线性代数
序章线性代数基础知识
1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n阶方阵，记作I
在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI对应常数k
2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O
3.矩阵的p阶子式：设},min{nmL，指以）（Lpaapp11的p个元素为主对角线构成的，含2p个元素的p阶方阵的行列式
第一篇线性空间
第一章向量和向量组
1.1 线性组合
1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A对应一个矩阵的列（或行）向量组A’
2.线性表示：如果存在一组数ix使向量niiiiaxb1，那么称b能被向量组A（或记ia）线性表示；
也就是线性方程组Ax=b有解（这也是求坐标表示的方法）
3.等价：如果向量组B’中的任何向量b都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价；
也就是矩阵方程AX=B和BX-1=A都有解，即)()(BrAr
行向量组等价与矩阵等价的关系：
（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念
（2）当两个同型矩阵A，B的列向量组等价，A与B等价
此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)
（3）当矩阵A与B等价，经行/列变换得到B，则A与B的行/列向量组等价 1.2 线性相关性和秩
1.线性相关：对于向量naaa,...,,21，如果存在不全为零的实数nkkk,...,,21使得01niiiak，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解
线性无关：对于向量naaa,...,,21，如果当且仅当nkkk,...,,21全为零时，才有01niiiak，那么这些向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解
2.判定方法：如果向量组A对应的矩阵的秩
如果向量组A对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A线性无关；
3.向量组的秩定义：向量组A中线性无关向量的最大个数，记为r，A中任意r+1个向量都线性相关
1 同济5版 工程数学—线性代数 公式归总
第1章、行列式
1. n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；
2. 逆序数的计算（奇、偶排列）；
3. 对换：（在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．）
a. 定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数．
b.
4. 如果1个n阶行列式=0的元素比2n-n还要多，则此行列式=0；
5. 证明两个行列式相等（1.有完全相同的项；2.每一项所带的符号相等）；
6. 在全部n阶排列中（n>=2），奇偶排列各占一半；
7. DD,1)T即式相等行列式与它的转置行列 ；
行列式变号列互换行列式的两行),()2；
则此行列式等于零完全相同列如果行列式有两行,)()3；
. ,)()4乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行kk
面以提到行列式符号的外的所有元素的公因子可列行列式中某一行 )( )5
., )( )6则此行列式为零元素成比例列行列式中如果有两行
., )( )7列式之和则此行列式等于两个行的元素都是两数之和行若行列式的某一列
行列式的值不变对应的元素上去行然后加到另一列的各元素乘以同一数行把行列式的某一列, )( , )( )8
8.余子式与代数余子式P16-21；
9.一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除ija外都为零，那末这行列式等于ija 与它的代数余子式的乘积，即ijijAaD ;
10.行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.,02211jiAaAaAajninjiji；
11. 代数余子式的性质：
①、ijA和ija的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
线性代数公式总结
行列式
1. n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、ijA和ija的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；
3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM
4. 设n行列式D：
将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)nnDD；
将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22(1)nnDD；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；
将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；
5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；
③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；
④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；
⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBC
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6. 对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；
7. 证明0A的方法：
①、AA；
②、反证法；
③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；
④、利用秩，证明()rAn；
⑤、证明0是其特征值；
矩阵
1. A是n阶可逆矩阵： 0A（是非奇异矩阵）；
()rAn（是满秩矩阵）
A的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组0Ax有非零解；
nbR，Axb总有唯一解；
A与E等价；
A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A的特征值全不为0；
TAA是正定矩阵；
A的行（列）向量组是nR的一组基；
线性代数笔记11——向量空间
向量空间⼜称线性空间，是线性代数的中⼼内容和基本概念之⼀。在解析⼏何⾥引⼊向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清
晰，在此基础上的进⼀步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。
线性组合
线性组合（liner combinations）这个概念曾经被多次提到，如果v1,v
2…v
n是n维向量，即vi∈Rn，那么t1v
1 + t
2v
2 + … + t
nv
n就是v1,v
2…
v
n 的线性组合，t
i∈R。从定义可以看出，线性组合仅包括乘法和加法，只有同阶向量才涉及到线性组合。
如果有两个⼆维向量：
下⾯是可能存在的线性组合：
最后⼀个组合最终得到零向量，零向量也是⼀个线性组合。此外，按照惯例，单个向量⽤列向量表⽰。
单个向量同样存在线性组合。下⾯是a可能存在的线性组合：
向量空间
概念没什么好解释的，经常提到⼆维空间R2，三维空间R3，n维空间Rn，这些就是向量空间。
以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么R2空间的所有向量都可以⽤a和b的线性组合得出；a和b的所有线性组
合都在R2空间内。这也意味着，向量空间对向量的所有线性组合封闭。下⾯是⼀个不封闭的例⼦，如果定义R2的第⼀象限是向量a(1,1)的向
量空间，那么a的所有线性组合应该全部在第⼀象限内，但是 –a却落在了其它象限，所以第⼀象限不对a封闭，也不是a的向量空间。
向量张成的空间
如果⼏个向量的线性组合在某⼀个向量空间中，并且该向量空间仅包括这⼏个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这⼏个向量张
成的空间。简单地说，N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合。
以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么a,b张成的空间就是R2，⽤span(a, b) = R2 表⽰。如果是两个平⾏的向
量，a’ = <1, 1>，b’ = <-1, -1>，那么它们⽆法张成R2，因为⽆论怎样线性组合，也不可能得到<1, -1>，实际上，a’b’ 张成的空间是⼀条直
