3.2.2几种函数模型的应用举例

教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修① A版课题：3.2.2 函数模型的应用实例（第1课时）开课学校：福建省厦门市集美中学开课教师：浙江省桐乡市茅盾中学顾承坤开课时间：2007.11.3 4一、教学目标1．知识与技能目标：通过两个函数模型应用实例，让学生理解一次函数、二次函数、指数函数和分段函数等函数在社会生活中的广泛应用，提高学生的读图能力。

2．过程与方法目标：通过两个函数模型应用实例，让学生感受社会生活中的实际问题数学化的过程，运用数学思想和方法解决实际问题的过程，以及学会分析并正确处理实际问题与理论模型之间存在差距的原因；提高学生在数学的图形语言、文字语言和符号语言之间的转化能力和熟练程度，让学生掌握数学建模的一些基本方法。

3．情感、态度与价值观目标：在实际问题的解决中，使学生感受到数学与物理、社会和生活之间的密切联系，体会数学学习的重要性和实用性；对社会问题的进一步认识，提升学生对数学价值的认识和自身价值的认识。

二、重点与难点1．重点：分段函数和指数函数的应用。

2．难点：函数模型的检验。

三．教学过程1．引入2．例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如下图所示。

（1）请你说出汽车的行驶规律，并写出汽车速度v与时间t的关系式；（2）分别计算当0<t0≤1和1<t0≤2时，直线t=t0与纵轴之间围成封闭图形的面积，并说出面积的实际含义；（3）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶前的读数为2000km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象。

3．练习（1）汽车在某段路程中的行驶状态如下图所示，请你说出汽车的行驶规律。

练习（2）季美同学早上一般用均匀的速率去学校读书，今天早上途中因故耽搁了一些时间，所以在其后的时间里，季美同学加快了去学校的速率，最后及时到达学校。

下面四个图能恰当表示出今天早上季美同学离学校之间的路程与时间的关系是( )4．例2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。

3.2.2 函数模型的应用实例（二）1、今有一组数据，如表所示：)A．指数函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数2、某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )A．14400亩 B．172800亩 C．17280亩D．20736亩3、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A．增加7.84% B．减少7.84% C．减少9.5% D．不增不减4、据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000) B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000) D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)5、如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的( )6、小蜥蜴体长15 cm，体重15 g，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm时，它的体重大约是( )A．20 g B．25 g C．35 g D．40 g7、现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．8、一根弹簧，挂重100 N的重物时，伸长20 cm，当挂重150 N的重物时，弹簧伸长________．9、某工厂8年来某产品年产量y与时间t年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是________．10、已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？11、某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，12=+,y=ab x+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？y ax b。

第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用§3.2.2 函数模型的应用举例【学习目标】1.能够运用函数性质，解决某些简单的实际问题。

2.能够根据实际问题构建适当的函数模型，体会函数模型的广泛应用。

【预习提纲】1.函数模型的分类及其建立与应用根据实际应用问题提供的两个变量的数量关系是否确定，可把构建的函数模型分为两大类：第一类是确定函数模型，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的；第二类是近似函数模型，或称拟合函数模型，这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）.根据函数自身的种类，常见函数模型可分为一次函数模型、、、、、等.2.解答应用问题的程序概括为以下几点：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符合语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.【例题精讲】例1．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③C．②③D．①②例2. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象。

h例3.一种药在病人血液中得量保持在1500 mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险。

跟踪知识梳理1、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： ①一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ ②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠③指数函数模型：()x f x a b c =+g（0,a b ≠＞0，1b ≠） ④对数函数模型：()log a f x m x b =+g （0,m ≠01a a >≠且） ⑤幂函数模型：12()(0);h x ax b a =+≠ 2、一般函数模型应用题的求解方法步骤：1） 阅读理解，审清题意：逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解题中所反映的实际问题，明白已知什么，所求什么，从中提炼出相应的数学问题。

2）根据所给模型，列出函数表达式：合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，而将实际问题转化为函数模型问题。

3）运用所学知识和数学方法，将得到的函数问题予以解答，求得结果。

4）将所解得函数问题的解，翻译成实际问题的解答。

在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.核心能力必练一、选择题1．张先生从家到公司相距150千米，张先生开汽车以60千米/小时的速度从家到公司，在公司停留1小时后再以50千米/小时的速度返回家，把汽车离开家的距离x （千米）表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ）A ．x =60tB ．x =60t +50tC ．()()600 2.515050 3.5t t x t t ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩ D ．()()()()600 2.51502.5 3.515050 3.5 3.5 6.5t t x t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪--<≤⎩【解析】根据题意可得从家到达公司共需要2.5小时，所以0 2.5t ≤≤时，60x t =，因为在公司停留1小时，所以当2.5 3.5t <≤时，150x =，因为以50千米/小时的速度返回A 地，共需要3小时，所以3.5 6.5t <≤时，()15050 3.5x t =--，故选D.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10% （相对进货价），则该家具的进货价是 （ ） A ．108元 B ．105元 C ．106元 D ．118元 【-=-=-=答案=-=-=-】A【解析】设该家具的进货价为x 元，由题意，得1329.01.1⨯=x ，解得108=x ，即该家具的进货价是108元．3．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积与天数t 的关系式为e kt Va -=⋅，已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为 （ ）A ．75天B ．100天C ．125天D ．150天 【-=-=-=答案=-=-=-】A4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A. 14 400亩 B. 172 800亩 C. 17 280亩 D. 20 736亩 【-=-=-=答案=-=-=-】C【解析】根据题意得()31000010.217280+=（亩），故选C.5．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y ＝ka x，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h ，在5℃的冰箱中，保鲜时间约为80 h ，那么在10℃的冰箱中，保鲜时间约为 ( )A ．49 hB ．56 hC ．64 hD ．72 h【解析】由题意得05100,80,ka ka ⎧=⎪⎨=⎪⎩得k ＝100，a 5＝45，所以在10℃冰箱中，保鲜时间为100·a 10＝()2410064h 5⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故选C.6．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，如果使得每天所赚的利润最大，那么他应将每件的销售价定为 （ ） A ．11元 B ．12元 C ．13元 D ．14元 【-=-=-=答案=-=-=-】D7．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为2121L x x =-+和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（ ） A ．120.25万元 B ．120万元 C. 90.25万元 D ．132万元 【-=-=-=答案=-=-=-】B【解析】设该公司在甲地销售x 辆车，在两地共获得的利润为y 万元，则在乙地销售15x -辆车，由题意可得()22219212151930120.252y x x x x x x ⎛⎫=-++-=-++=--+ ⎪⎝⎭，当9x =或10时，能获得最大利润120万元，故选B.8．已知某一种物质每100年其质量就减少10%．设该物质原来的质量为m ，则过x 年后，该物质的质量y 与x 的函数关系式为 （ ）A.1000.9xy m = B.1000.9x y m = C.10010.1xm ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()10010.1x y m =-【-=-=-=答案=-=-=-】B【解析】这种物质第一年质量减少后为m ⋅10019.0，第二年减少后为m ⋅10029.0，…，第x 年质量减少后为m x ⋅1009.0，所以函数关系式为m y x ⋅=1009.0．二、填空题9．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2. 【-=-=-=答案=-=-=-】60010．用清水洗衣服，每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要 洗 次． 【-=-=-=答案=-=-=-】4【解析】由题意可知，洗x 次后存留的污垢为314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3114100x⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得13.32lg 2x ≥≈，因此至少要洗4次． 11．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 o 1C θ，空气的温度是 o0C θ，min t 后物体的温度 oC θ可由公式()0.24010e tθθθθ-=+-求得．把温度是 o100C 的物体，放在o10C 的空气中冷却mint 后，物体的温度是o40C ，那么t 的值约于 ．（保留三位有效数字，参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693）【-=-=-=答案=-=-=-】4.58【解析】将401010001===θθθ，，代入公式()0.24010e t θθθθ-=+-可得，0.241e 3t -=，解得584243..ln≈=t．三、解答题12．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为()x x*∈N件．当20x≤时，年销售总收入为()233x x-万元；当20x>时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，（1）求y（万元）关于x（件）的函数关系式；（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？并求出最大值．（年利润＝年销售总收入−年总投资）【-=-=-=答案=-=-=-】（1）()232100,020,160,20x x xy xx x*⎧-+-<≤=∈⎨->⎩N（2）16件，156万元13．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5（A＋1）进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；（2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【-=-=-=答案=-=-=-】（1）50.1,0151.52log(14),15x xyx x<≤⎧=⎨+->⎩（2）他的销售利润是39万元【解析】（1）由题意，得50.1,015,1.52log(14),15.x xyx x<≤⎧=⎨+->⎩（2）∵(]0,15x∈时，0.1 1.5x≤，又5.5 1.5>，∴15x>，令51.52log (14) 5.5x +-=，解得39x =． 答：老张的销售利润是39万元．14．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资A 类产品的收益与投资额成正比，投资B 类产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，B A ,两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．（1）分别写出B A ,两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【-=-=-=答案=-=-=-】（1）()()108f x x x =≥，()()0xg x x =≥ （2）投资A 类为16万元，投资B类为4万元，最大收益为3万元【解析】（1）设B A ,两类产品的收益与投资额的函数式分别为()1f x k x =，()2g x k x =． 由已知得()1118f k ==，()2112g k ==，所以()()108f x x x =≥， ()()0xg x x =≥．。