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分课时教学设计合作探究问题1 求下列函数自变量的取值范围.问题2 儿童节的时候，每人发2颗糖果，总人数x与总发的糖果数y的函数关系式为_________,其中人数x的取值范围是_____________.y= 2x x为正整数求自变量的取值范围时,还要注意什么?②符合实际意义.例1、等腰三角形ABC的周长为10,底边BC 长为y, 腰AB长为x,求:(1)y关于x的函数解析式;(2)自变量x的取值范围;(3)腰长AB=3时,底边的长.解：（1）由三角形的周长为10，得2x+y=10∴y=10–2x（2）∵x，y是三角形的边长，∴x＞0，y＞0，2x＞y（两边之和大于第三边）102x＞02x＞102x∴解得：2.5 < x < 5（3）当腰长AB = 3，即x = 3 时，y =102×3=4∴当腰长AB = 3 时，底边BC长为4当x= 6时,y=102x 的值是多少?对本例有意义吗?当x= 2 呢?当x= 6时,y=2 对本例没有意义。
当x= 2 时，y=6,不能构成三角形，没有意义自变量的范围要符合：①代数式本身要有意义; ②符合实际意义归纳：要求y关于x的函数解析式，可先得到函数与自变量之间的等式，再解出函数关于自变量的解析式函数的三类基本问题：①求解析式②求自变量的取值范围③已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值例2、游泳池应定期换水. 某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔, 以每时312立方米的速度将水放出.设放水时间为t 时,游泳池内的存水量为Q立方米.(1)求Q关于t 的函数解析式和自变量t 的取值范围;(2)放水2 时20分后,游泳池内还剩水多少立方米?(3)放完游泳池内全部水需要多少时间?解：（1）Q关于t的函数解析式是：Q=936312t∵Q≥0，t≥0y＝－2x2＋36x9＜x＜18选做题：3.求下列自变量的取值范围．【综合拓展类作业】4.已知两邻边不相等的长方形的周长为24cm，设相邻两边中，较短的一边长为ycm，较长的一边长为xcm．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求自变量x的取值范围；（3）当较短边长为4cm时，求较长边的长．解：（1）∵2（x+y）=24，∴y=12x；（2）∵ 12x＞0y=12x＜x∴6＜x＜12；（3）当y=4时，y=12x=4解得：x=8cm．1.如果一个圆筒形水管的外径是R，内径是6，它的横截面积S关于外径R的函数关系式为S＝π(R2－36)，那么R的取值范围为（）A.全体实数C.全体非负实数D选做题：2.某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费；每户每月用水量如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨1.9元收费，超过的部分则按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应交水费为y元．(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x间的函数关系式；(2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？【综合拓展类作业】3.．。
高中数学模型汇总
数学模型是数学知识在实际问题中的应用，旨在解决实际问题并做出预测。
以下是对一些常见数学模型的简单概述：
1. 线性规划模型：线性规划是在约束条件下，将线性函数优化到最大或最小值的方法。
它在工程、经济和管理等领域中得到广泛应用。
2. 概率模型：概率模型可用于预测未来事件的发生概率。
它包括抛硬币、掷骰子等离散事件，以及连续事件，如测量误差等。
概率模型在风险管理和统计等领域中得到广泛应用。
3. 微积分模型：微积分模型对变化率的研究对于数学知识在经济和物理领域的应用至关重要。
微积分的主要应用场景包括边际成本和收益、曲线图形和函数最大值和最小值等。
4. 差分方程模型：差分方程模型是一种递归函数，通常用于描述指令系统的运行、人口增长、经济增长等过程。
通过分析差分方程模型的行为可以预测未来情况。
5. 统计模型：统计模型通常用于将概率结合起来，以得到更准确的结果预测。
一个著名的统计模型是回归分析，它用于分析自变量和因变量之间的关系。
总的来说，数学模型为实际问题提供了一种有力的工具，以寻找最优解并提供未来预测。
在各个领域的应用都十分广泛。
○高○考中常用函数模型．．．．归纳及应用 山东莘县观城中学 郭银生 岳红霞高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。
复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。
高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。
现归纳常用的函数模型及其常见应用如下： 一． 常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。
关于方程解的个数问题时常用。
例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+3π)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)解析；令y=2sin(x+3π), y=a 画出函数y=2sin(x+3π)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D二． 一次函数y=kx+b (k ≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。
常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。
有定义域限制时，要考虑区间的端点值。
例2．不等式2x 2+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ）A ．-2≤x ≤2 B.431- ≤x ≤0 C.0≤x ≤471+ D. 471-≤x ≤413-解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0设f(m)= m(x-1)- 2x 2+1若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩⎨⎧≥-≥0)2(0)2(f f ，解之可得答案D 三．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。
三类偏微分方程源项识别问题的正则化方法及算法研究三类偏微分方程源项识别问题的正则化方法及算法研究摘要：偏微分方程源项的识别问题是数学和工程中的经典问题之一。
本文研究了三类常见的偏微分方程源项识别问题：抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
针对这些问题，我们提出了正则化方法及相应的算法，并对其进行了研究和分析。
本文的研究结果为源项识别问题的解决提供了有力的工具和理论支持。
一、引言偏微分方程是自然科学和工程学科中广泛应用的推演工具，涵盖了许多领域，如物理学、力学、电子工程、生物学等。
在实际问题中，我们往往需要通过观测数据去推导出方程的源项，即偏微分方程中的未知参数。
源项的准确识别是解决问题的关键，但是由于观测误差和模型不确定性等因素的影响，会导致问题变得困难。
二、抛物型方程源项识别抛物型方程是描述许多时变过程的基本模型，在许多领域中广泛应用。
本节我们将研究抛物型方程源项的识别问题。
首先，我们引入了一个正则化函数来限制源项的解空间。
然后，我们基于最小二乘法推导了源项的识别算法，并对算法的稳定性和收敛性进行了分析。
最后，我们通过数值实验验证了该算法的有效性和可靠性。
三、椭圆型方程源项识别椭圆型方程是描述许多静态问题的基本模型，如热传导、电场分布等。
本节我们将研究椭圆型方程源项的识别问题。
首先，我们引入了一个适当的正则化项来平衡源项的光滑性和识别精度。
然后，我们提出了一个基于梯度下降的优化算法，并对算法的收敛性进行了分析。
最后，我们通过数值实验验证了该算法的准确性和稳定性。
四、双曲型方程源项识别双曲型方程是描述许多波动现象的基本模型，如声波传播、电磁波传播等。
本节我们将研究双曲型方程源项的识别问题。
首先，我们通过引入一个惩罚函数来限制源项的解空间。
然后，我们基于最小二乘法推导了源项的识别算法，并对算法的稳定性进行了分析。
最后，我们通过数值实验验证了该算法的准确性和鲁棒性。
五、总结与展望本文研究了三类常见的偏微分方程源项识别问题：抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
第九关答题版本试卷得分1002022.11.21 14:48第九关任务同学们好，现在进入第九关闯关环节，本环节有十道题，您必须完全做对后才能得到分数，当然，闯关次数是没有限制的。
点击“现在预览测验”进行闯关，祝您成功！单选题 (10 分) 10分A.B.C.D.正确答案: A1.数学建模是指根据具体问题，在一定假设下使（ ），建立起适合该问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行检验的全过程。
问题化简条件明朗问题归类条件简化单选题 (10 分) 10分A.B.C.D.正确答案: A2.根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻理解阶段等三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成（ ）、（ ）、（ ）三个阶段。
多次孕育 初步理解 简单应用思考 求解 应用多次分析 初步理解 简单应用多次分析 简化求解 深化应用单选题 (10 分) 10分A.B.C.D.正确答案: D3.数学模型可以分为三类：(1)概念型数学模型；(2)（ ）；(3)结构型数学模型。
实验型数学模型推理型数学模型逻辑型数学模型方法型数学模型单选题 (10 分) 10分A.4.数学模型具有（抽象性）、（准确性）、（ ）、（ ）特性。
公理性 归纳性B.C.D.正确答案: C 简单化 虚拟化演绎性 预测性演绎性 模糊性单选题 (10 分) 10分A.B.C.D.正确答案: B 5.数学学科的新发展——分形几何，其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后，其（ ）。
结构更加明朗结构与原先一样结构更加模糊结构与原先不同单选题 (10 分) 10分A.B.C.D.正确答案: D 6.英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别以（ ）为背景用无穷小量方法建立了微积分。
数学与几何学物理和坐标法数学和解析几何物理学和几何学单选题 (10 分) 10分A.B.C.D.正确答案: A 7.数学建模的基本步骤：弄清实际问题、（ ）、建模、求解、检验。
多模态三类目标函数对比式生成式对齐式1.引言1.1 概述多模态生成式对比式和对齐式目标函数是在多模态学习中常用的三类目标函数。
这些目标函数的目的是通过优化算法来对多模态数据进行处理和挖掘，以便更好地理解和利用不同模态之间的相关性和互补性。
在多模态学习中，我们通常会面对来自不同源头的多个模态数据，比如文本、图像、语音等。
而这些数据之间存在着丰富的信息交互和联合学习的潜力。
因此，研究人员提出了多种多模态目标函数，以实现对多模态数据的有效融合和表达。
本文将对比式目标函数、生成式目标函数和对齐式目标函数进行介绍和比较。
通过对这三种目标函数的详细解释，我们可以更好地理解它们的优劣势和适用场景。
同时，对这些目标函数的研究有助于我们在实际应用中选择合适的算法和方法。
在下面的章节中，我们将依次介绍多模态对比式目标函数、多模态生成式目标函数和多模态对齐式目标函数。
通过对它们的原理和定义的讲解，读者可以对多模态目标函数有一个全面的认识，并对它们在实际应用中的作用和效果有一定的了解。
在结论部分，我们将对这三类目标函数进行总结和比较，分析它们的优劣势及适用场景。
通过对比式目标函数、生成式目标函数和对齐式目标函数的对比，我们可以更好地理解它们的差异和特点，为未来的多模态学习研究提供有益的参考和指导。
文章结构部分应该简要介绍整篇文章的结构和内容安排，下面是一个示例：1.2 文章结构本文将从多模态处理的角度介绍三类目标函数，包括多模态对比式目标函数、多模态生成式目标函数以及多模态对齐式目标函数。
首先，我们将在第2节中详细介绍多模态对比式目标函数，其中包括背景介绍和目标函数的定义和原理。
接着，在第3节中我们将探讨多模态生成式目标函数，同样包含背景介绍和目标函数的定义和原理。
最后，在第4节中我们将介绍多模态对齐式目标函数，并分析其背景介绍和目标函数的定义和原理。
通过对这三类目标函数的介绍，我们可以深入了解多模态处理的方法和技术，并比较它们在不同场景中的优劣。
高中物理经典解题模型归纳高中物理24个经典模型1、"皮带"模型:摩擦力.牛顿运动定律.功能及摩擦生热等问题.2、"斜面"模型:运动规律.三大定律.数理问题.3、"运动关联"模型:一物体运动的同时性.独立性.等效性.多物体参与的独立性和时空联系.4、"人船"模型:动量守恒定律.能量守恒定律.数理问题.5、"子弹打木块"模型:三大定律.摩擦生热.临界问题.数理问题.6、"爆炸"模型:动量守恒定律.能量守恒定律.7、"单摆"模型:简谐运动.圆周运动中的力和能问题.对称法.图象法.8.电磁场中的"双电源"模型:顺接与反接.力学中的三大定律.闭合电路的欧姆定律.电磁感应定律.9.交流电有效值相关模型:图像法.焦耳定律.闭合电路的欧姆定律.能量问题.10、"平抛"模型:运动的合成与分解.牛顿运动定律.动能定理(类平抛运动).11、"行星"模型:向心力(各种力).相关物理量.功能问题.数理问题(圆心.半径.临界问题).12、"全过程"模型:匀变速运动的整体性.保守力与耗散力.动量守恒定律.动能定理.全过程整体法.13、"质心"模型:质心(多种体育运动).集中典型运动规律.力能角度.14、"绳件.弹簧.杆件"三件模型:三件的异同点,直线与圆周运动中的动力学问题和功能问题.15、"挂件"模型:平衡问题.死结与活结问题,采用正交分解法,图解法,三角形法则和极值法.16、"追碰"模型:运动规律.碰撞规律.临界问题.数学法(函数极值法.图像法等)和物理方法(参照物变换法.守恒法)等.17."能级"模型:能级图.跃迁规律.光电效应等光的本质综合问题.18.远距离输电升压降压的变压器模型.19、"限流与分压器"模型:电路设计.串并联电路规律及闭合电路的欧姆定律.电能.电功率.实际应用.20、"电路的动态变化"模型:闭合电路的欧姆定律.判断方法和变压器的三个制约问题.21、"磁流发电机"模型:平衡与偏转.力和能问题.22、"回旋加速器"模型:加速模型(力能规律).回旋模型(圆周运动).数理问题.23、"对称"模型:简谐运动(波动).电场.磁场.光学问题中的对称性.多解性.对称性.24、电磁场中的单杆模型:棒与电阻.棒与电容.棒与电感.棒与弹簧组合.平面导轨.竖直导轨等,处理角度为力电角度.电学角度.力能角度.高中物理11种基本模型题型1：直线运动问题题型概述：直线运动问题是高考的热点，可以单独考查，也可以与其他知识综合考查。
第2讲|电磁感应中的“三类模型问题”┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄考法学法电磁感应的动力学和能量问题是历年高考的热点和难点，考查的题型一般包括“单杆”模型、“双杆”模型或“导体框”模型，考查的内容有：①匀变速直线运动规律；②牛顿运动定律；③功能关系；④能量守恒定律；⑤动量守恒定律。
解答这类问题时要注意从动力学和能量角度去分析，根据运动情况和能量变化情况分别列式求解。
用到的思想方法有：①整体法和隔离法；②全程法和分阶段法；③条件判断法；④临界问题的分析方法；⑤守恒思想；⑥分解思想。
模型(一)电磁感应中的“单杆”模型类型1“单杆”——水平式物理模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，导轨间距为L，导体棒ab的质量为m，初速度为零，拉力恒为F，水平导轨光滑，除电阻R外，其他电阻不计动态分析设运动过程中某时刻测得导体棒ab的速度为v，由牛顿第二定律知导体棒ab的加速度为a＝Fm－B2L2vmR，a、v同向，随速度的增加，导体棒ab的加速度a减小，当a＝0时，v最大，I＝BL v mR不再变化收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征受力平衡，a＝0 电学特征I不再变化[例1](2018·安徽联考)如图所示，光滑平行金属导轨P Q、MN固定在光滑绝缘水平面上，导轨左端连接有阻值为R的定值电阻，导轨间距为L，有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向上，边界ab、cd均垂直于导轨，且间距为s，e、f分别为ac、bd的中点，将一长度为L、质量为m、阻值也为R的金属棒垂直导轨放置在ab左侧12s处。
现给金属棒施加一个大小为F、方向水平向右的恒力，使金属棒从静止开始向右运动，金属棒向右运动过程中始终垂直于导轨并与导轨接触良好。
当金属棒运动到ef位置时，加速度刚好为零，不计其他电阻。
求：(1)金属棒运动到ef 位置时的速度大小；(2)金属棒从初位置运动到ef 位置，通过金属棒的电荷量； (3)金属棒从初位置运动到ef 位置，定值电阻R 上产生的焦耳热。
函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。
2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 057[决胜高考数学母题](第014号)三类模型函数的基本问题函数的研究从模型函数,中学范围内的模型函数有:一次函数、二次函数、幂函数(含反比例函数)、分式函数、双曲函数、指数函数和对数函数.本节研究其中三类模型函数生成的基本问题.[母题结构]:(Ⅰ)(幂函数)幂函数f(x)=x α(α是常数,α∈R)的图像恒过定点M(1,1),且①当且仅当α≤0时,幂函数f(x)=x α的图像与两坐标轴无交点;②函数f(x)=nm x 的定义域为R ⇔mn>0,且n 为奇数;③在区间(0,1)上,x n>x m⇔n<m;且在区间(1,+∞)上x n>x m⇔n>m;④当且仅当α<1,且x ∈(0,1)时,f(x)>x; (Ⅱ)(分式函数)对一次分式函数f(x)=ax k -+b 有:①图象关于点(a,b)对称;②有两条渐近线,分别为x=a,y=b;③函数f(x)=ax k -+b 与y=xk 的图象位似;(Ⅲ)(双曲函数)双曲函数f(x)=ax+xb(a>0,b>0)的图像如图: 性质:①定义域:(-∞,0)∪(0,+∞);②值域:(-∞,-2ab )∪(2ab ,+∞);③f(x)是奇函数;④渐近线:x=0,y=ax;⑤单调性:增区间为(-∞,-ab)和(ab,+∞)减区间是(-ab,0)和(0,ab); [母题解析]:略.1.幂函数子题类型Ⅰ:(2015年湖南高考试题)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>)()a ≤(23a x x x x ,若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b 有两个零点,则a 的取值范围是 .[解析]:令φ(x)=x 3(x ≤a),h(x)=x 2(x>a),函数g(x)=f(x)-b 有两个零点,即函数y=f(x)的图像与直线y=b 有两个交点．结合图像,当a<0时,存在实数b,使h(x)=x 2(x>a)的图像与直线y=b 有两个交点;当a ≥0时，必须满足φ(a)>h(a),即a 3>a 2,解得a>1.综上,a ∈(-∞,0)∪(1,+∞).[点评]:奇偶函数的名称就来自于:①函数f(x)=x n (n ∈Z)是奇函数⇔n 是奇数;②函数f(x)=x n (n ∈Z)是偶函数⇔n 是偶数;对幂函数f(x)=nmx (m,n ∈Z,(m,n)=1),则:①f(x)为奇函数⇔m 、n 均为奇数;②f(x)为偶函数⇔m 为偶数,n 为奇数.[同类试题]:1.(2007年山东高考试题)设α∈{-1,1,21,3},则使函数y=x α的定义域为R,且为奇函数的所有α值为( )(A)1,3 (B)-1,1 (C)-1,3 (D)-1,1,3y ax=xOy2.(2014年上海高考试题)若f(x)=32x -21-x,则满足f(x)<0的x 的取值范围是 .2.分式函数子题类型Ⅱ:(2014年重庆高考试题)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+]1,0(,]0,1(,311x x x x ,且g(x)=f(x)-mx-m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是( )058 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题(A)(-49,-2]∪(0,21] (B)(-411,-2]∪(0,21] (C)(-49,-2]∪(0,32] (D)(-411,-2]∪(0,32][解析]:由g(x)=f(x)-mx-m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点⇔方程f(x)=mx+m 恰有有两个根⇔函数f(x)与直线y=mx+m 的图像有两个交点,分别画出函数f(x)与直线y=mx+m 的图像如图所示:设A(1,1),B(-1,0),C(0,-2),则直线y=mx+m 过定点B,当直线y=mx+m 过点A 时,m=21⇒m ∈(0,21];当直线y=mx+m 过点C 时,m=-2;又由31+x -3=mx+m ⇒mx 2+(2m+3)x+m+2=0;令(2m+3)2-4m(m+2)=0⇒m=-49⇒m ∈(-49,-2].综上,m ∈(-49,-2]∪(0,21].故选(A). [点评]:学习、研究函数的有效途径是掌握函数的图像,掌握了函数的图像,函数的性质则尽眼收底.研究一次分式函数f(x)=b ax d cx ++(a ≠0,ad ≠bc)的关键是会把函数f(x)=b ax dcx ++化成y=00y x x k +-的标准形式. [同类试题]:3.(2016年北京高考试题)函数f(x)=1-x x(x ≥2)的最大值为 . 4.(2004年江苏高考试题)设函数f(x)=-||1x x+,区间M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x ∈M},则使M=N 成立的实数对(a,b)有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个 3.双曲函数子题类型Ⅲ:(2017年浙江高考试题)已知a ∈R,函数f(x)=|x+x4-a|+a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 .[解析]:由函数f(x)在区间[1,4]上的最大值=max{f(1),f(4),f(2)}=max{|5-a|+a,|4-a|+a};令|5-a|+a=|4-a|+a ⇒a=29;①当a ≥29时,|5-a|+a ≤|4-a|+a ⇒f max (x)=|4-a|+a=2a-4=5⇒a=29;②当a ≤29时,|5-a|+a ≥|4-a|+a ⇒f max (x)=|5- a|+a=5.综上,a 的取值范围是(-∞,29].[点评]:求双曲函数的最值是双曲函数的研究中心,对此要注意：双曲函数f(x)=ax+xb (a>0,b>0)当且仅当ax=xb ,即x=ab时,f(x)在(0,+∞)上取最小值2ab . [同类试题]:5.(2015年浙江高考试题)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤1,661,2x x x x x ,则f(f(-2))= ,f(x)的最小值是 .6.(2010年山东高考试题)若对任意x>0,132++x x x ≤a 恒成立,则a 的取值范围是 .4.子题系列:7.(2008年山东高考试题)给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 .2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 0598.(1992年全国高考试题)图中的曲线是幂函数y=x n在第一象限的图像.己知n 取±2,±21四个值,则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的n 依次为( ) (A)-2,-21,21,2 (B)2,21,-21,-2 (C)-21,-2,2,21 (D)2,21,-2,-21 9.(1989年广东高考试题)函数f(x)=53x ( )(A)是奇函数而不是偶函数 (B)是偶函数而不是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数 10.(2011年上海高考试题)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )(A)y=x -2(B)y=x -1(C)y=x 2(D)y=31x11.(2002年河南、江苏高考试题)函数y=1-11-x ( ) (A)在(-1,+∞)内单调递增 (B)在(-1,+∞)内单调递减 (C)在(1,+∞)内单调递增 (D)在(1,+∞)内单调递减 12.(2006年湖南高考试题)设函数f(x)=1--x ax ,集合M={x|f(x)<0},P={x|f '(x)>0},若M ⊂P,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,1) (B)(0,1) (C)(1,+∞) (D)[1,+∞) 13.(2004年湖北高考试题)若f(x)=-x 2+2ax 与g(x)=1+x a在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( ) (A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(0,1] (C)(0,1) (D)(0,1] 14.(2011年课标高考试题)函数y=11-x 的图像与函数y=2sin πx(-2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 15.(2008年安徽高考试题)设函数f(x)=2x+x1-1(x<0),则f(x)( ) (A)有最大值 (B)有最小值 (C)是增函数 (D)是减函数 16.(2011年重庆高考试题)若函数f(x)=x+21-x (x>2)错误！未找到引用源。
在x=a 错误！未找到引用源。
处取最小值,则a=( )(A)1+2 (B)1+3 错误！未找到引用源。
(C)3 (D)417.(2013年四川高考试题)已知函数f(x)=4x+xa(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= . 18.(2013年上海高考试题)(文)设常数a>0,若9x+xa 2≥a+1对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为 .19.(2014年上海高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-)0(1)0()(2x a x x x a x .若f(0)是f(x)的最小值,则a 的取值范围为( ) (A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D)[0,2] 20.(2013年上海高考试题)(理)设a 为实常数,y=f(x)是定义在R 上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x+xa 2+7,若f(x)≥a+1对一切x ≥0成立,则a 的取值范围为 . 5.子题详解:1.解:由y=x α的定义域为R,且为奇函数⇔α>0,且α是奇数⇔α=1,3.故选(A).060 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题2.解:由f(x)<0⇔32x <21-x,在同一坐标系内作幂函数y=32x 与y=21-x的图像如图,可得x 的取值范围是(0,1).3.解:由x ≥2,f(x)=1-x x =1+11-x ⇒f max (x)=f(2)=2. 4.解:由f(x)是奇函数;又因当x>0时,f(x)=11+x -1⇒f(x)在(0,+∞)内单调递减⇒f(x)在(-∞,+∞)内单调递减;集合N 的意义是f(x)的定义域为M 时的值域,所以M=N ⇔,)2......(||1)1......(||1)()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+⇔⎩⎨⎧==a b b b a aa b f b a f (1)-(2)得:b a b ba a -=+-+||1||1⇒a|a|-b|b|=0 ⇒a=b,代入(1)得a=0,所以a=b=0,与己知a<b 矛盾.故选(A).5.解:由f(f(-2))=f(4)=-21;当x ≤1时,f min (x)=f(0)=0;当x>1时,f min (x)=f(6)=26-6.综上,f min (x)=26-6. 6.解:由132++x x x ≤a ⇔a 1≤x+x 1+3(a>0),令f(x)=x+x 1,则f min (x)=f(1)=2,所以,a 1≤5⇔a 的取值范围是[51,+∞). 7.解:由原命题是真命题⇒逆否命题是真命题;又由逆命题:“图象不过第四象限的函数是幂函数”是假命题⇒否命题是假命题.故真命题的个数是18.解:因C 1,C 2的图像递增,所以C 1,C 2分别对应于2,21;取x=4,则4-2=161,21421=-,所以C 3对应-21,C 4对应-2.故选(B ). 9.解:故选(A).10.解:由函数偶函数,排除(B)(D);又由在区间(0,+∞)上单调递减,排除(C).故选(A). 11.解:由对称中心为M(1,1),且在二、四部分.故选(C).12.解:由f(x)=1--x a x =11--x a+1,所以,M ⊂P ⇔1-a<0.故选(C). 13.解:由g(x)在区间[1,2]上是减函数⇒a>0;f(x)在区间[1,2]上是减函数⇒a ≤1.故选(D). 14.解:由y=11-x 的对称中心是(1,0)也是y=2sin πx(-2≤x ≤4)的中心,他们的图像在x=1的左侧有4个交点,则x=1右侧必有4个交点.毎一对的和为2,4对的和为8.故选(D). 15.解:令g(x)=2x+x1(x<0),则双曲函数g(x)有最大值⇒f(x)有最大值.故选(A). 16.解:由f(x)=x+21-x =(x-2)+21-x +2知,当且仅当(x-2)=21-x ,即x=3时,f(x)取最小值.故选(C). 17.解:由4a=3⇒a=36. 18.解:由9x+xa 2≥6a ≥a+1⇒a ≥51.19.解:当x ≤0,a<0时,f min (x)=f(a)≠f(0),符合,排除(A)(B);当a=0时,f min (x)=f(0),即a=0符合,排除(C).故选(D). 20.解:由f(0)≥a+1⇒0≥a+1⇒a ≤-1;当x>0时,f(x)= 9x+xa 2-7≥a+1⇔6|a|≥a+8⇔a ≤-78.综上,a ∈(-∞,-78].。
