第五章 不定积分习题答案

第一章 函数 习题 函数一、填空题：略 . 二、略 . 三、图略 .四、图略； 0 ， 2， 6.五、 1.函数 f (x) 与 g(x) 不相同 ； 2.函数 f (x) 与 g(x) 是同一个函数3六、 y log a (2 t)3 .七、 1. y log a u,u sin v, v 2w ,w x 1；2. y arcsin u, u v,v lg w,w x 1 ；2x3. y cosu,u v ,v e 1 ；224. y u ,u cosv,v ln w,w x 2x 1.第二章 极限与连续 习题一 极限的概念一、判断题：略 . 二、图略； lim f (x) =0.x0三、 (1) f(x)无定义 ,g(1) 2,h(1) 3；左极限 lim f(x) 0；右极限 lim f (x) 1；函数在 x 0处的极限不存在 . 0(2) lim f(x) 2； lim g(x)2； lim h(x) 2. x1四、五、 1)lim x1f(x)2； lim f(x)x11；lim f (x) 不存在；x12) lim 3 x 2f(x)9lim f (x) 34x29； lim 3 f (x) 9； x 3 423)lim x2f (x)4； lim f(x)x28； lim f(x)不存在 . x2习题二 极限的四则运算、求下列极限1. 30；2. 17 ；3. 40 ； 、 10x 2 x ；1．1 4. ．4四、求下列极限21. ；3 五、 1． 六、 1 ．习题三 两个重要极限、求下列极限11. 1；2. 16；3.；4. 1；5. 1； 6. 8．24、求下列极限3 2 91. e ；2. e ；3. e ；4.习题四 无穷小与无穷大一、 1. x ； 2. x0．二、 1. x 1 及 x； 2. x ．三、 1. x 1 ； 2. x 1．四、求下列极限1. 0；2. 0 ．五、 sin 3 x 是比 4x 2 高阶的无穷小． 六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．习题五 函数的连续与间断一、选择题：略 . 二、 a 2.三、 1. 可去间断点是 x 1 ；2. x 7 为函数的第二类间断点； x 1为函数的跳跃间断点四、求下列极限11 1. 0； 2. ； 3. ； 4. 4.22五、 1,4 为函数的定义区间，即为函数的连续区间 .、求下列极限1. 12；2. 0 ；3. 4；4. 1 ．62.12．e5第三章 导数与微分 习题一 导数的定义3一、 1. f (1) 2；2. f (2) 3. 4二、y a .三、 f (0) 0.四、左导数 f (0) 1，右导数为 f _(0) 0 ，函数在 x 0处的导数不存在五、在( 1 ， 1)点处切线平行于直线 .习题二 导数的四则运算、填空题：略． 、求下列函数的导数41. y 5x ； xln22. y e x (sin x cosx) ；323.y 1 x 2 5 x 33三、① 定义域 R 即为函数的连续区间；4. y5. y12[(2xln x 1cos 2 xx23sec x1 1 x 22x) cosx (1 x )ln xsinx]；；6.2xarctanx2x1 x 2dy 2x 5sinx 5dx 25 x 5cosx ；③ 由定义，f (0) 0 ；④ f (x) 23 255x 5 sin x x5 cosx ．习题三复合函数求导5第一章 函数 班级 学号 姓名1 3sin 3x ；；x cos3xw sin 2( wt )；a(t) 2w 2 cos2(wt ).e f(x)[f (e x )e x f(e x )f (x)] .习题四 隐函数 对数函数求导 高阶导数 、是非题：略．、求下列方程所确定的隐函数 y f (x) 的导数三、用对数求导法求下列函数的导数2. y 2x12e2 2 cosx ；x 23. y 360(12x)8；4. y 6 400sin2x ．2 d dx y x 2x (2lnx 2)．一、填空题：略 . 二、求下列函数的导数1. sin2x sin x 22xsin 2 xcosx2.sin2x 2 1e [sec ( x 12 ) 2cos2xx2tan 1x]；3.99200(1 x)99101 (1 x)1014.xcos1 1ex[cosx 1sin 1] ；xx5.6.2xln x ln(ln x)四、v(t) 1. yxy1 e x esin x； ；x2.xyyexyex1. y1 4 (x 1)(x 1)3(23 4x) (1 4 (x 2)(x 3)(x 13 x14 1 1 )23 4x x 2 x 3)三、求方程所确定的隐函数 y f(x)的微分 dye x 2xyb 2 x1. dy 2dx ； 2. dy 2 dx .x 2 cosya 2 y四、利用微分计算下列各数的近似值1. 3 1.01 1.0033 ；2. e 0.21 1.21.五、球的体积扩大约为 1800π cm 3.第四章 微分学的应用 习题一 洛必达法则、是非题：略 . 、求下列各式的极限1. 0 ；2. 1；3. 1；4. 0.、求下列各式的极限1. 0；2. 0 .四、求下列极限11. 0 ；2. 1；3. 1；4.e 2 ；5. 3；6. 0.、填空题：略 、求下列函数的微分1. dy 2(1 x cosx)1 sinx dx ；2. dy e 2x (2sin3x 3cos3x)dx ； 习题五 微分3. dy4. dy2ln x 3 dx ； x3e 3x 1 1 e 6x 2dx .习题二函数的单调性一、单项选择题：略．二、求下列函数的单调区间1. 单增区间( ,0) (2, ) ，单减区间(0,2) ；2. 单增区间( ,0)，单减区间(0, ) ；113. 单增区间(2, ) ，单减区间(0,2)；4. 单增区间( , 1) (0, ) ，单减区间( 1,0) ．三、提示：利用函数单调性证明．11 四、单调递增区间( , ) ，单调递减区间( , ) .22习题三函数的极值一、单项选择题：略．二、1. f (x) ；2. f (x)；3. 极小值；4. f(1) 3．三、最大值为f( 1) 10 ，最小值为f (3) 22．四、极大值为f(0) 0 ，极小值为f( 2 ) f( 2 ) 1．2 2 4五、当直径2r与高h之比为1∶1时，所用的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点、填空题：略．、曲线在( 2332 3)及(2 333) 内上凹, 在( 2 3, 2 3) 内下凹，拐点为3323 109)和四、示意图第五章 不定积分 习题一 不定积分的概念与基本公式 、填空题：略 .、选择题：略 . 三、计算下列不定积分1332. 3x C ； x 3 5x ln 5 13. 3sinx 2ln x C ；x4.cosx 2 arcsin x πx C .四、求解下列各题1.f (x)dx 2e 2x C ；x22. f (x) e sec x ； 33. 所求函数为 y x 3 3x 2.习题二 不定积分的换元积分法三、函数在 (0,2) 上的极大值为 f ( ) 2327，极小值为 f(1) 1 ；最大值为 f(2) 1 ，最小值为f(1)1；拐点为 (23， 25 27). 1.13C ；一、填空题：略．二、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分1. 1 x2 3C；2. 1arcsinx2C ；23. 1ln(14 x4) arctan x24. tanx 1tan4x C ；32 321 x C；5. 1 x2333arccos C6. x2 9x习题三分部积分法简单有理函数的积分、填空题：略.、多步填空题：略. 、求下列不定积分1x1. 2e 1 x 1 x 1 C ；22xx2. ( x)ln x x C ；242x3. (x 2x 2)e C ；6. ln(x x23)2C.四、e2x f (e x)dx e x f (e x) f (e x) C．第六章定积分习题一定积分的概念微积分基本公式234. x arcsin x (1 x2)2 C；5. 2 xcos x 2sin x C、选择题：略 . 、求下列定积分、解答下列各题41. f (x) sinx 2x ；习题二 定积分的换元积分法与分部积分法 、 填空题：略 .、 求下列定积分π21 2 π 3 1. 2(2 e) ； 2. ； 3. (e 2 1) ； 4.1；324 12 2921221 5. ln ；6. 2；7. (e 21) ； 8. ln4a 2223习题三 定积分的应用六、 P 18 g .、S3.、Vπr 32h . 、(1)S 2；1. 334；2.44 2 4；3.2 ；4. 1π；5. 4 ；6.42.l ximx0 f(t)dt3.21 f(x)dx(2π 4) : (8π 2π 4)= (6π 4) : (18π 4).33习题四 反常积分、填空题：略．、选择题：略．三、计算下列广义积分1π1. ；2. ．22四、1 x2 dx发散x 2第七章 常微分方程习题一 常微分方程的基本概念与分离变量法一、判断正误：略 . 二、填空题：略 . 三、多步填空题：略 . 四、求解下列各题21 1. 1 y 2C （其中 C C 1为任意常数） ；3x习题二 一阶线性微分方程习题三 二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略． 二、多步填空题：略． 三、求下列微分方程的通解6x x1.y C 1eC 2e ；2. 冷却规律为 T （t ） 20 30ekt一、填空题：略． 二、多步填空题： 略．三、通解为 y1 Cex 2其中 C 为任意常数） ．2. y(C 1C 2x)e 5x ；3. y1xe 2x3(C 1 cos x123 C 2sin x) ；4. y Ce25x．四、f (x) y 2e x 1 ．习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略． 二、多步填空题：略．5 13 4x 4 8 x三、 y e ( x )e ．4 36 3 9四、求下列微分方程满足初始条件的特解 (1) y (x x 2)e 2x ； (2) y sin x ．第八章 空间解析几何习题一 空间直角坐标系与向量的概念一、填空题：略． 二、选择题：略． 三、求解下列问题4. C( 2,0,0) ．习题二 向量的点积与叉积、是非题：略． 、填空题：略．1.3AB 2AC 2i 3k ；2. d AB 14 ；3. 333 9993； 9；三、选择题：略． 三、求解下列各题2. b 12,6, 4 ；习题三 平面和直线一、填空题：略． 二、选择题：略． 三、求解下列问题1. 4x 3y z 5 ；2. z y 2 ； x 1 y 2 z 13. ；1 1 24. ① p 5 ；② p 7 ．习题四 曲面与空间曲线一、填空题：略． 二、选择题：略． 三、求解下列问题221. 方程为 y 5z 2 4x ，是旋转抛物面；第九章 多元函数微分学5 投影方程为 y 2z 5,x 0 ;1.5 , 3 , 7 83, 83, 833.S ABC3 21 ．3. 投影方程为x 2 2z 4 0,y02四、表面积 S π r 2 2π rh ，体积 V 五、 f ( x, y) f (0, 0)= ( x ()2x)( (y)y)2习题二 偏导数及高阶偏导数 、是非题：略．、填空题：略． 、解下列各题1. z 4x ， z 9y 2； xy2. z 4xy 6， z 6x 2 y 2； xy z3. 2x ln y ，x2z四、略．习题三 全微分、填空题：略． 、解答下列各题1. dz y(ln x 1)dx xln xdy ；2. du yx y 1dx (x y lnx sin z)dy y cos zdz ；3. z 0.119 ；x4.xy arctan z ，yx arctan z ，zxy1 z 2习题一 一、填空题：略．二、函数的定义域为(x,y)122xy三、xy三、lim4 1．x y 00 xy4z1x0 x，yyyx，2z1；2，；y 2yxy2， 多元函数及其极限2z2 y 24. dz 0.125 ．三、 sin0.01cos0.03 0.01． 四、对角线变化约为 0.045m ． 五、所需水泥的近似值为 9.4m 3 ．习题四 复合函数的偏导数、填空题：略． 、多步填空题：略． 、解下列各题dz 1；1.dt2.zz， zz(xy)；2；x yyy3. z2 xycos y(2sin x z2 2xcosx)， x7 8sin x(cos 2 y ysin2y)xy习题五 偏导数的几何应用、填空题：略． 、求解下列各题习题六 多元函数的极值一、判断题：略． 二、选择题：略． 三、计算下列各题24；r :h 1: 2时，所用材料最省．第十章 多元函数积分学7 函数在 (2,1) 点取得极小值 8 当端面半径与半圆柱高满足1. 切线方程为 x1y9z 27 272. 切平面方程为 2(x 1) 4(y 1) (z 3)=0 ；3. 切线方程为x 1 y 1 z 1 16 9 1法平面方程为16(x 1)9(y 1) 1(z 1) 0 ．2x( )；习题一 二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略． 二、填空题：略． 三、计算下列各题1. I 0 ；、求解下列各题2. V 32π； 13. 薄片的质量为 ．12章 级数习题一 数项级数一、判断题：略． 二、选择题：略． 三、判断下列级数的敛散性1. ( 1)n 发散； n14.21n1 2n收敛；2. ① I2 2x20dx 0 y 2dy32；② I 30dyy y 2dx2323. I10dye y dx习题二 、填空题：略． 、多步填空题极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用提示： e (x y )dxdye r rd rd θDD1 r2 d θre rdr 0d θ 0 11 e 02 d(r 2) 12(1 1)d θe1. cos(x 2 y 2)dxdy D 2 π；2提示：化为极坐标下的二重积分）2.11 461 2n发散；e5. ( 1)n 1 n n收敛；n 1 26. n 123(n 1)n收敛．习题二幂级数、填空题：略．、求解下列各题1. 级数2n nx n的收敛半径为R0 2n 1 21；；2. 级数2n2 x2n 1的收敛半径为R0 2n 12；2；3. 级数(x 1n)的收敛域为[ 1,3) ；n2n4. 级数n1nx01的和函数为S(x)1；(1 x)2 ；5. 级数2n 1x2n 1的和函数为S(x)1ln(1 x)2 ．1x、填空题：略.二、求解下列各题1. 展开为ln(22.展开为sin2 x习题三函数的幂级数展开x)xln 22(2x)22!(2x)42 4!3. 2x=1 x2x ln 2 (ln 2)2 2x2!(2x)22(2x)331)n(2x)n1(n 1)，收敛域为x (2,2]；1)n1(2x)2n2(2n)! ，收敛域为x( )；(ln 2)32x3!(ln 2)n2x x nxn!，收敛区间为2 x( )；1 n n4. 展开式为x2 13x 2 n 0( 1)n x n 1 ( 1)n(x)n，收敛区间为( 1,1). 2n 0 2四、切线方程为y 0 ．五、求下列函数的二阶导数351. y 10x3(9x5 4) ；4五、Wπ r。

高等数学第五章教材答案第一节：导数与微分1. a) 导数的定义是：对于函数y=f(x)，若极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则称此极限为函数f在点x处的导数，记作f'(x)。

b) 导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。

2. a) 由导数的定义可得，对于函数y=ax^n，其中a为常数，n为正整数，则它的导数为f'(x)=nax^(n-1)。

b) 对于常数函数y=c，其中c为常数，则它的导数为f'(x)=0。

c) 对于自然指数函数y=e^x，则它的导数为f'(x)=e^x。

d) 对于对数函数y=log_a(x)，其中a为常数且不等于1，则它的导数为f'(x)=1/(xlna)。

e) 对于三角函数y=sin(x)，则它的导数为f'(x)=cos(x)。

3. a) 利用导数定义证明：对于函数y=kx，其中k为常数，则它的导数为f'(x)=k。

b) 利用导数的四则运算法则证明：对于两个可导函数f(x)和g(x)，则有(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。

c) 利用导数的链式法则证明：对于复合函数y=f(g(x))，其中函数g(x)可导且函数f(u)可导，则它的导数为f'(g(x))·g'(x)。

4. a) 用导数求函数在一点处的切线方程：对于函数y=f(x)，若知道函数在点x=a处的导数f'(a)，则可求得切线方程为y=f'(a)(x-a)+f(a)。

b) 用导数求函数的极值点：对于函数y=f(x)，若函数在点x=a处的导数f'(a)存在且为零，且函数在该点的导数由正变负或由负变正，则该点为函数的极值点。

第二节：不定积分1. a) 不定积分的定义是：对于函数y=f(x)，若存在函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为函数f(x)的一个原函数，并记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

《经济数学--微积分》第五章 不定积分 单元测试题班级： 学号： 姓名： 分数：一、单项选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、若 )()(x g x f '=' ，则必有 ( )A )()(x g x f =B dx x g dx x f )()(⎰⎰=C dx x g d dx x f d )(')('⎰⎰=D dx x g d dx x f d )()(⎰⎰=2、)(x F 是)(x f 的一个原函数，下列各等式正确的是（ ）A ⎰+=c x f dx x F )()(B ⎰=')())((x f dx x fC ⎰+=c x f dx x f d )())((D ⎰=')()(x f dx x f3、如果已知⎰+=C x dx x f 5cos ln 52)(，则)(x f 为 ( ) A ．2tan5x B. -2tan5x C.tan5x D. -tan5x4、若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f （ ）． A ．)(x f B.)(x f ' C ．c x f +')( D ．c x f +)(5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=⎰dx x xf )(（ ） A c x x ++)ln 4121(2； B c x x ++)ln 2141(2； C c x x +-)ln 2141(2； D c x x +-)ln 4121(2二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）6、2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰ ； 7、5y x = 的原函数是 _______ ；8、设 sin x e x + 是 )(x f 的一个原函数，则 ()f x ' = _____ __；9、若 2()f x dx x C =+⎰ ，则 2(1)xf x dx -=⎰ __________；10、⎰=''dx x f x )(____________.三、计算题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）11、求221x dx x+⎰ 12、求dx x x ⎰-12213、求dx xe x ⎰+1 14、求dx x x ⎰+)ln 21(115、求arctan x xdx ⎰ 16、求17、求dx e x ⎰+11 18、求dx x x ⎰ln 219、求dx e x x ⎰-2 20、求dx x e x ⎰-sin四、解答题：（本题共1小题，共10分）21、设生产某产品的边际成本为()2100020C Q Q Q '=-+，固定成本为9000元，该产品的单位售价为3400元，求该产品（1）成本函数、收益函数、利润函数；（2）获得最大利润时的产量及最大利润。

1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。

第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。

1. 求⎰-+=dx x x x I2)1ln( 解：原式⎰-+=dx xx x 2)1ln(1⎰⎰-+=dx x x dx x 2)1ln(1⎰--=)1()1ln(||ln x d x x]})1[ln(1)1ln({||ln ⎰----=x d xx x x])1[ln(1)1ln(||ln ⎰-+--=x d xx x x⎰--⋅+--=dx xx x x x 111)1ln(||ln⎰----=dx x x x x x )1(1)1ln(||ln⎰-+---=dx xx x x x )111()1ln(||ln⎰⎰-+---=)111()1ln(||ln dx xdx x x x x⎰⎰-----=dx xdx x x x x 111)1ln(||ln)1(111)1ln(||ln ⎰⎰--+---=x d x dx x x x xC x x xx x +-+---=|1|ln ||ln )1ln(||lnC x xx +-+--=|1|ln )1ln(2.求dx x x ⎰+2323)1(方法一，第二换元法，用三角换元 设t x tan = ，tdt dx 2sec =解：原式tdt t t 2323sec )tan 1(tan ⋅+=⎰t d t t t2323s e c )(s e c t a n ⋅=⎰tdt t t 233sec sec tan ⋅=⎰dt tt ⎰=sec tan 3dt t t t ⎰⋅=sec tan tan 2dt t t t ⎰-⋅=sec )1(sec tan 2dt t t t t ⎰-=sec tan sec tan 2dt ttdt t t ⎰⎰-=sec tan sec tandt t tt ⎰-=sec tan secdt t ttt ⎰⋅-=cos cos sin secdt t t ⎰-=sin secC t t ++=cos secC xx ++++=22111【步骤计算另解】拆开计算dt t t⎰sec tan 3，如下步骤： tdt t tdt t t cos cos sin sec tan 333⋅=⎰⎰dt t t ⎰=23cos sindt t t t ⎰⋅=22cos sin sin)(cos cos sin 22t d t t ⎰-=)(cos cos cos 122t d t t ⎰--=⎰⎰--=)](cos )(cos cos 1[2t d t d t⎰⎰+-=)(cos )(cos cos 12t d t d t⎰+=)(cos cos 1t d tC t t++=c o s c o s 1C xx ++++=22111方法二，第一换元法，凑微分解：原式dxxx⎰+=323)1(dxxxx⎰+⋅=322)1()()1(212322xdxx⎰+=)1()1(112122322xdxx++-+=⎰)1()1(1)1(2122322xdxx++-+=⎰)1(])1(1)1()1([2122322322xdxxx++-++=⎰)]1()1(1)1()1()1([21223222322xdxxdxx++-+++=⎰⎰)]1()1()1()1([21223222312xdxxdx++-++=⎰⎰--)1()1(21)1()1(21223222312xdxxdx++-++=⎰⎰--)1()1(21)1()1(121223222xdxxdx++-++=⎰⎰-Cxx++++=221113. 求dx x x ⎰-)4(1方法一，分子为常数，分母有根号，根号内最高次幂为2，并且有1次项存在，用配方法 解：原式dx xx ⎰-=241dx x x ⎰--=)4(12dx x x ⎰-+--=)444(12dx x ⎰---=]4)2[(12dx x ⎰--=2)2(41dxx ⎰--⋅=]4)2(1[412dxx ⎰--=]4)2(1[212dxx ⎰--=2]2)2([121)22(]2)2([112212---⋅=⎰x d xC x +-=)22arcsin(方法二，第一换元法，凑微分解：原式)(412x d x ⎰-=)()(4122x d x ⎰-=)(])2(1[4122x d x⎰-⋅=)2()2(1122x d x ⎰-=)2()2(1122x d x ⎰-=C x+=)2arcsin(2 方法三，第二换元法中的根式换元 设x t =，2t =x ,t t 2d dx =解：原式t t 2t 4t12d ⎰⋅-=t t4122d ⎰-=t4t 14122d ⎰-=）（t2t 12122d ⎰-=）（）（）（2t 2t 1122d ⎰-= C +=）（2tarcsin 2C +=）（2x arcsin 24. 求 dx x x x⎰-)11(2解：原式dx x x21232)()11(⋅-=⎰dx xx ⎰--=)(24343dx x dx x ⎰⎰--=4543C x x ++=-41474745. 求 dx x x ⎰++)1ln(2解：原式)]1[ln()1ln(22⎰++-++=x x xd x x xdx x xxx x x x x )21211(11)1ln(222⋅++⋅++⋅-++=⎰dx xx x xx x x x x )11(1)1ln(2222+++⋅++-++=⎰dx x xx x x ⎰+-++=221)1ln()(1121)1ln(222x d x x x x ⎰+-++=)1(1121)1ln(222x d xx x x ++-++=⎰C x x x x ++-++=221)1ln(【注意】 该题目虽然出现根号，并且根号内为二次函数，表面看可以用三角换元，但若换元后，根号虽然消除，但使题目复杂化，显然不符合数学运算原则6. 求dx xx ⎰-42 设t x sec 2= ，tdt t dx tan sec 2=解：原式tdt t tt tan sec 2sec 24)sec 2(2⋅-=⎰dt t t ⎰⋅-=tan 1sec 22 dt t ⎰=2tan 2 dt t )1(sec 22-=⎰C t t +-=2tan 2C xx +--=)2arccos(2427. 求dx xx ⎰-+241方法一，分开两部分求，用第一换元法 解：原式dx xx x )414(22-+-=⎰dx x dx x x⎰⎰-+-=22414dx xx d x ⎰⎰-+-=22241)(4121)2(41212)(4121222xd xx d x ⎰⎰-+-=)2(411)4(4121222x d x x d x⎰⎰-+---=C xx ++--=)2arcsin(42方法二，第二换元法，用三角换元 设t x sin 2= ，tdt dx cos 2=解：原式tdt t t cos 2)sin 2(41sin 22⋅-+=⎰tdt t t cos 2)(sin 121sin 22⋅-+=⎰dt t ⎰+=)1sin 2(C t t ++-=cos 28. 求 dx x x ⎰2tan 解：原式dx x x )1(sec 2-=⎰⎰⎰-=xdx dx x x 2sec⎰⎰-=xdxx d x )(tan2tan tan 2x xdx x x --=⎰2cos sin tan 2x dx x x x x --=⎰2)(cos cos 1tan 2x x d x x x -+=⎰C x x x x +-+=2|cos |ln tan 2。

第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________. 13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。

(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C))]()()[(x h x g x f +；(D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x; (2) 2x ; (3) 3e x x ⎰d x ； (4) 2cos2x⎰d x ； (5) 23523x x x ⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x⎰. 解5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)24235d d d d x x x x x xx x x x x x x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f ′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x -+. (4)由1()1000()ln 33P Q P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e x d x = d(2e x)；(7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);= d(1-arcsin x = d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx += d(arctan x );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d dd d d dd d d d d d d d d d de e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==---=-==-=+222322231(arctan 3)193(12)))1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分：(1) 5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ;(3)d 12xx -⎰; (4) ⎰(5)t ; (6) d ln ln ln x x x x ⎰; (7) 102tan sec d x x x ⎰; (8) 2ed x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) ⎰; (11)※de e x xx-+⎰; (12) x ⎰; (13) 343d 1x x x -⎰; (14) 3sin d cos x x x⎰; (15)x ⎰; (16) 32d 9x x x +⎰; (17) ※2d 21xx -⎰; (18) d (1)(2)x x x +-⎰; (19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;(21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cosd 2xx x ⎰; (23) sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tan sec d x x x ⎰;(25)x ; (26) ;(27) ※ln tan d cos sin x x x x⎰; (28) ※21ln d (ln )x x x x +⎰; (29)2,0x a >; (30) (31)d xx ⎰; (32) ※ ;(33) ※; (34),0x a >. 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰ 33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰122333 111(3)(12)ln121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin111(6)(ln ln)ln ln lln ln ln ln ln ln ln lnddddddd dxx Cxx xx x x C x C t t Cxx xx x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n1(7)tan sec tan(tan)tan11111(8)(2))222(9)22csc22sin cos2sin cos sin2ln lncsc2cot2tansin cd de d e d e d(-ed d ddd或x x x xCxx x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x xC Cx x xxx----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos1tan ln tanos sin cos tanddx xx Cxx x x x=⋅==+⎰⎰⎰22234(10)ln1(11)()arctan11()11(12)631333(13)14dd ed de ee e e edxx xx x x xCxx Cx x xCxxx-==-+===++++'=-=-=-==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444432334313(1)ln11414sin sin1(14)cos cos coscos cos2(15)1218)23812d dd d dd dxx x Cxx xx xx x x x x Cx xx x xx x x---=--=-+----=-=-=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰122221(94)(94)38)dx x x-+--⎰12arcsin23x C=3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212221)1)x x x x xx x x xx x xx x x x x Cxxx x x x+-==-+++=-+=-+++==--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d dd ddd2111111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln2133311cos(22)11(19)cos()cos(22224C Cxx x x x x x x x xxC Cx xxtt t t t tωϕωϕωω=-+=+++=-=--+ +--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰dd d dd d d223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos()sin()cos()cos()1cos()3(21)sin2cos3tt t tt t Ct t t t tt Cx xϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰ddd d111(sin5sin)sin55sin210211cos5cos10213133(22)cos cos(cos cos)cos()cos()22223222213sin sin3221(23)sin5sin7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x x x x xx xCx x x=-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d dd d d dd2cos2)11cos12(12)cos2(2)24411sin12sin2244x x xx x x xx x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰dd d322322(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec1sec sec3(25)2arctan2(arctan1(26)(arcsin)d d ddddx x x x x x xx x Cx x xCx==-=-+===+=⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin)arcsinx Cx=-+⎰2222222ln tan1(27)ln tan seccos sin tan1ln tan(ln tan)(ln tan)21ln111(28)(1ln)(ln)(ln)ln(ln)ln(29)d ddd d ddxx x x xx x xx x x Cxx x x x x C x x x x x x x xx a=⋅⋅==++=+==-+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin2222x a x a xa C Ca a a--=-.(30)令tan,(,)22ππx t t=∈-,则2secd dx t t=.所以2sec cos sinsecd dd dtt t t t t Ct====+⎰⎰tan,sin原式x t t C=∴=∴=+.(31)令3sec,(0,)2πx t t=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时3sec tan3tand dx t t t t=⋅=故223tan3sec tan3tan3(sec1)3secd d dtx t t t t t t tt=⋅⋅==-⎰⎰⎰3tan3t t C=-+.由3sec,(0,)2πx t t=∈得tan3t=,又由3secx t=得33sec,cos,arccos3xt t tx x===,333arccos 3arccos )x C C x x∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.11333arccos 3(arccos )33arccos d π x C C x x x Cx=+=-+=+⎰综上所述有33arccos x C x =+. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .22d d d d d t t t tt t tt t t tt t t t C t t t t x C x ++-=⋅=++=++=++++=++⎰⎰⎰⎰ (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =2cos 1(1)sec ()1cos 1cos 22tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-⎰⎰⎰(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅.习题5-31.求下列不定积分：(1) sin d x x x ⎰; (2) e d x x x -⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) e cos d x x x -⎰;(5) 2esin d 2xxx -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰;(7) 2e d t t t -⎰; (8)※2(arcsin )d x x ⎰; (9) 2e sin d x x x ⎰; (10) ※x ⎰;(11)※cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰; (13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2xx x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰.解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C=-=+-=+⎰⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x xx x x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t Cx x x x x x xx x x x x x xx x x x -+=-⋅=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(arcsin )21cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x C x x x x x x x x x=+-+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而 cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x x x x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)t =,则32,3d d x t x t t ==22222223336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t tt t t t t t t C t t C C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t t t t t t t x x t t t t t tt t t t t tx x x x x xx x x x x C ===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x x x x x x x x C x x x x C -=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x xx x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x C x xx x x C x--+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C ==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰习题5-4求下列不定积分： (1) 31d 1x x +⎰; (２) 5438d x x x x x +--⎰; (３) sin d 1sin x x x +⎰; (4) cot d sin cos 1x x x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx C x x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 11361(1)ln 61d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x C x x x x C x x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰ 542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x x x x C x x x C x-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰ 注 本题亦可用万能代换法(4)令tan 2x t =,则 222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x t t t t t --=====+++ 则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t tx x t C C t --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。

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第一章极限与连续1.1 课后习题答案1.2 挑战练习答案1.3 补充练习答案第二章导数与微分2.1 课后习题答案2.2 挑战练习答案2.3 补充练习答案第三章微分中值定理与导数的应用3.1 课后习题答案3.2 挑战练习答案3.3 补充练习答案第四章不定积分4.1 课后习题答案4.2 挑战练习答案4.3 补充练习答案第五章定积分5.1 课后习题答案5.2 挑战练习答案5.3 补充练习答案第六章定积分的应用6.1 课后习题答案6.2 挑战练习答案6.3 补充练习答案第七章微分方程7.1 课后习题答案7.2 挑战练习答案7.3 补充练习答案通过使用这份北大高等数学教材答案，我们可以及时纠正错误并理解解题思路，提高自己的解题能力。

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