几个常见函数模型的应用

专题3.4函数的应用1．一次函数模型的应用一次函数模型：f (x )=kx +b (k ,b 为常数，k ≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型的应用二次函数模型：f (x )=+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0).二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型的应用幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．分段函数模型的应用由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.5．“对勾”函数模型的应用对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y =ax +(a >0,b >0)，当x >0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运一、单选题1．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．2．设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 因为()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时，()2xf x -=显然单调递减；当0x >时，()2f x x =-也是单调递减；且()002101f ==-=，即函数图像连续不断，所以()f x 在其定义域上单调递减，由()()12f x f x +<可得12x x +>，解得1x <.故选：D.3．根据表格中的数据，可以断定方程(2)0( 2.72)x e x e -+=≈的一个根所在的区间是（）x －10123ex 0.371 2.727.4020.12x ＋212345A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)【答案】C【解析】设函数()(2)0x f x e x =-+=，(1)0.3710,(0)120,(1) 2.7230f f f -=-<=-<=-<，(2)7.4040f =->，∴(1)(2)0f f <，又()(2)x f x e x =-+在区间(1，2)连续，∴函数()f x 在区间(1，2)存在零点，∴方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.4．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个，故选：D.5．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：h ）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()C t 与t 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题图看出，0=t 时，()0C t =，排除B ；在[]0,4上，()C t 不断增大，在[]4,8上，()C t 先是一个定值，然后增大，在[]812，上，()C t 不断增大，在[]1220，上，()C t 是个定值，在[]20,24上，()C t 不断增大，故选D.6．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是A．甲是(1)，乙是(2)B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2)D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（）．A ．B ．B ．C ．D ．【答案】B 试题分析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图像中只有B 项符合特点二、解答题9．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：x 10202530()Q x 110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入()f x （130x ≤≤，*N x ∈）（元）的最小值．【答案】(1)1k =(2)选择②，()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，解得1k =；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:()|25|Q x a x b=-+代入数据可得：11010251202025a b a b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1a =-，125b =，所以()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)由（2）可得，()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩，所以，()()()**10010125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩，所以当125x ≤<，*N x ∈时，100()101f x x x=++在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当10x =时，()f x 有最小值，且为121；当2530x ≤≤，*N x ∈时，150()149f x x x=+-为单调递减函数，所以当30x =时，()f x 有最小值，且为124，综上，当10x =时，()f x 有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒【答案】(1)()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数()v x 的表达式为()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)依题意并由(1)可得()260,020,()1200,202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20＝1200；当20200x <≤时，()21()100100003f x x ⎡⎤=---⎣⎦，∴当100x =时，()f x 在区间(20，200]上取得最大值1000033333≈，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4)【答案】(1)8天(2)1.6【解析】(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦，∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤，∴y a的最小值为24 1.6-．12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())0g x x =≥(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元【解析】(1)依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x =≥，∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())0g x x =≥.(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，年收益为y 万元，依题意得：()()20y f x g x =+-，即)0208x y x =+≤≤，令t =则220x t =-，0,t ⎡∈⎣，则22082t t y -=+，0,t ⎡∈⎣()21238t =--+，所以当2t =，即16x =万元时，收益最大，max 3y =万元.13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．(1)将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；(2)当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】(1)3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈(2)当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】(1)由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.(2)由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.14．已知函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)()2f x x -=;(2)函数()f x 为偶函数;(3)()f x 在()0,∞+上单调递减,证明见解析.（1）因为函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，故()2f x x -=．（2）函数()2f x x -=为偶函数．证明如下：由（1）知()2f x x -=，其定义域为{}0x x ≠关于原点对称，因为对于定义域内的任意x ，都有()()()()222211f x x x f x xx ---=-====-，故函数()2f x x -=为偶函数．（3）()f x 在()0,∞+上单调递减．证明如下：在()0,∞+上任取1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()()221212221211f x f x x xx x ---=-=-()()2221212122221212x x x x x x x x x x -+-===，()12,0,x x ∈+∞且12x x <，222121120,0,0x x x x x x ∴-<+>>，()()12f x f x >()f x ∴在()0,∞+上单调递减.。

函数模型及其应用1.几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤. 提示 解函数应用题的步骤题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.( × ) (3)不存在x 0，使0xa <x n 0<log a x 0.( × )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )题组二 教材改编2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元 答案 D解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误.3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件. 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 . 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ， 则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.5.一枚炮弹被发射后，其升空高度h 与时间t 的函数关系为h ＝130t －5t 2，则该函数的定义域是 . 答案 [0,26]解析 令h ≥0，解得0≤t ≤26，故所求定义域为[0,26]. 题组三 易错自纠6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 . 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.7.已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 只. 答案 200解析 由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100， ∴y ＝100log 3(x ＋1).当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.题型一 用函数图像刻画变化过程1.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图像是( )答案 B解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析根据图像所给数据，逐个验证选项.根据图像知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对. 思维升华 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 题型二 已知函数模型的实际问题例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 分钟.答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元答案 D解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.答案 4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是万元. 答案 2 500解析L(Q)＝40Q－120Q 2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500.则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案 19解析 由图像可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. (2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2B.y ＝12(x 2－1)C.y ＝log 2xD.y ＝12log x答案 B解析 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例3 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－11012⎛⎫⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m ＝22a ，即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年. 引申探究若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 解 设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫⎪⎝⎭，即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年. 命题点3 构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.答案 5解析 根据图像求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立.∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝米.答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立.命题点4 构造分段函数模型例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值5 760.综合①②，当年产量为32万只时，W 取最大值6 104万美元.思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤 次才能达到市场要求.(参考数据：lg2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案 8解析 设至少过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R (元)与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则当总利润最大时，该门面经营的天数是 . 答案 300解析 由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400， 当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，y max ＝25 000； 当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征.例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg /mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过 小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时) 答案 4解析 设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 元. 答案 3 300解析 设利润为y 元，租金定为3 000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元.则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润.素养提升 例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题.1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是( )答案 A解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.2.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升 答案 B解析 5月1日到5月15日，汽车行驶了35 600－35 000＝600(千米)，实际耗油48升，所以该车每100千米平均耗油量为486＝8(升).3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( ) A.85元 B.90元 C.95元 D.100元答案 C解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)[400－(x －90)·20]＝－20·[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大.4.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元 答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元(x >280)， 则有280×p %＋(x －280)(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元.5.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2017年 B.2018年 C.2019年 D.2020年 答案 D解析 设从2016年起，过了n (n ∈N ＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A.13 m 3 B.14 m 3 C.18 m 3D.26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋(x －10)·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.7.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时. 答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123·192＝18×192＝24(小时). 8.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图像，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.答案1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为 m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为y m ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)， 所以当x ＝20时，S max ＝400.10.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为 .(用常数a 表示) 答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2， ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值.11.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 h.(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ≥12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取“＝”.故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.12.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/时时，总费用最小. 答案 40解析 设每小时的总费用为y 元， 则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96， 匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v ， 即v ＝40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x ＝ . 答案5－12解析 由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 14.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元).(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0， 解得0<x <150. 依题意，单套丛书利润 P ＝x －⎝⎛⎭⎫30＋1015－0.1x＝x －100150－x－30，所以P ＝－⎣⎡⎦⎤(150－x )＋100150－x ＋120.因为0<x <150， 所以150－x >0， 则(150－x )＋100150－x≥2(150－x )·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立，此时，P max＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.15.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )12th⎛⎫⎪⎝⎭，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要 min. 答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃. 令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃， 得37－21＝(85－21)·1612h⎛⎫⎪⎝⎭，∴h ＝8. 令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·812t ⎛⎫⎪⎝⎭，∴t ＝8. 16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服用毒品后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间.解 (1)由题中图像，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1.当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4； 由⎝⎛⎭⎫121－a＝4，得a ＝3. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.50，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.50或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.50，解得18≤t ≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续4－18＝318(小时).。

函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤：1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即所谓的数学模型；3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。

二、常见函数模型：1、一次函数模型；2、二次函数模型；3、分段函数模型；4、指数函数模型；5、对数函数模型；6、对勾函数模型；7、分式函数模型。

题型1：一次函数模型因一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型，当0k >时，函数值的增长特点是直线上升；当0k <时，函数值则是直线下降。

例1：某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。

现销售给A 地10台，B 地8台。

已知从甲地到A 地、B 地的运费分别是400元和800元，从乙地到A 地、B 地的运费分别是300元和500元，（1）设从乙地运x 台至A 地，求总运费y 关于x 的函数解析式； （2）若总运费不超过9000元，共有几种调运方案； （3）求出总运费最低的方案和最低运费。

题型2：二次函数模型二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。

例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为(0)k k >。

（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围。

六款必学函数模型在编程中，函数是非常重要的工具，能够大大提高开发效率。

下面我们介绍六大常用的函数模型，对于初学者来说尤其重要。

1. 线性函数模型 Linear Regression线性函数模型是研究最广泛的一种函数模型，它能够用于处理各种问题，例如市场预测、股票趋势预测等，其数学公式为y=wx+b。

其中w为权重，b为偏移量，它们是通过最小二乘法来求取。

2. 逻辑函数模型 Logistic Regression逻辑函数模型主要应用于分类问题中，它可以将输入数据映射到一个输出值，输出值为0或1，该函数模型被广泛应用于电子商务、广告推荐等领域。

其数学公式为y=sigmoid(wx+b)。

3. 决策树模型 Decision Trees决策树是一种被广泛应用于分类和回归问题的非参数模型，它可以将数据集递归地分解为小的数据子集，因此可以提高预测精度。

该模型最常用的算法是C4.5和CART。

4. 支持向量机 SVM支持向量机是一种二元分类模型，其目标是寻找一个最大化边界的分割超平面。

该模型可以将高维数据映射到低维数据，从而提高了分类预测的效率。

SVM在图像识别和文本分类等领域得到了广泛的应用。

5. 神经网络模型 Neural Networks神经网络是一种受到生物神经系统启发的模型，可以通过计算机模拟人类大脑神经元的行为来实现复杂的任务。

该模型可以用于分类、回归、聚类等问题。

6. 集成模型 Ensemble modelling集成模型是通过组合多个模型，来提高预测准确性的一种方法，它可以减少单个模型的风险和错误。

该模型最常见的算法是随机森林和AdaBoost。

总之，以上六种函数模型都是非常实用的工具，在实际编程中需要掌握它们的原理和应用。

只有对这些模型有深入的了解，才能在开发过程中更加得心应手。

指数函数模型的生活中的例子指数函数模型是数学中的一种常见模型，可以用来描述某些现象或者过程的增长或衰减规律。

在我们的生活中，有许多例子都可以通过指数函数模型来解释和描述。

本文将介绍几个生活中常见的例子，并通过这些例子来理解指数函数模型的应用。

1. 人口增长模型人口增长是一个长期以来备受关注的问题。

指数函数模型可以用来描述人口增长的规律。

在指数函数模型中，人口数量随着时间的增加而指数级增长。

例如，某城市人口在初始时期为100万，年增长率为3%。

使用指数函数模型，我们可以得出人口数随时间增长的表达式为P(t) = 100万 * (1 + 0.03)^t，其中t为时间（年）。

利用这个模型，我们可以预测城市未来的人口数量，并制定合理的发展规划。

2. 财务投资模型财务投资是许多人关注的领域之一。

指数函数模型可以用来描述投资的增长规律。

例如，某投资项目的初始投资金额为1000万元，年化收益率为5%。

通过指数函数模型，我们可以计算出投资金额随时间的增长情况。

投资金额的表达式为A(t) = 1000万 * (1 + 0.05)^t，其中t为时间（年）。

利用这个模型，我们可以评估投资的回报率，并决定是否进行相应的投资。

3. 病毒传播模型疫情爆发时，病毒传播模型成为重要的研究方向。

指数函数模型可以用来描述病毒的传播速度和规模。

例如，某病毒的传染系数为1.1，即每个感染者平均会感染1.1个人。

通过指数函数模型，我们可以预测疫情的发展趋势。

疫情的增长可以用指数函数P(t) = P(0) * (1 + 1.1)^t 来描述，其中P(t)为时间t时刻的感染人数。

利用这个模型，可以对疫情的传播速度和规模进行评估，并采取相应的防控措施。

4. 化学反应速率模型化学反应速率也可以用指数函数模型来描述。

在某些反应中，反应物的浓度随着时间的推移呈指数级减少。

例如，一个化学反应的初始浓度为C0，反应速率常数为k。

反应物的浓度随时间的变化可以用指数函数模型C(t) = C0 * e^(-kt)来描述。

常见的函数模型
1.线性函数模型：y=mx+b，用于描述两个变量之间的直线关系。

2. 二次函数模型：y = ax + bx + c，用于描述曲线关系，如开口向上或向下的抛物线。

3. 指数函数模型：y = ab^x，用于描述随着 x 增加而指数级增加或减少的关系。

4. 对数函数模型：y = logb(x)，用于描述递增速度逐渐减缓的关系。

5. 正弦函数模型：y = A sin (Bx + C) + D，用于描述周期性变化的关系。

6. 余弦函数模型：y = A cos (Bx + C) + D，与正弦函数类似，用于描述周期性变化的关系。

7. 常量函数模型：y = c，用于描述恒定不变的关系。

8. 分段函数模型：将函数在不同的区间定义为不同的函数，用于描述不同条件下的关系。

9. 概率密度函数模型：用于描述随机变量的分布规律，如正态分布、泊松分布等。

10. 非线性函数模型：除了上述函数模型外，还有各种非线性函数模型，如指数增长模型、对数减少模型、S形曲线模型等。

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函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。