线代笔记

1、1二阶行列式和三阶行列式

1、定义由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表22211211

aaaa

)5(4

2221121121122211

aaaaaaaa

行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式

即.

21122211

22211211aaaa

aaaa

D

2、定义

记

（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.

2、2全排列及其逆序数

1、定义：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）.n个不同的元

素的所有排列的种数，通常用Pn表示.

2、我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.

3、定义：在一个排列中

nstiiiii

21，若数

stii

则称这两个数组成一个逆序.

4、定义：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.

5、排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。

6、计算排列逆序数的方法

方法1）分别计算出排在n,n,

,

,121

前面比它大的数码之和即分别算出n,n,,,121

这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.

方法2）分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的

逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.

例：分别用两种方法求排列16352487的逆序数.333231232221131211

)5(339

aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有

,312213332112322311322113312312332211)6(

aaaaaaaaaaaaaaaaaa



333231232221131211

aaaaaaaaa

1、3n阶行列式

1

、定义：nnnnnnnpppt

aaaaaaaaa

Daaannn

n



212222111211212

.)1(

21



记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由

2

为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中

tnppp

n21

21

3、说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方

程组的需要而定义的;2、n阶行列式是n！项的代数和；3、n阶行列式的每项都是位于不同

行、不同列n个元素的乘积;4、

一阶行列式aa

不要与绝对值记号相混淆；5、nnpppaaa

2121

的符号为

.1t



4

、

1、4对换

1、定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对

换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．

2、定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．

推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

3、定理n阶行列式也可定义为

npppt

naaaD

21

211



其中t为行标排列nppp

21

的逆序数.

4、定理n阶行列式也可定义为

nnqpqpqptaaaD

22111



其中nnqqq,ppp

2121

是两个n级排列，t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和

.

n

nn

nppp

pppppptnnnnnn

aaaaaaaaaaaa

D





21

2121

21212222111211

1

).det(

ija简记作的元素．称为行列式数)det(

ijijaa1、5行列式的性质

性质1行列式与它的转置行列式相等.

[说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列

也同样成立.]

性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.

推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.

性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘

此行列式.

推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.

性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应

的元素上去，行列式不变．

例计算n

阶行列式

abbbbabbbbabbbba

D





1、6行列式按行和列展开

1、余子式与代数余子式：在n阶行列式中，把元素ija

所在的第i行和第j列划去后，留下

来的

n-1阶行列式叫做元素ija

的余子式，记作.

ijM

，记

ijji

ijMA

1

叫做元素ija

的代数

余子式．2、引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除

ija

外都为零，那末这行列式等于ija

与它的代数余子式的乘积，即

ijijAaD

．

3、定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

ininiiiiAaAaAaD

2211

ni,,2,1

4、范德蒙德(Vandermonde)

行列式





1

11

21

122

22

121

).(111

jinji

n

nnnnn

nxx

xxxxxxxxx

D





ni,,2,1

5、推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等

于零，即.,0

2211jiAaAaAa

jninjiji

6、







;,0,,

1jijiD

DAa

ijn

kkjki

当当









;,0,,

1jijiD

DAa

ijn

kjkik

当当



1、7克拉默法则

1、非齐次与齐次线性方程组的概念：设线性方程组









nnnnnnnnnn

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa



22112222212111212111

,,,,

21不全为零若常数项

nbbb

则称此方程组为非齐次线性方程组

此时称方程组为齐次线性方程组.

2、克拉默法则：如果线性方程组









nnnnnnnnnn

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa



22112222212111212111

的系数行列式不等





.,0,1

jiji

ij

当，当

其中

,,,,

21全为零若常数项

nbbb

于零，即nnnnnn

aaaaaaaaa

D



212222111211

0

那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以表为.,,,,2

32

21

1DD

x

DD

x

DD

x

DD

xn

n

其中D

j是把系数行列式D中第j列的元素用方

程组右端的常数项代替后所得到的n

阶行列式，即

nnjnnjnnnjj

j

aabaaaabaa

D



1,1,111,111,111





3、定理1如果线性方程组（1）的系数行列式D≠0则（1）一定有解,且解是唯一的.

4、定理2如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

5、齐次线性方程组的相关定理

2

000

221122221211212111









nnnnnnnnn

xaxaxaxaxaxaxaxaxa



1）定理：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式D≠0则齐次线性方程组（2）没有非零

解.

2）定理：如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它系数行列式D=0。

2、1矩阵

1、定义：由m×n个数

njmia

ij,,2,1;,,2,1

排成的m行n列的数表

mnmmnn

aaaaaaaaa



212222111211

称为m×n矩阵.简称m×n矩阵.

记作

简记为

.

ij

nmijnmaaAA

.,简称为元的元素个数称为这Anm

元素是实数的矩

阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。m=n方阵；只有一行，行矩阵（行向量）；只

有一列，列矩阵（列向量

）记作



.,,,

21ndiagA

都是1为单位阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零矩阵记

作nmo

或

O.