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向量的数量积第课时数量积的定义.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念.(易错点).理解平面向量数量积的含义及其几何意义.(重点).能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.(难点)[基础·初探]教材整理向量的数量积阅读教材的有关内容，完成下列问题.θ已知两个非零向量和，它们的夹角是，我们把数量)，记作内积叫做向量和的数量积(或θ，即·＝.θ·规定：零向量与任一向量的数量积为.已知＝，＝，则()若与夹角为°，则·＝；()若与的夹角为°，则·＝；()若与的夹角为°，则·＝.【解析】()若∥，则与的夹角为°，∴·＝°＝＝.()·＝°＝××＝＝.()·＝°＝××＝.【答案】() () ()教材整理两个向量的夹角阅读教材的有关内容，完成下列问题..定义：已知两个非零向量，，如图--所示.作＝，称为向量与的夹角.∠＝，则图--.°≤θ≤°围：.范时，与反向.°＝θ时，与同向；当°＝θ.当.⊥时，则称向量与垂直，记作°＝θ.当试指出图--中向量的夹角，图①中向量与的夹角；图②中向量与的夹角；图③中向量与的夹角；图④中向量与的夹角.图--【答案】θ ° ° θ教材整理 向量的数量积的运算律及性质阅读教材及链接完成下列问题..向量数量积的运算律：已知向量，，和实数λ.；·()·＝；·λ＝(·)λ＝)λ·()·＝λ()(.·＋·()(＋)·＝.数量积的性质：()·＝或＝；；≤·()()⊥⇒·＝..数量积的几何意义：的乘积.θ 等于的长度与在的方向上的投影·积的几何意义是数量·。
向量的数量积教学设计
一、教学目标
知识与技能
1、通过教学，使学生理解平面向量数量积的含义及其物理意义
2、通过教学，使学生掌握平面向量的数量积的运算律
过程与方法
利用同学们熟悉的物理知识得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义，进一步培养学生的抽象概括、推理论证的能力；通过师生互动、自主探究、交流与学习，培养学生探究新知以及合作交流的学习品质。
情感、态度、价值观
通过本节课的学习，使学生认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系，进一步领悟数形结合的思想和类比的数学思想方法；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性，培养学生勇于创新的精神。
二、教学重、难点
数量积的含义及其运算律
三、教学方法
从物理中“功〞的求法引入课题，通过抽象概括，帮助学生理解向量数量积的概念；通过讲练结合，使学生掌握平面向量的数量积的运算律
四、教学过程
主要才取的教学方法：引导法
（一）导入新课
本课主要是由物理中的功的公式导入向量数量积的概念，这样学生能
更好地去理解向量数量积的概念。
（二）讲授新课
在讲授新课时，为了突出本节课的第一维知识与技能目标，首先引导学生自主学习，学生对根本的概念知识初步感知，学习完成后，有简单的小判断题进一步加深学生对概念的理解程度，然后引入例题，通过对例题的讲解让学生运用向量数量积的概念及其运算律。
（三）稳固练习
让学生自主练习，来稳固本节课的所学内容。
（四）小结
（五）布置作业
布置课后作业，主要以根底题为主，其次会有一些题目有一定的难度，以满足学有余的学生。
学业分层测评(二十一) 数量积的定义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．e 1，e 2是两个平行的单位向量，则e 1·e 2＝________.【解析】 ∵e 1∥e 2，∴e 1，e 2的夹角为0°或180°，∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝±1.【答案】 ±12．已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为________．【解析】 ∵|a |＝8，|b |＝4，b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝4×cos 120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 【答案】 －23．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角θ为120°，则a·a ＋a·b ＝________.【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，∴a·b ＝|a||b |cos 120°＝－12.又a·a ＝|a |2＝1，∴a·a ＋a·b ＝1－12＝12.【答案】 124．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．【解析】 ∵|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，∴|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2，∴△ABC 为直角三角形．又cos ∠ABC ＝513，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－∠ABC )＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513 ＝－25.【答案】 －255．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.【答案】 66．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝________.【解析】 ∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，∴⎩⎨⎧(a ＋b )2＝10， ①(a －b )2＝6， ②①－②得a·b ＝1.【答案】 17．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为________．【导学号：06460062】【解析】 ∵|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，∴a·b ＝2×1×cos 60°＝1，∴|a －4b |＝(a －4b )2 ＝a 2＋16b 2－8a·b ＝4＋16－8＝2 3.【答案】 2 38．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.【解析】 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答题9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为a·(a＋b)|a＋b|＝1013＝101313.10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角？【解】∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.[能力提升]1．(2016·镇江高一检测)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于________．【解析】由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×45＝8.【答案】 82．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0，∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12，∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.【答案】 120°3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设|AB →|＝x (x ＞0)，则AB →·AD →＝12x ，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12.【答案】 124．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |＞1(k ∈R )，求k 的取值范围．【解】 (1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1且a ，b ，c 之间的夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a ||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c .(2)∵|k a ＋b ＋c |＞1，∴(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )＞1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c ＞1.∵a·c ＝a·b ＝b·c ＝cos 120°＝－12，∴k 2－2k ＞0，解得k ＜0或k ＞2.即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.。
课题：平面向量数量积的应用【预习学案】学习目标：1．掌握平面向量数量积，会进行数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积求向量的长度。
2．通过对平面向量数量积应用的研究，渗透数形结合的数学思想，帮助学生形成良好的思维习惯和严谨的科学态度． 知识梳理：设向量a ＝1，1，b ＝2，2，θ为向量a ，b 的夹角． 1．平面向量的数量积a ·b ＝ ； a ·b ＝ 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 1模：|a |＝错误!＝2夹角：co θ＝ ＝ 3两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔3．平面向量数量积的运算律1a ·b ＝ ； 2λa ·b ＝ ＝ ； 3a ＋b ·c ＝ ．激活思维：的夹角为30°，|a |=2，|b |=3，则a ·b ==1，-1，b =2，若a ·b =1，则实数=，b 的夹角为12021a=1，b =3，那么b -a 5 =4若|a |=2，|b |=4，且ab ⊥a ，则a 与b 的夹角为【互动学案】分类解析:=1，2，b =1，-1，则2ab 与a -b 的夹角为1，e 2的夹角为α，且coα＝错误!，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________例3△ABC 中，若∠ABC=12021BA=2，BC=3，D ，E是线段AC 的三等分点，则·=【体验学案】课堂练习:1 若单位向量a 与b 的夹角为3π，则b a -= 2 已知|a |=1，|b |=2，ab =1，，那么向量a ，b 的夹角为 3 已知向量⊥，||=3，则·= 的边长为4，∠ABC=60°，则·=课堂小结: 1知识： 2思想方法：D。
数量积中有关三角形中线问题的探究金沙中学数学组 陈刚一、【课堂引入】引例：已知(1,2),(2,3),C(2,1)A B ----，求以线段,AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长二、【例题解析】例1：如图1，在三角形ABC 中，AB=4,AC=3,D 为BC 中点，求 AD BC ⋅的值；变：如图1-1，在三角形ABC 中，AB=4,AC=3,D 为BC 中点，点P 为边BC 的中垂线上一点，求AP BC ⋅的值；图1 图1-1变：如图1-2，已知点G,H 分别为ABC ∆的重心、垂心，若4,6AC AB ==,则求HG BC ⋅的值；AB AC ⋅的值；例2：如图2，在三角形ABC 中，AD=3,BC=4,D 为BC 中点,求变 如图2-1，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA=3,OC=5,若7AB AD ⋅=-,求BC DC ⋅的值；变，如图2-2，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E,F 分别是AD 上的两个三等分点，4,1BA CA BF CF ⋅=⋅=-,求BE CE ⋅的值；图2-1图1-2图2三、【课堂巩固】1如图3，ABC ∆的边BC 的中垂线交AC 于点P ，交BC 于点Q ，若3,5AB Ac ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为 ；2如图4，半圆的直径AB=6,O 为圆心，C 为半圆上不同于A,B 的任意一点，若点P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值为 ；图2-2图3 图4四、【课后作业】1. 如图：P 是直线3=y 上的任意一点，AB 是以原点为圆心，1为半径的圆的直径求PB PA ⋅的最小值2ABC ∆中,M 是中线AD 的中点,60,32=∠==BAC ,求BM AM ⋅的值A B CM DA B =3 O P。
课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知|a |=4，|b |=3，若：（1）a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60°，分别求a ·b .思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a |与|b |，a 与b 的夹角，由定义可求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ=0°,a ·b =|a ||b |cos0°=4×3×1=12;若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ=180°,a ·b =|a ||b |cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当a ⊥b 时,a 与b 的夹角为90°,a ·b =|a |·|b |cos90°=0,(3)当a 与b 的夹角θ=60°时，a ·b =|a ||b |cos60°=4×3×21=6.温馨提示利用定义计算a 与b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a ∥b 时，a 与b 的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a |=2,|b |=3，a 与b 的夹角为45°,求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a +λb 与λa +b 的夹角为θ.则cosθ=||||)()(b a b a b a b a +++•+λλλλ＞0, 即(a +λb )·(λa +b )＞0,展开得，λa 2+(λ2+1)a ·b +λb 2＞0.∵|a |=2,|b |=3,a ·b =|a ||b |cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即3λ2+11λ+3＞0.λ＜68511--或λ＞68511+-. 另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.∴λ∈(-∞,68511--)∪(68511+-,1)∪(1,+∞). 温馨提示求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例3】 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b =a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120° =5×4×(-21)=-10; (2)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21;(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9;(4)(2a -b )·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2，（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2，（a +b +c ）=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .因此，有的同学会相当然的用（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）,这是错误的.各个击破类题演练1已知|a |=2，|b |=5，且<a ,b >=45°,求a ·b .解：由数量积的定义，a 、b =|a ||b |cos<a ,b >=2×5×cos45°=25.变式提升1已知△ABC 中，a =5,b =8，∠C=60°,求BC ·CA .解：因为||=a =5,||=b =8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°,所以BC ·CA =|BC ||CA |·cos<BC ,CA >=5×8cos120°=-20.类题演练2已知a =(m+1,3),b =(1,m-1)，且a 与b 的夹角为钝角.若（2a +b ）与(a -3b )垂直，求a 与b 夹角的余弦.解析：∵(2a +b )⊥(a -3b ),∴2a 2-5a ·b -3b 2=0.即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,整理得m 2+10m-24=0,m=2或m=-12.∵a 与b 的夹角为钝角，∴m=2舍去.设a 与b 夹角为θ,则cosθ=2212215||||-=•b a b a . 变式提升2(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且a ·b =2，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 解析：cos<a ·b >=21412||||=⨯-=•b a b a . ∴a 与b 的夹角为3π，故选C. 答案：C类题演练3 已知|a |=|b |=5，<a ,b >=3π,求|a +b |，|a -b |. 解：因为a 2=|a |2=25，b 2=|b |2=25，a ·b =|a ||b |cos<a ,b >=5×5cos 3π=225. 所以|a +b |=（a +b ）2=.352525252)(222=++=•-+=+b a b a b a 同样可求|a -b |=.52525252)(222=-+=•-+=-b a b a b a变式提升3 （1）若向量a 与b 夹角为30°，且|a |=3，|b |=1，则向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦为______________.思路分析：本题可利用cosθ=||||b a b a •，由两向量的数量积和模求夹角余弦值. 解：∵p ·q =（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2=3-1=2，又∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+•+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+-b ab a ∴cosθ=77272||||==•q p q p . 答案：772 （2）若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|，求α与β所成的角.思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手，结合模的几何意义解答.解：∵|α+β|=|α-β|,∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2，即4α·β=0，∴α·β=0，∴α⊥β. ∴α与β所成的角为90°.。
平面向量数量积及其应用复习目标：掌握平面向量数量积运算的基本方法，应用“平面向量数量积”这一工具处理向量中的常见问题 复习重点：平面向量数量积运算方法的合理选择复习难点：向量的几何特征在平面向量数量积运算中的作用一、回顾经典1、 已知a (2,1)=，b (,3)λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ．2、 在ABC ∆中,1AB =,AC =AB AC BC +=，则BA BCBC = ．3、如图，在ABC ∆中, O 是ABC ∆的外心, 2AB =,3AC =,则AO BC = ．解题感悟：①平面向量数量积问题处理的本质是什么？②转化的策略是什么？二、聚焦核心例1、 等腰三角形ABC 中，2BC =，AD DC =，12AE EB =，12BD AC =-，则CE AB = ．变式1、正方形ABCD 中，2AB =，M 为BC 的中点，若N 为正方形内（含边界）的任意一点，则AM AN 的最大值是 ．变式2、如图，AB 是半径为3的圆O 的直径，P 是圆O 上异于A ，B 的一点，Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点，且AQ AB =4，则BQ BP 的值为 ．A解题感悟：③转化时的操作要点是什么？ 例2、设向量a ，b ，c 满足1==a b ，a b 12=-，(),()60--=a c b c ，则c 的最大值等于 ．变式、已知向量a ，b 满足=a 1=b ，且对一切实数x ，x ≥a +b a +b 恒成立，则a 与b 夹角的大小为 ．三、专题小结四 、挑战高考如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 （2021江苏高考13）。
平面向量的数量积的应用一、知识回忆：1．平面向量的数量积1定义：设θ是a与b的夹角，那么|a|co θ叫做a在b的方向上的投影，|b|co θ叫做b在a的方向上的投影．b在a的方向上的投影是一个实数，而不是向量，当0°≤θ＜90°时，它是正数，当90°＜θ≤180°时，它是负数，当θ＝90°时，它是02b在a方向上的投影是一个数量，可正，可负，可为零．3．平面向量数量积的坐标表示设a＝1，1，b＝2，2，那么1a·b＝12＋12；2|a|＝错误!，|b|＝错误!；3a⊥b：12＋12＝0其中a，b≠0；4假设非零向量a与b夹角为θ，那么co θ＝错误!；5假设c的起点坐标和终点坐标分别为1，1，2，2，那么|c|＝错误!二、根底自测1．假设向量a＝1,1，b＝2,5，c＝3，满足条件8a－b·c＝30，那么等于________．解析：根据向量的坐标运算，8a－b·c＝30,18＋3＝30，＝42．向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝错误!，那么向量a和向量b 的数量积a·b＝________解析：由题意得a·b＝|a||b|co 30°＝2×错误!×错误!＝33．平面向量a与b的夹角为60°，a＝2,0，|b|＝1，那么|a＋2b|＝________解析：因为a＝2,0，|b|＝1，所以|a|＝2，a·b＝2×1×co 60°＝1，故|a＋2b|＝错误!＝2错误!4．a＝1,2，b＝－3，－3，假设b⊥a＋λb，那么实数λ的值为________．解析：a＋λb＝1,2＋λ－3，－3＝1－3λ，2－3λ∵a＋λb·b＝0，∴－31－3λ－32－3λ＝0，∴λ＝错误!三、例题讲解例1|a|＝4，|b|＝3，2a－3b2a＋b＝611求a与b的夹角θ；2求|a＋b|；3假设＝a，＝b，求△ABC的面积．【解析】1∵2a－3b2a＋b＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6∴co θ＝错误!＝错误!＝－错误!又0≤θ≤π，∴θ＝错误!2|a＋b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!3∵与的夹角θ＝错误!，∴∠ABC＝π－错误!＝错误!又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝错误!||||in ∠ABC＝错误!×4×3×错误!＝3错误!【点评】1平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算。
2.4向量的数量积第1课时数量积的定义1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1向量的数量积阅读教材P83的有关内容，完成下列问题．已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.已知|a|＝3，|b|＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.【解析】(1)若a∥b，则a与b的夹角为0°，∴a·b ＝|a||b |cos 0°＝|a||b |＝18.(2)a·b ＝|a||b |cos 60°＝3×6×12＝182＝9. (3)a·b ＝|a||b |cos 90°＝3×6×0＝0. 【答案】 (1)18 (2)9 (3)0 教材整理2 两个向量的夹角阅读教材P 83的有关内容，完成下列问题．1．定义：已知两个非零向量a ，b ，如图2-4-1所示．作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称为向量a 与b 的夹角．图2-4-12．范围：0°≤θ≤180°.3．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向． 4．当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .试指出图2-4-2中向量的夹角， 图①中向量OA →与OB →的夹角________； 图②中向量OA →与OB →的夹角________； 图③中向量OA →与OB →的夹角________； 图④中向量OA →与OB →的夹角________．图2-4-2【答案】 θ 0° 180° θ教材整理3向量的数量积的运算律及性质阅读教材P84及P85链接完成下列问题．1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．数量积的性质：(1)a·a＝|a|2或|a|＝a2；(2)|a·b|≤|a||b|；(3)a⊥b⇒a·b＝0.3．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b 与a上的投影为________．【解析】a在b上的投影为|a|cos 45°＝3×22＝322；b在a上的投影为|b|cos 45°＝5×22＝522.【答案】322522[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)a·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)． 【自主解答】 (1)a·b ＝|a||b |cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3.(2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5. (3)(2a －b )(a ＋3b )＝2a 2＋5a·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a||b |cos 120°－3|b |2 ＝8－15－27 ＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.要特别注意书写时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．[再练一题]1．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.【解】 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.已知向量OA ＝a ，OB ＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4.求|a ＋b |，|a－b |，|3a ＋b |.【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a |＝a·a 转化为数量积的运算求解．【自主解答】 ∵a·b ＝|a|·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋16＋16＝43，|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝16－16＋16＝4，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2＝9×16＋48＋16＝413.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．[再练一题]2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，则|b|＝________.【解析】因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因为向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，＋|b|2＝10，所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×22整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)，故|b|＝ 2.【答案】 2已知a a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．【精彩点拨】解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得求得夹角．到a，b之间的关系，再由cos θ＝a·b|a||b|【自主解答】由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0， 即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，② ①②两式相减，得2a ·b ＝b 2， ∴a ·b ＝12b 2，代入①②中任一式，得a 2＝b 2， 设a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.1．求向量a ，b 夹角的流程图：求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b |a ||b |→结合θ∈[0，π]，求解θ 2．若两非零向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a·b ≠|a||b|；两非零向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a·b ≠－|a||b |.[再练一题]3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角θ.【解】 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12. ∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－32×13×3＝－12. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.[探究共研型]探究1 a 在b 上的投影． 【提示】 a 在b 上的投影为|a |cos θ， 又cos θ＝a·b |a||b |，∴|a |cos θ＝a·b |b |.探究2 数量积a·b ＝|a||b |cos θ的几何意义是什么？【提示】 数量积a·b 等于a 的模与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积，或等于b 的模与a 在b 方向上的投影|a |cos θ的乘积．已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a 与b 的夹角θ.【导学号：06460060】【精彩点拨】 分别列出a 在b 方向上的投影和b 在a 方向上的投影，解方程组便可．【自主解答】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a·b|b |＝－3，a·b |a |＝－32，a·b ＝－9，∴|a |＝6，|b |＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－96×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.1．投影是个数量，可正、可负、可为零．2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a 在b 上的投影为|a |cos θ＝a·b|b |；b 在a 上的投影为|b |cos θ＝a·b|a |.[再练一题]4．在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影； (3)AB →在BC →方向上的投影．【解】 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3， ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°， ∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16； (2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.[构建·体系]1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝________. 【解析】 m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.【答案】 －12 22．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________． 【解析】 |a |cos θ＝a ·b |b |＝125. 【答案】 1253．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝______. 【解析】 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0， ∴λ＝±35.【答案】 ±354．下面给出的关系式中正确的有________． ①0·a ＝0； ②a·b ＝b·a ； ③a 2＝|a |2； ④a·b ≤|a||b |； ⑤(a·b )2＝a 2·b 2.【解析】 ①②③正确；④|a|·|b |≥a·b ，⑤(a·b )2＝a 2·b 2·cos 2θ. 【答案】 ①②③④5．已知|a |＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |. 【导学号：06460061】【解】 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1， ∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22， ∴cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，又θ∈[0，π]， ∴θ＝π4，故a 与b 的夹角为π4. (2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b＋b 2＝102.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十一) 数量积的定义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．e 1，e 2是两个平行的单位向量，则e 1·e 2＝________.【解析】 ∵e 1∥e 2，∴e 1，e 2的夹角为0°或180°，∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝±1. 【答案】 ±12．已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为________．【解析】 ∵|a |＝8，|b |＝4，b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝4×cos 120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.【答案】 －23．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角θ为120°，则a·a ＋a·b ＝________. 【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°， ∴a·b ＝|a||b |cos 120°＝－12. 又a·a ＝|a |2＝1， ∴a·a ＋a·b ＝1－12＝12. 【答案】 124．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 【解析】 ∵|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12， ∴|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2， ∴△ABC 为直角三角形． 又cos ∠ABC ＝513，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－∠ABC ) ＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－25. 【答案】 －255．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6. 【答案】66．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝________. 【解析】 ∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝10， ①(a －b )2＝6， ②①－②得a·b ＝1. 【答案】 17．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为________．【导学号：06460062】【解析】∵|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，∴a·b＝2×1×cos 60°＝1，∴|a－4b|＝(a－4b)2＝a2＋16b2－8a·b＝4＋16－8＝2 3.【答案】2 38．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，则实数λ＝________.【解析】由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答题9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝42－6＝10，∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.10．已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，k 为何值时，向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角？【解】 ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k ＞0，∴k ＞0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k ＞0且k ≠1.[能力提升]1．(2016·镇江高一检测)定义：|a ×b |＝|a|·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，则|a ×b |等于________．【解析】 由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45， ∴|a ×b |＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×45＝8. 【答案】 82．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0， ∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°. 【答案】 120°3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设|AB →|＝x (x ＞0)，则AB →·AD →＝12x ，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12.【答案】 124．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |＞1(k ∈R )，求k 的取值范围． 【解】 (1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1且a ，b ，c 之间的夹角均为120°， ∴(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a ||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c . (2)∵|k a ＋b ＋c |＞1，∴(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )＞1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c ＞1. ∵a·c ＝a·b ＝b·c ＝cos 120°＝－12， ∴k 2－2k ＞0，解得k ＜0或k ＞2. 即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.。
§向量数量积（第一课时）教学设计人民中学田佳教学内容分析:本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4苏教版§平面向量的数量积的第一课时，本课主要内容是向量的数量积的定义。
本节课是在学生系统的学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容起到了承上启下的作用。
平面向量数量积是一个很重要的数学概念，它是从物理中功的概念抽象而来的，是沟通代数、几何、三角的桥梁，是数形结合方法的典范。
这些都使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
教学目标：1.理解平面向量数量积的概念2.掌握平面向量数量积的性质3.体会数形结合与类比等数学思想方法，培养自主学习能力教学重难点：数量积概念的理解教学过程：一、回顾旧知已经学习了哪几种向量运算？它们的运算结果是什么量？【设计意图】通过知识回忆的问题让学生复习回顾向量运算，为平面向量数量积的学习奠定基础。
二、问题情境问题1：一个物体在力F的作用下产生位移，=？此时重力做了多少功？问题2：当力F与位移S成某一角度时，力F所做的功W=问题3：能否将此公式推广到一般向量？【设计意图】从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情，同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。
三、 建构数学 师：物理中的F 和S 是两个向量，用两个一般的非零向量和来替换F 和S ，其夹角不变，则θθcos ||||cos |||| b a S F W ==。
在数学中称θcos ||||b a 为非零向量和的数量积，记作：θcos |||| b a b a =⋅，从而得到平面向量数量积的定义：1. 定义：b a b a ,,,叫做向量它们的夹角为两个非零向量θθθcos ,b a b a =⋅⋅即的数量积，记作规定：零向量与任一向量的数量积为0注意点：（1）“·”是数量积的运算符号，不能省略也不能用“”代替；（2）数量积的结果为数量；（3）影响因素是向量的模及夹角。
2.4 向量的数量积(三)[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．[知识链接]1．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．a ∥b 与a ⊥b 坐标表示有何区别？ 答 若a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0.若a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．你能用向量法推导两点间距离公式|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2吗？答 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴AB →·AB →＝AB →2＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.[预习导引]1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于对应坐标乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.要点一 向量数量积的坐标运算例1 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b .解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充． 跟踪演练1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)．求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(2a －b )；(3)(a ·b )·c ，a ·(b ·c )．解 (1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a ·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．要点二 两向量的夹角例2 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)． (1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →；(2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点，∴向量OC →与OP →共线，设OC →＝tOP →(t ∈R )，则OC →＝t (2,1)＝(2t ，t )，∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )，CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )，∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4,2)．(2)由(1)知OC →＝(4,2)，∴CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－3－5＝－8.∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717. 规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．跟踪演练2 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解 (1)a ＝e 1－e 2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b ＝4e 1＋3e 2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a ·b ＝4×1＋3×(－1)＝1，|a ＋b |＝(4＋1)2＋(3－1)2＝25＋4＝29.(2)由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210. 要点三 向量垂直的坐标表示例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．跟踪演练3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .解 设向量b ＝(x ，y )．根据题意，得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|.∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |，∴|a |＝|b |，a ·b ＝0. 又∵a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0. 解得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧ x ＝－32，y ＝－12. ∴b ＝⎝⎛⎭⎫32，12或b ＝⎝⎛⎭⎫－32，－12.1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为________________________________________________________________________．★答案★ π4解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.∴a 与b 的夹角为π4.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝________.★答案★ 2解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝± 3.∴|a |＝12＋n 2＝2.3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________．★答案★ 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)，AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．一、基础达标1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________. ★答案★ 3解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6， ∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6， ∴m ＝ 3.2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.★答案★ 23解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2 3.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.★答案★ ⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角为________．★答案★ π4解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22， ∴α＝π4. 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.★答案★ 5解析 ∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5.6．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________． ★答案★ x <85且x ≠－52解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b |a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85. ∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52， 当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ， ∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 二、能力提升8．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________.★答案★ －3解析 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．★答案★ 322解析 因为AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →·CD →＝(2,1)·(5,5)＝15，|CD →|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|C D →|＝1552＝322. 10．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.★答案★ 2解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |， 所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小．解 (1)∵a ∥b ，∴3x －36＝0.∴x ＝12.∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0.∴y ＝－3.∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4. 12．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 又m ＝1为增根，舍去．∴m ＝35. 三、探究与创新13．在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．解 在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2. ∵a ·b ＝c ·a ＝a ·c ， ∴2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形.。
第十课时 平面向量的数量积及运算律(二)教学目标：掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知：｜a ｜＝3，｜b ｜＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b .分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a ·b .解：①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0°＝3×6×1＝18；若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝0；③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos60°＝3×6×12＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a ∥b 时，有0°或180°两种可能.［例2］已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.分析：要求a 与b 的夹角，只要求出a ·b 与｜a ｜，｜b ｜即可.解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b )⇔(a ＋3b )·(7a －5b )＝0⇔7a 2＋16a ·b －15b 2＝0 ①又(a －4b )⊥(7a －2b )⇔(a －4b )·(7a －2b )＝0⇔7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ②①－②得：46a ·b ＝23b 2即有a ·b ＝12 b 2＝12｜b ｜2， 将它代入①可得：7｜a ｜2＋8｜b ｜2－15｜b ｜2＝0即｜a ｜2＝｜b ｜2有｜a ｜＝｜b ｜∴若记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝12 ｜b ｜2｜b ｜｜b ｜ ＝12又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°所以a 与b 的夹角为60°.［例3］四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )，∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2即｜a ｜2＋2a ·b ＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋2c ·d ＋｜d ｜2由于a ·b ＝c ·d ，∴｜a ｜2＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋｜d ｜2 ①同理有｜a ｜2＋｜d ｜2＝｜c ｜2＋｜b ｜2 ②由①②可得｜a ｜＝｜c ｜，且｜b ｜＝｜d ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由a ·b ＝b ·c ，有b ·(a －c )＝0，而由平行四边形ABCD 可得a ＝－c ，代入上式得b ·(2a )＝0即a ·b ＝0，∴a ⊥b 也即AB ⊥B C.综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB →，BC →，CD →，DA →是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a ＋b ＋c ＋d ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.［例4］已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.解：∵｜a ＋b ｜2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×(－3)＋52＝23∴｜a ＋b ｜＝23 ，∵(｜a －b ｜)2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×(－3)＋52＝35， ∴｜a －b ｜＝35 .［例5］已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ.解：∵(｜a ＋b ｜)2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝｜a ｜2＋2｜a ｜｜b ｜cos θ＋｜b ｜2∴162＝82＋2×8×10cos θ＋102， ∴cos θ＝2340，∴θ≈55° ［例6］在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＜0，则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos B ＜0得cos B ＜0，进而得B 为钝角，从而错选C.解：由两向量夹角的概念，a 与b 的夹角应是180°－B∵a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos(180°－B )＝－｜a ｜｜b ｜cos B ＜0∴cos B ＞0又因为B ∈(0°，180°)所以B 为锐角.又由于角B 不一定最大，故三角形形状无法判定. 所以应选D.［例7］设e 1、e 2是夹角为45°的两个单位向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋e 2，试求：｜a ＋b ｜的值.分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识.解：∵a ＋b ＝(e 1＋2e 2)＋(2e 1＋e 2)＝3(e 1＋e 2)，∴｜a ＋b ｜＝｜3(e 1＋e 2)｜＝3｜(e 1＋e 2)｜＝3（e 1＋e 2）2＝3e 12＋2 e 1·e 2＋e 22 ＝3222121||45cos ||||2||e e e e ︒++＝322+.［例8］设｜m ｜＝2，｜n ｜＝1，向量m 与n 的夹角为π2，若a ＝4m －n ，b ＝m ＋2n ，c ＝2m －3n ，求a 2＋3(a ·b )－2(b ·c )＋1的值.解：∵｜m ｜＝2，｜n ｜＝1且m ⊥n ，∴m 2＝｜m ｜2＝4，n 2＝｜n ｜＝1，m ·n ＝0.∴a 2＋3(a ·b )－2(b ·c )＋1＝(4m －n )2＋3(4m －n )·(m ＋2n )－2(m ＋2n )·(2m －3n )＋1＝16m 2－8m ·n ＋n 2＋12m 2＋24m ·n －3n ·m －6n 2－4m 2－6m ·n －8n ·m ＋12n 2＋1＝24m 2＋7n 2＋1＝104.Ⅲ. 课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.Ⅳ. 课后作业课本P 83习题 4，7平面向量的数量积及运算律1．设a ，b ，c 为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为 （ ）（1）（a ·b ）·c －(c ·a )·b ＝0 （2）|a |－|b |＜|a －b |（3）(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直 （4）（3a +2b )(3a －2b )=9|a |2－4|b |2A.（2）（4）B.（2）（3）C.（1）（2）D.（3）（4）2．已知|a |＝3，|b |＝4，（a ＋b ）·（a ＋3b ）＝33，则a 与b 的夹角为 （ ）A.30°B.60°C.120°D.150°3．△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＞0，则△ABC 为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4．已知等边△ABC 的边长为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于 （ ）A.－32B. 32C.0D. 945．已知|a |2＝1，|b |2＝2，（a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角为 （ ）A.60°B.90°C.45°D.30°6．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e 1－e 2）（3e 1＋2e 2）＝ .7．已知| i |＝| j |＝1，i ·j ＝0，且a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝8i ＋16j ，求a ·b ＝ .8．已知|a |＝3，|b |＝5，如果a ∥b ，则a ·b ＝ .9．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c 的夹角的余弦.10．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k ，使向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b的夹角为60°，若存在，求k 值；若不存在，说明理由.11．非零向量（a ＋3b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求向量a 与b 夹角的余弦值.平面向量的数量积及运算律答案1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．927．－63 8．±15 9．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c 的夹角的余弦. 解：|r |＝|a ＋b ＋c |＝（a ＋b ＋c ）2＝1＋4＋9＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝14设a ＋b ＋c 与a 、b 、c 的夹角分别为θ1，θ2，θ3 则cos θ1＝ a ·（a ＋b ＋c ）|a |·|a ＋b ＋c | ＝114同理cos θ2＝214＝147，cos θ3＝31414. 10．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k ，使向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b的夹角为60°，若存在，求k 值；若不存在，说明理由.解：∵|a |＝|b |＝1，又a ·b ＝0m ·n ＝(k a ＋b )·(a ＋k b )＝2k ，又|m|＝k2＋1 ，|n|＝k2＋1若cos60°＝m·n|m|·|n |＝2kk2＋1＝12∴k2＋4k＋1＝0∵k＝2±3 Z，∴不存在.11．19 38。
第1课时 数量积的定义1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点) 2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 向量的数量积阅读教材P 83的有关内容，完成下列问题．已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.已知|a |＝3，|b |＝6，则(1)若a 与b 夹角为0°，则a·b ＝________； (2)若a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝________； (3)若a 与b 的夹角为90°，则a·b ＝________. 【解析】 (1)若a∥b ，则a 与b 的夹角为0°， ∴a·b ＝|a||b |cos 0°＝|a||b |＝18. (2)a·b ＝|a||b |cos 60°＝3×6×12＝182＝9.(3)a·b ＝|a||b |cos 90°＝3×6×0＝0. 【答案】 (1)18 (2)9 (3)0 教材整理2 两个向量的夹角阅读教材P 83的有关内容，完成下列问题．1．定义：已知两个非零向量a ，b ，如图241所示．作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称为向量a 与b 的夹角．图2412．范围：0°≤θ≤180°.3．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向． 4．当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a⊥b .试指出图242中向量的夹角， 图①中向量OA →与OB →的夹角________； 图②中向量OA →与OB →的夹角________； 图③中向量OA →与OB →的夹角________； 图④中向量OA →与OB →的夹角________．图242【答案】 θ 0° 180° θ教材整理3 向量的数量积的运算律及性质 阅读教材P 84及P 85链接完成下列问题．1．向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ. (1)a ·b ＝b ·a ；(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b ； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 2．数量积的性质： (1)a·a ＝|a |2或|a |＝a 2； (2)|a·b |≤|a||b |； (3)a⊥b ⇒a·b ＝0.3．数量积的几何意义：a·b 的几何意义是数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．已知|a |＝3，|b |＝5，a 与b 的夹角为45°，则a 在b 上的投影为________；b 与a 上的投影为________．【解析】 a 在b 上的投影为|a |cos 45°＝3×22＝322； b 在a 上的投影为|b |cos 45°＝5×22＝522. 【答案】322 522[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]向量数量积的运算及几何意义(1)a·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．【自主解答】 (1)a·b ＝|a||b |cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3.(2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5. (3)(2a －b )(a ＋3b )＝2a 2＋5a·b －3b 2＝2|a |2＋5|a||b |cos 120°－3|b |2＝8－15－27 ＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.要特别注意书写时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．[再练一题]1．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →； (3)BC →·AC →.【解】 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.求向量的模已知向量OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4.求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |.【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a |＝a·a 转化为数量积的运算求解． 【自主解答】 ∵a·b ＝|a|·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8，∴|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋16＋16＝43， |a －b |＝a －b2＝a 2－2a·b ＋b 2＝16－16＋16＝4， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋6a·b ＋b 2＝9×16＋48＋16＝413.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．[再练一题]2．已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________. 【解析】 因为|2a ＋b |＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，所以4|a |2＋4|a ||b |cos 45°＋|b |2＝10，故4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)，故|b |＝ 2. 【答案】2求向量的夹角已知a ，4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．【精彩点拨】 解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a ，b 之间的关系，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求得夹角．【自主解答】 由已知，得(a ＋3b )·(7a －5b )＝0， 即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0， 即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，② ①②两式相减，得2a ·b ＝b 2， ∴a ·b ＝12b 2，代入①②中任一式，得a2＝b2，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.1．求向量a，b夹角的流程图：求|a|，|b|→计算a·b→计算cos θ＝a·b|a||b|→结合θ∈[0，π]，求解θ2．若两非零向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a·b≠|a||b|；两非零向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a·b≠－|a||b|.[再练一题]3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角θ.【解】∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝12.∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a|＝a2＝e1＋e22＝1＋2×12＋1＝3，|b|＝b2＝e2－2e12＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.[探究共研型]数量积的几何意义探究1 b上的投影．【提示】 a 在b 上的投影为|a |cos θ， 又cos θ＝a·b |a||b |，∴|a |cos θ＝a·b|b |.探究2 数量积a·b ＝|a||b |cos θ的几何意义是什么？【提示】 数量积a·b 等于a 的模与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积，或等于b 的模与a 在b 方向上的投影|a |cos θ的乘积．已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a与b 的夹角θ.【导学号：06460060】【精彩点拨】 分别列出a 在b 方向上的投影和b 在a 方向上的投影，解方程组便可． 【自主解答】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a·b|b |＝－3，a·b |a |＝－32，a·b ＝－9，∴|a |＝6，|b |＝3，∴cos θ＝a·b |a||b |＝－96×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.1．投影是个数量，可正、可负、可为零．2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a 在b 上的投影为|a |cos θ＝a·b|b |；b 在a 上的投影为|b |cos θ＝a·b|a |.[再练一题]4．在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影； (3)AB →在BC →方向上的投影．【解】 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3， ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°，∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16；(2)|AC →|·cos〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.[构建·体系]1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝________. 【解析】 m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2. 【答案】 －12 22．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________． 【解析】 |a |cos θ＝a ·b |b |＝125. 【答案】1253．设|a |＝3，|b |＝5，且a＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝______. 【解析】 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0， ∴λ＝±35.【答案】 ±354．下面给出的关系式中正确的有________． ①0·a ＝0； ②a·b ＝b·a ； ③a 2＝|a |2； ④a·b ≤|a||b |； ⑤(a·b )2＝a 2·b 2.【解析】 ①②③正确；④|a|·|b |≥a·b ，⑤(a·b )2＝a 2·b 2·cos 2θ. 【答案】 ①②③④5．已知|a |＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |. 【导学号：06460061】【解】 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1，∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22，∴cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，又θ∈[0，π]， ∴θ＝π4，故a 与b 的夹角为π4.(2)|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝102.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十一) 数量积的定义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．e 1，e 2是两个平行的单位向量，则e 1·e 2＝________.【解析】 ∵e 1∥e 2，∴e 1，e 2的夹角为0°或180°，∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝±1. 【答案】 ±12．已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为________． 【解析】 ∵|a |＝8，|b |＝4，b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝4×cos 120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 【答案】 －23．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角θ为120°，则a·a ＋a·b ＝________. 【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°， ∴a·b ＝|a||b |cos 120°＝－12.又a·a ＝|a |2＝1， ∴a·a ＋a·b ＝1－12＝12.【答案】 124．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 【解析】 ∵|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12， ∴|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2， ∴△ABC 为直角三角形． 又cos ∠ABC ＝513，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－∠ABC ) ＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513 ＝－25.【答案】 －255．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.【答案】 6 6．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝________.【解析】 ∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b 2＝10， ①a －b 2＝6， ②①－②得a·b ＝1.【答案】 17．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为________．【导学号：06460062】【解析】 ∵|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，∴a·b ＝2×1×cos 60°＝1，∴|a －4b |＝a －4b 2 ＝a 2＋16b 2－8a·b＝4＋16－8＝2 3.【答案】 2 38．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.【解析】 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】 －8或5二、解答题 9．(2016·南通高一检测)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影．【解】 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，∴a·b ＝－6，∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a·b＝42＋32＋2×－6＝13.(2)∵a·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝42－6＝10，∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a·a ＋b |a ＋b |＝1013＝101313. 10．已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，k 为何值时，向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角？【解】 ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k ＞0，∴k ＞0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k 的取值范围为k ＞0且k ≠1.[能力提升]1．(2016·镇江高一检测)定义：|a ×b |＝|a|·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，则|a×b |等于________．【解析】 由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45， ∴|a×b |＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×45＝8. 【答案】 82．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0，∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.【答案】 120°3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设|AB →|＝x (x ＞0)，则AB →·AD →＝12x ，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12.【答案】 124．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |＞1(k ∈R )，求k 的取值范围．【解】 (1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1且a ，b ，c 之间的夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a ||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c .(2)∵|k a ＋b ＋c |＞1，∴(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )＞1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c ＞1.∵a·c ＝a·b ＝b·c ＝cos 120°＝－12，∴k 2－2k ＞0，解得k ＜0或k ＞2.即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.。
课题：§2.4 向量的数量积（1） 总第____课时班级_______________姓名_______________ 【学习目标】1．理解平面向量数量积的概念，掌握两向量夹角的概念及其取值范围；2．掌握两向量共线及垂直的充要条件，3．掌握向量数量积的性质．【重点难点】学习重点：平面向量数量的概念；学习难点：向量数量积及其重要性质．【学习过程】一、自主学习与交流反馈：物理课中，物体所做的功的计算方法： ||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s二、知识建构与应用：（一）向量数量积的概念和性质1．向量的夹角定义：平面两非零向量和的夹角：当且仅当两非零向量、同方向时θ= ；当且仅a ，b 反方向时，θ= ；当θ= ，称与垂直，记作⊥.2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量A a b θ积（或内积），记作a b ⋅，即 ．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个 量；实数与向量的积是一个 量；③规定，零向量与任一向量的数量积是 ．3．数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a b a b θ⋅=； ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅； ③a b ⊥0a b ⇔⋅=；4．向量的数量积满足下列运算律： （1）a b b a ⋅=⋅（2）()()()a b a b a b a b λλλλ⋅=⋅=⋅=⋅（3）()a b c a c bc +⋅=⋅+ 三、例题例1 已知向量a 、b 的夹角为θ，2,3a b ==，分别在下列条件下求 a b ⋅：（1）135θ=︒； （2）a ∥b ； （3）a ⊥b ．例2 已知1,2a b ==，向量a 、b 的夹角为60︒，求： （1）2()a b +； （2）2()a b -； （3）)()(b a b a -⋅+．例3 已知向量a 、b 的夹角为60︒，4b =，72)3()2(-=-⋅+b a b a ，求向量a 的模．例4 已知平面内三个向量,,a b c 的模均为1，他们相互间的夹角为120°，（1）求证：()a b c -⊥；（2）若1()ka b c k R ++=∈，求k 的值．四、巩固练习1．已知,,a b c 是三个非零向量，下列结论正确的是__________(填序号).①若||||a b a b ⋅=，则a ∥b ；②若a c b c ⋅=⋅，则a b =；③若a b a b +=-，则a b ⊥．2．已知正三角形ABC 的边长为1，⋅=_____；⋅=_____；⋅=_____．3．已知4,6a b ==，向量a 、b 的夹角为60︒，求：（1）a b ⋅；（2）()a a b ⋅+．4．已知4,8.a b a b ==且与的夹角为120，计算：(1)(2)(2);a b a b +•-(2)2.a b +5．求证：a b a b ⋅≤⋅．。
2.4 向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；4．掌握向量数量积的性质。
三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四、教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法：||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．（二）新课讲解：1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则 AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。
当0θ=时，a 与b 同向； 当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义： 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它 是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -．（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。
【练习】：①已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=10-；A ab ） B b1B O 1 1()B②已知||4b =，a 在b 上的投影是1||b ，则a b ⋅= 8 ； ③已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=135． （3）数量积的性质： 设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则①cos ||||a b a b θ⋅=； ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-； 特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅； ③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；若e 是与b 方向相同的单位向量，则⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=．4．例题分析：例1 已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅． 解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅122()362=⨯⨯-⨯=-．例2 已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：作AB c =，BC a =，∵0a b c ++=， ∴CA b =，∵||||||||||||a b c a b -<<+且222||||||c a b =+，∴ABC ∆中，90C =， ∴tan A =，∴30A ∠=，60B ∠=， 所以，3323cos1209312a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯+⨯=--=-．五、课后练习：补充：1．若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= 0 ．六、课堂小结：1．向量数量积的概念；2．向量数量积的几何意义；3．向量数量积的性质。
第1课时向量数量积的概念及运算律问题：一个物体在力F的作用下位移为s，则力F所做功W＝|F||s|cos θ，θ为F和位移s的夹角，试想功W是力F和位移s的乘积吗？提示：不是．1．数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.2．规定零向量与任一向量的数量积为0.如图，△ABC为等边三角形．问题1：向量AB与向量AC的夹角的大小是多少？提示：60°.问题2：向量AB与向量BC的夹角的大小是多少？提示：120°.两非零向量的夹角(1)定义：对于两非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b 的夹角．(2)范围：0≤θ≤180°.(3)当θ＝0°时，a与b同向．当θ＝180°时，a与b反向．当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.已知向量a和b都是非零向量，θ为a与b的夹角．问题1：若θ＝90°，求a·b；若a·b＝0，求θ.提示：若θ＝90°，则a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0；若a·b＝0，则|a|·|b|cos θ＝0，∴cos θ＝0.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝90°.问题2：若θ＝0°，求a·b；若θ＝180°，求a·b.提示：若θ＝0°，则a·b＝|a|·|b|cos 0°＝|a|·|b|；若θ＝180°，则a·b＝|a|·|b|cos 180°＝－|a|·|b|.1．两个向量的数量积(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；(2)当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a.2．数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．2．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．3．数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是因为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等．[例1] 已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)AB ·CD ；(2)AB ·AD ；(3)DA ·AC . [思路点拨] 求数量积时，利用定义要注意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来． [精解详析] (1)∵AB ，CD 的夹角为π，∴AB ·CD ＝|AB ||CD |cos π＝2×2×(－1)＝－4. (2)∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ·AD ＝|AB ||AD |cos π2＝2×2×0＝0.(或∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ⊥AD ，故AB ·AD ＝0)(3)∵DA ，AC 的夹角为3π4，∴DA ·AC ＝|DA ||AC |cos3π4＝2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝－4. [一点通] 求平面向量的数量积时，常用到以下结论： (1)a 2＝|a |2；(2)(x a ＋y b )(m c ＋n d )＝xm a ·c ＋xn a ·d ＋ym b ·c ＋yn b ·d ，其中x ，y ，m ，n ∈R ，类似于多项式的乘法法则；(3)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(4)(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c .1．若|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为135°，则a ·(－b )＝________. 解析：a ·(－b )＝－a ·b ＝－|a ||b |cos 135° ＝－4×6×cos 135°＝12 2. 答案：12 22．设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.解析：a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2·2cos 120°＋2·2·cos 120°＋2·2cos 120°＝－3.答案：－33．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，求AB ·AC 的值． 解：∵2AM ＝AB ＋AC ，BC ＝AC －AB ， ∴(2AM )2＝(AB ＋AC )2，BC 2＝(AC －AB )2， ∴4AB ·AC ＝4AM 2－BC 2＝－64， ∴AB ·AC ＝－16，[例2] 已知向量OA ＝a ，OB ＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4.求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |.[思路点拨] 根据已知条件将向量的模利用|a |＝a ·a 转化为数量积的运算求解． [精解详析] ∵a ·b ＝|a |·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8，∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋16＋16＝43， |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝16－16＋16＝4，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9×16＋48＋16＝413.[一点通] 关系式a 2＝|a |2可使向量的长度与向量数量积互相转化，利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，特别注意不要忘记开方．4．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.解析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)． 答案：3 25．已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，则a －b |＝________. 解析：由|a ＋b |＝4， 得|a ＋b |2＝42∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.①∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9， 代入①式得4＋2a ·b ＋9＝16， 即2a ·b ＝3.(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10， ∴|a －b |＝10. 答案：106．已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．解：∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a －b |， ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝4－2×2×4×cos π3＋16＝2 3.[例3] 已知a ，b 是非零向量，且(a －2b )⊥a ，b ⊥(b －2a )，求a 与b 的夹角． [思路点拨] 根据向量的数量积公式变形为cos θ＝a ·b|a ||b |，从而可求θ.[精解详析] ∵(a －2b )⊥a ，b ⊥(b －2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a －2b )·a ＝0，b ·(b －2a )＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＝2a ·b ，|b |2＝2a ·b ，∴|a |＝|b |. 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b |a |2＝12|a |2|a |2＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.[一点通] 向量的数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角，即cos θ＝a ·b |a ||b |.在根据已知三角函数值求角时，要注意角的范围的确定．此外，要注意若两非零向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ·b ≠|a ||b |；两非零向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ·b ≠－|a ||b |.7．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：由条件得a ·b －|a |2＝2，设a 与b 的夹角为α，则a ·b ＝2＋|a |2＝3＝|a ||b |cos α＝1×6×cos α.所以cos α＝12，所以α＝π3.答案：π38．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2. ∴cos 120°＝(a ＋2b )·(a －2b )|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2(a 2＋4b 2)2＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12.∴a 2b 2＝43.∴|a ||b |＝233. 答案：2339．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角． 解：设a ，b 的夹角为θ，∵单位向量e 1，e 2的夹角为60°， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12.∴a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝e 1·e 2＋e 22－2e 21－2e 1·e 2 ＝e 22－2e 21－e 1·e 2＝1－2－12＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋e 22＋2e 1·e 2 ＝1＋1＋1＝3， |b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝e 22－4e 1·e 2＋4e 21＝ ＝ 3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－323·3＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.1．向量数量积的性质及作用设a 和b 是非零向量，a 与b 的夹角为θ.(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，即当a 与b 共线时，|a ·b |＝|a ||b |，此性质可用来证明向量共线．(3)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(4)cos θ＝a ·b |a ||b |，此性质可求a 与b 的夹角．2．求向量夹角的一般步骤 (1)求两向量的模； (2)计算两向量的数量积； (3)计算夹角的余弦值；(4)结合夹角的范围[0，π]确定所求的夹角．课下能力提升(二十)一、填空题1．若|a |＝2，|b |＝12，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×12×12＝12.答案：122．已知△ABC 是等腰直角三角形，C ＝90°，AB ＝22，则AB ·BC 等于________． 解析：由题意知|BC |＝22×22＝2. ∴AB ·BC ＝|AB |·|BC |cos 135°＝22×2×⎝⎛⎭⎫－22＝－4. 答案：－43．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，则向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角为________．解析：设a ，b 的夹角为θ.因为|m |＝1，|n |＝1，m ，n 夹角为60°，所以m ·n ＝12.所以|a |＝(2m ＋n )2＝4m 2＋4m ·n ＋n 2＝7， |b |＝(2n －3m )2＝4n 2－12m ·n ＋9m 2＝7， a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－72.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a ，b 的夹角为120°. 答案：120°4．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 解析：设a 与b 的夹角为θ， 由于(a ＋2b )·(a －b )＝－6， 且|a |＝1，|b |＝2， 所以a 2＋a ·b －2b 2＝－6， 即12＋1×2cos θ－2×22＝－6， 化简得cos θ＝12，又∵θ∈[0°，180°]， ∴θ＝60°. 答案：60°5．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC ＝2BD ，CA ＝3CE ，则AD ·BE ＝________.解析：如图所示，∵BC ＝2BD ， ∴D 是BC 的中点． ∴AD ＝12(AB ＋AC )．∵CA ＝3CE ，∴BE ＝BA ＋AE ＝－AB ＋23AC .∴AD ·BE ＝12(AB ＋AC )·⎝⎛⎭⎫－AB ＋23 AC＝12⎝⎛⎭⎫－AB 2－13 AB ·AC ＋23 AC 2 ＝12⎝⎛⎭⎫－1－13×1×1×cos 60°＋23×1 ＝－14.答案：－14二、解答题6．已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°；(4)a 与b 的夹角为150°时．分别求a 与b 的数量积．解：令a 与b 的夹角为θ.(1)因为a ∥b ，则当a 与b 同向时，θ＝0°， a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝20； 当a 与b 反向时，θ＝180°， a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当θ＝60°时，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝4×5×12＝10.7．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角为θ； (2)求|a ＋b |.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1，∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22.∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22，又θ∈[0，π]， ∴θ＝π4.故a 与b 的夹角为π4.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝102. 8．已知|a |＝5，|b |＝12，当且仅当m 为何值时，向量a ＋m b 与a －m b 互相垂直？ 解：若向量a ＋m b 与a －m b 互相垂直， 则有(a ＋m b )·(a －m b )＝0. ∴a 2－m 2b 2＝0.∵|a |＝5，|b |＝12，∴a 2＝25，b 2＝144.∴25－144m 2＝0.∴m ＝±512.∴当且仅当m ＝±512时，向量a ＋m b 与a －m b 互相垂直．第2课时 平面向量数量积的坐标表示已知两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．问题1：你认为a ·b ＝(x 1x 2，y 1y 2)对吗？为什么？提示：不对．因为两个向量的数量积a ·b 是一个实数，而不是一个向量． 问题2：如何用坐标表示a ·b 呢？ 提示：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.平面向量数量积的坐标表示若两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.由前面的学习，我们知道，|a |＝a ·a ；cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为非零向量a ，b 的夹角)；a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(其中a ，b 为非零向量)问题1：你能用坐标求|a |，cos θ的值吗？ 提示：能．问题2：你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？ 提示：能．1．向量的模若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2. 2．向量的夹角设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.3．两向量垂直的条件两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0.反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，该公式可简记为：“对应相乘来求和．”2．两个向量垂直的等价条件是它们的相应坐标乘积的和为0.公式x1x2＋y1y2＝0是判定两个非零向量垂直的非常好用的条件．[例1](1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，求a·b和a·(a－b)．(2)若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝4，求x的值．[思路点拨]直接利用平面向量数量积的坐标表示求解即可．[精解详析](1)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(2)∵a·b＝(2，－3)·(x,2x)＝2x－6x＝4，∴x＝－1.[一点通]进行平面向量数量积的运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．a＝(1,3)，b＝(－2，－1)，则(3a＋2b)·(2a＋5b)的值为________．解析：∵a＝(1,3)，b＝(－2，－1)，∴3a ＋2b ＝(3,9)＋(－4，－2)＝(－1,7)， 2a ＋5b ＝(2,6)＋(－10，－5)＝(－8,1)，∴(3a ＋2b )·(2a ＋5b )＝(－1,7)·(－8,1)＝8＋7＝15. 答案：152．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1,2)，若x ·a ＝9，x ·b ＝－4，则向量x 的坐标为__________．解析：设x ＝(t ，s )，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ·a ＝9，x ·b ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧3t －s ＝9，t ＋2s ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，s ＝－3.∴x ＝(2，－3)．答案：(2，－3)3．已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b . 解：(1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.[例2] 已知A (16,12)、B (－5,15)，O 为坐标原点，求∠OAB 的大小．[思路点拨] 求∠OAB 的大小转化为求向量AO 与AB 的夹角的大小，所以需要求AO 与AB 二者的坐标，进而求得模的大小和数量积，代入夹角公式求解即可．[精解详析] 由已知得到：AO ＝－OA ＝－(16,12)＝(－16，－12)，AB ＝OB －OA ＝(－5,15)－(16,12)＝(－21,3)，∴|AO |＝(－16)2＋(－12)2＝20， |AB |＝(－21)2＋32＝152，AO ·AB ＝(－16，－12)·(－21,3)＝(－16)×(－21)＋(－12)×3＝300，cos ∠OAB ＝AO ·AB | AO ||AB |＝30020×152＝22，∵0°≤∠OAB ≤180°，∴∠OAB ＝45°.[一点通] 根据向量的坐标表示求a 与b 的夹角时，需要先求出a ·b 及|a ||b |，再由夹角的余弦值确定θ.其中，当a ·b >0时，a 与b 的夹角θ∈[0，π2)；当a ·b <0时，a 与b 的夹角θ∈(π2，π]；当a ·b ＝0，a 与b 的夹角为直角．4．已知a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为________． 解析：a ·b ＝－15，|a |＝3，|b |＝52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－153×52＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案：3π45．已知a ＝(－2,2)，b ＝(1，y )，若a 与b 的夹角α为钝角，求y 的取值范围． 解：由a ·b <0得－2×1＋2y <0，∴y <1，又设a ＝λb ，λ<0，则(－2,2)＝λ(1，y )＝(λ，λy )， ∴λ＝－2且λy ＝2，∴y ＝－1， ∴y ∈(－∞，－1)∪(－1,1).[例3] 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度． [思路点拨] (1)求出AB ，AD 的坐标，计算得到二者数量积为0即可；(2)由(1)知四边形ABCD 为矩形，只需AB ＝DC ，利用相等向量坐标对应相等建立方程求出点C 的坐标，最后利用长度公式求对角线长度．[精解详析] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB ＝(1,1)，AD ＝(－3,3)． 则AB ·AD ＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB ⊥AD ，即AB ⊥AD .(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝DC . 设C 点的坐标为(x ，y )，则DC ＝(x ＋1，y －4)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴C 点的坐标为(0,5)．∵BD ＝(－4,2)，∴|BD |＝25， 即矩形ABCD 的对角线的长度为2 5. [一点通](1)向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法． (2)已知向量垂直求参数问题，即由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可．6．已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与－b 垂直，则λ的值为________． 解析：a ＋λb ＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)， －b ＝(－2,1)．∵(a ＋λb )⊥(－b )，∴－2(3＋2λ)＋(4－λ)＝0. ∴λ＝－25.答案：－257．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)， 故|a |＝ 2. 答案： 28．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.解：(1)证明：AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．∵AB ·AC ＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0， ∴AB ⊥AC .(2)设D 点的坐标为(x ，y )，则AD ＝(x －2，y －4)，BC ＝(5,5)，∵AD ⊥BC ，∴AD ·BC ＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.① 又BD ＝(x ＋1，y ＋2)，而BD 与BC 共线，∴5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0.② 联立①②，解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52，∴AD ＝⎝⎛⎭⎫72－2，52－4＝⎝⎛⎭⎫32，－32. (3)cos θ＝BA ·BC | BA ||BC |＝3×5＋6×532＋62·52＋52＝31010.1．两向量平行、垂直的坐标表示的区别(1)已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；向量a 与b 平行⇔存在λ∈R ，使b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．2．向量的坐标运算的应用利用向量的坐标运算有助于解决平面几何中的长度问题、角度大小以及直线的平行与垂直等位置关系的判断．其求解过程就是首先将平面图形放置到坐标系中，正确地写出有关点的坐标，然后利用向量的模长公式、夹角公式以及向量共线、垂直的条件进行求解，实现数与形的结合．课下能力提升(二十一)一、填空题1．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：∵b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)， ∴b ＋c ＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a ＝(2,3)，∴a ·(b ＋c )＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6 ＝－6＋18＝12. 答案：122．已知a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则|3a －2b |＝________. 解析：a ＝(2,4)，b ＝(1,3)， 则3a －2b ＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)． ∴|3a －2b |＝42＋62＝52＝213. 答案：2133．已知O 是坐标原点，A ，B 是坐标平面上的两点，且向量OA ＝(－1,2)，OB ＝(3，m )．若△AOB 是直角三角形，则m ＝________.解析：在Rt △AOB 中，AB ＝(4，m －2)， 若∠OAB 为直角时，OA ·AB ＝0，可得m ＝4； 若∠AOB 为直角时，OA ·OB ＝0，可得m ＝32； 若∠OBA 为直角时，无解． 答案：32或44．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________． 解析：由a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)得2a ＋b ＝(3,3)， a －b ＝(0,3)，设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ， 则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b |·|a －b |＝932·3＝22.∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.答案：π45．设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，则实数t 的值为________． 解析：a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)， (a ＋t b )·b ＝(4＋2t )×2＋(t －3)×1＝5t ＋5. |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20. 由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos 45°， 得5t ＋5＝522·(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0.∴t ＝－3或t ＝1，经检验t ＝－3不合题意，舍去，∴t ＝1. 答案：1 二、解答题6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值： (1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝5.解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)， ∴(1)m ⊥n ⇒(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0⇒λ＝529；(2)m ∥n ⇒(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0⇒λ＝－12；(3)|m |＝5⇒(4＋λ)2＋(3－2λ)2＝5⇒5λ2－4λ＝0 ⇒λ＝0或45.7．已知m ＝(1,1)，向量n 与m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1，求向量n .解：设n ＝(x ，y )．由m ·n ＝－1得x ＋y ＝－1.(1) 因为向量n 与m 的夹角为3π4，有m ·n ＝|m ||n |cos3π4＝－1， 所以|n |＝1，即x 2＋y 2＝1.(2)由(1)(2)得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1， 所以n ＝(－1,0)，或n ＝(0，－1)．8．已知OP ＝(2,1)，OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA ·CB 取得最小值时的OC ； (2)对于(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB . 解：(1)因为点C 是直线OP 上一点，所以向量OC 与OP 共线，设OC ＝t OP ，则OC ＝(2t ，t )．CA ＝OA －OC ＝(1－2t,7－t )， CB ＝OB －OC ＝(5－2t,1－t )． CA ·CB ＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.当t ＝2时，CA ·CB 取得最小值，此时OC ＝(4,2)．(2)当OC＝(4,2)时，CA＝(－3,5)，CB＝(1，－1)，所以|CA|＝34，|CB|＝2，CA·CB＝－8.所以cos∠ACB＝CA·CB| CA||CB|＝－41717.。
向量的数量积（1）学习目标：1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握向量的数量积的重要性质，并运用性质解决有关问题；3．掌握向量数量积的运算律及其应用。
学习过程：活动一、阅读课本第83页至84页内容，掌握向量的数量积的概念1．向量的夹角：已知两个非零向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=（ ）叫做向量a 与b 的夹角。
a 与b 同向，=θ ； a 与b 反向，=θ ； a 与b 垂直，=θ ，记作a ⊥b ．注：共起点2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个 ，它的大小与 及有关；②规定，零向量与任一向量的数量积是0．性质：①当a 与b 同向时，a b ⋅= ；特别地：22||a a =或2||a a =②当a 与b 反向时，a b ⋅= ；A a b③当a b ⊥时，a b ⋅= ；3设向量c b a ,,和实数λ，则向量的数量积满足的运算律：（1）b a ⋅=（2）()=⋅b a λ = =（3）()=⋅+c b a活动二、平面向量数量积的简单应用例1：已知向量a 与向量b 的夹角为θ，2,3a b ==，分别在下列条件下求a b ：（1）0135θ= （2）a b a ⊥b 2,4a b ==a b 120()(2)2a b a b +•-a +2活动三、课堂小结1 向量夹角；2．向量数量积的概念；3．向量数量积的性质；4 向量数量积的运算律。
活动四、课堂反馈1已知5a =，2b =，5a b ⋅=，则a ，b 的夹角为_______2已知1a =，2b =，若a ，b 的夹角为 60（1）2()a b +=_______ 2 a b -=___________3已知c b a ,,是三个非零向量，下列说法正确的是(1) 若b a =⋅a ∥b (2) 若c b c a ⋅=⋅，则b a = (3) 若b a b a -=+，则a ⊥b(4) a b a b ≤464==，a 与b 的夹角为 60，求：（1）b a ⋅；（2）()b a a +⋅；（3）()()b a b a 32+⋅-。
2.4向量的数量积第1课时数量积的定义1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1向量的数量积阅读教材P83的有关内容，完成下列问题．已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.已知|a|＝3，|b|＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.【解析】(1)若a∥b，则a与b的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18.(2)a·b ＝|a||b |cos 60°＝3×6×12＝182＝9. (3)a·b ＝|a||b |cos 90°＝3×6×0＝0. 【答案】 (1)18 (2)9 (3)0 教材整理2 两个向量的夹角阅读教材P 83的有关内容，完成下列问题．1．定义：已知两个非零向量a ，b ，如图2-4-1所示．作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称为向量a 与b 的夹角．图2-4-12．范围：0°≤θ≤180°.3．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向． 4．当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .试指出图2-4-2中向量的夹角， 图①中向量OA →与OB →的夹角________； 图②中向量OA →与OB →的夹角________； 图③中向量OA →与OB →的夹角________； 图④中向量OA →与OB →的夹角________．图2-4-2【答案】 θ 0° 180° θ教材整理3 向量的数量积的运算律及性质 阅读教材P 84及P 85链接完成下列问题．1．向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．数量积的性质：(1)a·a＝|a|2或|a|＝a2；(2)|a·b|≤|a||b|；(3)a⊥b⇒a·b＝0.3．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b 与a上的投影为________．【解析】a在b上的投影为|a|cos 45°＝3×22＝322；b在a上的投影为|b|cos 45°＝5×22＝522.【答案】322522[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)a·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)． 【自主解答】 (1)a·b ＝|a||b |cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3.(2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5. (3)(2a －b )(a ＋3b )＝2a 2＋5a·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a||b |cos 120°－3|b |2 ＝8－15－27 ＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.要特别注意书写时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．[再练一题]1．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →； (3)BC →·AC →.【解】 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.已知向量OA ＝a ，OB ＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4.求|a ＋b |，|a－b |，|3a ＋b |.【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a |＝a·a 转化为数量积的运算求解．【自主解答】 ∵a·b ＝|a|·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋16＋16＝43， |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2 ＝16－16＋16＝4，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝9×16＋48＋16＝413.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．[再练一题]2．已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________. 【解析】 因为|2a ＋b |＝10， 所以(2a ＋b )2＝10，所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，所以4|a |2＋4|a ||b |cos 45°＋|b |2＝10，故4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)，故|b |＝ 2. 【答案】2已知a a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．【精彩点拨】 解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a ，b 之间的关系，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求得夹角．【自主解答】 由已知，得(a ＋3b )·(7a －5b )＝0， 即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0， 即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，② ①②两式相减，得2a ·b ＝b 2， ∴a ·b ＝12b 2，代入①②中任一式，得a 2＝b 2， 设a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b|2＝12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.1．求向量a ，b 夹角的流程图：求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b |a ||b |→结合θ∈[0，π]，求解θ2．若两非零向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a·b ≠|a||b |；两非零向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a·b ≠－|a||b |.[再练一题]3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角θ.【解】 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12. ∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2 ＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－32×13×3＝－12. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.[探究共研型]探究1 a 在b 上的投影． 【提示】 a 在b 上的投影为|a |cos θ， 又cos θ＝a·b |a||b |，∴|a |cos θ＝a·b |b |.探究2 数量积a·b ＝|a||b |cos θ的几何意义是什么？【提示】 数量积a·b 等于a 的模与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积，或等于b 的模与a 在b 方向上的投影|a |cos θ的乘积．已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a 与b 的夹角θ.【导学号：06460060】【精彩点拨】 分别列出a 在b 方向上的投影和b 在a 方向上的投影，解方程组便可．【自主解答】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a·b|b |＝－3，a·b |a |＝－32，a·b ＝－9，∴|a |＝6，|b |＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－96×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.1．投影是个数量，可正、可负、可为零．2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a 在b 上的投影为|a |cos θ＝a·b|b |；b 在a 上的投影为|b |cos θ＝a·b|a |.[再练一题]4．在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影； (3)AB →在BC →方向上的投影．【解】 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3， ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°，∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16； (2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.[构建·体系]1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝________. 【解析】 m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.【答案】 －12 22．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________． 【解析】 |a |cos θ＝a ·b |b |＝125. 【答案】 1253．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝______. 【解析】 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0， ∴λ＝±35.【答案】 ±354．下面给出的关系式中正确的有________． ①0·a ＝0； ②a·b ＝b·a ； ③a 2＝|a |2； ④a·b ≤|a||b |； ⑤(a·b )2＝a 2·b 2.【解析】 ①②③正确；④|a|·|b |≥a·b ，⑤(a·b )2＝a 2·b 2·cos 2θ. 【答案】 ①②③④5．已知|a |＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |. 【导学号：06460061】【解】 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1， ∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22， ∴cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，又θ∈[0，π]， ∴θ＝π4，故a 与b 的夹角为π4.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b＋b 2＝102.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二十一) 数量积的定义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．e 1，e 2是两个平行的单位向量，则e 1·e 2＝________.【解析】 ∵e 1∥e 2，∴e 1，e 2的夹角为0°或180°，∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝±1.【答案】 ±12．已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为________．【解析】 ∵|a |＝8，|b |＝4，b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝4×cos 120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 【答案】 －23．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角θ为120°，则a·a ＋a·b ＝________.【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，∴a·b ＝|a||b |cos 120°＝－12.又a·a ＝|a |2＝1，∴a·a ＋a·b ＝1－12＝12.【答案】 124．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．【解析】 ∵|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，∴|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2，∴△ABC 为直角三角形．又cos ∠ABC ＝513，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－∠ABC )＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513 ＝－25.【答案】 －255．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.【答案】 66．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝________.【解析】 ∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，∴⎩⎨⎧(a ＋b )2＝10， ①(a －b )2＝6， ② ①－②得a·b ＝1.【答案】 17．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为________．【导学号：06460062】【解析】 ∵|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，∴a·b ＝2×1×cos 60°＝1，∴|a －4b |＝(a －4b )2 ＝a 2＋16b 2－8a·b ＝4＋16－8＝2 3.【答案】2 38．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，则实数λ＝________.【解析】由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答题9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为a·(a＋b)|a＋b|＝1013＝101313.10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角？【解】∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.[能力提升]1．(2016·镇江高一检测)定义：|a ×b |＝|a|·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，则|a ×b |等于________．【解析】 由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，∴|a ×b |＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×45＝8.【答案】 82．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0，∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12，∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.【答案】 120°3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设|AB →|＝x (x ＞0)，则AB →·AD →＝12x ，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12.【答案】 124．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |＞1(k ∈R )，求k 的取值范围．【解】 (1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1且a ，b ，c 之间的夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a ||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c .(2)∵|k a ＋b ＋c |＞1，∴(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )＞1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c ＞1.∵a·c ＝a·b ＝b·c ＝cos 120°＝－12，∴k 2－2k ＞0，解得k ＜0或k ＞2.即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.。
