结构动力学4对简谐和周期荷载的反应
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结构动力学
第九章结构动力学§9.1概述一、结构动力计算的特点和内容前面各章讨论了结构在静力荷载作用下的计算问题。
它研究的是当结构处于静力平衡位置时，外荷载对结构的影响。
此时，荷载的大小、方向和作用点以及结构产生的内力、位移等均看作是不随时间t变化的。
本章将讨论结构在动力荷载作用下的计算问题。
所谓动力荷载，亦称为干扰力，是指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并且使结构产生不容忽视的惯性力的荷载。
与静力计算所不同的是，结构在动力荷载作用下，其质量具有加速度，计算过程中必须考虑惯性力的作用。
结构的内力和位移是位置和时间ｔ的函数，称为动内力和动位移，统称为结构的动力反应。
在实际工程中，绝大多数荷载都是随着时间变化的。
从工程实用角度来说，为了简化计算，往往将使结构产生的振动很小以至于惯性力可以略去不计的荷载视为静力荷载。
例如当人群缓慢行走在桥梁上时，桥梁不会产生明显的振动，这时人群的自重可以作为静力荷载考虑；当人群跑动通过时，桥梁将产生明显的振动，其上各质量将产生不容忽视的惯性力，因而，人群的自重必须作为动力荷载来考虑。
显然，区分静力荷载和动力荷载，主要是看其对结构产生的影响。
本章内容只将不仅随时间变化而且使结构产生较大动力反应的荷载作为动力荷载来考虑。
随着科学技术的迅速发展，研究动力荷载作用下结构的计算方法具有十分重要的工程意义。
在结构设计中，如何减小机器振动对现代化厂房的影响，如何减小风荷载及地震作用引起的高层建筑的动力反应等，都需要对动力荷载的作用进行深入的研究。
结构的动力反应与结构本身的动力特性和动力荷载的变化规律密切相关。
研究结构的自－192－－193－由振动，得到的结构自振频率、振型和阻尼参数等正是反应结构动力特性的指标。
因此，研究结构的动力计算方法，需要分析结构的自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结构的动力特性，后者进一步计算结构的动力反应。
二、动力荷载的分类根据动力荷载的变化规律及其对结构作用的变化特点，将其分为以下几类：１、简谐性周期荷载 它是按简谐规律随时间连续变化其量值的荷载，可以用正弦或余弦函数表示，也称为简谐荷载，是工程中最常见的动力荷载。
结构动力学3-4
j j
结构动力学
mu cu ku e
H (i j )
1 1 2 k i 1 ( ) [ 2 ( )] j n j n
u (t )
3.8 单自由度体系 对任意荷载的反应
总的稳态反应为:
j
p u (t ) H (i ) p e
Tp
0 Tp
p (t )dt p (t ) cos( j t )dt p (t ) sin( j t )dt n 1 ,2 ,3 , n 1 ,2 ,3 ,
4/71
0 Tp
0
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
当用Fourier级数展开法时，隐含假设周期函数是从-∞开 始 到 +∞ 。 初 始 条 件 (t=-∞) 的 影 响 到 t=0 时 已 完全消 失，仅需计算稳态解，即特解。 对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：
对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得 单自由度体系频域运动方程：
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
(t )e it dt iU ( ) u
(t )e it dt 2U ( ) u
p
1 2
...
τ
dτ du t 1脉 冲 引 起 的 反 应 du
t
du (t ) p ( )d h(t ) , t
2脉 冲 引 起 的 反 应以前所有脉冲作用下反应 的和：
du t τ时 刻 脉 冲 引 起 的 反 应
. . .
单位脉冲及单位脉冲反应函数
p (t ) P( )
结构动力学
mu cu ku e
H (i j )
1 1 2 k i 1 ( ) [ 2 ( )] j n j n
u (t )
3.8 单自由度体系 对任意荷载的反应
总的稳态反应为:
j
p u (t ) H (i ) p e
Tp
0 Tp
p (t )dt p (t ) cos( j t )dt p (t ) sin( j t )dt n 1 ,2 ,3 , n 1 ,2 ,3 ,
4/71
0 Tp
0
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
当用Fourier级数展开法时，隐含假设周期函数是从-∞开 始 到 +∞ 。 初 始 条 件 (t=-∞) 的 影 响 到 t=0 时 已 完全消 失，仅需计算稳态解，即特解。 对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：
对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得 单自由度体系频域运动方程：
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
(t )e it dt iU ( ) u
(t )e it dt 2U ( ) u
p
1 2
...
τ
dτ du t 1脉 冲 引 起 的 反 应 du
t
du (t ) p ( )d h(t ) , t
2脉 冲 引 起 的 反 应以前所有脉冲作用下反应 的和：
du t τ时 刻 脉 冲 引 起 的 反 应
. . .
单位脉冲及单位脉冲反应函数
p (t ) P( )
结构动力学4
2
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
u c (t ) = e
−ζω n t
( A cos ω D t + B sin ω D t )
特解up可以设为如下形式 :
u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt
p0 && & u + 2ζω n u + ω n u = sin ωt m
1 − (ω / ω n ) 2 C = u st [1 − (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2 − 2ζω / ω n D = u st [1 − (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2
运动方程的全解：u(t)=uc+up ：
u(t ) = e
u (t ) = C sin ωt + D cos ωt = u 0 sin(ωt − ϕ )
u0 —稳态振动的振幅 φ —相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
D 2 2 −1 u 0 = C + D , ϕ = tan (− ) C
u 0 = u st 1 [1 − (ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2ζ (ω / ω n )] 2
uc (t ) = A cos ωn t + B sin ωn t
ωn = k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动
&& mu + ku = p 0 sin ωt
特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动 荷载p0sinωt直接引起的振动解。 设特解为：u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
u c (t ) = e
−ζω n t
( A cos ω D t + B sin ω D t )
特解up可以设为如下形式 :
u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt
p0 && & u + 2ζω n u + ω n u = sin ωt m
1 − (ω / ω n ) 2 C = u st [1 − (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2 − 2ζω / ω n D = u st [1 − (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2
运动方程的全解：u(t)=uc+up ：
u(t ) = e
u (t ) = C sin ωt + D cos ωt = u 0 sin(ωt − ϕ )
u0 —稳态振动的振幅 φ —相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
D 2 2 −1 u 0 = C + D , ϕ = tan (− ) C
u 0 = u st 1 [1 − (ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2ζ (ω / ω n )] 2
uc (t ) = A cos ωn t + B sin ωn t
ωn = k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动
&& mu + ku = p 0 sin ωt
特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动 荷载p0sinωt直接引起的振动解。 设特解为：u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt
结构动力学4-2
n =1
N
而 ωn = K n / M n 。
Cn ζn = 2ω n M n
有阻尼体系振型坐标的运动方程可写为如下形式：
pn (t) && & qn qn (t) = , n = 1, 2,L, N Mn
2
上式即为有阻尼单自由度体系在外荷载作用下的标准运 动方程，可以采用在单自由度动力问题反应分析中的 有关方法进行计算。
n
m
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
{u (t )} = ∑ {φ}n qn (t )
n =1
N
运动方程化为N个解耦的关于振型坐标的运动方程：
&& & M n qn (t ) + Cn qn (t ) + Kn qn (t ) = pn (t ) n = 1, 2, L, N
Rdn—相应于n阶自振频率的动力放大系数， 或称振型反应的动力放大系数。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
从以上分析可以看出，对于满足阻尼正交条件的结构体 系,当采用振型叠加法分析时，多自由度体系的动力反 应问题即转化为一系列单自由度体系的反应问题，并 可以考虑初始条件的影响。 此时在单自由度体系分析中采用的各种分析方法都可以 用于计算分析多自由体系的动力反应问题，使问题的 分析得到极大简化，因为求解N个独立的方程比求解一 个N阶联立的方程组要简便得多。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
2、不满足阻尼阵正交条件
采用振型展开：
{u} = ∑{φ}m qm (t )
m =1
L
其中L<N，比如：N＝40000，而L＝30 —100。 结构的运动方程为：
N
而 ωn = K n / M n 。
Cn ζn = 2ω n M n
有阻尼体系振型坐标的运动方程可写为如下形式：
pn (t) && & qn qn (t) = , n = 1, 2,L, N Mn
2
上式即为有阻尼单自由度体系在外荷载作用下的标准运 动方程，可以采用在单自由度动力问题反应分析中的 有关方法进行计算。
n
m
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
{u (t )} = ∑ {φ}n qn (t )
n =1
N
运动方程化为N个解耦的关于振型坐标的运动方程：
&& & M n qn (t ) + Cn qn (t ) + Kn qn (t ) = pn (t ) n = 1, 2, L, N
Rdn—相应于n阶自振频率的动力放大系数， 或称振型反应的动力放大系数。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
从以上分析可以看出，对于满足阻尼正交条件的结构体 系,当采用振型叠加法分析时，多自由度体系的动力反 应问题即转化为一系列单自由度体系的反应问题，并 可以考虑初始条件的影响。 此时在单自由度体系分析中采用的各种分析方法都可以 用于计算分析多自由体系的动力反应问题，使问题的 分析得到极大简化，因为求解N个独立的方程比求解一 个N阶联立的方程组要简便得多。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
2、不满足阻尼阵正交条件
采用振型展开：
{u} = ∑{φ}m qm (t )
m =1
L
其中L<N，比如：N＝40000，而L＝30 —100。 结构的运动方程为：
结构动力学
§2.5 阻尼强迫振动
1. 振动方程及其通解 单自由度粘滞体系强迫运动微分方程为：
m y c y k y P(t )
可变形为：
(2 9)
(2 10)
P(t ) y 2 y y m
2
它是一个二阶常系数非奇次微分方程，通解为相应的 奇次微分方程通解与其一特解之和。
4.0
ξ= 0.1
3.0
2.0
ξ= 0.2 ξ= 0.3 ξ= 0.5 ξ= 1.0
1.0
0
1.0
2.0
η 3.0
•
βmax并不发生在共振θ/ω=η =1时， 而发生在 1 2 2 但因ξ一般很小，
max
1 1 2 2 2 1
1
(2 21)
（4）稳态振动——相位
简谐荷载 P(t)=F sinθt 作用的持时无限，式（2-15）右端按 固有频率振动的第一项很快衰减——瞬态振动； t→∞时，体系 反应仅存按激励率振动的第二项——稳态振动。
（2）特解 对于任意初始条件：
y(0) y0 , y(0) 0
(2 16a) (2 16b)
利用式（2-15）及其对时间的一阶导数方程，可解得：
注：式（2-26）也直接从无阻尼体系的振动反应求得。
静止初始条件下共振荷载反应（频率比等于1）
3. 简谐荷载 P(t )=F cosθt 的稳态反应
类同于简谐荷载 F sinθt 作用下的情形，仍设特解为：
y特 Asin t B cos t
(2 27)
将式（2-27）代入方程（2-10）并注意到 P(t)=F cosθt ，得
(2 24)
R(t )
1. 振动方程及其通解 单自由度粘滞体系强迫运动微分方程为：
m y c y k y P(t )
可变形为：
(2 9)
(2 10)
P(t ) y 2 y y m
2
它是一个二阶常系数非奇次微分方程，通解为相应的 奇次微分方程通解与其一特解之和。
4.0
ξ= 0.1
3.0
2.0
ξ= 0.2 ξ= 0.3 ξ= 0.5 ξ= 1.0
1.0
0
1.0
2.0
η 3.0
•
βmax并不发生在共振θ/ω=η =1时， 而发生在 1 2 2 但因ξ一般很小，
max
1 1 2 2 2 1
1
(2 21)
（4）稳态振动——相位
简谐荷载 P(t)=F sinθt 作用的持时无限，式（2-15）右端按 固有频率振动的第一项很快衰减——瞬态振动； t→∞时，体系 反应仅存按激励率振动的第二项——稳态振动。
（2）特解 对于任意初始条件：
y(0) y0 , y(0) 0
(2 16a) (2 16b)
利用式（2-15）及其对时间的一阶导数方程，可解得：
注：式（2-26）也直接从无阻尼体系的振动反应求得。
静止初始条件下共振荷载反应（频率比等于1）
3. 简谐荷载 P(t )=F cosθt 的稳态反应
类同于简谐荷载 F sinθt 作用下的情形，仍设特解为：
y特 Asin t B cos t
(2 27)
将式（2-27）代入方程（2-10）并注意到 P(t)=F cosθt ，得
(2 24)
R(t )
结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)
结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。
0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动：00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。
因此，方程通解为：121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件，我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示（1）振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数（2）固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=（3）固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为：221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此，解为根据初始条件，有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时，0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中，阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
结构动力学 -单自由度体系的振动
负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反。
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由 振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后， 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或：m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) ：等效荷载，即在地面加速度yg (t )影响下，结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样，只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自
振周期T的大小没影响。
（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则
周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也
可以由结构支座的运动而产生。 1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由 振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后， 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或：m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) ：等效荷载，即在地面加速度yg (t )影响下，结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样，只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自
振周期T的大小没影响。
（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则
周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也
可以由结构支座的运动而产生。 1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
第3章简谐荷载反应
3 方程的通解：
v(t ) vc (t ) v p (t ) e t ( Asind t Bcos d t ) p0 1 2 (1 ) sint 2 cost （4） 2 2 2 k 1 2
方程的通解：
Sint：按体系自振频率振动的反应分量：瞬态反应。
p0 1 [ ] (0) 0 v(0) v 假设 2 k 1 简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为： A 0, B
p0 1 v(t ) (sint sin t ) 2 k 1
⒋ 反应比：动力位移和静力位移的比值。即动力反应与同样的、 但静止作用的荷载所产生的位移的比值。 p0/k = Dst: 将荷载p0 静止地放在体系上所产生的位移；
v(t ) sint
p0 k
反应振幅：
1 2 (1 2 )2 ( 2 )2 (1 2 )2 ( 2 )2
2
2
2
p0 k
1 2
2 2
v(t ) vc (t ) v p (t ) e t ( Asind t Bcos d t ) p0 1 2 ( 1 ) sint 2 cost （4） 2 2 2 k 1 2
式中，常数A、B由初始条件确定。
第一项按自振频率d 振动，由初始条件确定的自由振动反 应。由于阻尼，这一项很快会衰减为零，即瞬态反应； 第二项按荷载频率 振动，即稳态反应,也称为强迫振动 反应。 ； 有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应； 一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大， 这里主要讨论稳态反应的特性。
结构动力学3-4
3.7 单自由度体系 对周期荷载的反应
阶跃荷载作用下单自由度体系的反应 冲击荷载作用下单自由度体系的反应
矩形脉冲荷载；半正弦脉冲荷载；三角形脉冲荷载
1/71 2/71
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
依靠的基础： 依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果。 在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析 单自由度体系对任意周期性荷载的反应，简谐荷载 是一种最简单、最具代表性的周期荷载。 任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。 具体实施方法： 利用Fourier级数展开法。 将任意的周期荷载p(t)展开成Fourier级数，把任意周 期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简 谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解， 再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反 应。 限制条件： 结构体系是线弹性的。可使用叠加原理。 3/71
19/71
1 P ( ) m F F U ( ) u (t ) , P( ) p (t )
20/71
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
单自由度体系时域运动方程：
(t ) 2 n u (t ) n 2u (t ) u
1 p (it dt iU ( ) u (t )e it dt 2U ( ) u
速度和加速度的Fourier变换为：
p( )h(t )d
0
t
h(t ) u (t )
1 sin[ n (t )] t m n
u (t )
1 mn
第4章 对周期性荷载的反应
图
4-1 任意周期性荷载
§4.1 荷载的傅里叶级数表达式
高等结构动力学
图4-l所示任意周期性荷载可以展开成傅里叶级数 (4-1)
Tp表示荷载函数的周期，而系数则可由下式计算
(4-3)
§4.2 对傅里叶级数荷载的反应
高等结构动力学
§4.2 对傅里叶级数荷载的反应
周期性荷载已展成傅里叶级数=常量荷载(用系数a0表示的平 均荷载值)+一系列频率为ωn幅值为an和bn的谐振荷载，在无阻 尼单自由度体系里所引起的稳态反应 正弦项的稳态反应 (4-11) (4-12)
(4-16)
高等结构动力学
高等结构动力学
第四章
对周期性荷载的反应
高等结构动力学
第四章 对周期性荷载的反应
§4.1 荷载的傅里叶级数表达式 §4.2 对傅里叶级数荷载的反应
§4.1 荷载的傅里叶级数表达式
高等结构动力学
§4.1 荷载的傅里叶级数表达式
已知任意谐振荷载下单自由度体系反应，计算任意周期性 荷载下单自由度体系的反应。 数学上，周期荷载可以展成傅里叶级数形式，解为各项解 之和； 力学上，对于级数中的每一项的反应就是谐振荷载下的反 应了，再利用叠加原理，则总反应就是对各个荷载项反应的总 和。
余弦项的稳态反应
(4-13)
§4.2 对傅里叶级数荷载的反荷载分量的稳态反应仅为静挠度，即常量：
(4-14)
因此，无阻尼结构总的周期性反应可以用对应于荷载级数每一项 的单独反应的和表示为： (4-15)
§4.2 对傅里叶级数荷载的反应
高等结构动力学
考虑计算周期性荷载下单自由度结构反应的阻尼，仅需用阻 尼简谐反应表达式代替上述无阻尼反应表达式即可。总的稳态反 应：
结构动力学简答(考试用)
1.结构动力分析的目的：确定动力荷载作用下结构的内力和变形，并通过动力分析确定 虑重力的影响。应用叠加原理将动静问题分开计算，将结果相加即得到结构的真实反应， 结构的动力特性。 这样做的前提条件是结构是线弹性的且处于小变形范围之内。重力问题的分析和动力问 2.动力荷载的类型：是否随时间变化：静荷载、动荷载；是否已预先确定：确定性荷载 题的分析可以分别讨论。在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立 （非随机） 、非确定性荷载（随机） ；随时间的变化规律：周期荷载：简谐荷载、非简谐 体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程即可得到结构体系的动力解。 周期荷载；非周期荷载：冲击荷载、一般任意荷载。结构动力特性：自振频率、振型、 当考虑重力影响时，结构的总位移等于静力解加动力解，即叠加原理成立。 阻尼 3.结构动力计算的特点（与静力计算的差异） ： 2）考虑惯性力的影响，是结构动力学和静力学的一个本质的，重要的区别。 4.结构离散化方法 实质：把无限自由度问题转化为有限自由度的过程 种类： 集中质量法、广义坐标法、有限元法 15.临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动所需要的最小阻尼值。阻尼比：阻尼 系数和临界阻尼的比值 的物理意义：结构体系位移相应于动力荷载的反应滞后时间。 相角：反应体系振动位移与简谐荷载的相位关系。 17.Duhamel 积分的物理意义：把荷载分解成一个个脉冲，获得每一个脉冲作用下结构的
1）动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间 16.振幅的物理意义：体系运动速度为 0，弹性恢复力最大。 （曲线达到的最大值）相位角
5.有限元法与广义坐标法相似，有限元法采用了型函数的概念，但不同于广义坐标法在 反应，最后叠加每一个脉冲作用下的反应得到总反应，给出了计算线性单自由度体系在 全部体系结构上插值，而是采用分片插值，因此型函数表达式形状可相对简单。与集中 任意荷载作用下的动力反应的一般解，一般适用于线弹性体系（此法将外荷载离散成一 质量法相比，有限元中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这 系列脉冲荷载） 。缺点：效率不高，需要由 0 积分到 t。适用范围：线弹性体系在任意何 与集中质量法相同。 使解题方便。 在作用下体系动力反应的理论研究，当外荷载为解析函数时，采用 Duhamel 积分更容易 18.结构地震反应分析的反应谱法的基本原理是：对于一个给定的地震动 6.广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量，称为该体系广义坐标；选择原则： 获得解析解。t 为结构体系动力反应的时间， 则表示单位脉冲作用的时刻。
1）动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间 16.振幅的物理意义：体系运动速度为 0，弹性恢复力最大。 （曲线达到的最大值）相位角
5.有限元法与广义坐标法相似，有限元法采用了型函数的概念，但不同于广义坐标法在 反应，最后叠加每一个脉冲作用下的反应得到总反应，给出了计算线性单自由度体系在 全部体系结构上插值，而是采用分片插值，因此型函数表达式形状可相对简单。与集中 任意荷载作用下的动力反应的一般解，一般适用于线弹性体系（此法将外荷载离散成一 质量法相比，有限元中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这 系列脉冲荷载） 。缺点：效率不高，需要由 0 积分到 t。适用范围：线弹性体系在任意何 与集中质量法相同。 使解题方便。 在作用下体系动力反应的理论研究，当外荷载为解析函数时，采用 Duhamel 积分更容易 18.结构地震反应分析的反应谱法的基本原理是：对于一个给定的地震动 6.广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量，称为该体系广义坐标；选择原则： 获得解析解。t 为结构体系动力反应的时间， 则表示单位脉冲作用的时刻。
结构动力学4-2
6
ζ=0.01
ζ=0.1
5
4
3
2
ζ=0.2
1
ζ=0.8 ζ=1
0
0 1
ζ=0.5
2 3
频率比 ω/ωn
利用体系对简谐荷载反应的结果也可以得到体系的阻尼 比，有两种主要方法：共振放大法和半功率带宽法， 其原理均是基于对动力放大系数Rd的分析。
4.5 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
6
动力放大系数 Rd=u0/ust
算例2
解：① 车以80km/h行驶时，汽车的竖向运动ut(t)的振幅u0t 汽车相当于受振幅为ug0=0.075m， 波长为 L=30m的简谐运动ug的干扰 简谐运动的周期:
T = L / v = 30m (80000m / 3600s) = 1.35s
车辆的固有周期:
m 1 .8 Tn = = 2π = 2π = 0.71s ωn k 140
2 n
粘性阻尼引起的耗散与振幅u0的平方成正比， 与阻尼比ζ和外荷载的频率ω成正比。
1、粘性阻尼体系的能量耗散 u (t ) = u 0 sin(ωt − ϕ ) （2）外力做的功EI （I—Input)
E I = ∫ p (t ) du = ∫ =∫
2π / ω 0 2π / ω 0
p (t )udt
2.5
3.0
频率比ω/ωn
ωb − ωa ζ = 2ωn
ωb − ω a ζ = ωb + ω a
fb − fa ζ = 2 fn
fb − f a ζ = fb + f a
最大振幅
3
1/√2倍最大振幅
半功率带宽法 (半功率点法)
由 Rd 可知，Rd 的最大值。 ( Rd ) max = 率满足以下方程：
第4 5 6章对周期性荷载的反应
h(t ) 称为单位脉冲反应函数，其中t表示体系动 式中， 力反应的时间，τ表示单位脉冲作用的时刻。
v(t ) p( )h(t )d
0
t
,t 0
（7）
式（7）称为卷积积分，利用这个积分，可以获得任意荷 载作用下无阻尼结构体系在整个时间域内的反应。
• 上式的初始条件是t=0时结构处于静止状态。 • 对于其它特定的初始条件，这个解还必须加上一个附加自由振动反应
p( t )
正弦波冲击
阶段I：承受谐振荷载，从静止 开始运动，包含瞬态反应和稳态 反应。
p0
t
t1
t
阶段II
0 t t1
v(t )
阶段I
p0 1 (t1 ) (sin t sin t ) v(t1 ) v 2 k 1
阶段II：自由振动，与阶段I最终时刻的位移和速度有关。
∵ ∴
2 T
vmax 2v st sin
t 1
2
当t1≧T/2时，t 一定可以达到！ 当t1<T/2时，t 就达不到！
max(1 cos t ) 2 max(1 cos t ) 2
极值出现在t >t1时！
(t ) sint 当t < 时， v
t t t1 0
( t1 ) v v(t ) sin t v( t1 ) cos t
矩形脉冲
矩形脉冲荷载：
F (t)
0 p( t ) p0
t 0, t t1 0 t t1
F0 t 0 t1
短时间滞留在结构上的荷载；
由于作用时间短，一般不考虑阻尼； 0<t<t1时： t>t1时：
动力学中的简谐振动与周期
动力学中的简谐振动与周期动力学是描述物体运动规律的学科，简谐振动是动力学中一个重要的概念。
本文将介绍简谐振动的基本概念和特点，并讨论简谐振动的周期。
第一部分：简谐振动的基本概念简谐振动是指物体沿着某一直线或围绕某一固定点作来回往复运动的现象。
在简谐振动中，物体的加速度与位移的关系呈线性正比，并且加速度与位移方向相反。
简谐振动的运动方程可以表示为：x = A * cos(ωt + φ)其中，x表示物体的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位常数。
在简谐振动中，振幅和角频率是常数，而位移和时间的关系为一个正弦函数。
简谐振动还具有以下特点：1. 周期性：简谐振动的运动是周期性的，即物体在一个周期内完成一次完整的往复运动，并且周期相等。
2. 同频率：对于相同的简谐振动，频率相同，即每秒完成的周期数相等。
3. 相位差：不同简谐振动之间可以存在相位差，即两个物体具有相同的角频率，但相对于起始位置存在一定的相位差。
第二部分：简谐振动的周期简谐振动的周期是指物体完成一个完整往复运动所需的时间。
周期与角频率之间存在以下关系：T = 2π/ω其中，T表示周期，ω表示角频率。
通过上述关系可以看出，简谐振动的周期与角频率呈倒数关系，即角频率越大，周期越小，物体的振动就越快。
在简谐振动中，周期是一个重要的物理量，它可以决定物体振动的快慢和频率的高低。
周期的倒数即为频率，频率是指在单位时间内完成振动的次数。
简谐振动的周期也与振幅有关。
通过实验可以发现，当振幅越大时，周期也越大，即物体振幅越大，振动的周期就越长。
第三部分：简谐振动的应用简谐振动在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 机械工程：简谐振动的研究对于机械工程领域中的结构和机械系统的设计和分析非常重要。
例如，建筑物的自然频率分析和机械系统的振动控制都离不开对简谐振动的研究。
2. 物理学：简谐振动是物理学中一个基础的概念，它不仅在力学中有应用，还在电磁学、波动学等领域起着重要的作用。
结构动力学简答题
结构力学简答题1、结构动力分析的目的：是确定结构在动力荷载作用下的内力和变形，并通过动力分析确定结构的动力特性。
1、动力荷载的类型：（1）是否随时间变化:静荷载和动荷载（2）是否已预先确定：确定性荷载和非确定性荷载（3）随时间变化的规律：周期荷载：简谐荷载和非简谐周期荷载；非周期荷载：冲击荷载和一般任意荷载。
2、结构动力计算的特点：（1）动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力计算复杂且要消耗很多的计算时间。
（2）由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。
3、结构离散化的方法：集中质量法、广义坐标法、有限元法。
本质是无限自由度问题转化为有限自由度的过程。
4、有限元法：（1）与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系上插值，而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式可以相对简单。
（2）与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，与集中质量法相同。
5、广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量。
选择原则：解题方便。
6、动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目。
动力自由度不完全取决于质点的数目，也与结构是否静定有关。
静力自由度：确定体系在空间中的位置所需的独立参数的数目。
前者是由于系统的弹性变形而引起的各质点的位移分量，后者是指结构中的刚体由于约束不足而产生的刚体位移。
7、有势力：（1）每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置。
（2）体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与路径无关。
（3）沿任何封闭路线所作的功为零。
8、实位移：如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程和初始条件，则称为体系的实位移。
可能位移：满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。
虚位移：在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下产生的任意组微小位移。
结构动力特性及动力反应
第四讲结构动力特性与动力反应
【容提要】
自由度体系周期、频率计算，简谐荷载与突加荷载作用下简单结构的动力系数、振幅与最大动力，阻尼对振动的影响。
一、概念
(一)动力荷载
荷载大小、方向和作用位置随时间而改变。
按时间可分为周期荷载、冲击荷载、突加恒载和随机荷载。
(二)动力问题的特征
结构在动荷载作用下，其上质点产生惯性力，抵抗变形还产生阻尼力，因此，结构的力和位移成为时间的函数。
(三)动力响应
结构在动荷载作用下产生的动力和动位移，统称为动力响应（动力反应）。
它不仅与动荷载有关，还与结构动力特征（固有频率、振型和阻尼）有关。
(四)动力自由度
描述一个体系在振动过程中全部质点的位置所需要的独立变量数目。
二、单自由度体系的振动方程
1．按平衡条件建立振动方程——刚度法
或
图6-4-2
图6-4-3
据此可以作出振型图.
【例题1】分析图6-4-6(a)、(c)、(e)、(g)、(i)所示体系的自由度。
不计杆件的分布质量。
图6-4-6(g)所示体系有两个质点，杆件可发生弹性弯曲变形，质点有竖向和水平的两个位移分量，
这两个位移相互独立，故有两个自由度。
加支杆确定时如图6-4-6(h)所示。
图6-4-6(i)所示体系有两个质点，质点有竖向两个位移分量和水平向一个位移分量，这三个位移相互独立，
故有三个自由度。
加支杆确定时如图6-4-6 (j )所示。
图6-4-14。
讲义总结注册结构专业基础结构动力特性及动力反应讲义
讲义总结注册结构专业基础结构动力特性及动力反应讲义第六节结构动力特性及动力反应一、结构动力计算的特点及动力自由度与结构静力计算相比，结构承受周期荷载、冲击荷载、随机荷载等动力荷载作用时，结构的平衡方程中必须考虑惯性力的作用，有时还要考虑阻尼力的作用，且平衡方程是瞬时的，荷载、内力、位移等均是时间的函数。
由于在结构动力计算中要考虑惯性力、阻尼力的作用，故必须研究结构的质量在运动过程中的自由度。
结构的动力自由度是指确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需的独立几何参数的数目。
实际结构的质量都是连续分布的，均为无限自由度体系。
有时为了简化计算，将连续分布的质量用集中质量来代替，例如图6—1a、b、c、d所示体系，如果不计杆件轴向变形和集中质量的转动惯性，则其动力自由度分别为1、1、2、4。
而图6—1e所示桁架的动力自由度为2，这是由于桁架杆件应考虑轴向变形。
图6－1二、单自由度无阻尼自由振动方程、自振周期和自振频率设y为沿质量m自由度方向某一时刻t的动力位移，则由达朗伯原理，得单自由度体系无阻尼自由振动方程为(6—1)令(6—2)则(6—3)式(6—1)中的为惯性力；Ky为体系的弹性力，K(或δ)为体系在集中质量处沿其自由度方向的刚度(或柔度)系数。
设初位移为y0，初速度为，则式(6—3)的解为(6—4)或y=Asin(ωt+φ) (6—5)式中 A为振幅，φ为初相角。
式(6—5)为一周期函数，其周期为(6—6)T即为自振周期，自振周期的倒数称为频率，记作f：f＝1／T (6—7)f表示单位时间内的振动次数，常用单位为1／s，或称为赫兹(Hz)。
ω称为圆频率或角频率(有时习惯上也称为频率)，ω的单位为弧度／s。
自振频率ω的计算公式(6—2)又可表示为(6—8)结构自振周期T的计算公式为(6—9)式中 W＝mg为质量m的重量，g为重力加速度，Δst是体系在质量m处沿其自由度方向由重量W产生的静力位移。
从式(6—8)、(6—9)可知，结构的自振频率和自振周期只与结构的质量和刚度有关，它们是结构很重要的动力特性参数。
第4 5 6章对周期性荷载的反应
v(t ) (0) v sin t v(0) cos t 1 t p( ) sin (t )d 0 m
（8）
注： 1. 荷载变化很不规则时，必须利用数值积分方法进行求解； 2. 附加自由振动不能用 Asin t B cost 来表示，因为式 （8）表示的是初始条件引起的自由振动与荷载引起的强迫 振动的叠加，与第三章所述的通解=补解+特解，补解用 Asin t B cost 表示不同（因为特解不唯一，但通解唯 一，特解的不唯一性用补解系数随特解变化来解决）。
∵ ∴
2 T
vmax 2v st sin
t 1
2
当t1≧T/2时，t 一定可以达到！ 当t1<T/2时，t 就达不到！
max(1 cos t ) 2 max(1 cos t ) 2
极值出现在t >t1时！
(t ) sint 当t < 时， v
• 同理可得低阻尼体系的Duhamel 积分形式，如式（6-7） 所示：
t 1 ( t ) v(t ) e p( )sin D (t )d 0 m D
t 0
• 对于其它特定的初始条件，这个解还必须加上一个附加自 由振动反应
v(t ) e
t
t 0 v0 1 v sin t v cos t p ( )sin ( t ) d d 0 d D 0 m D d
F (t)
v(t ) v st (1 cos t )
突加荷载
F0 t 0 t1
v(t ) v st (1 cos t ) v st [1 cos (t t1 )] v st [cos (t t1 ) cos t ] t 1 t1 2v st [sin sin ( t )] 2 2
（8）
注： 1. 荷载变化很不规则时，必须利用数值积分方法进行求解； 2. 附加自由振动不能用 Asin t B cost 来表示，因为式 （8）表示的是初始条件引起的自由振动与荷载引起的强迫 振动的叠加，与第三章所述的通解=补解+特解，补解用 Asin t B cost 表示不同（因为特解不唯一，但通解唯 一，特解的不唯一性用补解系数随特解变化来解决）。
∵ ∴
2 T
vmax 2v st sin
t 1
2
当t1≧T/2时，t 一定可以达到！ 当t1<T/2时，t 就达不到！
max(1 cos t ) 2 max(1 cos t ) 2
极值出现在t >t1时！
(t ) sint 当t < 时， v
• 同理可得低阻尼体系的Duhamel 积分形式，如式（6-7） 所示：
t 1 ( t ) v(t ) e p( )sin D (t )d 0 m D
t 0
• 对于其它特定的初始条件，这个解还必须加上一个附加自 由振动反应
v(t ) e
t
t 0 v0 1 v sin t v cos t p ( )sin ( t ) d d 0 d D 0 m D d
F (t)
v(t ) v st (1 cos t )
突加荷载
F0 t 0 t1
v(t ) v st (1 cos t ) v st [1 cos (t t1 )] v st [cos (t t1 ) cos t ] t 1 t1 2v st [sin sin ( t )] 2 2
简谐振动的受力分析与周期问题
简谐振动的受力分析与周期问题简谐振动是物理学中常见的一种振动现象，它在许多自然界和工程领域都有广泛的应用。
简谐振动的特点是产生振动的物体受到的力与其位移成正比，且方向与位移相反。
在本文中，我们将对简谐振动的受力分析和周期问题进行探讨。
首先，我们来看一下简谐振动的受力分析。
对于一个简谐振动系统，它通常由一个质点和一个恢复力构成。
恢复力是指物体受到的力与恢复物体原来状态之间的偏离程度成正比的力。
一般情况下，恢复力可以表示为F = -kx，其中F是恢复力，k是恢复力系数，x是物体的位移。
恢复力的方向与位移相反，这是因为恢复力的作用是使物体回归平衡位置。
当物体偏离平衡位置时，它会受到恢复力的作用，力的方向与偏离的方向相反，力的大小与偏离的大小成正比。
当物体回到平衡位置时，恢复力的大小为零。
在简谐振动中，恢复力是与位移成正比的，所以会产生周而复始的振动。
我们可以通过牛顿第二定律来推导简谐振动的运动方程。
牛顿第二定律表示力与物体的加速度成正比，即F = ma。
将恢复力代入到牛顿第二定律中，可得ma = -kx。
这是一个二阶线性常微分方程，可以通过解方程来求解物体的运动规律。
接下来，让我们来讨论简谐振动的周期问题。
周期是指一个物体从一个极值位置到达下一个极值位置所需的时间。
对于简谐振动，我们可以用振动的角频率来描述，角频率表示单位时间内的振动次数。
振动的周期T和角频率ω的关系可以用公式T = 2π/ω表示。
其中，π是一个常数，约等于3.14。
简谐振动的周期与振幅和弹簧系统的力常数k有关。
我们可以通过振幅和力常数来计算简谐振动的周期。
振幅是指物体在振动过程中从平衡位置偏离的最大距离。
振幅越大，物体的振动幅度就越大；力常数k越大，物体的恢复力就越大，振动的周期就越短。
在实际应用中，简谐振动经常出现在机械振动、电路振荡器、相对论效应等领域。
例如，机械钟摆就是一个简谐振动系统，其振动周期与摆长有关。
电路中的振荡器可以通过调整电阻、电容和电感来实现简谐振动，在通信和信号处理中具有重要的作用。
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待定系数A、B由初值条件确定
A u(0)
B
u(0)
n
p0 k
/n 1 ( /n )2
u t0 u(0) ut0 u(0)
4.1 无阻尼体系的简谐振动
满足初始条件的解 ：
瞬态反应
u(t)
u(0) cosnt
u(0)
n
p0 k
/ n 1 ( / n )2
sin nt
p0 k
1
1 ( / n )2
特解up可以设为如下形式 :
u p (t) C sin t D cost
u 2 nu n 2u
p0 m
sin t
(n2
2 )C
2 nD
p0 m
sin
t
2 nC
(n2
2)D
cost
0
4.2 有阻尼体系的简谐振动
1
(
n
)
2
C
(2
)D
n
ust
(2
)C
n
1
(
n
)2
D
运动方程：mu cu ku p0 sin t
初始条件：
u t0 u(0)
,ut0 u(0)
利用c=2mωnζ，并将运动方程两边同除m， 得到如下形式的运动方程：
u 2 nu n 2u
p0 m
sin t
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
uc (t) ent ( A cos Dt B sin Dt)
sin t
瞬态反应和稳态反应
稳态反应
4.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应
：
u(t)
p0 k
1
1 ( / n )2
sin t
u0—稳态反应的振幅：
u0
p0 k
1
1 ( / n )2
ust—等效静位移，或静位移：
u st
p0 k
Rd—动力放大系数：
Rd
u0 u st
1
1 ( / n )2
4.1 无阻尼体系的简谐振动
0
C
u st
[1
(
1 ( /n )2 ]2
/n )2 [2 (
/n
)]2
D
u st
[1
(
2 /n / n )2 ]2 [2
(
/
n
)]2
运动方程的全解：u(t)=uc+up ：
u(t) ent (AcosDt B sin Dt) C sin t D cost
4.2 有阻尼体系的简谐振动
4.2 有阻尼体系的简谐振动
（2）动力放大系数Rd（dynamic magnification factor） 振动的稳态解：
u(t) C sint D cost u0 sin(t )
u0 —稳态振动的振幅
φ —相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
u0
C 2 D2 , tan1 ( D )
结构动力学
（2010）
结构动力学
第四章
单自由度体系对 简谐和周期荷载的反应
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是 结构动力学中的一个经典内容。
不仅工程中实际存在这种形式的荷载，而 且简谐荷载作用下单自由度体系的解提 供了了解结构动力特性和用于分析更复 杂荷载作用反应的手段和方法。
4.1 无阻尼体系的简谐振动
1 2
时， Rd
1 ，即体系不发生放大反应。
(2) 当
1 2
时， (Rd ) max
2
1,
1 2
(
n
) 峰值
1 2 2 。
(3)
当 /n
1 （共振时）， Rd
1
2
。
(4) 当 / n 2 时， Rd 1 ，对任意 ζ 均成立。
4.2 有阻尼体系的简谐振动
（3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
图4.3 有初始条件影响的动力反应时程
4.2 有阻尼体系的简谐振动
（1）共振反应（ω=ωn）
C
u st
[1
(
1 ( /n )2 ]2
/n )2 [2 (
/n
)]2
D
u st
[1
(
2 /n / n )2 ]2 [2
(
/
n
)]2
u(t)
ent ( AcosDt
B sin Dt)
ust
2
cost
C
u0 ust
1
[1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
tan1 2 ( / n ) 1 ( / n )2
C
u
st
[1
(
/
1 n
( )2 ]2
/n )2 [2 (
/
n
)]2
D
u
st
[1
(
/
n )
2 /n 2 ]2 [2
(
/
n
)]2
namic magnification factor）
C
p0 k
1
1
( /
n
)2
,
mu ku p0 sint
D0
其构中自，振ω频/ω率n—之频比率；比，外荷载的激振频率与结
p—particular
4.1 无阻尼体系的简谐振动
全解=通解+特解
u(t) uc (t) up (t)
Acosnt B sin nt
p0 k
1
1 ( / n )2
sin t
为无阻尼自由振动：
uc (t) Acosnt B sin nt n k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动 mu ku p0 sint
特荷解载—p满0s足inω运t直动接方引程起的的解振，动记解为。up(t) ，是由动
设特解为：up (t) C sint D cost
C 0, D ust
2
满足零初始条件
A
1
2
ust
,
B 2
1
1 2
ust
运动解：
u(t)
ust
2
ent (cosDt
1
2
sinDt) cosnt
当ζ=0时 ：
u(t)
u st 2
nt
c os n t
与无阻尼时的结果完全相同
（1）有阻尼体系的共振反应（ω=ωn） 图4.4 有阻尼体系共振反应时程
无阻尼体系动力放大系数
Rd
u0 u st
1
1 ( / n )2
①ω=0 ，Rd =1
②ω=ωn，Rd → ∞ 发生共振
③ω/ωn≥√2， Rd≤1
4.1 无阻尼体系的简谐振动
无阻尼体系共振时动力反应时程
共振时(ω=ωn)：
u
p
(t)
u st 2
nt
c os n t
4.2 有阻尼体系的简谐振动
动力放大系数定义为 ：
Rd
u0 u st
1
u0 ust [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
1
Rd [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
（2）动力放大系数Rd
Rd
1
[1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
（2）动力放大系数Rd
(1) 当
运动方程：
mu ku p0 sint
其中：p0 —简谐荷载的幅值； ω —简谐荷载的圆频率。
初始条件 ：
u t0 u(0) ,ut0 u(0)
4.1 无阻尼体系的简谐振动 mu ku p0 sint
运动方程是带有初值条件的二阶常微分方程， 全解=齐次方程的通解+特解
通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc