线性代数笔记
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线性代数笔记
第一章 行列式 ..................................................................................................................................
第二章 矩阵 ......................................................................................................................................
第三章 向量空间...........................................................................................................................
第四章 线性方程组.........................................................................................................................
第五章 特征值与特征向量 .............................................................................................................
第一章 行列式
1.3.1 行列式的性质
给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。
性质1 转置的行列式与原行列式相等。即
(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)
性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。
可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。
以二阶为例
推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。
性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。
性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，
注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。
性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。
范德蒙德行列式
例10 范德蒙行列式……
.
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)
1.4 克莱姆法则
定理1.4.1 对于n阶行列式
定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:
定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。
推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
1、矩阵的加法
设A=（aij）m×n? ，B=（bij）m×n? ，则
A+B=（aij+bij）m×n?
矩阵的加法适合下列运算规则：
（1）交换律：A+B=B+A
（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
（3）A+0=0+A=A
此处0表示与A同型的零矩阵，即A=（aij）m×n?，0=0m×n?
（4）矩阵A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+（-A）=（-A）+A=0
2、矩阵的数乘
设A=（aij）m×n，K为数，则
KA=（Kaij）m×n
矩阵的数乘适合下列运算规则：
（1）K（A+B）=KA+KB
（2）（K+L）A=KA+LA
（3）（KL）A=K（LA）
（4）1*A=A
（5）0*A=0（左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。）
3、矩阵的乘法
设A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则
A*B=C=（cik）m×l
其中C=Σaijbjk（j=1，n）
注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；矩阵乘法有零因子，即A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能A*B=0（零矩阵）
矩阵的乘法适合以下法则：
（1）结合律：（AB）C=A（BC）
（2）分配律（A+B）C=AC+BC
???????????????????? C（A+B）=CA+CB
（3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此处k是一个数。
由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A来说，A的方幂是有意义的，即Ak=A*A…A共k个A相乘，从而有
（1）AkAl=Ak+l
（2）（Ak）l=Akl
（3）InA=AIn=A
4、矩阵的转置
将矩阵A的行变成列，列变成行得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A/
注意A是m×n矩阵，则AT为n×m矩阵
矩阵的转置适合下列运算法则：
（1）（AT）T=A
（2）（A+B）T=AT+BT
（3）（kA）T=kAT
（4）（AB）T=BTAT
5、方阵的逆矩阵
设A，B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则
1.可逆，且。 AA-1=A-1A=E
2.AB可逆，。
3. 也可逆，且。 （A-1）k=（Ak）-1 4.kA也可逆，且。（注：K不能为0）
5.消去律 设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。
若a≠0，ab=ac则b=c。
6.设A是n阶可逆方阵。定义 ，并定义。则有，其中k，l是任意整数。
7.设A 是 n阶可逆方阵，则。
2.3.1 逆矩阵的定义
定义2.3.1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。
则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。
若这样的B不存在，则称A不可逆。
定理2.3.1 可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。
定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。
推论 设A，B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且。
2.4.1 分块矩阵的概念
对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。 即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算
（1）准对角矩阵
方阵的特殊分块矩阵
形如
的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。
（2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积
则
（3）准对角矩阵的逆矩阵 若均为可逆阵。
可逆，且。
（4）准上（下）三角矩阵的行列式
。
可以证明
※（1）用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！
（2）在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，而且不必化成简化行阶梯形矩阵
定义2.5.1（线性方程组的初等变换）
称下列三种变换为线性方程组的初等变换。
（1）两个方程互换位置；
（2）用一个非零的数乘某一个方程；
（3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。
显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。
事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。
二、矩阵初等变换的定义
定义2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变
（1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；
（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）；
（3）将矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）上去。 把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。
定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。
等价具有反身性 即对任意矩阵A，有A与A等价；
对称性 若A与B等价，则B与A等价
传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。
三、矩阵的行最简形式和等价标准形
简单地说，就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。
阶梯形矩阵的定义：满足
（1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；
（2）各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标j随着行
指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行）
行最简形式
以称满足（1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是1；（3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。
若允许再作初等列变换可继续得
这最后的式子就是A的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵，也可能为或。
2.5.2 初等方阵
定义2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。
以三阶方阵为例
第一种：
第二种：
第三种:
显然，初等阵都是非奇异阵。
2.5.3 用初等变换法求逆矩阵
因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即
