比：q数列和：S二、 等比数列的求和⑴借来还去法 公比是2或12 23101222......2+++++012102222=++++…… 0012100222222=+++++-……11210022222=++++-……221002222=+++-…………10100222=+-1121=-注意：公比是12的等比数列，数列倒过来，就变成了公比是2的等比数列。

⑵错位相减法 公比是其它数23101333......3+++++2910133......33S =+++++2310113333......33S =+++++两式相减，得本 学 与总 结 期 知识 梳 理1111231312S S =--⇒=总结：专题二(时钟问题)环形相遇追及问题时钟问题的相遇追及：12大格钟表1圈 60小格360度分针、时针速度:1小格/分112小格/分6度/分0.5度/分两个土豆沟:分针追时针顺时针追及专题三(余数问题)注意：“除以、除”的区别余数的性质被除数÷除数＝商…余数我们常用A ÷B ＝C …D 简单表示三个重要性质★余的差＝差的余★余的和＝和的余★余的积＝积的余专题四(流水行船)顺水：船速+V V V =+顺船水船速、水速逆水：船速-V V V =-逆船水船速＝(顺水速度＋逆水速度)÷2水速＝(顺水速度－逆水速度)÷2顺水行程＝(船速－水速)×顺水时间逆水行程＝(船速－水速)×逆水时间注意：在水中的相遇、追及时间与水速无关跟在陆地上的情况一样专题五(数列数表)一、数列观察项与项之间的关系发现循环周期最小循环周期观察项与项数之间的关系两种指导思想：分离思想：当整体规律不明显的时候，我们把数列分裂成数组来考虑拓展思想：当数列中所给信息不充分的时候，我们把数列的已知项拓展延长数列整数数列分数数列二、数表（多个数列组成数表）两种指导思想：整体思想：几行或几列成周期出现独立思想：只分析答案所在行及列的规律专题六(容斥原理)奇层加，偶层减知道每一部分图的含义专题七(数字谜问题)横式数字谜可相互转化（通常是把横式转化为竖式）竖式数字谜做数字谜题目的根本大法找突破口突破口在哪？首位，末尾，进位，借位此外还常结合：数的奇偶性数的位数最后绝招：枚举＋排除注意：做完后最好验算。

知识点一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；总结：2、5配零，4、25配二零，8、125配三零。

2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；总结：3、9见数和3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.总结：11跳和减4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.总结：7、11、13跳位段和减。

5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

总结：二切法，三切法。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题【例 1】在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？1164、2450、3248、6644、363656□中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被8，4整除？【巩固】在四位数2【例 2】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使432是9的倍数. 请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。

数学思维能力提升（奥数）（五年级下册）**教育教学研发中心编第1讲定义新运算(一) (6)第2讲定义新运算(二) (9)第3讲数的整除性(一) (11)第4讲奇偶性（一） (15)第5讲质数与合数 (23)第6讲分解质因数 (25)第7讲最大公约数与最小公倍数（一） (27)第8讲最大公约数与最小公倍数（二） (29)第9讲余数问题 (32)第10讲孙子问题与逐步约束法 (34)第11讲位置原则 (39)第12讲最大最小 (42)第13讲多边形的面积 (46)第14讲用等量代换求面积 (50)第15 用割补法求面积 (53)第16讲列方程解应用题 (56)第17讲行程问题（一） (59)第18讲行程问题（二） (62)第19讲抽屉原理(一) (72)第20讲抽屉原理(二) (74)第1讲定义新运算（一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。

除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。

这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。

例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。

求12*4的值。

分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。

根据以上的规定，求10△6的值。

3，x>=2，求x的值。

分析与解：按照定义的运算，<1，2，3，x>=2，x=6。

由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。

新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。

如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。

1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？知识点拨 教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115++是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，a b c但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

知识点1.枚举法：分类要全、枚举要清：分类不全，就会造成遗漏；枚举不清，就会有重复。

2、树形图法（枚举树）：树形图就是借助树状结构的分层特征来罗列所有可能的方法，适用于层次结构鲜明的题型利用树形图法进行枚举的一般步骤和技巧：(1)明确条件：分析枚举对象满足的限制条件；(2)确定范围：根据限制条件缩小枚举的范围；(3)确定次序：一般按照由少到多的原则，采用合适的分类保证枚举的完整；(4)逐一枚举：借助树形图的分层特征，按次序逐次画图枚举，直到求解完毕．3．标数法：一般标数法：适用于求从 A 到 B的最短路线的条数标数法的核心思想是：从起点到任何一点的最短线路数，都等于从起点出发到与这一点相邻的点的最短线路数之和。

4．几何计数合理使用各种己学的计数方法来解决几何计数问题：学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类：掌握方格表中图形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

例题【例 1】从1分，2分，5分的硬币各有5枚的一堆硬币中取出一些，合成1角钱，共有不同的取法__________种．【巩固】用一个5元纸币，四个2元纸币，八个1元纸币买一张龙年8元邮票，共有多少种付款方式【例 2】如图，有10克、25克、50克的砝码各一个，若在天平上只称量一次，则可以称出的重量有__________种．【巩固】有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出种不同的质量。

五年级数学思维训练（99）1. 学校大扫除，分配若干人擦玻璃，其中有两人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块，若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃人数和玻璃块数？2. 有一种重力数据----2.5.14.24.27.55.56.99.他要将这些数据分成两组，使得这两组数的乘积相等。

你能吗？3. 甲、乙、丙、丁四人拿出同样多的钱合伙订购同样规格的若干件货物，货物买来后，甲乙丙分别比丁多拿了3、7、14件货物，最后结算时，乙付给丁14元，那么丙应给丁多少元？4. 农民种树，其中有3人分得树苗各4棵，其余的每人分得3棵，这样最后余下树苗11棵；如果1人先分得3棵，其余的每人分得5棵，则树苗恰好分尽。

求人数和树苗的总数。

5. 一条船顺水航行10小时的路程，逆水要行14小时，一只船在静水中的速度是每小时12千米，求水速每小时几千米？6. 一艘轮船顺流而下，每小时26千米，逆流而上每小时行去18千米，下暴雨后，则条船顺流而下每小时行28千米，求这时逆流而上每小时行多少千米？7. 李英把5000元人民币存入银行，定期1年，年利率是2.25%。

到期时，李英应得利息多少元？8. 有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？9. 几个人合伙买一件物品，每人出的钱数恰好与参加的人数同样多，后来又增加了20人，这样每人可以少花16元，这件物品多少钱？10. 李老师拿来了一些本子，如果准备分给同学们，如果都分给男生，每人可以分到10本，如果只分给女生，每人可以分到15本，现在准备平均分给所以的男生和女生，那么每人可以分到多少本？11. 学校为同学们买排球花了360元，买足球花的钱比买排球的2倍少60元，又恰好是买篮球的2倍，学校买篮球比买排球 少花了多少元？12. 1-5五个数字共能排120个五位数，把它们从小到大排列，第52个是多少？1111。

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第一讲立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题,帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。

这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图例题选讲例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。

如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，那么4就是后面,5为右面，6为前面，2则是左面，3就是上面,（如图2）.从图中不难看出点F与点N，重合，点G与点S重合.还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了,同学们不妨试试吧！例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。

请你为它设计一条最短的爬行路线.【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。

又因为在平面上“两点之间的线段长度最短",所以连接AP,则线段AP为小虫爬行的最短路线.练习与思考1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。

如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合?2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。

第2讲盈亏问题第一部分：趣味数学盈亏问题《九章算术》第七章介绍了盈亏问题，这一类问题是把一定数量的物品平均分给若干对象，每个对象少分，则物品有余；如果每个对象多分，则物品不足。

所以分物时经常出现盈（有余）、亏（不足）、尽（恰好分完）的情况，所以古人把这类问题称为盈不足问题。

盈亏问题情况多样，解法巧妙，倍受古人重视，在许多古代算书上留下了不少好题。

下面选取其中的一个给同学欣赏：题目今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？题意：有一群人凑钱买一件物品。

如果每人出8枚钱币，就比物价多出3个钱币。

如果每人出7枚钱币，就比物价少4个钱币。

求人数和钱数各是多少？分析：这是属于“一盈一亏”类的问题。

当第一次每人出8枚钱币时多3枚，当第二次每人出7枚钱币时不但不多，还要少4枚，即第二次比第一次共少了4＋3＝7枚。

这是由于第二次比第一次每人少出了8－7＝1枚钱币。

相差7枚，就说明有7÷1＝7人。

这样物价也就可以算出来了。

解答：4＋3＝7（枚）8－7＝1（枚）7÷1＝7（人）7×8 – 3 = 53（枚）答：一共有7人，物价为53枚。

事实上，古代数学家发现，在计算人数（即分物对象的个数）时，还有一个简单易记、琅琅上口的口诀：“有余加不足，大减小来除”。

这种算法的绝妙之处在于它几乎可以不动脑筋，只要把几个数按口诀对号入座，马上可以得出答案。

同学们如果你学会了，有兴趣就试试下面这个题目吧！钱几何今有散钱不知其数，作七十七陌穿之，欠五十凑穿；第二部分：奥数小练盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。

一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。

解题时我们可以记住：1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。

6、物不知其数知识讲解一、两个除数1、出示例1：有一瓶饮料，如果一箱装12瓶，则余两瓶，如果一箱装15瓶，则余8瓶，这批饮料不超过500瓶，可能是多少瓶？用列表法找出至少有多少瓶？方法一：方法二：方法三：最小的一个数是38，其他的数可以用38加上最小公倍数求得。

[12，15]=60 38+60×＜ 5002、例2：一个数除以7余4，除以5余2，这个数最小是多少？我们设法找到两个数：一个是7的倍数并且除以5余2 （7）另一个是5的倍数并且除以7余4 （25）这两个数的和就是最小的数 7+25=323、巩固练习（1）猴子分桃子。

每只猴子分到6个，则多3个；每只猴子分到8个，则少5个。

桃子个数在40～50之间，有多少个桃子呢？（2）一个自然数除以3余2，除以5余3，这个数最小是多少？（3）一个自然数除以5余3，除以7余2，你能把符合条件的数表示出来吗？一、三个除数1、出示例1：古代名题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。

照现在的说法：一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求合适条件的最小数。

策略一：我们知道能被5整除的数末尾一定是“5”或“0”，那么除以5余3的数的末尾一定是3或8，由此我们可以列举出满足条件“除以5余3”的自然数（见下表）策略二：所求数除以3余2，除以7余2，可以知道某数除以3和7的余数都为2，即某数一定是3和7的公倍数多2。

3和7的最小公倍数为21，所以满足条件“除以3余2”、“除以7余2”的最小数为23。

23除以5的余数为3，因此满足条件的最小数为23。

策略三：我们在3和5的公倍数中找出除以7余2的数，经尝试为30；在3和7的公倍数中找出除以5余3的数，经尝试为63；在5和7的公倍数中找出除以3余2的数，经尝试为35。

把这三个数的和减去3、5、7这三个数的公倍数可得所求的最小数：30+63+35－105=23。

[3，5，7]=105，128－105=23，因此符合条件的最小数是23。

《思维与逻辑讲义【五年级下册数学讲义-思维拓展训练：第一讲,计算综合一,（无答案）全国通用】》摘要：我国古代数学也早就研究等比数列问题．《孙子算》有有趣题目“出门望九堤”今有出门重九堤堤有九木木有九枝枝有九巢巢有九禽禽有九雏雏有九毛毛有九色问各几何，数地列出不我们可以尝试着计算下看看有没有规律可以利用．到了规律问题就了．练习数列 35⋯ 00 数除以 3 余数多少，数列计算到数列规律是非常重要．但有些数列规律不容易被发现这就要我们认真观察仔细比对从而到那些隐藏规律．分析观察数列你到什么规律了吗看完前面故事学们可能有些疑问真要那么多麦子吗？学们可以试着算算从棋盘开始要麦子数分别粒、粒、粒、8 粒、6 粒、3 粒、6 粒、8 粒、56 粒、5 粒、0 粒、08 粒、⋯⋯写到这里学们可以看出开始候麦粒数量并不但越到面数量越多终会达到全世界都无法承受程．麦粒数量形成这串数列就叫做等比数列．等比数列就是按照相倍数增加（或减少）数列例如“麦粒数列”就是按照倍速变这相倍数就是公比“麦粒数列”公比就是．等差数列样等比数列样有首项、末项及项数．学们可以想想如何通首项和公比将等比数列每项都表示出．等差数列和是利用“倒序相加”或“配对和”方法那么等比数列如何和呢？我们看例题．分析这是等比数列和问题如地计算会有复杂那么该如何简便地算出数列和呢？古代等比数列等比数列古代些实际问题．古埃及国王拉阿乌斯有位能干阿默斯．他用象形写了部《算》记录了公元前 000 年 ~ 公元前 700 年数学研究些成．其有这样题题画了阶梯阶梯旁边标着数793306807．并数旁依次画了人、猫、鼠、麦和量器．原上并无任何说明这成数学史上难谜000 多年无人能释．直到世纪利数学斐波那契 0 年发表了《算盘全》有这样题有七老妇人罗马每人有七只骡子每只骡子背着七袋子每袋子放有七面包每面包有七刀随每把刀配有七鞘问列举物全数共有几何？显然这是等比数列和问题．由也基开了阿默斯谜．原阿默斯问题思是今有七人每人有七猫每猫食七鼠每鼠食七只麦穗每穗可长成麦七量器由可得数列如何？当然这仅仅是推测．我国古代数学也早就研究等比数列问题．《孙子算》有有趣题目“出门望九堤”今有出门重九堤堤有九木木有九枝枝有九巢巢有九禽禽有九雏雏有九毛毛有九色问各几何？有关等比数列知识学们初高还会继续学习这里只掌握简单等比数列和即可．下面我们看道复杂分数计算题目． 3 æ 3 计算0 ¸ ç + è 8 计算常用巧算方法有凑整、提取公因数、分组和、倒序相加、规律等．有些题目用种办法就能有题目可能几种办法都适用．学们做题程要多积累多思考多寻不方法题．下面例题看看你能想到几种方法．分析发现这数列是等差数列如是数列和那很然地想到配对和那么数和能不能用配对和呢？ 3 从 0 到 00 所有数数和多少？分析很明显我们不能将所有除以 6 余数地列出不我们可以尝试着计算下看看有没有规律可以利用．到了规律问题就了．练习数列 35⋯ 00 数除以 3 余数多少？数列计算到数列规律是非常重要．但有些数列规律不容易被发现这就要我们认真观察仔细比对从而到那些隐藏规律．分析观察数列你到什么规律了吗？如何利用这些规律呢？ 3 3 5 5 数列3 3 3 ⋯ 00 项是什么？前 00 项和是多少？9 0 ××× 3 8 ××× 5 6 7 ××× 6 5 3 ××× 7 ××× ××× ××× ××× 、等比数列及等比数列“错位相减”法和．二、提取公因数整体约分．三、分类讨论分组和．四、数列规律．有块正方形披萨现横刀、竖刀把披萨切成块接着对每块披萨也进行样操作然再次对每块披萨进行样操作终有多少块披萨？从到 5000 所有数数和多少？。

小学奥数数论问题第九讲巅峰篇之物不知数第九讲巅峰篇之物不知数故事引入：韩信点兵淮安民间传说着一则故事——“韩信点兵”其次有成语“韩信点兵，多多益善”。

韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。

韩信马上说出人数：1049。

中国剩余定理：《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思就是，有一些物品，如果3 个3 个的数，最后剩2 个；如果5 个5 个的数，最后剩3 个；如果7 个7 个的数，最后剩2 个；求这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”．到现在，这个问题已成为世界数学史上闻名的问题．到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知．用现在的话来说就是：一个数用3 除，除得的余数乘70；用5 除，除得的余数乘21；用7 除，除得的余数乘15．最后把这些乘积加起来再减去105 的倍数，就知道这个数是多少．同余概念两个整数a b 若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m或b模m余a记作a≡b (mod m)课上习题【例1】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【例2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为．【例3】有连续的三个自然数a、a+1、a+2，它们恰好分别是9 、8 、7 的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？总结①凑“多”相同，即把余数处理成相同条件：余数与除数的和相同②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同条件：除数与余数的差相同③先考虑上面两种，如果都不行，可使用逐步满足法或使用“中国剩余定理”．④逐步满足法：先满足条件一，得N，再用“M =N +已满足除数公倍数”来满足下一个条件．课后习题【闯关1】刘叔叔养了400 多只兔子。