李永乐线代笔记,DOC

李永乐线性代数要注重知识点的衔接与转换考研复习现在已经进入整理冲刺阶段，这段时间大家应把复习过的知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也可适当做几套模拟题，这既可查漏补缺也可兼代积累一点临场经验。

本文现针对线性代数课程的特点，提如下建议供考生参考。

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。

例如，矩阵A＝（α1，α2，……，αm）与B＝（β1，β2……，βm）等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r（A）与r（B）是否相等，而向量组α1，α2，……αm与β1，β2，……βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，……αm与β1，β2，……βm等价，可知矩阵A＝（α1，α2，……αm）与B＝（β1，β2，……βm）等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。

又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx 的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P－1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～B A B，即相似是合同的充分条件。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

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主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记一——行列式的定义和性质1、二、三阶行列式的定义解二元线性方程组 a 11x 1+a 12x 2=b 1a 21x 1=a 22x 2=b 2用消元法去x 2得 （a 11a 22-a 12a 21）x 1=b 1a 22-b 2a 12, 消去x 1得 （a 11a 22-a 12a 21）x 2=a 11b 2-a 21b 1, 当a 11a 22-a 12a 21≠0时，得出211222*********a a a a a b a b x --=， 211222111212112a a a a b a b a x --=分子与分母都是由4个数构成的两对乘积之差，例如分母是由方程的4个系数确定的，若将4个系数按出现在方程中的相对位置排成二行（横为行）二列（纵为列）的数表a 11 a 12 a 21 a 22a 11a 22-a 12a 21就是二对角线上两个数乘积之差定义1 a 11a 22-a 12a 12称为由数表 a 11 a 12 a 21 a 22确定的二阶行列式，记作：11122122,,a a a a 改为 11122122a a a a 即1112112212212122a a a a a a a a数a ij (i,j=1,2)称为行列式的元素，a ij 的第一个下标i 称为行标，第二个下标j称为列标，a ij 表示该元素在第i 行，第j 列。

由以上定义知： 222121122221,,a b a b a b a b =- ，221111121211b a b a b a b a =- 把行列式中元素间的逗号去掉，两个元素间应该有空格。

于是以上所得的方程组的解完全可以用行列式表示。

仿照以上解二元联立方程组，用消元法解三元联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 可以引出三阶行列式的概念。

第一章行列式性质1 行列式与它的转置行列式相等。

性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式。

第行（或者列）乘以，记作(或)。

推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

第行（或者列）提出公因子，记作(或)。

性质4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。

性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则等于下列两个行列式之和：=性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

定义在阶行列式，把元所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记作；记，叫做元的代数余子式。

引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

范德蒙德行列式克拉默法则①如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即，那么，方程组①有唯一解其中是把系数行列式矩阵中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。

定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式定理如果，则它的系数行列式必为零第二章矩阵级其运算定义1 由个数排成的行列的数表，称为行列矩阵；以数为元的矩阵可简记作或矩阵也记作。

行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。

阶矩阵也记作。

特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵同型矩阵和的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作；注意不同型的零矩阵是不同的。