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简谐振动的动力学特征

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1、简谐振动的特征、能量

1、简谐振动的特征、能量

4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。

高中物理：简谐运动的特征及分析方法

高中物理：简谐运动的特征及分析方法

一、简谐运动特征
1、动力学特征：，注意k不等同于弹簧的劲度系数，是由振动装置本身决定的常数；动力学特征也是判断某机械运动是否为简谐运动的依据。

2、运动学特征：，此式表明加速度也跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。

由此可见，简谐运动是一变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。

3、能量特征：机械能守恒，注意振动物体通过平衡位置时势能为零的说法不够确切，应说成此位置势能最小。

4、对称特征：关于平衡位置对称的两点等物理量的大小相等，此外还体现在过程量上的相等，如从某点到平衡位置的时间和从平衡位置到与该点关于平衡位置对称点的时间相同等等。

二、简谐运动的分析方法
1、判断振动是简谐运动的思路：正确受力分析；找出平衡位置
（）；设物体偏离平衡位置位移为x，找到，即可得证。

2、判断简谐运动的变化的思路：
例、如图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需的时间是_______________。

解析：设图中a、b两点为质点振动过程中的最大位移处，若开始质点从O
点向右运动，O→M历时3s，M→b→M历时2s，则＝4s，T＝16s，质点第三次经过M点所需时间
t＝16s－2s＝14s。

若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a→O→M历时3s。

M→b→M历时2s，则，质点第三次经过M点所需时
间
本题的求解关键在于灵活运用简谐运动中的对称性，同时还要注意振动方向的不确定性造成此题的多解；除此之外，对简谐运动过程中各个物理量在四个T/4时段内和五个特殊时刻的情况分析也要清楚。

简谐振动的动力学特征

简谐振动的动力学特征

x +
2
v
ω
2 0
= A2
o
v
x
简谐振动的相轨迹是椭圆，其形状大小取决于初始条件。
三、简谐振动的矢量表示法
现在讨论用旋转矢量的投影表示简谐振动。讨论振动合成 等问题时，用这种方法很方便，如图所示 A 为一长度保持不变 的矢量，A 的始点在 x 坐标轴的原点处，计时起点 t = 0时，矢 量与坐标轴夹角为 α ，矢量 A 以角速度 ω 0 逆时针匀速转动， 因此，矢量 A 在任一瞬时与 x 轴夹角为 ω 0t + α ，用 x 表示矢 量在坐标轴上的投影，有 x = A cos(ω 0t + α ) 可见，匀速旋转 矢量在坐标轴上 的投影即表示一 特定的简谐振动 的运动学方程。
讨论的步骤为： （1）先确定振动系统的平衡位置，并以平衡位置为坐标原点， 建立坐标系；（2）让振动系统偏离平衡位置，然后分析系统 的受力情况，求出系统所受的合外力；（3）根据牛顿运动定 律，导出简谐振动的运动微分方程。
一、弹簧振子的振动
一端固定、质量可忽略、劲度系数为 K 的弹簧，在另一端 固结一个质量为 m 的物体，就构成一个弹簧振子。把它平放在 光滑水平面上。
π
π
ω−
3
=
3
.
∴
2 ω = π. 3
于是求得质点的振动式为
2 π x = 4 cos( πt − ) 3 3
ϕ 本题在计算过程中取 ω 的单位为 rad/s，t 的单位为 s ， 的单 位为 rad ，x 和A的单位为 cm。
另一种描述运动状态的方法是利用相平面——坐标和速度 构成的坐标系。其上一点给出质点在某时刻的运动状态，随时 间推移，质点运动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线， 称相轨迹或相图。 位置和速度的关系曲线就是它的相图

动力学中的简谐振动与振幅频率关系

动力学中的简谐振动与振幅频率关系

动力学中的简谐振动与振幅频率关系在物理学中，简谐振动是指一个物体围绕平衡位置做往复运动的现象。

它可以被广泛地应用于机械、电学、光学等领域，并且对于理解动力学和波动现象非常重要。

在研究简谐振动时，我们往往会关注振动的振幅和频率之间的关系。

一. 简谐振动的定义与特征简谐振动是指一个物体围绕其平衡位置进行的周期性往复运动。

它的特点包括以下几个方面：1. 平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体在不受外力作用时所处的位置，也是振动的中心点。

2. 振幅：振幅是指物体离开平衡位置的最大位移，通常用字母A表示。

3. 周期：简谐振动的周期是指物体完成一次完整振动所需要的时间，通常用字母T表示。

4. 频率：频率是指单位时间内振动的次数，通常用字母f表示。

二. 简谐振动的振幅频率关系简谐振动的振幅和频率之间存在着一定的关系，这种关系可以通过振动的数学表示来推导。

1. 数学表示我们可以通过物体的位置随时间的变化来描述简谐振动。

设物体的运动方程为x(t)，其中x表示位置，t表示时间。

根据数学分析，可以得到以下表示：x(t) = A * cos(ωt + φ)在上述公式中，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初始相位。

2. 振幅与角频率的关系通过上述公式可以看出，振幅A对应于cos函数的最大值，即A是振动的最大位移。

而角频率ω则决定了振动的快慢程度，它与振动的周期T之间存在如下关系：ω = 2π / T由此可见，振幅与周期的倒数成正比，振幅越大，周期越短。

3. 频率与角频率的关系频率f是指单位时间内振动的次数，它与角频率ω之间存在如下关系：f = 1 / T = ω / 2π也就是说，频率和角频率之间是相等的。

频率能够直接反映振动的快慢程度，频率越大，振动越快。

综上所述，简谐振动的振幅和频率具有一定的关系：振幅与周期的倒数成正比，而频率与角频率相等。

我们可以通过实验数据或者数学推导来验证这种关系，并且可以利用这种关系来解决相关的物理问题。

简谐振动的规律和特点

简谐振动的规律和特点

简谐振动的规律和特点简谐振动是一种重要的物理现象，它在自然界和人类生活中都有广泛的应用。

本文将详细介绍简谐振动的规律和特点，并从多个角度进行描述。

一、简谐振动的规律和特点1. 定义：简谐振动是指物体在一个平衡位置附近做往复振动的运动。

它的运动方式具有周期性和对称性，是一种非常规律的振动。

2. 弹簧振子的例子：弹簧振子是最常见的简谐振动的例子之一。

当弹簧振子受到外力拉伸或压缩后，当外力移除时，它会以平衡位置为中心作往复振动。

3. 动力学规律：简谐振动的运动规律可以由胡克定律和牛顿第二定律得出。

根据胡克定律，当弹性体受力时，其恢复力与位移成正比。

牛顿第二定律则表明物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。

结合这两个定律，可以推导出简谐振动的运动方程。

4. 运动方程：简谐振动的运动方程可以表示为x = A * sin(ωt + φ)，其中x是物体的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。

这个运动方程描述了物体在平衡位置两侧往复振动的过程。

5. 特点一：周期性。

简谐振动的最基本特点是其运动是周期性的，即物体在一个周期内重复完成相同的运动。

周期T是指物体完成一个完整振动所需的时间，与角频率ω的倒数成正比。

6. 特点二：振幅和频率。

简谐振动的振幅A表示物体在振动过程中最大的位移，频率f表示单位时间内完成的振动次数。

振幅和频率都是简谐振动的重要参数，它们与物体的质量、劲度系数、外力等因素有关。

7. 特点三：相位差和初相位。

相位差是指两个简谐振动之间的时间差，初相位是指物体在某一时刻的位移相对于平衡位置的位置。

相位差和初相位对于描述简谐振动的运动状态和相互作用非常重要。

8. 特点四：能量转化。

简谐振动是一种能量在不同形式之间转化的过程。

在振动过程中，物体的动能和势能会不断相互转化，当物体通过平衡位置时，动能最大，而位移最大时，势能最大。

9. 特点五：应用广泛。

简谐振动的规律和特点在物理学、工程学、生物学等领域都有广泛的应用。

简谐振动需要特别注意的知识要点

简谐振动需要特别注意的知识要点

机械振动
需要特别注意的要点：
一.振动及描述振动的物理量：
1.位移x:由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量，其最大值等于振幅。

无论质点从什么位置开始振动，其位移总是以平衡位置为初位置。

二.简谐振动的特征：
1.动力学特征：F=-kx
2.运动学特征：x、v、a均按正弦或者余弦规律发生周期性变化（v和a变化趋势相反）
3.能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变
三.简谐振动的两个典型模型-------弹簧振子与单摆
弹簧振子是一种忽略摩擦、弹簧质量的理想化的模型。

对弹簧振子来说，弹簧振子的劲度系数、振子的质量确定了，其振子的周期和频率也就确定了。

无论是在地球上、其他星球上，或者是在完全失重的人造卫星中，T和f均不变，完全由系统本身的性质决定。

大学物理第10章2

大学物理第10章2
x(cm)
[
C
]
1 2
o
1
t( s)
[例1] 已知某质点作简谐运动 , 振动曲线如图. 试根据 图中数据写出振动表达式. x /m 解:设运动表达式 x A cos ( 0 t ) 由图可见: A = 2m , 当t = 0 时有： x 0 2 cos
或 4 4
1 1 2 2 2 2 E EK EP m A sin (t 0 ) kA cos 2 (t 0 ) 2 2
k m
2
1 2 E kA 2
简谐振动的机械能守恒
能量平均值:
1 T1 1 2 2 2 2 EK m A sin (t 0 ) d t kA T 0 2 4
2 2 1 d d l 2 由转动定律： - mgsinθ J 2 ml 2 3 dt2 dt
O
l M mg sin 2

l
mg
1 2 d2 l g 0 θ很小，则： l 2 3 dt 2
d2 3g 即： 2 0 dt 2l
3g 2l
20 10 2kπ， k 0， 1， 2，
同相叠加，合振幅最大。
A A1 A2
x
O
x1 x2
t
A
A A 2 A1 A2 cos( 20 10 )
2 1 2 2
k 0， 1， 2， 2、两振动反相 20 10 (2k 1)π，
利用旋转矢量法得 10 10 3 x A/2 4 利用旋转矢量法得 20 3 4 0 20 10
3 3
四、几种常见的谐振动
1、单摆 (取逆时针为正方向) 回复力矩为： M mgl sin

大学物理公式总结(全面_易懂)

大学物理公式总结(全面_易懂)
1.单缝的夫琅禾费衍射 1.单缝的夫琅禾费衍射
E
B
●
2 k = 1, 2 ,3 ..... 暗条纹衍射角条件
a sin θ = ± 2 k
λ
a
P
C
A
x
θ
λ
f
2
a sin θ = ± ( 2 k + 1) 2 k = 1, 2 ,3 ..... 明条纹衍射角条件
λ
2 k = 1, 2 ,3 ..... 暗条纹衍射角条件
同时又满足单缝衍射暗纹条件， 同时又满足单缝衍射暗纹条件， 这样的主极大是不存在的把这一现象称作缺级 这样的主极大是不存在的把这一现象称作缺级
d 所缺级次 k = k′ a k ′ = ± 1 , ± 2 , ± 3 ,... 光栅光谱 d sin θ = k λ k = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 ,...
机械振动总结
简谐振动的基本规律 1、动力学特征： 2、运动学特征：
{
v v F = −kx x = Acos(ω +ϕ) t v = − A ω sin( ω t + ϕ )
a = − A ω 2 cos( ω t + ϕ )
1 2 E p = kA cos 2 (ωt + ϕ ) 2
3.能量特征： 1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2 1 2 E = kA 2
合成
x = A cos(ωt + ϕ )
{
{
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 tgϕ = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2

简谐振动的动力学特征

简谐振动的动力学特征

课程设计画布一、教学目标本课程的教学目标是让学生掌握第三章：生物的遗传与变异的核心概念和原理。

知识目标包括：•能够描述基因的概念和其在遗传中的作用。

•能够解释DNA的结构和复制过程。

•能够阐述孟德尔遗传定律及其在现代遗传学中的应用。

•能够描述基因突变和其对生物体影响。

技能目标则要求学生：•能够运用遗传学知识解决简单的实际问题。

•能够使用实验数据来验证遗传学假说。

•能够通过绘图或模型制作来解释遗传学过程。

情感态度价值观目标旨在培养学生的：•对生命科学探究的兴趣和好奇心。

•尊重科学探究过程和结果的态度。

•认识生物技术的意义和潜在价值。

二、教学内容本章节的教学内容将依据《高中生物》教材的第三章，详细安排如下：1.基因与遗传：介绍基因的定义，解释基因如何控制生物的特性。

2.DNA的结构与复制：阐述DNA的双螺旋结构，演示DNA复制的过程。

3.孟德尔遗传定律：详细讲解孟德尔的两大遗传定律，并通过实例分析其应用。

4.基因突变：探讨基因突变的类型、原因及对生物体的影响。

5.遗传学实验技术：介绍常见的遗传学实验技术，如杂交实验和基因工程。

三、教学方法为达成上述教学目标，将采用以下教学方法：•讲授法：用于讲解基础理论和概念。

•讨论法：鼓励学生就遗传学案例进行讨论，促进深入理解。

•实验法：指导学生完成遗传学相关实验，增强实践操作能力。

•案例分析法：分析真实或模拟的遗传学案例，培养学生解决问题的能力。

四、教学资源教学资源的准备将包括：•教材《高中生物》及相关辅助阅读材料。

•多媒体教学课件，包括视频和动画资料。

•实验室设备，如显微镜、DNA模型等，用于实验教学。

•在线资源库，提供额外的学习资料和互动平台。

以上课程设计画布内容围绕教学目标、教学内容、教学方法和教学资源展开，旨在为学生提供一个清晰、有序、互动和富有启发性的学习环境。

五、教学评估为全面评估学生对第三章：生物的遗传与变异内容的掌握情况，将采用以下评估方式：1.平时表现：通过课堂提问、讨论参与度等评估学生的理解力和积极性。

物理-简谐振动

物理-简谐振动
§15-1 简谐振动
简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角 位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。
1.简谐振动的特征及其表达式
O
X
F
O
X
F
O
X
简谐振动的特征及其表达式
弹簧振子： 连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和 一个不发生形变的物体系统。
简谐振动的特征及其表达式
回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合 外力, 该力与位移成正比且反向。
A x02 (v0 )2
0
arctg
v0
x0
在到 之间，通常 存在0 两个值，可根据
v0 Asi进n 行0 取舍。
2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
A x02 (v0 )2
由初始条件确定
(2)周期和频率
周期：物体作一次完全运动所经历的时间。
简谐振动的动力学特征:
F kx
据牛顿第二定律，得
a F k x mm
令
k 2
m
a
d2 x dt2
2 x
运动学特征
简谐振动的特征及其表达式
位移 x之解可写为： x Acos(t 0 )
或 x Aei(t 0 )
简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。
x2 A2 cos(t 20 )
二者的相位差为：
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
讨论:
(a)当 时2,k称两个振动为同相； (b)当 (2k时,称1)两个振动为反相； (c)当 时 0,称第二个振动超前第一个振动 ； (d)当 时0,称第二个振动落后第一个振动 。

第十三章(振动一讲)

第十三章(振动一讲)
演示
T
t( s)
( 2)相轨迹 ( 相图) x v图线. x A cos(0t )
v A0 sin(0 t ) 2 v 2 2 得: x 2 A
由
v x o
11
0
四、简谐振振动的矢量表示法 vm 0 A 如图:振幅矢量 A 以圆频 v0 率 0 绕平衡点 o 逆时针 A( t ) 方向转动 . 2 an A0 A( t 0) A在x轴上的投影点运动, 0t 0 表示一特定的简谐振动.
0 t 0 t t 0 初相位
8
注意：相位是相对的； 同相、反相； 超前、落后。
例如,二同频率不同振幅的谐振动:
x1 A1 cos(0t 1 ) x2 A2 cos(0t 2 )
t时刻的相位差:
相位
1 0t 1
2 0t 2
t时刻 :
x A cos(0t )
k 0 m
例题1.设一物体沿x轴做简谐振动，振幅为12cm， 周期为2.0s；在t=0时的位移为6.0cm，且这时物 体向x正向运动。试求： (1) 初相位、振动方程; (2) t =0.5s时物体的位置、速度和加速度； (3) 在 x=-6.0cm处，且向x负向运动时，物体的速 度和加速度，以及它从这个位置到达平衡位置所 用的时间。 [解] A 0.12m , 0 2 T 5或 据题意设物体的运动方程为 A 3 A 2 x 0.12 cos( t ) 0 x 则t 0时刻 : 0.06 0.12cos 3 A 14 而v 0.12 sin 0, 故 3 0
(3) 在x=-6.0cm处，且向x负向运动时，有 0.06 0.12cos( t 3)

简谐振动的动力学特征

简谐振动的动力学特征
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第九章 振 动
2 简谐振动 定义：物体在线性回复力 或力矩 或力矩)作用下围绕平衡位 定义：物体在线性回复力(或力矩 作用下围绕平衡位 置的运动叫简谐振动. 置的运动叫简谐振动 简谐运动 最简单、最基本的振动 最简单、 合成 简谐运动 分解 复杂振动
谐振子 作简谐运动的物体
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第九章 振 动 [例题 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平 例题1] 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力， 例题 衡位置附近的振动是简谐振动. 衡位置附近的振动是简谐振动 [解] 根据牛顿第二定律得 解
d2 x m 2 = − k ( x + l ) + mg d t
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第九章 振 动 2. 单摆 由牛顿第二定律分析
O′
θ
如图，铅直面内不计空气 如图， 阻力,绳不可伸长 绳不可伸长. 阻力 绳不可伸长
Ft = − mg sin θ
θ 很小时 (θ < 5o ),sinθ ≈θ
Ft = −mgθ
——称回复力 称回复力. 称回复力 O
d 2 ( lθ ) = − mg θ 由牛顿第二定律得 m 2 dt
m
µ=0
O
x A
F v
x -A F
振动的成因 v
a 回复力 b 惯性
F=0 x=0
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第九章 振 动 分析弹簧振子的运动： 分析弹簧振子的运动： 物体只受弹力作用 由牛顿第二定律有
Fx = − kx
d2 x m 2 = − kx dt
d2 x k + x=0 2 m dt
k为弹簧劲度系数 为弹簧劲度系数

简谐振动知识点精解

简谐振动知识点精解

简谐振动·知识点精解1．简谐振动的特征(1)简谐振动的定义在跟对平衡位置的位移成正比而方向相反的回复力作用下的振动，叫简谐振动。

①做简谐振动的回复力是由物体所受的合外力或某个力的分力提供。

②简谐振动物体回复力的表达式为：F=-kx(2)简谐振动的动力学特征F=-kx式中的k为回复力与位移的比例常数(未必是弹簧的劲度系数)，x是相对平衡位置的位移，负号表示回复力的方向始终与位移方向相反。

(3)简谐振动的运动学特征振动的位移随时间接正弦或余弦规律变化。

2．弹簧振子的振动过程具体情况见下表：3．单摆的周期公式(1)单摆做简谐振动①在物理学里，单摆是实际摆的理想化，是指在一根不能伸长，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置。

②单摆做简谐振动的条件：振动过程中的最大编角不超过5°。

③单摆做简谐振动的回复力是重力mg沿圆弧切线的分力F=mgsinα提供(不要误认为是摆球所受的合外力)。

当α很小时(5°以下)，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看作沿这条直线作用，OP就是摆锤偏离平衡位置的位移。

如图7-3所示。

设摆长是l，因为sin式中负号表示力F跟位移x的方向相反。

由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数k来代替，所以上式可以写成F=-kx可见，在摆角很小情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐振动。

(2)单摆的周期公式①在摆角很小情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆锤的质量和振幅无关。

②单摆周期的表达式③上式只适于小摆角(＜5°)的情况。

根据周期公式算出的T值与实际测定值间的误差，随摆角增大而增大。

摆角为7°时，误差为0.1％；15°时，0.5％；23°时，1％。

单摆的最大摆角应小于5°。

④单摆的周期在振幅较小时，与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的。

大学物理4-1 简谐振动的动力学特征

大学物理4-1 简谐振动的动力学特征
第4章 机械振动
a x
积分常数，根据初始条件确定
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T

取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a

an A
2
x
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
第4章 机械振动
第4章 机械振动
用旋转矢量图画简谐运动的

x
A
0
P
2
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当

t t+ 0时 0
0
A
t=t
A
x0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x0 A cos 0
第4章 机械振动
x A cos( t t t
即
2
① ② ③ ④ ⑤ J d x (m 2 ) 2 kx 0 R dt
2
d x k x0 2 2 dt m I / R
所以，此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动
(2) 振动系统的圆频率
k m J / R2
T 2 2 m J / R2 k

简谐振动的动力学特征

简谐振动的动力学特征

证明：以平衡位置0为原点，向下为x轴正向建立 坐标轴。
△l 是弹簧挂上重物后的静伸长
kl mg
设某一瞬时m的坐标为x
F k( x l) mg
F kx
l
0A
x
F弹
A
所以该物体在平衡位置附近所做的 x
振动是简谐振动。
mg
4
简谐振动的动力学特征
简谐振动:
一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置 的位移x随时间t 按余弦（或正弦）规律变化的振动。
x＝Acos(t＋0)
简谐振动的运动学判据
其中，A 、 和0 为常量
1
一、弹簧振子模型
0x
x
以平衡位置为坐标原点o，沿运动方向建立ox坐标轴
合力： F kx ——线性回复力
m
d2x dt 2
kx
令 2 k
m
d2x 2x 0
dt 2
——动力学方程
2 方程的解为 x＝Acos(t＋0)
若物体所受的合力为 F kx ，则物体所
做的振动为简谐振动。
F kx 简谐振动的动力学判据
二、单摆模型
单摆的摆动也是简谐振动。
3
பைடு நூலகம்
例题: 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和空气阻力 ，试证明其在平衡位置附近的振动是简谐振动。

振动与波习题课

振动与波习题课

6、简谐振动的合成： 简谐振动的合成： 同方向、同频率的简谐振动的合成： 同方向、同频率的简谐振动的合成：
v A2
ϕ2 ϕ ϕ1
v A
v A1
x1
x (t ) = x1 (t ) + x2 (t )
= A cos(ωt + ϕ )
o
合成结果仍为同频率的简谐运动
x2
x
x
A=
2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( ϕ 2 − ϕ 1 )
2π (r2 − r1 ) = ±2kπ k = 0,1,2,3,.....
λ 相消干涉： 相消干涉：∆ϕ = (ϕ20 − ϕ10 ) − 2π (r2 − r1 ) = ±(2k + 1)π k = 0,1,2,3,..... λ
相位、相位差和初相位的求法： 相位、相位差和初相位的求法：
解析法和 常用方法为解析法 旋转矢量法。 常用方法为解析法和旋转矢量法。 1、由已知的初条件求初相位： 、由已知的初条件求初相位： 已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。 ①已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。 A [例1]已知某质点振动的初位置 y0 = 且v0 > 0 。 例 已知某质点振动的初位置 2 y = A cos( ω t + ϕ )
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 ϕ = arctg A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
机械波： 二、机械波：
1、产生的条件：波源及弹性媒质。 产生的条件：波源及弹性媒质。 2、描述波的物理量： 、描述波的物理量： 波长: 波传播时, 在同一波线上两个相邻的相位差为2 波长 波传播时 在同一波线上两个相邻的相位差为 π 的 质元之间的距离 （ λ ）。 周期:波前进一个波长的距离所需的时间（ 周期:波前进一个波长的距离所需的时间（T ）。 频率:单位时间内波动传播距离中所包含的完整波长的数目(ν)。 频率:单位时间内波动传播距离中所包含的完整波长的数目 。 波速: 波在介质中的传播速度为波速。（ 。（u 波速 波在介质中的传播速度为波速。（ ） 各物理量间的关系： 各物理量间的关系：

振动学基础(复习)

振动学基础(复习)

第十五章振动学基础§15-1简谐振动【基本内容】一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。

kxf-=, k为比例系数。

2、简谐振动的微分方程222=+xdtxdωmk=ω3、简谐振动的判据判据一kxf-=动力学判据判据二运动学判据判据三)cos(φω+=tAx运动方程4、简谐振动实例单摆小角度摆动、复摆、扭摆二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。

)cos(φω+=tAx)cos()sin(2φωωφωω+-=+-=tAatAv2、简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。

角频率：mk=ω周期：ωπ2=T频率：T1=ν振幅A ——表示振动物体离开平衡位置的最大距离。

振幅A 和初相ϕ由初始条件决定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-)(0012202x v tg v x A ωϕω 度ω（1（2（3（4123、谐振动的机械能：2222121ωmA kA E E E p K ==+=弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。

【典型例题】【例15-1】半径为R 的木球静止浮于水面上时，其体积的一半浸于水中，求： （1）木球振动的微分方程；22222)31(dtxd m g R x x R =--ρπ平衡位置时：ρπ33421R m ⋅=，故 0)31(232222=-+Rx x R g dt x d 此即木球的运动微分方程。

当R x <<时，0322→R x02322=+x R gdtx d 木球作简谐振动g R T R g 3222,23πωπω===【例15-2】 弹簧下挂g m 1000=的法码时，弹簧伸长cm 8。

振动与波动(习题与答案)

振动与波动(习题与答案)

第10章振动与波动一.基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。

2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。

3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。

4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。

5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。

6. 理解机械波产生的条件。

7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。

8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。

9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。

掌握波的相干条件。

能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。

10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。

二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即由它可导出物体的振动速度)=tAv-ω+ωsin(ϕ物体的振动加速度)=tAa2cos(ϕ-+ωω3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。

周期与频率互为倒数，即ν=1T 或 T1=ν5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ωπ=2T 或 πν=ω26. 相位和初相 谐振动方程中（ϕ+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。

t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。

7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相ϕ，t=t时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位ϕω+t 。

简谐振动的特点和动力学描述

简谐振动的特点和动力学描述

简谐振动的特点和动力学描述简谐振动是物体在恢复力作用下沿着某个轴线上做往复振动的一种特殊运动形式。

它具有以下几个特点：1. 平衡位置稳定：简谐振动的平衡位置是物体的稳定位置，当物体偏离平衡位置时，会受到一个恢复力的作用，使得物体趋向于返回平衡位置。

2. 振幅固定：简谐振动的振幅是一个固定值，表示物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离。

3. 频率恒定：简谐振动的频率与振动系统本身的性质有关，而与振幅无关。

频率是指单位时间内振动的完整周期数，单位为赫兹（Hz）。

4. 正弦函数描述：简谐振动的运动可用正弦函数来描述。

物体在简谐振动过程中，其位置、速度和加速度随时间的变化都可以用正弦函数表示。

根据简谐振动的特点，在动力学上可以进行如下的描述：1. 动力学方程：对于简谐振动，其动力学方程可以由胡克定律得到。

胡克定律指出，弹性力与物体偏离平衡位置的距离成正比，即恢复力F 与位移x的关系为F = -kx，其中k为弹性系数。

2. 牛顿第二定律：根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。

对于简谐振动，可以将牛顿第二定律应用于沿轴线的振动，并根据动力学方程得到加速度与位移之间的关系。

3. 振动的能量：在简谐振动中，物体的能量在势能和动能之间不断转换。

当物体通过平衡位置时，其动能最大，而势能最小；当物体运动到最大位移时，其势能最大，而动能最小。

总能量保持不变。

4. 平衡位置的稳定性：简谐振动的平衡位置是稳定的，当物体偏离平衡位置时，会受到恢复力使其回到平衡位置。

这种稳定性是由弹簧的弹性恢复力所决定的。

综上所述，简谐振动具有稳定平衡位置、固定振幅、恒定频率等特点，并可以通过动力学方程和能量转换进行描述和分析。

研究简谐振动有助于理解振动现象的基本规律，对于很多领域如机械、电子、光学等都有重要的应用价值。

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= A [cosω0t cosα1 sinω0t sinα1] + A2 [cosω0t cosα2 sinω0t sinα2 ] 1 = ( A cosα1 + A2 cosα2 ) cosω0t ( A sinα1 + A2 sinα2 ) sinω0t 1 1
令:
Acosα = A cosα1 + A2 cosα2 1 Asinα = A sinα1 + A2 sinα2 1
x = cos(ω0t +α)
2 2 & x a = v = && = Aω0 cos(ω0t +α ) = Aω0 cos(ω0t +α +π ) π 设: φx = ω0t +α , φv = ω0t +α + , φa = ω0t +α +π 2 π π 则, φv φx = , φa φv = , φa φx = π
x = Acos(ω0t +α)
1 2 2 1 2 1 Ek = kA sin (ω0t +α ), Ep = kx = kAcos2 (ω0t +α ) 2 2 2
弹簧振子的总能为: 故,弹簧振子的总能为:E = E
k
+ Ep
由此可见:动能和势能互相转化. 由此可见:动能和势能互相转化.
22
2 例 若单摆的振幅为 θ0 ,试证明悬线所受的最大拉力等于 mg(1+θ0 )
23
24
§9-4 简谐振动的合成 一,同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动: 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动:
x1 = A cos(ω0t +α1 ) 1
合位移: 合位移:
x2 = A2 cos(ω0t +α2 )
x = x1 + x2 = A cos(ω0t +α1 ) + A2 cos(ω0t +α2 ) 1
x = Acos(ω0t +α)
π v = Aω0 cosω0t +α + 2 = Asin(ω0t +α)
2 2 a = && = Aω0 cos(ω0t + α ) = Aω0 cos(ω0t + α + π ) x
v v 为一长度不变的矢量, 的始点在坐标轴的原点处, A为一长度不变的矢量, A的始点在坐标轴的原点处,记时起点 v =0时 t=0时,矢量 与坐标轴的夹角为 α ,矢量 A 以角速度 ω0 逆时针匀速 转动. 转动.
8
1 ω ν= = T 2π
ω = 2πν
3. 振幅 定义:物体离开平衡位置的最大位移. 定义:物体离开平衡位置的最大位移. 振幅可以由初始条件决定.如:t =0时刻, = x0 , =0时刻 x 时刻, 振幅可以由初始条件决定. 由⑴式可得: 式可得:
v = v0x
& x0 = Acosα , x t =0 = v = Aω0 sinα
φ1
超前
φ2
;
(4)若 2π > (φ1 φ2 ) > π ,则称
φ1
落后 φ2 ;
相位差的不同,表明二振动有不同程度的参差错落,振动步调不同. 相位差的不同,表明二振动有不同程度的参差错落,振动步调不同.
12
1 例1 一弹簧振子,t=0 时, x0 = A, v0 < 0 求振动的初位相. 一弹簧振子, 求振动的初位相. 2
2 ω0 Acos(ω0t + α + π )
17
例1 (1)一简谐振动的运动规律为 x = 4cos(8t + π / 4) ,若计时起 点提前0.5s,其运动学方程如何表示?欲使其初相为零, 点提前0.5s,其运动学方程如何表示?欲使其初相为零,计时起点应提前或 推迟若干? 推迟若干? (2)一简谐振动的运动学方程为 x = 8sin(3t π ) , 若计时起点推 迟1s,它的初相是多少?欲使其初相为零,应怎样调整计时起点? 1s,它的初相是多少?欲使其初相为零,应怎样调整计时起点? (3)画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后t=0时的旋转矢量的 画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后t=0时的旋转矢量的 位置. 位置.
16
由此可见: 由此可见: ⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方 程. ⑵矢端的速度大小为 ω0 A ,在x 轴上的投影为: 轴上的投影为:
π ω0 Acosω0t +α + 2
矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为: ⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为:Aω2,在 x 轴上 0 的投影: 的投影:
f x = kx
由牛顿第二定律: 由牛顿第二定律:
k & m& = kx && + x = 0 x x m
k = ω2 ,可得到如下二阶常系数齐次线性方程: 可得到如下二阶常系数齐次线性方程: 令 m
& +ω 2 x = 0 & x
( 1)
2
&& x +ω 2 x = 0
( 1)
弹簧振子作简谐振动的动力学方程. 弹簧振子作简谐振动的动力学方程.
x = Acos(ω0t +α ) = Acosφ v = Aω0 sin(ω0t +α ) = Aω0 sinφ
可得: cosφ = 可得:
x v ; sinφ = A Aω0
( 3)
10
若已知初始条件:t =0时, 若已知初始条件: =0时
x = x0 , v = v0x
,则⑶式有: 式有:
( 2)
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
4
3. 复摆
任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆.如图示: 任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆.如图示:
一刚体悬挂于O 一刚体悬挂于O 点,刚体的质心C 距刚体的悬挂点O 刚体的质心C 距刚体的悬挂点O 角增加的方向为正方向, θ 角增加的方向为正方向,即:z 轴 & θ 很小时: 垂直纸面向外, 垂直纸面向外,M = mga sinθ = Iθ& , 很小时: z θ ≈ sinθ ,故: 之间的距离是a 之间的距离是a.选
α
决定, 决定,
三, 简谐振动的图象:x-t 图线 简谐振动的图象:
描述:质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移. 描述:质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移. 中学里经常作正弦,余弦函数的图象,故不再多讲,请看书. 中学里经常作正弦,余弦函数的图象,故不再多讲,请看书.
15
四, 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动. 用旋转矢量的投影表示简谐振动. 如图示: 如图示:
因此, 因此,
2 A = x0 + 2 v0x 2 0
ω
( 2)
9
4. 位相和初位相
还须知道 α 才能完全决定系统的运动状态. 才能完全决定系统的运动状态. 叫简谐振动的相位. φ = ω0t +α 叫简谐振动的相位. 当 t = 0 时, φ = α 叫初相位. 初相位. 由: 振动系统的状态指:任意瞬时的位移和速度.但仅知振幅频率还不够, 振动系统的状态指:任意瞬时的位移和速度.但仅知振幅频率还不够,
18
19
20
21
§9-3 简谐振动的能量转换
简谐振动系统的总机械能守恒. 简谐振动系统的总机械能守恒. 由弹簧振子系统: 由弹簧振子系统:
而 因此, 因此,
& v=x =-Aω0 sin (ω0t +α ) 1 2 1 2 Ek = mv = mA2ω0 sin 2 (ω0t +α ) 2 2 2 ω0 = k / m
判断方法:是否简谐振动,看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴. 判断方法:是否简谐振动,看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴
6
§9-2 简谐振动的运动学
本节主要讲解:根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程,并讨论简谐运动 本节主要讲解:根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程, 的运动学特征. 的运动学特征.
§9-1 简谐振动的动力学特征 一. 基本概念
1. 平衡位置 质点在某位置所受的力(或沿运动方向受的力)等于零, 质点在某位置所受的力(或沿运动方向受的力)等于零,该位置即为平 衡位置. 衡位置. 2. 线性回复力 若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移(线位移或角位移) 若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移(线位移或角位移) 成正比,且指向平衡位置,则此作用力称作线性回复力. 成正比,且指向平衡位置,则此作用力称作线性回复力. 公式:f x 公式:
& dv dθ v & τ : mg sinθ = maτ = m = ml = mlθ& dt dt
v v2 n : T mg cosθ = m
l
若 θ 很小,则近似: θ 很小,则近似: sin 因此, 因此,
2 2 & θ&+ω0θ = 0, ω0 =
& ≈θ,则: θ&+ l g
l θ =0 g
因此, 因此,
& θ&+
mga θ =0 I
2 & , θ&+ω0θ = 0
mga: 任何物理量 x(例 : 长度, 角度 ,电量等)的变化规 长度,角度,电量等) 律满足方程⑴ 律满足方程⑴式, 且常量 该物理量作简谐振动. 该物理量作简谐振动. 决定于系统本身的性质, ω0 决定于系统本身的性质,则
= kx , k > 0, x 是相对于平衡位置的位移. 是相对于平衡位置的位移.
3. 简谐振动 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动. 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动.