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自开始加载至应力达到A点以前，应力应变成线性关系，A点称比例极限，OA段属于弹性工作阶段。
应力达到Bˊ点后，钢筋进入屈服阶段，产生很大的塑性形变，Bˊ点应力称为屈服强度（流限），在应力-应变曲线中呈现一水平段B〞B，称为流幅。
超过B点后，应力-应变关系重新表现为上升的曲线，B-C段为强化阶段。
曲线最高点C点的应力称为抗拉强度。
此后钢筋试件产生颈缩现象，应力应变关系成为下降曲线，应变继续增大，到D点钢筋被拉断。
D点所对应的横坐标称为伸长率，它标志钢筋的塑性。
伸长率越大，塑性越好。
钢筋塑性除用伸长率标志外，还用冷弯试验来检验。
冷弯就是把直径为D的钢辊转弯转α角而不发生裂纹。
钢筋塑性越好，钢辊直径D可越小，冷弯角α就越大。
屈服强度（流限）是软钢的主要强度指标。
在混凝土中的钢筋，当应力达到屈服强度后，荷载不增加，而应变会继续增大，使得混凝土开展过宽，构件变形过大，结构不能正常使用。
所以软钢钢筋的受拉强度限值以屈服强度为准，钢筋的强化阶段只作为一种安全储备考虑。
钢材中含碳量越高，屈服强度和抗拉强度就越高，伸长率就越小，流幅也相应缩短。
第6章 应力状态分析一、选择题1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。
20（MPa ）20d20（A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。
2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。
（A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。
3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ）AC AC /2,0ττσ==； （B ）AC AC /2,/2ττσ==； （C ）AC AC /2,/2ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。
4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。
关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。
(b)(a)（A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的；（C）点3、4的应力状态是正确的；（D）点1、5的应力状态是正确的。
5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。
τ(a)(b) (c)（A）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同；（C）（b）和（c）相同；（D）（a）和（c）相同；6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。
(A) (B) (D)(C)解答：maxτ发生在1σ成45的斜截面上7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A）脆性材料；（B）塑性材料；（C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适用于（ C ）。
（A ）任何材料在任何变形阶级； （B ）各向同性材料在任何变形阶级； （C ）各向同性材料应力在比例极限范围内；（D ）任何材料在弹性变形范围内。
⾦属学及热处理课后习题答案解析第六章第六章⾦属及合⾦的塑性变形和断裂2）求出屈服载荷下的取向因⼦，作出取向因⼦和屈服应⼒的关系曲线，说明取向因⼦对屈服应⼒的影响。
答：1）需临界临界分切应⼒的计算公式：τk=σs cosφcosλ，σs为屈服强度=屈服载荷/截⾯积需要注意的是：在拉伸试验时，滑移⾯受⼤⼩相等，⽅向相反的⼀对轴向⼒的作⽤。
当载荷与法线夹⾓φ为钝⾓时，则按φ的补⾓做余弦计算。
2）c osφcosλ称作取向因⼦，由表中σs和cosφcosλ的数值可以看出，随着取向因⼦的增⼤，屈服应⼒逐渐减⼩。
cosφcosλ的最⼤值是φ、λ均为45度时，数值为0.5，此时σs为最⼩值，⾦属最易发⽣滑移，这种取向称为软取向。
当外⼒与滑移⾯平⾏（φ=90°）或垂直（λ=90°）时，cosφcosλ为0，则⽆论τk数值如何，σs均为⽆穷⼤，表⽰晶体在此情况下根本⽆法滑移，这种取向称为硬取向。
6-2 画出铜晶体的⼀个晶胞，在晶胞上指出：1）发⽣滑移的⼀个滑移⾯2）在这⼀晶⾯上发⽣滑移的⼀个⽅向3）滑移⾯上的原⼦密度与{001}等其他晶⾯相⽐有何差别4）沿滑移⽅向的原⼦间距与其他⽅向有何差别。
答：解答此题⾸先要知道铜在室温时的晶体结构是⾯⼼⽴⽅。
1）发⽣滑移的滑移⾯通常是晶体的密排⾯，也就是原⼦密度最⼤的晶⾯。
在⾯⼼⽴⽅晶格中的密排⾯是{111}晶⾯。
2）发⽣滑移的滑移⽅向通常是晶体的密排⽅向，也就是原⼦密度最⼤的晶向，在{111}晶⾯中的密排⽅向<110>晶向。
3）{111}晶⾯的原⼦密度为原⼦密度最⼤的晶⾯，其值为2.3/a2，{001}晶⾯的原⼦密度为1.5/a24）滑移⽅向通常是晶体的密排⽅向，也就是原⼦密度⾼于其他晶向，原⼦排列紧密，原⼦间距⼩于其他晶向，其值为1.414/a。
6-3 假定有⼀铜单晶体，其表⾯恰好平⾏于晶体的（001）晶⾯，若在[001]晶向施加应⼒，使该晶体在所有可能的滑移⾯上滑移，并在上述晶⾯上产⽣相应的滑移线，试预计在表⾯上可能看到的滑移线形貌。
第6章 塑性应力－应变关系在20世纪50年代，经典塑性理论有了很大的发展，表现在：（1）极限分析的基本定理（Drucker 等，1952）；（2）Drucker 假设或稳定材料的定义（Drucker ，1951）；（3）正交性条件的概念或关联流动法则（Drucker ，1960）等的建立和发展。
理想塑性体的极限分析理论产生了能更直接地估计结构和土体承载力的实际方法（Chen ，1982，Chen 和Liu ，1990）。
稳定材料的概念提供了一个统一的方法和塑性体的应力－应变关系的广义观点。
正交性条件的概念提供了塑性应力－应变关系的屈服准则或加载函数之间的必要联系。
所有的这些进展导出了金属塑性经典理论严格的基础，也为后来土体、岩石和混凝土类的其他材料的更复杂的塑性理论发展打下了基础（Chen 和Han ，1988，Chen 和Mizuno ，1990）。
6.1 加载准则在应力空间上的屈服面确定了当前的弹性区的边界。
如果一个应力点在屈服面的里面，就称之为弹性状态而且只有弹性特性；如果一个应力点在屈服面上，其应力状态为塑性状态，产生弹性或者弹塑性特性。
在数学上，弹性状态和塑性状态作如下定义：0<f 时，弹性状态 0=f 时，塑性状态这里，f 就是在应力空间定义了屈服面的屈服函数。
对于强化材料，如果应力状态趋向于移出屈服面的趋势，则可获得一个加载过程，而且能观察到弹塑性变形；会产生附加的塑性应变且当前的屈服（或加载）面构形也会发生改变，使应力状态总保持在后继加载面上。
如果应力状态有移进屈服面以内的趋向，则称为卸载过程，此时只有弹性变形发生，加载面仍然保持原样。
应力从塑性状态开始改变的另一种可能就是应力点沿着当前屈服面移动，这个过程叫做中性变载，与其相关的变形是弹性的。
区分这些现象的数学表达式就叫做加载准则，可用下列式子表示0=f 且0>∂∂ij ijd fσσ时，加载 0=f 且0=∂∂ij ijd fσσ时，中性变载（6-1）0=f 且0<∂∂ij ijd fσσ时，卸载 通常，f 函数形式是这样定义的，使得梯度矢量f ij ijn f=∂∂σ的方向总是沿着屈服面0=f 向外的法线方向。
因此，这些加载准则能用图6-1作简单的说明。
（a ） （b ）图6-1 加工强化材料的加载准则 （a ）单轴情况； （b ）多轴情况对于理想塑性材料，当应力点沿着屈服面移动时，能观察到弹塑性变形。
但是，它并不总是引起塑性变形而有可能被归到中性变载情况，因此对这种材料的加载准则给出定义如下0=f 且0=∂∂ij ijd fσσ时，加载或中性变载 0=f 且0<∂∂ij ijd fσσ时，卸载（6-2）应当指出，加载和中性变载过程不能用上述准则加以区别。
已经有人提出表述加载准则的不同的形式，可以用应变增量代替应力增量作出判断0=f 且0>∂∂kl ijkl ijd C fεσ时，加载 0=f 且0=∂∂kl ijkl ijd C fεσ时，中性变载（6-3）0=f 且0<∂∂kl ijkl ijd C fεσ时，卸载 在这里，ijkl C 是弹性刚度张量。
在Chen 等（Chen 和Zhang ，1991）的论文中可以找到关于上述加载准则的进一步讨论。
对于理想塑性材料来说，这种形式更具普遍性也更适用。
例如即将在后面6.3.1节中看到的，对于理想塑性材料，即使当0=∂∂ij ijd fσσ时也能找到塑性应变增量的值为零，也就是在式（6-4）中定义的0=λd 。
这是在式（6-4）中定义的中性变载过程。
在有限元分析中，需要从给出的或已知的应变增量中算出应力增量，这个计算需要给出或知道发生的变形是哪种形式。
式（6-1）和式（6-2）中惯用的准则并不很方便，因为要用他们就必须知道应力增量，而后面式（6-3）中的准则能使我们用很直接的方法去解决这个难点。
>ij d σ0=ijn 'σ6.2 流动法则在加载过程中会产生塑性应变，为了描述弹塑性变形的应力—应变关系，必须定义出塑性应变增量矢量p ij d ε的方向和大小，即：（1）各分量的比率；（2）它们相应于应力增量ij d σ的大小。
下面将以一个类似于理想流体流动问题的方式介绍塑性势能函数g 的概念，我们把流动法则规定如下：ijp ij gd d σλε∂∂= （6-4）其中，λd 是一个贯穿于整个塑性加载历史的非负标量函数。
梯度矢量ij g σ∂∂/规定了塑性应变增量矢量pij d ε的方向，也就是势能面0=g 在当前应力点的法线方向，由于这个原因，该流动法则也称作正交条件。
另一方面，塑性应变增量矢量的长度或大小由λd 确定。
如果塑性势能面与屈服面有相同的形状，也就是f g =，那么流动法则与屈服条件是相关联的，可用下式表示为ijp ij fd d σλε∂∂= （6-5）在这种情况下，塑性应变沿着当前加载面的法线方向产生。
式(6-5)中的正交条件虽很简单，但以此为基础建立的任何应力—应变关系，对一个给定的边界值问题有惟一解。
6.2.1 von Mises 形式的塑性势能函数von Mises 函数在应力空间中表示为圆柱体，其偏截面如图6-2所示。
这个塑性势能函数表示为0)(2=-=k J g ij σ（6-6）其中，k 为常数。
因此，由流动法则可得λεd s d ij p ij =（6-7）此式表明，应力主轴和塑性应变增量张量相应主轴是一致的，从式（6-7）可得到0==λεd s d kk p kk（6-8）所以，对这种类型的材料，体积变化是纯弹性的，不能产生塑性体积变化。
σ3σ'图6-2 在偏平面上的Tresca 和von Mises 准则由式（6-7）可推出λτγτγτγεεεd d d d s d s d s d zxpzxyz p yz xy p xy z p z y p y x p x ======222 （6-9）上述等量关系就是Prandtl —Reuss 方程。
它是Prandtl 在1925年扩展了原先的Levy —Mises方程（式6-10）得到的，而且第一次提出了理想弹塑性材料在平面应变情况下的应力－应变关系。
Reuss 在1930年又把Prandtl 方程扩展到三维情况并给出式（6-9）的一般形式。
在大塑性流动的问题中，弹性应变可以忽略不计。
在这种情况下，材料可以被认为是理想刚性塑性体，总的应变增量ij d ε和塑性应变增量p ij d ε可以认为相等。
这种材料的应力—应变关系可以写成λεd s d ij ij =（6-10a ）或λτγτγτγεεεd d d d s d s d s d zxzxyz yz xy xy z z y y x x ======222 （6-10b ）这个等量关系式就是Levy －Mises 方程。
在它们的发展过程中，St. Venant 在1870年第一个提出了应变增量主轴与应力主轴重合，上面的应力－应变关系由Levy 在1871年和von Mises 在1913年分别提出。
6.2.2 Tresca 形式的塑性势能函数在主应力空间，Tresca 函数表示为由六个平面组成的正六角棱柱体。
这个棱柱的偏平面见图6-2。
假设主应力的大小次序是321σσσ>>，那么就能定出相应的势能函数为 0231=--=k g σσ（6-11） 其中，k 为常数。
根据式(6-5)，与Tresca 势能涵数相关联的主应变增量则为)1,0,1(),,(321-=λεεεd d d d p p p（6-12）对于主应力1σ、2σ、3σ大小的其他五种代数顺序的组合可以得出类似的结果。
)(a 1-σ2-σk 2d 22,εσp d 33,ε1-σk2=)(b图6-3 与Tresca 屈服准则函数相关的流动法则（a ）塑性应变增量矢量的正则性 （b ）作为光滑面极限的顶点A在一个如图6-3(a )所示的主应力（主应变）增量组合空间里，塑性应变增量能用几何图形来讨论。
可以看出在321σσσ>>的平面AB 上的任何地方，塑性应变增量的方向都互相平行且垂直于Tresca 六角棱柱体的AB 面。
对于六角棱柱体的其他平面也能得到类似的关系。
在某些特殊情况下，比如321σσσ=>，情况就更复杂，因为最大剪应力值不仅在平行于2X 轴的045剪切面上，而且在平行于3X 轴的045剪切面上与屈服值k 相等。
因此有两种塑性应变增量的可能：（1）1max σσ=，3min σσ=)1,0,1(),,(1321-=λεεεd d d d p p p ，对于01≥λd（2）1max σσ=，2min σσ=)0,1,1(),,(2321-=λεεεd d d d pp p ，对于02≥λd在这种情况下，假定塑性应变增量矢量是前面所给两个增量的线性组合，即)0,1,1()1,0,1(),,(21321-+-=λλεεεd d d d d p p p ，对于0,21≥λλd d（6-13）这种假定适合于当前应力状态ij σ位于塑性势能面的顶点或奇异点的特殊情况。
一般地，塑性应变增量矢量必须位于六边形两相邻边的法线方向之间（图6-3（b ））。
一般地，在几个光滑势能面相交的奇异点处，应变增量通常可以表示成，在这点相交的各面的法线方向所确定的增量的线性组合，即∑=∂∂=nk ijkkp ijg d d 1σλε (6-14)式（6-13）、式(6-14)表明，在顶点处，塑性应变增量的方向是不确定的，要克服这个难点的一个办法，就是使顶点处光滑而且把Tresca 势能面看作这个光滑面的极限情况。
为此，我们采用Tresca 函数的另一种形式031sin 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k J g πθ（6-15）此处，θ在0与3/π之间取值。
当0=θ或θ＝3π时，上式简化为 32σ=J（6-16）实际上，上式就是von Mises 准则，而且表明顶点处的塑性应变方向由外接Tresca 面的von Mises 面来确定。
相反地，塑性势能面的顶点能被看作光滑表面的极限情况，而且对于角点处仍作为光滑面可应用流动法则。
如相应于Tresca 面的光滑面就是von Mises 面，如图6-2和图6-3（b ）中的点A 所示。
6.3 理想塑性材料的增量应力－应变关系理想塑性材料的加载准则要求应力增量矢量ij d σ相切于屈服面，而流动法则要求塑性应变增量矢量p ij d ε是在塑性势能面的法线方向。
接着再确定p ij d ε的大小，即λd ，一旦λd 确定，就能建立ij d σ和p ij d ε之间的关系。
6.3.1 一般形式设主应变增量为弹性应变增量与塑性应变增量之和，即p ij eij ij d d d εεε+=（6-17）弹性应力增量与应变增量的关系通过虎克定律确定eklijkl ij d C d εσ= （6-18）塑性应变pij d ε从式（6-4）中的流动法则可以得到。
