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振动动力学

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简谐振动的动力学特征.

简谐振动的动力学特征.

v

x

A sin 0t



A0
cos0t



2

a

v

x


A
2 0
cos0t



A
2 0
cos0t




设：x 0t ,
v
0t



2
,
a 0t
则，
v
x


2
,
a
v


2
,
a x
⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其 频率和分振动频率相同。
或者：由简谐 振动的旋转矢量法表示： A1、A2以
频率 0 旋转， A1 、 A2 之间的夹角不变， A1 A2 也 以 0 旋转，平行四边形的形状不变。
27
讨论：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。
15
四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示： x Acos0t
v

A0
cos
m
x 2 x 0 （1）
2
x 2 x 0 （1）
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x


2 0

振动力学基础

振动力学基础

k1 = k2 = 2k0
k0 4k0 ϖ= =ϖ0 ϖ = = 2ϖ 0 m m
例. 质量为m的比重计，放在密度为 ρ 的液体中。已知比 重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向 的运动为简谐振动，并计算周期。 解： 取平衡位置为坐标原点 平衡时： mg 浮力：
−F =0
F
F = ρ Vg
o
2
2
d πρg ω= 2 m
x
x
k的轻弹簧、一 例.如图所示，振动系统由一倔强系数为 如图所示，振动系统由一倔强系数为k 半径为 R、转动惯量为 J的定滑轮和一质量为 m的物体所 半径为R 转动惯量为J 的定滑轮和一质量为m 组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证 物体作简谐振动 . 物体作简谐振动. 解：取位移轴 ox ， 解：取位移轴ox ox， m的平衡位 原点在 原点在m m在平衡位置 置。 置。m 时，设弹簧伸长量 : 为∆l，则有 ，则有:
x1
x2
1 1 1 2 2 2 m1v1 + m2 v2 + kx = c 2 2 2
m1v1 + m2v2 = 0 x = x2 − x1 − l
dv1 dv2 dx m1v1 + m2 v2 + kx =0 dt dt dt
d ( x2 − x1 −l) dv1 dv2 mv +mv +k ( x2 − x1 −l) =0 11 11 dt dt dt dv1 dv2 k − + ( x2 −x1 −l)( v2 −v1) =0 dt dt m v1
o
其中 V 为比重计的排水体积
mg
2 ⎡ ⎤ d x ⎛d ⎞ mg − ⎢V + π ⎜ ⎟ x ⎥ ρ g = m 2 2 d t ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 d x ⎛d ⎞ mg − ρ Vg − ρ gπ ⎜ ⎟ x = m 2 dt ⎝2⎠

机械振动控制中的动力学建模与仿真

机械振动控制中的动力学建模与仿真

机械振动控制中的动力学建模与仿真机械振动控制在许多工程领域中起着重要的作用。

为了实现有效的振动控制，了解动力学建模与仿真的原理和方法是至关重要的。

本文将介绍机械振动控制中的动力学建模与仿真，探讨其在工程实践中的应用。

在机械振动控制中，动力学建模的目的是通过对系统的运动方程进行描述和分析，了解系统的行为和特性。

通常使用拉格朗日方程或牛顿第二定律建立机械系统的动力学模型。

考虑到振动控制的特殊性，常常采用差分方程或微分方程进行数值求解。

在动力学建模过程中，需要考虑系统的结构和参数，例如质量、刚度、阻尼等。

此外，还需要考虑驱动力和控制力的作用。

动力学建模的过程需要一定的数学基础和物理常识。

借助现代计算机技术，可以使用各种仿真工具来实现动力学建模与仿真。

MATLAB等软件平台提供了丰富的数学工具和仿真环境，可以方便地进行动力学建模和仿真实验。

通过模拟系统的运动过程，可以分析系统的响应和稳定性，设计合适的振动控制算法。

在机械振动控制中，振动抑制是一个重要的应用。

振动抑制的目标是通过控制系统的参数或应用适当的力来减小或消除系统的振动。

传统的振动抑制方法包括被动、主动和半主动控制。

被动控制通过添加质量、阻尼或弹簧等元件来改变系统的特性，降低振动的影响。

主动控制利用传感器监测系统的振动状态，并根据反馈信息控制力来抑制振动。

半主动控制是被动和主动控制的结合，通过改变系统的阻尼特性来实现振动控制。

动力学建模与仿真在振动抑制中发挥了重要的作用。

通过建立系统的动力学模型，可以预测系统的振动特性和响应。

仿真实验可以帮助工程师评估不同振动控制算法的性能，并优化控制策略。

此外，动力学建模与仿真还可以用来提高系统的设计效率和减少成本。

通过在虚拟环境中进行仿真实验，可以避免在实际系统上进行试验过程中可能出现的问题和风险。

总之，机械振动控制中的动力学建模与仿真是一门重要的学科，它对于实现有效的振动控制具有重要意义。

通过建立系统的动力学模型和进行仿真实验，可以深入了解系统的特性和行为，设计合适的振动控制算法。

简谐振动与谐振子的动力学特性

简谐振动与谐振子的动力学特性

简谐振动与谐振子的动力学特性简谐振动是一种物理现象，描述了一个物体在没有外力作用下，以相对平衡位置为中心，围绕着这个平衡位置做往复运动的情况。

谐振子是指能够进行简谐振动的物体或系统。

简谐振动的动力学特性有很多值得探讨和讨论的方面，其中包括振动的周期、频率、振幅和相位。

首先，简谐振动的周期是指一个完整的振动往复运动所需要的时间。

对于一个谐振子来说，其周期由振子的质量和弹簧的劲度系数决定。

根据牛顿第二定律和胡克定律，可以通过以下公式计算谐振子的周期：T = 2π√(m/k)其中，T表示周期，m表示质量，k表示弹簧的劲度系数。

从公式可以看出，质量越大，周期越长；劲度系数越大，周期越短。

其次，简谐振动的频率与周期有着密切的关系。

频率是指单位时间内振动的次数，用赫兹（Hz）来表示。

频率可以通过周期的倒数来计算，即f = 1/T。

从公式可以看出，频率是周期的倒数，所以周期越短，频率越高。

振幅是指简谐振动的最大位移，即物体运动离开平衡位置的最大距离。

对于谐振子来说，振幅是通过外力施加的能量来决定的。

振幅越大，说明被施加在谐振子上的力越大，振动幅度也就越大。

最后，相位是指简谐振动的起始位置。

相位可以通过计算振动的位移与时间的关系来确定。

相位是一个角度或相对于某一点的偏移量。

相位的变化可以告诉我们在一个振动周期内，振动物体的位置变化情况。

除了上述动力学特性，简谐振动的能量也是一个非常重要的方面。

在谐振子运动过程中，弹簧对物体施加的力会不断改变物体的动能和势能。

当物体通过平衡位置时，动能最大，而当物体离开平衡位置最远时，势能最大。

这种动能和势能的不断转换使得谐振子的能量保持不变。

简谐振动是自然界中广泛存在的一种运动形式，许多物理学原理和现象都与谐振相关。

例如，在机械系统中，钟摆和弹簧振子都是简谐振动的典型例子。

在电磁系统中，射频电路和天线振动也可以用简谐振动的概念来描述。

总之，简谐振动是一种极为重要和普遍的物理现象。

简谐振动的动力学特征

简谐振动的动力学特征

= A [cosω0t cosα1 sinω0t sinα1] + A2 [cosω0t cosα2 sinω0t sinα2 ] 1 = ( A cosα1 + A2 cosα2 ) cosω0t ( A sinα1 + A2 sinα2 ) sinω0t 1 1
令:
Acosα = A cosα1 + A2 cosα2 1 Asinα = A sinα1 + A2 sinα2 1
x = cos(ω0t +α)
2 2 & x a = v = && = Aω0 cos(ω0t +α ) = Aω0 cos(ω0t +α +π ) π 设: φx = ω0t +α , φv = ω0t +α + , φa = ω0t +α +π 2 π π 则, φv φx = , φa φv = , φa φx = π
x = Acos(ω0t +α)
1 2 2 1 2 1 Ek = kA sin (ω0t +α ), Ep = kx = kAcos2 (ω0t +α ) 2 2 2
弹簧振子的总能为: 故,弹簧振子的总能为:E = E
k
+ Ep
由此可见:动能和势能互相转化. 由此可见:动能和势能互相转化.
22
2 例 若单摆的振幅为 θ0 ,试证明悬线所受的最大拉力等于 mg(1+θ0 )
23
24
§9-4 简谐振动的合成 一,同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动: 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动:
x1 = A cos(ω0t +α1 ) 1

振动学基础-大学物理

振动学基础-大学物理

2
A cos (t
)
7
8
特征量：
x 位移
A 振幅
广义：振动的物理量 最大位移 由初始条件决定 表征了系统的能量
9
x Acos t
圆频率 角频率
频率
2π
T 周期 T 1
系统的周期性 固有的性质 称固有频率…
t 相位 位相
初相位
初位相
取决于时间零点的选择
10
小结
S. H. V. 的判据
= /4 = /2 = 3/4
P··Q
= = 5/4 = 3/2 = 7/4
（-3/4） （-/2） （-/4）
35
§3 平面简谐波 一 机械波产生的条件 1 机械波的基本概念
一、波的产生 二、横波和纵波 三、波长 波的周期和频率 波速
36
一、机械波的产生 1、机械波——机械振动在弹性介质（固体、液 体和气体）内的传播
45
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
0
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
如果波沿x轴负方向传播,则相应的波动方程为:
yP (t)
A c os
t
x u
0
利用关系式 2 T 和 2 ，并uT概括波的两种可能的
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直 向下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
12
船的位移为y 时船所受合力为：
f (h y)Sg mg ySg
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
Sg
m
因 m Sh,

简谐振动方程

简谐振动方程
简谐振动的方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )

第十三章(振动一讲)

第十三章(振动一讲)
演示
T
t( s)
( 2)相轨迹 ( 相图) x v图线. x A cos(0t )
v A0 sin(0 t ) 2 v 2 2 得: x 2 A
由
v x o
11
0
四、简谐振振动的矢量表示法 vm 0 A 如图:振幅矢量 A 以圆频 v0 率 0 绕平衡点 o 逆时针 A( t ) 方向转动 . 2 an A0 A( t 0) A在x轴上的投影点运动, 0t 0 表示一特定的简谐振动.
0 t 0 t t 0 初相位
8
注意：相位是相对的； 同相、反相； 超前、落后。
例如,二同频率不同振幅的谐振动:
x1 A1 cos(0t 1 ) x2 A2 cos(0t 2 )
t时刻的相位差:
相位
1 0t 1
2 0t 2
t时刻 :
x A cos(0t )
k 0 m
例题1.设一物体沿x轴做简谐振动，振幅为12cm， 周期为2.0s；在t=0时的位移为6.0cm，且这时物 体向x正向运动。试求： (1) 初相位、振动方程; (2) t =0.5s时物体的位置、速度和加速度； (3) 在 x=-6.0cm处，且向x负向运动时，物体的速 度和加速度，以及它从这个位置到达平衡位置所 用的时间。 [解] A 0.12m , 0 2 T 5或 据题意设物体的运动方程为 A 3 A 2 x 0.12 cos( t ) 0 x 则t 0时刻 : 0.06 0.12cos 3 A 14 而v 0.12 sin 0, 故 3 0
(3) 在x=-6.0cm处，且向x负向运动时，有 0.06 0.12cos( t 3)

简谐振动的动力学特征

简谐振动的动力学特征
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第九章 振 动
2 简谐振动 定义：物体在线性回复力 或力矩 或力矩)作用下围绕平衡位 定义：物体在线性回复力(或力矩 作用下围绕平衡位 置的运动叫简谐振动. 置的运动叫简谐振动 简谐运动 最简单、最基本的振动 最简单、 合成 简谐运动 分解 复杂振动
谐振子 作简谐运动的物体
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第九章 振 动 [例题 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平 例题1] 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力， 例题 衡位置附近的振动是简谐振动. 衡位置附近的振动是简谐振动 [解] 根据牛顿第二定律得 解
d2 x m 2 = − k ( x + l ) + mg d t
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第九章 振 动 2. 单摆 由牛顿第二定律分析
O′
θ
如图，铅直面内不计空气 如图， 阻力,绳不可伸长 绳不可伸长. 阻力 绳不可伸长
Ft = − mg sin θ
θ 很小时 (θ < 5o ),sinθ ≈θ
Ft = −mgθ
——称回复力 称回复力. 称回复力 O
d 2 ( lθ ) = − mg θ 由牛顿第二定律得 m 2 dt
m
µ=0
O
x A
F v
x -A F
振动的成因 v
a 回复力 b 惯性
F=0 x=0
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第九章 振 动 分析弹簧振子的运动： 分析弹簧振子的运动： 物体只受弹力作用 由牛顿第二定律有
Fx = − kx
d2 x m 2 = − kx dt
d2 x k + x=0 2 m dt
k为弹簧劲度系数 为弹簧劲度系数

机械动力学之振动的基本理论(ppt 37页)

机械动力学之振动的基本理论(ppt 37页)

1
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振动理论与应用
引言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 相类似：
• 选择合适的广义坐标； • 分析运动； • 分析受力； • 选择合适的动力学定理； • 建立运动微分方程； • 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
Theory of Vibration with Applications
Theoretical Mechanics
Theory of Vibration with Applications
目录
5
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• 第1章 振动的基本理论
• 1.1 振动系统
Theory of Vibration with Applications
6
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• 1.1 振动系统
振动系统一般可分为连续系统或离散系统。
Theory of Vibration with Applications
8
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• 1.1 振动系统
振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分：
• 线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的
振动。
m y ky0
m e q keq＝ F 0si n t)(
• 非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将 得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称
2
可得到加速度与位移有如下关系
x 2x
重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是 与位移相反，始终指向平衡位置。
Theory of Vibration with Applications
15
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• 1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示
2. 用旋转矢量表示简谐振动

振动力学基础

振动力学基础

v0 0
5 或 3
因此，所求振动式为 4
4
x
2l0 cos(
g t 3 )
2l0 4
即新g的/(平2l0衡) 位置在原来木板平衡位置下x方l0处A
x0=－l0
cos(
t


)
[例4-3]如图所示，质量为m的木板水平置于轻弹簧上端，轻
弹簧下端固定于地面。开始时木板静止，弹簧被压缩了l0； 在木板上方高h= l0处自由落下一与木板质量相同的泥块，与 木板作完全非弹性碰撞。求： (1)碰撞后木板的运动方程；
9
2
相位: (t + ) –描述振动状态
初相位 ：
➢ 相位差: =( 2 t + 2 )-(1t + 1)
对两同频率的谐振动 =2 - 1 初相差
➢ 同相和反相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两
振动步调相同,称同相. 当 = (2k+1) , ( k
而应满足
即新的平衡位置在原来木板平衡位置下方l0处
[例4-3]如图所示，质量为m的木板水平置于轻弹簧上端，轻 弹簧下端固定于地面。开始时木板静止，弹簧被压缩了l0； 在木板上方高h= l0处自由落下一与木板质量相同的泥块，与 木板作完全非弹性碰撞。求： (1)碰撞后木板的运动方程； (2)从泥块与木板相碰到它们第一次回到相碰位置所用时间。
由此可知l ，板做d简t 2谐振动dt 2 l
f2
x


m
0
d2x dt 2
f1
周期为
mN1, T
f2
2
mN2 l mg
[例4-3]如图所示，质量为m的木板水平置于轻弹簧上端，轻

简谐振动的动力学方程

简谐振动的动力学方程


1 T
t T
Ek dt
t
1 kA2 4
E P

1 T
t T

E dt P
t

1 kA2 4
(3) 机械能
E

Ek

Ep

1 kA2 2
简谐振动系统 机械能守恒
(3) 机械能
E

Ek

Ep

1 kA2 2
弹簧振子总的机械能和振幅的平方成正比， 这一结论对其它的简谐振动系统也是正确的， 从能量的角度看振幅不仅反映振动的幅度， 还反映振动的强度
k max
2
k min
P max
2
P min
1 KA2 2
o
EE
P
K
x
E
E E
K
P
t
E 1 kA2 sin 2 ( t )
K
2
E 1 kA2 cos2 ( t )
P
2
E
1 kA2 , E
0
k max
2
k min
E
1 kA2 , E
0
P max
2
P min
Ek
O
l
m o
t 时刻细绳与竖直方向
夹角为θ
忽略空气阻力，
小球受力如图.
小球所受合外力矩为

M M M
T
G
选择逆时针方向为正
●
l
T
o mg
M mgl sin
M 0 T
M mgl sin G
M mgl sin
由转动定律 d 2
M J dt 2

振动学知识点总结归纳

振动学知识点总结归纳

振动学知识点总结归纳一、振动学基础知识1.1 振动的基本概念振动是物体在某一平衡位置附近来回作周期性运动的现象。

当物体在平衡位置周围出现微小偏离时，物体受到恢复力的作用，使其朝着平衡位置运动，从而形成振动。

1.2 振动的分类振动可分为自由振动和受迫振动。

自由振动是指物体在没有外力作用下的振动，而受迫振动是指物体受到外力作用下的振动。

1.3 振动的描述振动可以通过振幅、周期、频率等指标进行描述。

振幅是指振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，频率是指单位时间内振动的次数。

1.4 振动的动力学方程物体在振动过程中受到恢复力和阻尼力的作用，可以通过动力学方程进行描述。

动力学方程可以用来描述物体的振动规律，求解物体的振动响应。

二、单自由度系统2.1 单自由度系统的基本模型单自由度系统是指只有一个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的基本模型之一。

单自由度系统的受力分析和振动方程可以通过牛顿定律和动能定理进行推导。

2.2 单自由度系统的自由振动单自由度系统在没有外力作用下的振动是自由振动，它可以通过解振动方程得到振动的时间变化规律。

自由振动的特点是振幅不变，频率固定。

2.3 单自由度系统的受迫振动单自由度系统受到外力作用时会发生受迫振动，外力的作用使得系统产生特定的振动响应。

受迫振动可以通过傅立叶分析和频谱分析进行研究，得到系统的振动响应特性。

2.4 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统在振动过程中会受到阻尼力的作用，阻尼振动是指系统在振动过程中能量不断减少的现象。

阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，频率不变。

2.5 单自由度系统的参数对振动的影响单自由度系统的质量、刚度和阻尼等参数对振动的影响是振动学研究的重要内容。

通过改变系统的参数，可以调控系统的振动特性，实现对系统振动的控制和优化。

三、多自由度系统3.1 多自由度系统的基本概念多自由度系统是指具有多个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的扩展和深化。

大学物理4-1 简谐振动的动力学特征

大学物理4-1 简谐振动的动力学特征
第4章 机械振动
a x
积分常数，根据初始条件确定
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T

取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a

an A
2
x
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
第4章 机械振动
第4章 机械振动
用旋转矢量图画简谐运动的

x
A
0
P
2
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当

t t+ 0时 0
0
A
t=t
A
x0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x0 A cos 0
第4章 机械振动
x A cos( t t t
即
2
① ② ③ ④ ⑤ J d x (m 2 ) 2 kx 0 R dt
2
d x k x0 2 2 dt m I / R
所以，此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动
(2) 振动系统的圆频率
k m J / R2
T 2 2 m J / R2 k

基于有限元方法的振动系统动力学分析

基于有限元方法的振动系统动力学分析

基于有限元方法的振动系统动力学分析振动是物体在外部作用下发生周期性的自由运动，广泛存在于自然界和人工工程中。

对于工程领域来说，振动是一种常见而且重要的现象，需要进行充分研究和掌握。

因为工业领域中的精密机械设备、航空航天器、桥梁、建筑等都要受到振动的影响，因此了解和掌握振动分析成为了一项必要的工作。

在振动分析中，有限元方法是一种重要的数值计算技术，能够用来计算系统在特定工况下的自由振动、强迫振动和动态特性等。

有限元方法的基本思想是将物体整体离散成若干元，然后针对每个元的受力状态对其进行计算。

因为在物理学和工程领域中，大部分振动问题都可以抽象成弹性振动问题，因此有限元方法也用得较为广泛。

下面我们将从振动系统模型建立，有限元方法的原理和实现以及动力学分析等方面进行阐述，以期为工程领域的借鉴提供一定的帮助。

一、振动系统模型建立首先，我们需要理解振动系统的原理和发展规律，然后再将其抽象成一种数学模型。

在工程领域常见的振动系统有机械弹簧阻尼振动系统、电路RLC振动系统等，这里我们以机械弹簧阻尼振动系统为例。

1.1 建立振动系统模型机械弹簧阻尼振动系统的简化模型由三个主要元素组成：质点、弹簧和阻尼器。

其中，质点质量为m，其自由度为x，弹簧的刚度为k，弹簧自由度为u，阻尼器的阻尼系数为c。

将质点与弹簧、阻尼器建立作用关系如下：1. 质点的受力情况：F = m*x''(t) (1)其中，x''(t)表示自由度x对时间t的二阶微分。

2. 弹簧的变形条件：u = x1 - x2 (2)其中，x1、x2为弹簧两端对应的自由度，利用胡克定律可以得到：F = k*u (3)3. 阻尼器的作用：F = -c*x'(t) (4)其中，x'(t)表示自由度x对时间t的一阶微分。

此时，质点、弹簧、阻尼器三者之间的作用力平衡，即有F = m*x''(t) = -k*x(t) - c*x'(t) (5)使用微分方程的方法可以得到质点加速度x''(t)关于时间t的方程，即：m*x''(t) + c*x'(t) + k*x(t) = f(t) (6)其中，f(t)为外界作用力。

振动学基础(复习)

振动学基础(复习)

第十五章振动学基础§15-1简谐振动【基本内容】一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。

kxf-=, k为比例系数。

2、简谐振动的微分方程222=+xdtxdωmk=ω3、简谐振动的判据判据一kxf-=动力学判据判据二运动学判据判据三)cos(φω+=tAx运动方程4、简谐振动实例单摆小角度摆动、复摆、扭摆二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。

)cos(φω+=tAx)cos()sin(2φωωφωω+-=+-=tAatAv2、简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。

角频率：mk=ω周期：ωπ2=T频率：T1=ν振幅A ——表示振动物体离开平衡位置的最大距离。

振幅A 和初相ϕ由初始条件决定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-)(0012202x v tg v x A ωϕω 度ω（1（2（3（4123、谐振动的机械能：2222121ωmA kA E E E p K ==+=弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。

【典型例题】【例15-1】半径为R 的木球静止浮于水面上时，其体积的一半浸于水中，求： （1）木球振动的微分方程；22222)31(dtxd m g R x x R =--ρπ平衡位置时：ρπ33421R m ⋅=，故 0)31(232222=-+Rx x R g dt x d 此即木球的运动微分方程。

当R x <<时，0322→R x02322=+x R gdtx d 木球作简谐振动g R T R g 3222,23πωπω===【例15-2】 弹簧下挂g m 1000=的法码时，弹簧伸长cm 8。

扭摆建立稳定的受迫振动的动力学过程

扭摆建立稳定的受迫振动的动力学过程

扭摆建立稳定的受迫振动的动力学过程扭摆作为一种受迫振动，是指自然频率被外部力瞬时或周期性激励的一种振动现象。

在扭摆的运动过程中，振动系统受到外界作用力，其动能和势能发生交替变化，形成周期性的振动，具有规律性和稳定性。

扭摆的动力学过程可以从以下几个方面进行分析和描述。

首先，扭摆能够建立稳定的受迫振动，与其振幅以及周期有关。

扭摆的振幅是由振动系统的初始位置和振动的外部作用力决定的。

如果外力振幅与系统的频率不相等，振幅会逐渐减小直到停止。

而当外力振幅与系统自然频率相等时，振幅最大，此时受迫振动最稳定。

此时的周期也是外力周期和系统自然周期的比值，可以通过调整外力周期来改变振动周期。

其次，扭摆具有一定的阻尼特性。

振动系统在空气或液体介质中运动时，会受到摩擦力的影响，这会导致振幅逐渐减小，振动能量逐渐耗散。

因此，在扭摆的动力学过程中，要考虑阻尼的影响，根据阻尼强度的不同，振动幅值和周期也会有所变化。

再次，扭摆的受迫振动还与系统固有特性有关。

振动系统的固有周期取决于其结构和质量等特性。

在受迫振动中，当外力与系统固有周期相等时，受迫振动振幅达到最大。

如果外力周期小于系统固有周期，则振幅会随时间逐渐减小。

反之，如果外力周期大于固有周期，则振幅会随时间逐渐增加。

最后，扭摆的动力学过程也与系统的耦合特性有关。

耦合是指多个振动系统间相互作用的情况。

在扭摆中，如果多个扭摆之间发生耦合，其受迫振动的特性将受到影响。

例如，两个扭摆的运动在特定情况下可能会出现同频振荡，即两个扭摆的振幅和周期保持一致。

这时，耦合效应会导致振动能量在两个扭摆之间相互转移，加大了系统的振幅和周期。

总之，扭摆可以建立稳定的受迫振动，其动力学过程受到外部作用力、阻尼、系统固有特性和耦合特性等多重因素的影响。

了解和掌握这些因素，将有助于我们更深入地理解扭摆振动的本质，为实际应用中的控制和优化提供指导意义。

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g = 70 rad/s
st
在初瞬时 t=0，物块位于未变形的梁上，其坐标 x0 = 0 = 2mm ，重物初
速 0 = 0 ，则振幅为 A =
初相角
x02 +
2
0 2
= 2mm
0
= arctan 0 x0 = arctan(
0
最后得系统的自由振动规律为
)= 2
x = 2 cos(70t)mm （式中 t 以s 计）
因此，上述串联弹簧系统的固有频率为
0=
k eq m
=
k1 k 2 m(k1 + k2 )
5． 其他类型的单自由度振动系统
前面我们研究的单自由度振动系统是振体沿直线运动的振动，但在工程
实际中还经常遇到其它类型的自由振动，如摆动系统、扭振系统等等。这些
系统形式上虽然不同，但它们的运动微分方程都具有相同的形式。
可见 0 只与表征系统本身特
性的质量 m 和刚度 k 有关，而
与运动的初始条件无关。它是 振动系统固有的特性，所以称
0 为固有角（圆）频率（一般 也称为固有频率）。固有频率是 振动理论中的重要概念，它反 映了振动系统的动力学特性， 计算系统的固有频率是研究系 统振动问题的重要课题之一。
对上述振动系统，只要知道重 力作用下的静变形，就可求得 系统的固有频率。
将初始化条件代入得：
x0 = Asin
v0 = A 0 cos 或 0 = Acos
0
解方程组得： A = x02 + ( v0 )2
0
tg
=
0 x0 v0
结论： 1） 质量弹簧系统的振动规律为自由谐振动。 2） 自由振动的固有频率反映振动系统的动力学特性，只与系统的固
有参数（ m, k,或 st ）有关，而与运动的初始条件无关。
其运动微分方程为
m
d2 dt
x
2
=
p
k ( st + x)
或：
m
d2 dt
x
2
=
kx
将上式两端除以质量 m ，并设
2 0
=
k m
移项后得
d2x dt 2 +
2 0
x
= 0 ———自由振动微分方程的标准形式
是一个常系数线性二阶齐次微分方程，由数学知识可知其通解为：
x = Asin( 0t + ) ]
可见自由振动是简谐振动，其运动曲线如图 16-3 所示。
许多振动系统可简化为一个质量和一个弹簧的弹簧质量系统，而且往往 又是在重力影响下沿铅垂方向振动，具有一个自由度，可以简化为图 16-2 所示的模型。
设弹簧原长为 l0 ，刚度系数为 k 。 在重力 P = mg 的作用下弹簧的变形为
st ，称为静变形，这一位置为平衡位置。
平衡时重力 P 和弹性力 F 大小相等，即 P = k st ，由此有
点，有
V
=
1 2
k[(x
+
st ) 2
2 st
]
Px
注意到 k st = P ，则
V
=
1 kx2 2
=
1 kA2 2
sin 2 (
0t +
)
当物块处于平衡位置（振动中心）时，其速度达到最大，物块具有最大动
能
Tmax
=
1 2
m
2 0
A
2
当物块处于偏离振动中心的极端位置时，其位移最大，系统具有最大势能
Vmax
二、 重点和难点
重点：单自由度系统的自由振动，自由振动的固有频率和求固有频率的方法。 单自由度受迫振动，受迫振动的幅频曲线、共振现象。 难点：衰减振动和有阻尼的受迫振动。
三、 研究内容
机械振动基础
机械振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：挂在弹簧上的物 体的振动，钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的 振动，以及地震引起的建筑物的振动等。
st = P / k
图 16-2
为研究方便，取重物的平衡位置点
O 为坐标原点，取 x 轴的正向铅直向下，则重物在任意位置 x 处弹簧力 F 在
重力对于振动系统是一常 力。可见，常力加在振动系 统中，只改变其平衡位置， 只要将坐标原点取在平衡位 置，而不影响其运动微分方 程。
2
x 轴上的投影为 FX = k = k( st + x)
（1）摆振系统
设摆杆长为 l ，杆重不计，小球质量为 m ，对轴 O 的转动惯量为 J 。 弹簧刚度系数为 k ，位置如图。建立此系统微小摆动时的运动微分方程。
图 16-7
取杆水平为平衡位置，任一位置的转角为 ，
根据刚体转动微分方程有： J && = kd 2
等式两端除以 J ，并有
2 0
=
kd 2 J
计制成的。有害方面：机加工中，机床的振动会影响加工精度和工件的
表面光洁度，汽车的振动会使人感到不舒适等等。总之振动会影响劳动
条件、引起噪声、消耗能量、降低精度等。
3． 研究振动的目的：为了更好地利用它有利的一面，而消除和减弱它有
害的一面，更好地为人类服务。
4． 振动的分类
1
按振动系统的自由度分类
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
两个弹簧的静伸长分别为
mg
mg
st1 = k1 ， st 2 = k2
两个弹簧总的静伸长
图 16-6
6
若用另一个弹簧常数为 keq 的弹簧来代替原来的两个串联弹簧，则有：
st = mg / keq
比较上面两式得：
1 11 keq = k1 + k2
或
k eq
=
k1 k 2 k1 + k2
表明：当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度 系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。
———等效弹簧刚性系数
表明：当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的 和。这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
因此上述并联系统的固有频率为
0=
k eq m
=
k1 + k2 m
（2）弹簧串联
图示两个刚度系数分别为 k1 ， k2 的弹簧串联系 统。每个弹簧受的力都等于物块的重量 mg ，因此
4
k = mg
st
图 16-4
受力分析：重力 mg ，弹性力 F
选坐标：取其平衡位置为坐标原点，x 轴方向铅直向下，列出运动微分
方程：
m
d2x dt 2
=
mg
k( st + x) =
上式可改写为
d2x dt 2
+
2 0
x
=0
x = Asin( 0t + )
其中固有频率
k 0= m=
表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。
振动时，扭角为 时，轴的扭矩为
M = kt
根据刚体绕定轴转动的微分方程有：
J 0 && = kt
令
2 0
=
kt J0
，代入上式得：
图 16-8
&& + 2 = 0 —— 自由扭转振动的微分方程的标准形式
由此可见，以上两种振动的微分方程形式上和前面振体沿直线振动的微分 方程完全一样，因此其解：
4． 弹簧的并联和串联
（1）弹簧并联
图 16-5 表示两个刚度系数分别为 k1 ， k2 的弹簧的两种并联系统。
5
设物块在重力 mg 作用下作平移，其
静变形为 st ，两个弹簧所受的力分别
为 F1, F2 （可不等）因弹簧变形量相
同，均为 st ，因此，
F1 = k1 st ， F2 = k2 st
自由振动 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动 无阻尼的强迫振动，衰减振动
按振动产生的原因分类 强迫振动 有阻尼的强迫振动
自激振动
本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。
§16-1 单自由度系统的自由振动
1． 自由振动
振动在受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下，在其平衡位置附近所
作的振动称为无阻尼自由振动，简称自由振动。平衡位置 O ，又称振动中
g 0=
st
（2）振幅和初相角
振幅 A ：振体离开平衡位置的最大位移。
相位角 ( 0t + ) ：决定振体在某瞬时 t 的位置，具有角度的量纲。
初相角 ：决定振体运动的起始位置。
A 和 是两个积分常数，由运动的初始条件决定
当 t = 0 时， x = x0 ， = 0
Q x = Asin( 0t + ) v = A 0 cos( 0t + )
= sin( 0t + )
式中 为角振幅， 为初相角，
系统的固有频率： 0 =
kt J0
§16-2 计算固有频率的能量法
在振动问题中，确定系统的固有频率很重要，由前面的讨论可知，如果能 建立起振动的微分方程，则系统的固有频率就不难计算，然而对于比较复杂 的系统建立振动微分方程则往往比较麻烦。因此现在我们介绍另外一种计算 固有频率的方法—能量法。能量法是从机械能守恒定律出发的，对于计算较 复杂系统的固有频率是方便的。
第十六章 机械振动基础
一、 基本要求：
掌握建立各种类型单自由度系统振动（自由振动、阻尼振动、强迫振 动），微分方程的方法及其解的表达式。正确理解弹性力、阻尼力和激振力 的概念，以及各种类型的振动规律。深刻理解自由振动的固有频率、周期、 振幅、初相位的概念。会应用各种方法求固有频率。深刻理解受迫振动的激 振力、共振、幅频曲线和放大系数的概念。了解阻尼对自由振动的影响和消 振及隔振的原理与方法。