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离散数学第一章命题逻辑PPT课件

离散数学第一章命题逻辑PPT课件

P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
14
1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
11/20/2020
chapter1
4
1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
11/20/2020
chapter1
6
1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
11/20/2020
chapter1
7
1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这

离散数学命题逻辑推理理论

离散数学命题逻辑推理理论

构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C

离散数学PPT课件

离散数学PPT课件
定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
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例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理

离散数学命题符号化课件 21页PPT文档

离散数学命题符号化课件 21页PPT文档
人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧 。」
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。
偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！ • 大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒 有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
离散数学 第一章 命题逻辑
4
• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
• 我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發 生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。 2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。 3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。 4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。 • 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0

离散数学课件03命题逻辑的推理理论

离散数学课件03命题逻辑的推理理论

③ p
④ q ⑤ q→r
Hale Waihona Puke ②化简②化简 ①③假言推理
⑥ r
⑦ r∨s ⑧ ┐r→s
④⑤假言推理
⑥附加 ⑦置换
例题
例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表 示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。 所以a是无理数。 构造证明： （1）将简单命题符号化： 设 p：a是实数。 r：a是无理数。 （2）形式结构： 前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s 结论：r q：a是有理数。 s：a能表示成分数。
若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵 式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。
2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推 理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
–推理的形式结构 –自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P


本章小结
习题

作业
3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
(┐q∨p) ∨ q 1
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) (2) (A∧B) A (3) (A→B)∧A B (4) (A→B)∧┐B ┐A 附加律 化简律 假言推理 拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C) (7) (AB) ∧ (BC) (A C)

《离散数学》命题逻辑

《离散数学》命题逻辑
由原子命题组合而成的命题称为复合 命题（compound proposition）。
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件

离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件

解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：

离散数学课件 第一章

离散数学课件 第一章
离 散 数 学
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)

离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论

离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式

1.7推理理论(离散数学)PPT

1.7推理理论(离散数学)PPT

例2. 构造下列推理的证明
前提：p∨q, p→ r, s→t, s→r, t
结论：qБайду номын сангаас
①s→t
前提引入
② t
前提引入
③ s
①②拒取式
④ s→r
前提引入
⑤r
③④假言推理
⑥p→ r
前提引入
⑦ p
⑤⑥拒取式
⑧p∨q
前提引入
⑨q
⑦⑧析取三段论
例3. 构造下列推理的论证
前提：p→q, r→ q, r∨s, s→ q
称(A1∧A2∧…∧Ak)→B 为由前提A1,A2,…,Ak推结论 B 的推理的形式结构.
说明：
同用“A B”表示“AB”是重言式类似,用 “AB”表示“AB”是重言式.因而,若由前提 A1,A2,···,Ak推结论B的推理正确,也记
(A1∧A2∧…∧Ak)B.
于是,判断推理是否正确的方法就是判断重言蕴涵 式的方法.比如真值表法,等值演算法,主析取范式 法等.
8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D). 构造性二难
推理规则
（1）前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为
后继证明的前提。
（3）置换规则 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都
可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又 一个公式。
①p∨ s
前提引入
②s
附加前提引入
③p
①②析取三段论
④p→ (q→r)
前提引入
⑤q→r
③④假言推理
⑥q
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
四、归谬法
若A1∧A2∧…∧An 是可满足式，则称A1 ,A2,…,An 是相 容的，

离散数学 命题逻辑

离散数学 命题逻辑

(2) S∧R：李平与张明在吃饭.
“∧”与自然语言中“与”“和”的不同之处：
(1)逻辑学中允许两个相互独立无关的，甚至互为否定的
原子命题生成一个新的命题.(如上例的(1)).
(2)自然语言中有时在各种不同意义上使用联结词"与",
"和"，不能一概用 去翻译(如：我与你是兄弟.)
2020/5/11
25
1-2 命题联结词(Logical Connectives)
(4)人固有一死，或重于泰山或轻于鸿毛.（排斥或） (5) ab=0, 即a=0 或 b=0. （可兼或）
由此可见, “P ∨ Q”表示的是“可兼或”.
2020/5/11
28
1-2 命题联结词(Logical Connectives)
注意：当P和Q客观上不能同时发生时，“P或Q” 可以符号化为“P ∨ Q”。
“P与Q”)称为P与Q的合取式，记作P∧Q，符号“∧”
称为合取联结词。当且仅当P和Q同时为真时P∧Q
为真。
联结词“∧”的定义真值表
P
Q
P∧Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
2020/5/11
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1-2 命题联结词(Logical Connectives)
“∧” 属于二元(binary)运算符. 合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真时，
逻辑可分为：1.形式逻辑 2.辩证逻辑
❖辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的
人类思维的形态的。
❖形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，
它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构
方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规

离散数学之1—命题逻辑

离散数学之1—命题逻辑
pq 的逻辑关系：p为 q 的充分条件， 或者：q为 p 的必要条件。 注意：当 p 为假时，pq恒为真。 实例： 如果天气好，我就去游玩。 p → q 如果我得到这本小说，我将读完它。 p → q 如果雪是黑的，那么太阳从西方升起。 p → q
28
蕴涵联结词的实例
我将去旅游，仅当我有时间。 p: 我去旅游 q: 我有时间 p→q p: 不下雨 q: 我骑自行车上班 只要不下雨，我就骑自行车上班 p→q 只有不下雨，我才骑自行车上班。 q→p
说谎者悖论 亚里士多德,古希腊人，是世界
古典形式逻辑
如果这个人说的是假话，既 在中世纪，形式逻辑作为一门独 “我没有说谎”，既他说的是 立的科学得到了发展。 真话，矛盾。
第一篇 数理逻辑
6
数理逻辑创始人
德国哲学家和数学家莱布 尼茨是德国最重要的自然 科学家、数学家、物理学 家和哲学家，一个举世罕 见的科学天才，和牛顿同 为微积分的创建人。 莱布尼茨是现在公认的数 理逻辑创始人，他的目的 是建立一种“表意的符号 语言”，其中把一切思维 推理都化归为计算。实际 上这正是数理逻辑的总纲 领。
29
蕴涵联结词的实例
除非你努力，否则你不能成功。 表示p q的常用词： 除非你努力，你才能成功。 p是q的充分条件 p: 你努力 q: 你成功 q是p的必要条件 p → q 或 q → p 如果（若）p，则q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0
只要p，就q q qp pq 只有q 才p 1因为p所以 1 q 1 0p仅当q0 0 才p 1除非q, 1 1 p 0除非q，否则非 1 1
数理逻辑
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”

离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论

离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论

例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 方法四 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做） P 系统中构造证明 ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。

离散数学第三章 命题逻辑的推理理论

离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
3
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
19
练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取

离散数学1命题逻辑

离散数学1命题逻辑

第1章
例7
例7、将下列命题符号化，并讨论他们的真值。 (1)如果3＋3＝6，则雪是黑色的； (2)只有a(正整数)能被2整除，a才能被4整除； (1)设：p：3＋3＝6，q：雪是黑色的 原语句符号化为：p→q 真值为0 (2)设p：a(正整数)能被2整除，q：a能被4整除 原语句符号化为：q →p 真值为1
离散数学 第一篇数理逻辑
蔡广军
第1章
数理逻辑简介(1)
数理逻辑(Mathematical Logic) 用数学方法(主要是建立符号体系的方法)来 研究推理形式结构和推理规律的数学学科 。 通过引入一套符号体系来研究推理规律的 学科，故又称之为符号逻辑(Symbolic Logic)
第1章
例题5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
第1章
数理逻辑联结词与自然语言联结词
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系 否定——不是、没有、非、不 合取——并且、同时、和、既…又…,不但… 而且…，虽然…但是… 析取——或者、或许、可能 蕴含——若…则…，假如…那么…，既然…那就 倘若…就… 等价——当且仅当、充分必要、相同、一样
要回答这样的问题，实际上就是看由一些 诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推 出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的 结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4)怎么进行推理？
第1章
第一章命题逻辑

北京工业大学《离散数学》课件-四章 推理和证明

北京工业大学《离散数学》课件-四章 推理和证明
：“我要去拉斯维加斯。”
“我将学习离散数学。”
因此？
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化简律
推理规则：
pq
p
相应永真式：（真值表证明）
p q p； p q q
例：设 ：“我将学习离散数学。”
：“我将学习英国文学。”
“我将学习离散数学和英国文学。”
因此？
16
合取律
推理规则：
p
q
pq
相应永真式：（真值表证明）
Mortal Socrates
有效论证： 步骤
1. x Man x Mortal x
理由
前提引入
2. Mam Socrates Mortal Socrates 全称引入，用 1
3. Mam Socrates
前提引入
4. Mortal Socrates
，等式两边同时
平方，得到：
n2 = ( k +
其中
得证！
k2
2
= k2
k2
。
42
例：直接证明“两个有理数之和为有理数”。
证明：假设 和 是有理数，那么存在整数 ， ， ， 使得：
r p / q, s t / u , u 0, q 0
p t pu qt v
rs

q u
qu
w
得证！
43
证明
• 假设
方法(反证法)：
成立，证明 成立。也就是说，需要给出一个
结论: t
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有效论证(2)
3.构造有效论证：
步骤
1. p q
2. p
3. r p
4.
5.

湖南大学离散数学教案命题逻辑课件

湖南大学离散数学教案命题逻辑课件

证明题解析
证明题1解析
考察命题逻辑中的等价关系证明 。证明过程涉及使用等价关系的 定义和性质，通过逐步推导来证 明两个命题之间的等价关系。
证明题2解析
考察推理规则的正确性证明。证 明过程需要利用已知的推理规则 和命题逻辑的基本性质，通过演 绎推理来证明推理规则的正确性 。
证明题3解析
考察复合命题真假性的证明。证 明过程需要分析复合命题内部各 个子命题的真假关系，并利用逻 辑联结词的性质来推导复合命题 的真假性。
04 命题逻辑的证明方法
CHAPTER
直接证明法
直接证明法是通过直接推导，从已知的前提逐步推导出结论的方法。这种 方法要求推理过程必须严谨，每一步推导都要有充分的依据。
在命题逻辑中，直接证明法通常从定义出发，通过逻辑联结词的性质和等 价关系，逐步推导出结论。
直接证明法需要保证推理过程中没有出现逻辑错误，否则会导致证明失败 。
03 命题逻辑的语义
CHAPTER
真值表与真值赋值
总结词
理解真值表和真值赋值的含义和作用
详细描述
真值表是用来表示命题逻辑中命题的真假值的表格，通常由2^n行组成，表示n个命题的所有可能赋 值情况。真值赋值是指将命题的真假值分配给每个命题的方式。通过真值表，可以直观地理解命题逻 辑中的真假关系和逻辑运算的结果。
填空题解析
填空题1解析
考察命题逻辑中的推理规则。答案为“如果p，那么q”，解释 ：根据推理规则，如果已知p是真，那么可以推出q也为真。
填空题2解析
考察逻辑联结词的意义。答案为“当且仅当”，解释：“当且仅 当”表示两个命题之间存在等价关系，即一个命题的真假完全取
决于另一个命题的真假。
填空题3解析

《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论

《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论

判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
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2019-12-2
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7
3。CP规则 结论转作前提规则。 适用于结论为条件式时，把条件式前件 转变成附加的前提后证明出后件的情况。 也就是把 A1，A2，，An BC 转化成证明A1，A2，，An，B C。
2019-12-2
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8
四、推理方法 1。直接法 直接由前提出发利用规则推出
⑹
B
P
⑺ C D
TI ⑸⑹
证毕。
2019-12-2
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12
证明二、采用CP规则证 明
A （B D），A C，B C D
序号 公式
采用规则
⑴ A C
P
⑵C
P（附加）
⑶A
TI⑴⑵
⑷ A （B D） P
2019-12-2
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13
⑸ BD
⑹
B
⑺
D
⑻ CD
证毕。
TI ⑶ ⑷ P TI ⑸⑹ CP⑵⑺
2019-12-2
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14
证明三、反证法。 这时要把结论否定后作为附加前提， 与原有前提一起推出矛盾。因为
( C D )C D， 可以得到C和 D两个附加前提。
2019-12-2
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15
证明 A （B D），A C，B C D
22Βιβλιοθήκη ⑹C引用子句⑺
D
由⑸ ⑹消解
⑻ D
引用子句
⑼
由⑺ ⑻消解
作业：习题一 20（4）（5），21 （2），23（3）
习题1.7 1(4)(5)，2(2), 4(3)
习题1.6 1(4)(5)，2(2), 4(3)
2019-12-2
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23
例1
• 如果今天是星期一，则要进行离散数学或数据 结构两门课程中的一门课的考试；如果数据结 构课的老师生病，则不考数据结构；今天是星 期一，并且数据结构的老师生病。所以今天进 行离散数学的考试。
00001 ?
#YY是(永真式/矛盾式/可满足式) #程序运行时间: 开始: 结束 – 要求命题标示符为单字母, - 表示非 | 表示或 & 表示与 即可
2019-12-2
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29
者是谁？请问:谁是谋害者？怎样推理发现他？
2019-12-2
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26
• 解：设P：会计张某谋害了厂长 Q：邻居王某谋害了厂长 N：谋害发生在半夜。 O：邻居王某的证词是正确的。 R：半夜时屋里灯光灭了。 A：会计张某曾贪污过。
• 上述案情有如下命题公式： （1）P∨Q （2）P→～N （3）O→N （4）～O→～R （5）R∧A
取范式的办法分解成子句集。 2）如果子句 C1和 C2恰有一对互反的句节，则由
消去这对互反句节后的 C1和 C2经析取构成新 的子句，并加入子句集。 3）如果重复2）能导出空子句 ，则得到证明。
2019-12-2
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20
例：利用消解法证明
A （B D），A C，B C D 解：首先由上式得到子句集
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3
第六节 命题逻辑的推理
一、定义1： 设A1，A2，，An，B都是
WFF，如果A1 A2 An B，
就说B是前提A1，A2，，An的有效结 论或逻辑结果。也说由A1，A2，，An 推出了B。
2019-12-2
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4
定义2： 设 G 是一个 WFF的 集合， A1，A2，，An 是一个有限的WFF 序列。如果序列中的每个公式 Ai 要么 是G中的一个元素，要么是它前面的若 干公式的逻辑结果，就说An是G的逻辑 结果，或者说由G可以演绎出An。
序号 公式
采用规则
⑴ AC
P
⑵C
P（附加）
⑶A
TI⑴⑵
⑷ A （B D） P
2019-12-2
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16
⑸ BD
⑹
B
⑺
D
⑻ D
⑼

证毕。
TI ⑶ ⑷ P TI ⑸⑹ P(附加)
2019-12-2
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五、消解法应用于命题逻辑推理
• 消解法是基于反证法的一种机械推理方法。 • 消解是指当子句C1和C2一起恰好含有一对
• 结论是：邻居王某谋害了厂长。
2019-12-2
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实验题1
• 实验项目名称: 一个简单的命题公式语法分析器
• 实验原理:利用关于命题公式的构成原理及所学编程语言C,分析一个输入字符串是否是 一个合适公式
• 实验要求: 每个同学要上交四个文件
– PF_XXX.exe 可执行程序 xxx 表示自己的学号
互反的句节时，消去这对互反句节后，由剩 余句节构成新子句的过程。 例如：由子句 P Q 和 Q R 经消解后得 到新子句 P R。
2019-12-2
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消解法原理
P, P Q Q 更一般性有: P A, P Q A Q
2019-12-2
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19
消解法的应用过程如下： 1）把前提中每个公式以及否定后的结论通过化合
• 解：设P：今天是星期一；
Q：要进行离散数学考试；
R：要进行数据结构考试；
S：数据结构课的老师生病； 则P→QR，S→～R，P∧SQ。
2019-12-2
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• 证: ⑴ P∧S ⑵S ⑶ S→～R ⑷ ～R ⑸P ⑹ P→QR ⑺ QR ⑻Q
2019-12-2
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Ｐ ＴI⑴ Ｐ ＴI⑵⑶ ＴI⑴I Ｐ ＴI⑸⑹I ＴI⑷⑺
离散数学
DISCRETE MATHEMATICS
教师:
二零一三
2019-12-2
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1
上次课重点:
• 重点词 -- 定义
– 极大项\极小项 – 命题公式蕴涵
• 重点掌握
– 主合取范式\主析取范式表达 – 命题公式蕴涵的判别
2019-12-2
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2
本次课重点 • 命题逻辑的推理
2019-12-2
– Readme.txt 说明如何编译原程序,如何运行程序
– PF_source_xxx.zip 原文件
– 实验报告
• 程序运行要求
– PF_XXX YY
(YY 表示输入字符串)
– 如果YY 是合适公式, 请根据当前时间生成一个结果文件,文件内容如下
#学号 姓名
P1 P2 P3 P4 P5 YY
00000 ?
结论的过程 2。间接法 又分两种方式
1） 第一种是反证法，把要证明的结论否 定后加入前提，推出矛盾的过程。
2019-12-2
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9
2）第二种是采用C P规则进行证明。 这种方法常用于结论是条件式的情形， 把条件式前件作为附加前提与原有前 提一起推出后件即可。
• 不同的证明方法有不同的效率，下面 用例子说明。
2019-12-2
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10
例：证明 A （B D），A C，B C D
证明一、采用直接法
序号 公式
采用规则
⑴ A C
P
⑵ CA
TE ⑴
⑶ A （B D） P
2019-12-2
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11
⑷ C （B D） TI⑵⑶
⑸ B （C D） TE ⑷
25
例2
• 一位计算机工作者协助公安员审查一件谋杀案，他认 为下列情况是真的；
• （1）会计张某或邻居王某谋害了厂长。 • （2）如果会计张某谋害了厂长，则谋害不能发生在半
夜。 • （3）如果邻居王某的证词是正确的，则谋害发生在半
夜。 • （4）如果邻居王某的证词不正确，则半夜时屋里灯光
未灭。 • （5）半夜时屋里灯光灭了，且会计张某曾贪污过。 • 计算机工作者用他的数理逻辑知识，很快推断出谋害
2019-12-2
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5
二、推理的公理集合： 前面已介绍的基本蕴含式和由蕴含 性质导出的基本结果，都可以作为 推理的公理集合。
三、推理的规则： 1。P规则 引入前提规则
2019-12-2
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6
2。T 规则 变换规则。分两种情形： • 如果当前结果是由前面公式经过等价变
换得到的，就把这个变换规则记为TE。 • 如果是经过蕴含变换得到的，就记为TI。 • (E = EQUIVALENCY I=IMPLICATION)
2019-12-2
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27
• 问题是需求证：
{P∨Q，P→～N，O→N，～O→～R，R∧A} ？
• 证：① R∧A
P
②R
TI①
③ ～O→～R P
④O
TI②③
⑤ O→N
P
⑥N
TI④⑤
⑦ P→～N
P
⑧ ～P
TI⑥⑦
⑨ P∨Q
P
⑩Q
TI⑧⑨
∴ {P∨Q，P→～N，O→N，～O→～R，R∧A} Q
G={A B D，A C，B ，C，D } • 消解过程如下：
2019-12-2
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21
序号 子 句
说明
⑴ A B D 引用子句
⑵ A C
引用子句
⑶ C B D 由⑴ ⑵消解
⑷B
引用子句
⑸ CD
由⑶ ⑷消解
2019-12-2
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