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简谐振动的动力学方程为

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简谐运动的表达式动力学表达式

简谐运动的表达式动力学表达式
动的依据） 2.对称性——简谐振动物体具有对平衡位置的对称
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势 能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向 相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n) 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1) T2 (n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置 关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 振幅 有关， 振幅 越大， 能量越大.
二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水 平）
单摆
模型示意图
条件 平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、 无摩擦等阻力
细线不可伸长、质量 忽略、无空气等阻力、 摆角很小
弹簧处于原长处
最低点
度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复
力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
2. 简谐运动的描述 （1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的 有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离， 是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 一次 全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成 全振动的次数 ；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.

简谐振动的方程

简谐振动的方程

x Acos(t )
(4)
约定(4)式简谐振动的运动学方程
1 简谐振动速度 加速度
v dx A sin(t )
dt
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
x
x t 图
A
t
x Acost
Hale Waihona Puke vt 图A vv A sint
t
A cos(t )
2
a t 图
a
A 2
t
a A2 cost
A2 cos(t )
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x Acos(t 0 )
t 0 — 位相，决定谐振动物体的运动状态 0 是t =0时刻的位相—初位相
1 7
66
3.14s1
A vm 31.4 10cm
3.14
故振动方程为 x 10 cos( t )cm
6
方法2：用旋转矢量法辅助求解。
x Acos(t )
v
A
sin(t
)
vm
cos(t
2
)
vm A 31.4cms1
v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位
t
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
t t A
t
t 0
x
o
x

谐振子

谐振子

O
2) 由： A
02
2 0
和已知条件：
2
0
x0
b
x0
mg k
0.05
m
b
O' 0
x0
可得：A 0.07 m
x
3)
由
tg 0
0 0
1
和初速度为负值，可知：0 4
4) (t) Acos(t ) 0.07cos(4t 4) (m)
5) E 1 kA2 0.039 (J) 6) 做图略
x0
和速度
0，由：
x0
Acos Asin
0
联立可得：
A
x02
2 0
2
tg1( 0 ) x0
简谐运动实例：
( 1 ) 单摆
准弹性力：
l
1. 细线质量不计 约
ft mg
定 2. <5 以保证sin 由牛顿定律：
m
ft
3. 阻力忽略不计
ft
பைடு நூலகம்
mg
mat
m
l
ml
d2
dt 2
mg
d2g 0
dt2 l
一个作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力 与它对于平衡位置的位移成正比而反向。这样的力称为 恢复力(Restoring Forces)。
2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
由 f ma m d2 x dt2
及 f kx 得
f
k
m
0x
x
弹簧振子
d2 x m d t 2 kx
d 2x dt2
§4.2 谐振子(动力学部分) (Harmonic Oscillator)

简谐振动的方程

简谐振动的方程

m
O
x X
k mg / l
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为

x A cos(t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A x0 (
2
v0

) 2 0.098m
0 是t =0时刻的位相—初位相
(4)简谐振动的旋转矢量表示法

A
t
t t

t0
o
x
x
x A cos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1）
2） 3）
F kx
d2 x 2 x 2 dt
(平衡位置
x0 )
v0 0 arctg ( ) 0, x0
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
(2)按题意 t=0 时
m
O
x X
x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A

2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t

简谐振动方程

简谐振动方程
简谐振动的方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )

2024大学物理力学第八章机械振动

2024大学物理力学第八章机械振动

动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。

特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。

动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。

运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。

势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。

能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。

当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。

同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。

同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。

相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。

02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。

大学物理振动和波动知识点总结

大学物理振动和波动 知识点总结1．简谐振动的基本特征（1）简谐振动的运动学方程: cos()x A t ϖϕ=+（2）简谐振动的动力学特征:F kx =-r r 或 2220d x x d t ϖ+= （3）能量特征： 222111222k p E E E mv kx KA =+=+=， k p E E = （4）旋转矢量表示: 做逆时针匀速转动的旋转矢量A r 在x 轴上的投影点的运动可用来表示简谐振动。

旋转矢量的长度A r 等于振动的振幅,旋转矢量的角速度等于谐振动的角频率,旋转矢量在0t =时刻与坐标轴x 的夹角为谐振动的初相。

2．描述简谐振动的三个基本量（1）简谐振动的相位：t ωϕ+，它决定了t 时刻简谐振动的状态；其中：00arctan(/)v x ϕω=-（2）简谐振动的振幅：A ，它取决于振动的能量。

其中：A =（3）简谐振动的角频率：ω，它取决于振动系统本身的性质。

3．简谐振动的合成(1)两个同方向同频率简谐振动的合成:合振动的振幅：A =合振幅最大： 212,0,1,2....k k ϕϕπ-==；合振幅最小：21(21),0,1,2....k k ϕϕπ-=+=（2）不同频率同方向简谐振动的合成：当两个分振动的频率都很大，而两个频率差很小时，产生拍现象，拍频为21ννν∆=-；合振动不再是谐振动，其振动方程为21210(2cos 2)cos 222x A t t ννννππ-+=（3）相互垂直的两个简谐振动的合成：若两个分振动的频率相同，则合成运动的轨迹一般为椭圆；若两个分振动的频率为简单的整数比，则合成运动的轨迹为李萨如图形。

（4）与振动的合成相对应，有振动的分解。

4．阻尼振动与受迫振动、共振：阻尼振动： 220220d x dx x dt dt βϖ++=；受迫振动 220022cos d x dx x f t dt dtβϖϖ++= 共振: 当驱动力的频率为某一特定值时,受迫振动的振幅将达到极大值.5．波的描述（1）机械波产生条件:波源和弹性介质（2）描述机械波的物理量:波长λ、周期T （或频率ν）和波速u ，三者之间关系为：uT λ= u λν=（3）平面简谐波的数学描述：(,)cos[()]xy x t A t uωϕ=±+； 2(,)cos()x y x t A t πωϕλ=±+；(,)cos 2()t x y x t A T πϕλ=±+ 其中，x 前面的±号由波的传播方向决定，波沿x 轴的正(负)向传播，取负(正)号。

2简谐振动的动力学方程


g l
dengyonghe1@
例4.3 复摆
M = − m g l sinθ ≈ − m g l θ
据 M =Iβ =I − mg lθ = I d 2θ d 2θ dt
2
o
d 2θ dt
2
得
θ
c
整理得
mg
mgl mgl + θ =0 记 =ω2 I I d t2 d 2θ d t2 + ω 2θ = 0
I T= = 2π mgl ω 2π

单摆？
I = ml 2
T = 2π
l g
dengyonghe1@
LC电路：如图 电路： 电路 当开关K接向 时达到稳定 当开关 接向b时达到稳定， 接向 时达到稳定， 在电容器内储存了能量. 在电容器内储存了能量 当开关K接向 时 当开关 接向c时，由于电容 接向 器内储存了能量，会对LC回 器内储存了能量，会对 回 路放电，电流为i，即： 路放电，电流为 ，
2
F = ma = −mω x
2
在位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比且反向。 在位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比且反向。
即：
F = − kx
2
d x m 2 = −kx dt
常系数二阶微分方程
dengyonghe1@
2
d x k + x=0 2 dt m
d x k k 2 + x=0 令ω = 2 m dt m 可以确定方程的解： 由初始条件x(t = o), v(t = 0)可以确定方程的解：
2 E0 A= k
振幅取决于振动的总能量
dengyonghe1@
单摆： 质量集中于小球上， 单摆： 质量集中于小球上， 不计悬线质量。 不计悬线质量。 取逆时针为 θ 张角正向， 张角正向， 以悬点为轴，受力如图。 以悬点为轴，受力如图。 只受到切方向的合外力： 只受到切方向的合外力：

简谐振动的动力学方程



1 T
t T
Ek dt
t
1 kA2 4
E P

1 T
t T

E dt P
t

1 kA2 4
(3) 机械能
E

Ek

Ep

1 kA2 2
简谐振动系统 机械能守恒
(3) 机械能
E

Ek

Ep

1 kA2 2
弹簧振子总的机械能和振幅的平方成正比， 这一结论对其它的简谐振动系统也是正确的， 从能量的角度看振幅不仅反映振动的幅度， 还反映振动的强度
k max
2
k min
P max
2
P min
1 KA2 2
o
EE
P
K
x
E
E E
K
P
t
E 1 kA2 sin 2 ( t )
K
2
E 1 kA2 cos2 ( t )
P
2
E
1 kA2 , E
0
k max
2
k min
E
1 kA2 , E
0
P max
2
P min
Ek
O
l
m o
t 时刻细绳与竖直方向
夹角为θ
忽略空气阻力，
小球受力如图.
小球所受合外力矩为

M M M
T
G
选择逆时针方向为正
●
l
T
o mg
M mgl sin
M 0 T
M mgl sin G
M mgl sin
由转动定律 d 2
M J dt 2

力学第二版习题答案第九章

第九章基本知识小结⒈物体在线性回复力F = - kx ，或线性回复力矩τ= - c φ作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 ,02022=+x dt x d ω（x 表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m ，单摆：ω02=g/l ，扭摆：ω02=C/I.⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv ；振幅A 和初相α由初始条件决定。

⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，22021221A m kA E E p k ω==+。

⒋两个简谐振动的合成⒌阻尼振动的动力学方程为 022022=++x dt dx dtx d ωβ。

其运动学方程分三种情况：⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性，220'),'cos(βωωαωβ-=+=-t Ae x t ，对数减缩 = βT ’.⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。

⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置⒍受迫振动动力学方程 t f x dt dx dt x d ωωβcos202022=++； 其稳定解为 )cos(0ϕω+=t A x ，ω是驱动力的频率，A 0和φ也不是由初始条件决定,222220004)(/ωβωω+-=f A 2202ωωβωϕ--=tg 当2202βωω-=时，发生位移共振。

9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。

已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I 。

问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。

解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩τ= - mghsin φ因为是微小摆动，sin φ≈φ,∴τ= - mgh φ，即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位置附近运动，因而是简谐振动。

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物理模拟试题
一、填空题
1. 质点位置随时间变化的数学表达式称为质点的（ 速度 ）。

2. 质点的运动学方程为r 9)t (=i 3t 31+
j ，任意时刻的速度v =（t^2 j ）。

3.
牛顿第二定律的原始表达式为（ F=d(mv)/dt ）。

4.
作用在质点上的合力在一段时间内的（ 积分 ）等于质点动量的改变量。

5.
作功多少与路径无关的力通常被称为（ 保守力 ）。

6. 地球绕太阳运动，在近地点时地球公转的速率比远地点大，则地球太阳系统的引力势能
是 （ 远 ）地点比（ 近 ）地点大。

（填远或近）
7. 在干燥的印刷车间，由于纸张间的（ 静电作用 ），使纸张粘在一起，很难分
开，从而影响印刷效率。

8. 喷墨打印机的工作原理是利用带点墨滴在（静电场）受力产生偏转，从而达到控制墨滴
位置的目的。

9. 电容器可以储存电荷，也可以储存（ 能量 ）。

10. （安培力）力是洛仑兹力的宏观表现。

11. 磁记录是利用铁磁材料的（铁磁性 ）特性和电磁感应规律记录信息的。

12. 对于均匀线形磁介质，B 与H 的关系为（ B = μH ）。

13. 楞次定律本质上讲是（能量的转化和守恒定律 ）在电磁感应现象中的具体表现。

14. 变化的磁场在其周围空间产生的电场，称为（涡旋电场 ）。

15. 变压器是利用（ 电磁感应 ）原理制成的。

16. 简谐振动的动力学方程为（x=Acos(2*π*t/T+φ)）。

17. 决定简谐振动状态的物理量称为（ 相位 ）。

18. 在SI 中，频率的单位是（赫兹）。

19. 介质中质点的振动方向与波的传播方向相垂直的波称为（横波）。

20. 介质中质点的振动方向与波的传播方向相平行的波称为（纵波）。

21. （ 波长 ）反映了波的空间周期性。

22. 光在被反射过程中，如果反射光在离开反射点时 振动方向恰好与入射光到达入射点时
的振动方向相反，这种现象称为（半波损失 ）。

23. 干涉条纹不仅记录了光波的振幅，而且记录了光波的（相位），即干涉条纹记录了光波
的全部信息。

24. 当光源和屏到障碍物的距离都是无限远时，这种衍射称为（夫琅禾费衍射）衍射。

25. 当光源和屏到障碍物的距离都是有限远时，这种衍射称为（菲涅耳衍射）衍射。

26. 光的（偏振现象 ）现象从实验上清楚地显示出光的横波性。

27. 马吕斯定律的数学表达式为（α201cos I I =）。

28. 当自然光以布儒斯特角射到两介质的界面时，反射光与折射光夹角为（90度）。

29. 形成激光的基本条件是⑴（自发吸收 ）；⑵（ 自发辐射 ）；⑶
（受激辐射）。

30.激光的重要特性有⑴（高亮度）；⑵（高方向性）；⑶（高单色性）；
⑷（高相干性）。