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§5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数学习目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝x 3 f ′(x )＝3x 2 f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．若f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( √ )3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若y ＝sin 60°，则y ′＝cos 60°.( × )一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 0； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫13x； (3)y ＝lg x ； (4)y ＝x 2x ；(5)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)y ′＝0.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫13x ln 13＝－⎝⎛⎭⎫13x ln 3. (3)y ′＝1x ln 10.(4)∵y ＝x 2x＝32,x∴31223322y'x 'x x ⎛⎫===. ⎪⎝⎭(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．(3)要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝2 020； (2)y ＝13x 2；(3)y ＝4x ； (4)y ＝log 3x .解 (1)因为y ＝2 020， 所以y ′＝(2 020)′＝0. (2)因为y ＝13x 2＝23x -，所以y ′＝251332233.x x ---=-－ (3)因为y ＝4x ， 所以y ′＝4x ln 4. (4)因为y ＝log 3x ， 所以y ′＝1x ln 3. 二、利用导数研究曲线的切线方程例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 延伸探究求曲线y ＝ln x 的过点O (0,0)的切线方程．解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1x 0.又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练2 (1)函数y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为( ) A ．y ＝12x －16 B ．y ＝12x ＋16 C ．y ＝－12x －16 D ．y ＝－12x ＋16答案 A解析 因为y ′＝3x 2， 当x ＝2时，y ′＝12， 故切线的斜率为12， 切线方程为y ＝12x －16.(2)已知曲线y ＝ln x 的一条切线方程为x －y ＋c ＝0，求c 的值． 解 设切点为(x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 得y ′＝1x.因为曲线y ＝ln x 在x ＝x 0处的切线方程为x －y ＋c ＝0，其斜率为1. 所以0=|x x y'＝1x 0＝1，即x 0＝1， 所以切点为(1,0)． 所以1－0＋c ＝0， 所以c ＝－1.利用导数公式求切点坐标问题典例 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 解 由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点， ∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的切线斜率为k ＝y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.故可得P (1,1)，∴与直线l 平行的抛物线的切线方程为2x －y －1＝0. 故P (1,1)点即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大．[素养提升] (1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． (2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．1．给出下列命题： ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于①，y ′＝0，故①错；对于②，∵y ′＝－2x 3，∴y ′|x ＝3＝－227，故②正确；显然③，④正确．2．已知f (x )＝x ，则f ′(8)等于( ) A ．0 B ．2 2 C.28D ．－1 答案 C解析 f (x )＝x ，得f ′(x )＝1212x -，∴f ′(8)121=828⨯=-3．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 答案 ACD解析 只有B 是错误的．因为y ′132212'x 'x --⎛⎫===-= ⎪⎝⎭4．已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝ .答案 1解析 因为f (x )＝ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 ．答案 x ＋y －6＝0 解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)， 即x ＋y －6＝0.1．知识清单： (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． (3)切线方程．2．方法归纳：方程思想、待定系数法． 3．常见误区：不化简成基本初等函数.1．下列求导运算正确的是( ) A ．(cos x )′＝－sin x B ．(x 3)′＝x 3ln x C ．(e x )′＝x e x －1 D ．(ln x )′＝1x ln 10答案 A2．下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(5x 2)′352;5x -= ④(cos 2)′＝－sin 2. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 ∵②(x －1)′＝－x －2； ④(cos 2)′＝0. ∴②④错误，故选A.3．已知函数f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)，若f ′(－1)＝－4，则α的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝αx α－1，f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4， ∴a ＝4.4．若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 f ′(x )＝－sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 5．(多选)已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1) D ．(1，－1)答案 BC解析 y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 6．已知[cf (x )]′＝cf ′(x )，其中c 为常数．若f (x )＝ln 5log 5x ，则曲线f (x )在点A (1,0)处的切线方程为 ． 答案 x －y －1＝0解析 由已知得f ′(x )＝ln 51x ln 5＝1x， 所以f ′(1)＝1，在A 点处的切线方程为x －y －1＝0.7．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是 ． 答案 4解析 因为y ′＝12x，所以切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，所以a ＝4.8．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ． 答案 (1,1) 解析 设f (x )＝e x ， 则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1.设g (x )＝1x (x >0)，则g ′(x )＝－1x2.由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1. 所以P (1,1)．9．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 10．已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝⎛⎭⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解 设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为y ′＝2x ，所以k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上，所以x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12， 所以x 0＝1或x 0＝－2，则k ＝2或k ＝－4， 所以直线方程为y ＋2＝2⎝⎛⎭⎫x ＋12或 y ＋2＝－4⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即2x －y －1＝0或4x ＋y ＋4＝0.11．已知函数f (x )＝x 3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．多于2条 D ．不能确定答案 B解析 y ′＝f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，x 30)， 由3x 20＝1，得x 0＝±33， 即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处均有斜率为1的切线，故有2条． 12．若曲线y ＝x α＋1(α∈Q 且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝ . 答案 2解析 y ′＝αx α－1，所以y ′|x ＝1＝α，所以切线方程为y －2＝α(x －1)，即y ＝αx －α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.13．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，则关于x 的不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为 ．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π2＋2k π，k ∈Z 解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1， ∴由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，则sin x ＝1，解得x ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝ . 答案 sin x解析 由已知得，f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f 2 020(x )＝f 4(x )＝sin x .15．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.16．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，求a 1＋a 2＋…＋a 99的值．解 导函数y ′＝(n ＋1)x n ，切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，所以切线方程为y ＝(n ＋1)x －n ，可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1，0，则a n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.。
第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。
（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。
第1讲函数及其表示【2013年高考会这样考】1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．一个方法求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .双基自测1．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )．A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 2．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x B ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)C ．f (u )＝1＋u1－u ，g (v )＝ 1＋v1－vD ．f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2 4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )．A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 5．函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．考向一 求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域： (1)f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)；(2)f (x )＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4.【训练1】 (1)已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x －12的定义域；(2)已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域．考向二 求函数的解析式【例2】►(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．【训练2】 (1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．(2)已知f (x )＋2f (1x )＝2x ＋1，求f (x )．考向三 分段函数【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)【训练3】已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．【示例】►求函数y＝log 13(x2－3x)的单调区间．【试一试】求函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调区间．第2讲函数的单调性与最值【2013年高考会这样考】1．考查求函数单调性和最值的基本方法．2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．【复习指导】本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握．基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间． 2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 .①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 结论M 为最大值M 为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 两种形式设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．双基自测1．设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为 A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2,0)∪(0,2)2．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______． 5．若x ＞0，则x ＋2x 的最小值为________．考向一函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f(x)＝xx2＋1的单调性．【训练1】讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考向二利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】►已知函数f(x)＝x2＋ax(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．【训练2】函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3考向三 利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．【训练3】 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．规范解答2——如何解不等式恒成立问题【问题研究】在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置.【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等.【示例】►(本题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求a的取值范围．【试一试】当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是_____ 第3讲函数的奇偶性与周期性【2013年高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性。
教学设计-------导数及其应用一．教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求最值极值过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性、最值的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
二．教学重难点对于函数导数及其应用，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索研究切线、单调区间、最值和极值。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
三．教法分析：1．教学方法的选择：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
3．教学课堂结构知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用（例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升）—课堂小结—作业布置四．学法分析：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
五．教学过程：（一）知识回顾从已学过的知识（导数几何意义、求导公式、判断二次函数的单调性、极值）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性、求极值），引起认知冲突，激发学习的兴趣。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一． 复习引入1. 导函数定义当x =x 0时, f ´(x 0) 是一个确定的数.这样,当x 变化时, f ´(x )便是x 的一个函数,我们称它为f (x )的导函数.即:2. 由定义求导数（三步法）二． 课堂探究探究点1 试求几种常见函数的导数（1） f (x)=c （c 为常数）（2） f (x)=x（3） f (x)=x 2思考：从（2）（3）（4）你能发现（x n ）'=?结论：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 函数 导数 y c ='0y = y x = '1y =00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x ∆→∆→∆+∆-''===∆∆xx f 14=)()(三．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表小试牛刀：1、 求下列函数的导数（1）f(x)=a 2.（2）f(x)=x 12.（3）f(x)=x -4.（4）f(x)=lgx.设计意图：让同学熟悉公式，能够用简单的公式求简单函数的导数 导数运算法则 2y x = '2y x = 1y x = '21y x =- *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= 函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅> ()x y f x e == 'x y e =()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）四．典例分析例1．求下列函数的导数:735(1)1;2(2).y x x x y x x=+-+=-（3）y =x 2sin x（4）y ＝x x 4； 【点评】○1 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例2．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．例 3.日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =- （1） 因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2） 因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．五．课堂练习2.函数 y =sin x (cos x ＋1)的导数为______________.3.曲线y=x 3＋x 2＋l 在点P(－1，1)处的切线方程为 .六．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则七．布置作业 活页作业NO.13基本初等函数求导公式及运算法则学情分析在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们在处理这部分内容时不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。
第二章 函数概念与基本初等函数第7课时 第一节 函数及其表示教学目标：理解并掌握函数的概念及其三要素；了解分段函数以及映射的概念 教学重点：理解和掌握函数的基本概念 y=f （x ）表示函数一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。
二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有 、 、 。
例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. B. C. D. 变式训练1：下列函数中，与函数y=x 相同的函数是 （ ）A.y=B.y=()2C.y=lg10xD.y=例2.给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.变式训练2：（1）已知f （）=lgx ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （）=3x ，求f （x ）.1,xy y x ==211,1y x x y x =-+=-33,y x y x ==2||,()y x y x ==xx 2x x2log 2x x 12+xx1典型例题基础过关例3：已知函数f(x)=（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f 的值.总结1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．第7课时 第二节 函数的定义域和值域教学目标：1.掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域.2.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．教学重点：掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域 教学难点：握求函数值域的常用方法的技巧，弄清函数的值域和函数最值的关系 一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x [])1(-f例如：① 形如y ＝，可采用 法；② y ＝，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －，可采用 法；⑤ y ＝x －，可采用 法；⑥ y ＝可采用 法等.例1. 求下列函数的定义域： （1）y=; (2)y=; (3)y=.变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=+(x-1)0; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(;(4)y=f(x+a)+f(x-a).变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x -a)（0＜a ＜）的定义域是 （ ） A. B.［a ，1-a ］ C.［-a ，1+a ］ D.［0，1］例3. 求下列函数的值域：（1）y= (2)y=x-; (3)y=.变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=; (2)y=|x|.例4．若函数f （x ）=x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值. 变式训练4：已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；f(a)=2-a|a+3|的值域.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.221x +)32(2312-≠++x x x x -121x -xxcos 2sin -xx x -+||)1(0232531x x -+-1·1-+x x 212)2lg(xx x -+-)34lg(2+x x 225x -x1)31()31-++x f x 21∅;122+--x x xx x 21-1e 1e +-x x 521+-x x21x -21典型例题 小结归纳第8课时 第一节 函数的单调性教学目标：1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
