(完整版)定积分习题及答案

定积分期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫_a^bf(x)dx的值：A. 总是存在B. 可能不存在C. 总是不存在D. 无法确定答案：A2. 计算定积分∫₀¹x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上的定积分值为：A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A4. 若∫_a^bf(x)dx =∫_a^bg(x)dx，则f(x)和g(x)在区间[a, b]上的关系是：A. 相等B. 相等或相反C. 相等或相等的常数倍D. 无法确定答案：C5. 定积分∫₀<sup>π/2</s up>cos(x)dx的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定积分∫₀¹(2x+1)dx的值为______。

答案：3/22. 函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的定积分值是______。

答案：8/33. 计算定积分∫₀^πsin(x)dx的值是______。

答案：24. 定积分∫_-1¹|x|dx的值为______。

定积分试题及答案大学# 定积分试题及答案试题1：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

答案：首先，我们需要找到函数 \(f(x) = x^2\) 的原函数。

对于这个函数，原函数是 \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\)。

然后，我们计算在区间 \([0, 1]\) 上的定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3}(1)^3 -\frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\]试题2：求定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。

答案：函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 的原函数是自然对数函数\(F(x) = \ln|x|\)。

计算定积分：\[\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = F(2) - F(1) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\]试题3：计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx\)。

答案：函数 \(f(x) = \sin(x)\) 的原函数是 \(-\cos(x)\)。

计算定积分：\[\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2\]试题4：求定积分 \(\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx\)。

答案：函数 \(f(x) = x^2 - 1\) 的原函数是 \(F(x) =\frac{1}{3}x^3 - x\)。

计算定积分：\[\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx = F(1) - F(-1) =\left(\frac{1}{3}(1)^3 - 1\right) - \left(\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)\right) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \]试题5：计算定积分 \(\int_{0}^{1} e^x dx\)。

定积分题目及答案定积分（DefiniteIntegral）是求解一定范围内函数值的积分，也就是说获得一定范围內函数的总和。

定积分可以用于计算曲线围成的面积，这就是经典地定积分公式，即：∫a b f(x)dx = F(b) - F(a)这里F(x)表示从x = a 到 x = b 的函数f(x)在任意取值时f(x)的积分，从数学上讲就是函数F(x)的反函数，叫做反积分，是微积分领域里最重要的概念之一。

解定积分问题，就要先根据函数的特性和定积分区间确定积分的类型，然后用定积分的几何形式和数学形式来求解。

一、几何形式法几何形式法在求由直线交织而成的函数的积分时特别有用，常见的几何形式有落圆式，锐角式，三角式，折线式，对称折线式等。

求几何形式法的定积分可以根据公式：∫a b f(x)dx = (b-a)hf(i)公式中，i表示定积分区间的分割点，h表示该分割点的步长，即f(i)表示该分割点处的函数值。

二、数学形式法将定积分的问题转化成数学形式，然后求得结果，就是用数学形式法求定积分。

数学形式法主要分三步：1）先要得到积分函数函数原函数 F（x）的易解形式；2）再利用这个易解形式，求出F（x）在指定范围内的积分 F（b）-F（a）；3）最后返回结果。

例题1：求函数f ( x )=3x3-2x2-x+（1）在区间［2,6］内的定积分解：F(x)=x^4-x^3-0.5*x^2+CF(6)-F(2)=1093/2-21+C∫2 6f ( x )dx=1093/2-21+C例题2：求函数 f ( x )=2x2-3x2+（1）在区间［0,1］内的定积分解：F(x)=-x^3+x^2+CF(1)-F(0)=-1+C∫0 1f ( x )dx=-1+C。

定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n →∞+++．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n=⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n →∞+++=333112lim ()n n n n nn →∞+++=13034xdx =⎰．例2 2202x x dx -⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -⎰=2π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则222x x dx -⎰=2221sin cos t tdt ππ--⎰=2221sin cos t tdt π-⎰=2202cos tdt π⎰=2π 例3 （1）若22()x t xf x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．解 （1）()f x '=422x x xe e ---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =． 例5 函数11()(3)(0)x F x dt x t =->⎰的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x'=-，令()0F x '<得13x >，解之得109x <<，即1(0,)9为所求． 例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．解 由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x -=''===-．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-． 例8 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x→-⋅-x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞()f x '-＋－=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例9 试求正数a 与b ，使等式2201lim1sin x x t dt x b x a t→=-+⎰成立． 分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t →-+⎰=220lim 1cos x x a x b x →+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x→→⋅-+201lim 11cos x x b x a →==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2012lim 11cos x x x a a→==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求． 例10 设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim()34x x f x x xg x x x →→⋅=+ 2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+⎰，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++． 例11 计算21||x dx -⎰．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界.例12 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =．分析 本题只需要注意到定积分()baf x dx ⎰是常数（,a b 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a+=，即132a a +=， 从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x x dx x-++-⎰．分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 2112211x x dx x-++-⎰=211112221111x x dx dx x x--++-+-⎰⎰．由于22211x x+-是偶函数，而211x x+-是奇函数，有112011xdx x-=+-⎰, 于是2112211x x dx x -++-⎰=2102411x dx x +-⎰=22120(11)4x x dx x--⎰=11200441dx x dx --⎰⎰ 由定积分的几何意义可知12014x dx π-=⎰, 故211122444411x x dx dx xππ-+=-⋅=-+-⎰⎰．例14 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解 由于220()xtf x t dt -⎰=2221()2x f x t dt-⎰． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰， 故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x⋅=2()xf x ．错误解答220()x d tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例15 计算30sin x xdx π⎰．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30s i n x x d x π⎰30(c o s )x d x π=-⎰33[(c o s )](c o s )x x x d x ππ=⋅---⎰ 30cos 6xdx ππ=-+⎰326π=-． 例16 计算120ln(1)(3)x dx x +-⎰．分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰11ln 2ln324=-． 例17 计算20sin x e xdx π⎰．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解 由于2sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰， （1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰， （2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例18 计算1arcsin x xdx ⎰．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰21021421x dx x π=--⎰． （1） 令sin x t =，则2121x dx x-⎰222sin sin 1sin td t tπ=-⎰220sin cos cos ttdt t π=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=． （2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π． 例19设()f x [0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰00()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例20 计算243dxx x +∞++⎰． 分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32．。

一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析： 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。

《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。

解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。

故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。

职校定积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 计算定积分∫(0,1) x dx的值是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 0答案：A2. 下列哪个函数在区间[0,1]上的定积分为0？A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = xD. f(x) = cos(x)答案：D3. 定积分∫(0,π) sin(x) dx的结果是多少？A. 0B. πC. -πD. 2答案：A4. 函数f(x) = 2x在区间[1,4]上的定积分是？A. 6B. 4C. 8D. 10答案：C5. 计算定积分∫(0,1) e^x dx的值。

A. e - 1B. e + 1C. 1 - eD. 1 + e答案：A6. 函数f(x) = x^3在区间[-1,1]上的定积分等于？A. 0B. 1/4C. 2/3D. 1答案：A7. 计算定积分∫(0,2π) cos(x) dx的结果。

A. 0B. 2πC. -2πD. π答案：A8. 函数f(x) = 1/x在区间[1,e]上的定积分是？A. ln(e) - ln(1)B. ln(1) - ln(e)C. ln(e) - ln(1/e)D. ln(1) - ln(1/e)答案：A9. 计算定积分∫(0,1) (x^2 - 2x + 1) dx的值。

A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2/3答案：C10. 函数f(x) = x^2在区间[0,2]上的定积分等于？A. 8/3B. 4C. 2D. 1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 计算定积分∫(1,2) x dx的结果为 _______。

答案：1/22. 定积分∫(0,π/2) tan(x) dx的结果为 _______。

答案：-ln(cos(π/2))3. 计算定积分∫(0,1) (3x^2 - 2x + 1) dx的结果为 _______。

答案：4/34. 函数f(x) = 1/√x在区间[1,4]上的定积分结果为 _______。

第六章 定积分的应用习题 6-2 (A)1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积：]3,0[,86)1(2+-=x x y ]3,0[,2)2(2x x y -=2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.图 6-13．求由下列各曲线围成的图形的面积：;1,)1(===-x e y e y x x 与;)0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与;0,2)3(2==-=y x y x x y 与;)1(,2)4(22--==x y x y;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与;2,)6(2x y x y x y ===与;)0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y;8,2)8(222（两部分都要计算）=+=y x x y4．的图形的面积。

所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 15．的面积。

处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y6．的面积。

处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2(22p ppx y = 7．形的面积。

与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+8．所围图形的面积。

求椭圆12222=+by a x9．。

与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x10．轴之间的图形的面积。

的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x =11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ;)0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ;2cos 2)3(2（双纽线）θρ=抛物体的体积。

轴旋转，计算所得旋转所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==体的体积。

旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133===14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x axcha y ====;,2sin )2(轴绕与x xy x y π== ;,)20(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π≤≤==;0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-=;,16)5()6(22轴绕y y x =+-。

定积分习题答案定积分习题答案定积分是高等数学中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的面积进行求解的方法。

在学习定积分的过程中，我们经常会遇到各种各样的习题，需要通过计算来求解。

本文将为大家提供一些定积分习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 计算定积分∫(0, 1) x^2 dx。

解：根据定积分的定义，我们需要求解函数x^2在区间[0, 1]上的面积。

由于函数x^2是一个二次函数，它在[0, 1]上是单调递增的，因此可以直接使用定积分的公式进行计算。

∫(0, 1) x^2 dx = [x^3/3] (0, 1) = 1/3 - 0 = 1/3。

所以，定积分∫(0, 1) x^2 dx的结果为1/3。

2. 计算定积分∫(1, 2) 2x dx。

解：根据定积分的定义，我们需要求解函数2x在区间[1, 2]上的面积。

由于函数2x是一个一次函数，它在[1, 2]上是单调递增的，因此可以直接使用定积分的公式进行计算。

∫(1, 2) 2x dx = [x^2] (1, 2) = 4 - 1 = 3。

所以，定积分∫(1, 2) 2x dx的结果为3。

3. 计算定积分∫(0, π/2) sin(x) dx。

解：根据定积分的定义，我们需要求解函数sin(x)在区间[0, π/2]上的面积。

由于函数sin(x)是一个周期为2π的函数，且在[0, π/2]上是单调递增的，因此可以直接使用定积分的公式进行计算。

∫(0, π/2) sin(x) dx = [-cos(x)] (0, π/2) = -cos(π/2) + cos(0) = -1 + 1 = 0。

所以，定积分∫(0, π/2) sin(x) dx的结果为0。

4. 计算定积分∫(0, 1) x^3 - 2x^2 + x dx。

解：根据定积分的定义，我们需要求解函数x^3 - 2x^2 + x在区间[0, 1]上的面积。

由于函数x^3 - 2x^2 + x是一个三次函数，它在[0, 1]上是单调递增的，因此可以直接使用定积分的公式进行计算。

第五章定积分(A 层次)1．203cos sin xdx x ；2．a dx x ax222；3．31221xxdx ；4．1145x xdx ；5．411xdx ；6．14311xdx ；7．21ln 1e xx dx ；8．02222xxdx ；9．dx x 02cos 1；10．dx x x sin 4；11．dx x 224cos 4；12．55242312sin dx xxx x ；13．342sin dx xx ；14．41ln dx xx ；15．1xarctgxdx ；16．202cosxdx e x ；17．dx x x 02sin ；18．dx x e 1ln sin ；19．243cos cos dx x x ；20．40sin 1sin dx x x ；21．dx xxx 02cos 1sin ；22．2111lndx xx x ；23．dx xx 4211；24．20sin ln xdx ；25．211dx xxdx0。

(B 层次)1．求由0cos 0x y ttdtdte 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数x tdt tex I 02有极值？3．x xdt t dxd cos sin 2cos 。

4．设1,211,12xx x x xf ，求20dx x f 。

5．1lim22xdtarctgt xx 。

6．设其它,00,sin 21xx xf ，求x dt t f x。

7．设时当时当0,110,11xex xxf x，求201dx xf 。

8．2221limnn nnn。

9．求nk nknknnen e 12lim 。

10．设x f 是连续函数，且12dt t f x x f ，求x f 。

11．若2ln 261xtedt ，求x 。

12．证明：212121222dxeex。

13．已知axxx dx ex axa x 224lim，求常数a 。

定积分测试题及答案班级： 姓名： 分数：一、选择题：（每小题 5 分）1 1-x 2dx （）1.A.0B.1C.D 42(2010 ·山东日照模考 )a ＝ 2xdx ，b ＝ 2e xdx ，c ＝2sinxdx ，则 a 、b 、c的大小关系是 ()A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b3.(2010 山·东理， 由曲线y ＝ 2，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为 ()7) x1 11 7 A. 12B.4C.3D.124．由三条直线 x ＝0、x ＝2、y ＝0 和曲线 y ＝ x 3所围成的图形的面积为()418A ．4B.3C. 5D ．65.(2010 湖·南师大附中 )设点 P 在曲线 y ＝ x 2 上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线 OP ，直线 y ＝x 2 及直线 x ＝2 所围成的面积分别记作 S 1，S 2.如图所示，当 S 1＝S 2 时，点 P 的坐标是 ()4 164 16 4 15 4 13 A.3，9B.5，9C.3，7D.5，76．(2010 ·湖南省考试院调研 )1 -1(sinx ＋1)dx 的值为 ( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线 y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是 ()3πA ．2πB ． 3πC. 2D ．π8．函数 F(x)＝ xt(t －4)dt 在[－1,5]上 ()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－ 32332C ．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值S n ＝2n 2＋n ，函数 f(x)＝ x1 9．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 t dt ，若13，则 x 的取值范围是 ()f(x)<a3－A. 6 ，＋∞B ．(0，e 21)C ．(e 11，e)D ．(0，e 11)10．(2010 ·福建厦门一中 )如图所示，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y ＝sinx(0≤x ≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在阴影部分的概率是 ()123πA. D.4．·吉林质检 函数x ＋2 －2≤x<0的图象与 x 轴所围 ) f(x) ＝π 11 (20102cosx 0≤x ≤2成的图形面积 S 为()31A. 2B ．1C ．4D.212．(2010 ·吉林省调研 )已知正方形四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)， B(1,1)，C(0,1)，曲线 y ＝x 2(x ≥0)与 x 轴，直线 x ＝1 构成区域 M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M 内的概率是 () 11 1 2A. 2B. 4C.3D.5二、填空题：（每小题 5 分）13.sinxdx= ______________14.物体在力 F(x)=3x+4 的作用下，沿着与 F 相同的方向，从 x=0 处运动到 x=4 处，力 F 所做的功为 ______________21x )dx15. (x______________116. 1e x )dx(e x ______________17.(2010 芜·湖十二中 )已知函数 f(x)＝3x 2 1＋2x ＋1，若 -1 f(x)dx ＝2f(a)成立，则 a ＝________.18．(2010 ·安徽合肥质检 )抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝1 围成的封闭4图形的面积为3，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则 l 的方程为 ______．19．(2010 ·福建福州市 )已知函数 f(x)＝－ x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域 (图1中阴影部分 )的面积为12，则 a 的值为 ________．20．如图所示，在区间 [0,1] 上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定 t 的值，使图中阴影部分的面积 S1＋S2最小为 ________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10A 11C 12 C 13.2 14.40 15 23 + ln 2 16.e- 1e 17.-1 或31 18.16x-8y+1=0 19.-1 20. 41。

(A层次）1. 4.7. 兀f 。

2 s in x cos3 xdx ; r xdx -1✓5-4x ，e 2dx f 1 x ✓l +I n x ;10. f 一冗九x 4s in 汕； 冗13. f f-�dx; 4 Sill X 冗16. f 。

2产co sx dx ;冗第五章定积分2. f 。

a x 2✓a 2—x 2dx; 5.「I✓x dx +l ；8. f -o 2 x 2 + d 2xx + 2 ; 冗11. f� 冗4c os 4xdx ;14. 17. 2f14 Jn X｀dx ;f 。

兀(xsinx)2dx ;冗19. f� ✓cosx-cos 3 xdx;20. f 。

4 smx dx · 1 + S lll . X ， 22. 4If 0 2 xln l +x dx ; l -x25. f +00dx0 (1 + x 2 XI + xa \ (B层次）23. f +oo l +x 2 dx · -oo 1 +X 4' 心(a�o )。

3. 6.9. 厂dx1 X 飞l +x2 r dx｀3 斤言-1;f。

冗✓1+ c os2xdx;3· 212 fs x sm xdx · ·-5 x 4 + 2x 2 + 1' 15. f 。

1 xa rct gxdx ; 18. {es in(lnx 雇21. 24. f 。

冗xs mx dx .1 +C OS 2X 冗f 。

2 ln sin x dx ;d y 1. 求由f 。

:e r dt+f x costd t=O所确定的隐函数对x 的导数odx 2. 当x 为何值时，函数I(x)= f x t e -t 2dt有极值？。

3.d厂cos矿t。

dx si n x(}Ix+l, x�14. 设八x )�{归，X > 1'求l。

勹(x )dx 。

2f x(a rc tg t) 2d t5. lirn 。

题号-一-二三四总分统分人分数得分、选择（8小题，共26 分）5.定积分19「J_dx作适当变换后应等于3 x 8得分阅卷人3A、3xdx22C、3xdx3B、3xdx3D、3xdx2x1 - 0f(t)dtA 16 ，则:丄 f (VX)dx■- xF(x) xa f(t)dt X 1 dt 在(a bf(t),b）上至少有（）个根。

A、0 B 、1 C、 2 D、33x( )0、X 1A. 18B.8C. 13 D . 04 .设(x)在［a,b ］上连续，且（b） a ，(a) b，则ba (x)(x)dx ( )(A) a b1(B)^(a b)2(C) 1(a22b2) (D)2设正值函数f（x）在［a,b］上连续则函数12 2 尹b)A、0二、填空2，上的曲线y引仇与x轴围成图形的面积为A、2sin xdxB、2sin xdx2 0C、0D、2sin x dx~27.广义积分1x2 , xe dx1 1A一B、—c、e2e 2e8若f （x）为可导函数，且已知f (0) 0，f (0)x0f(x)dx之B、1C、2D、12（2小题，共5分）得分阅卷人2,则x m05 3sin x ,2dx = _________2 7 cosx9•求o4 ln(1 tanx)dx.10.求03dx2 cos x 3设f(x)为以T为周期的连续周期函数，则 f (x)在a, a T (a 0)上的定积分与f(x)在0, T上的定积分的大小关系11.计算积分~4Xcos2x.三、计算(11小题，共53分)1.计算：0Isin3x sin2xdx.e 12.计算°ln(1 x)dx.丄求2----求0..-1 x2x31 .—4.计算积分arcta n-.. xdx.6.求 2 dx0 cosx得分阅卷人是_______________ x7.求函数f(x) 1 (1 t)arctantdt的极小值.计算:fx：1 dx.1x2(x21) 四、证明(2小题，共16 分)1 .设偶函数f (x)在(,得分阅卷人x)上连续，且(x) 0(x 2t)f (t)dt 证明：(x)为偶函数.2 .设f(x), (x)在a, a (a 0)上连续，(x)为偶函数，且f(x) f((C为常数)，、 a a证明： a f(x)(x)dx C 0 (x)dx.。

第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。

定积分期末考试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项是定积分的基本性质？A. ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b]g(x) dxB. ∫[a,b] f(x) dx = ∫[b,a] f(x) dxC. ∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dxD. ∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,b] f(-x) dx答案：A2. 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么下列哪个陈述是正确的？A. ∫[a,b] f(x) dx 总是存在B. ∫[a,b] f(x) dx 可能不存在C. ∫[a,b] f(x) dx 等于0D. ∫[a,b] f(x) dx 等于f(a) + f(b)答案：A二、填空题1. 定积分∫[0,1] x^2 dx 的值为 ______ 。

答案：1/32. 若∫[a,b] f(x) dx = 5，且 f(x) = 2x + 1，求 a 的值，当 b = 2。

答案：-1三、解答题1. 计算定积分∫[1,4] (3x^2 - 2x + 1) dx。

解：首先确定被积函数的原函数，即 F(x) = x^3 - x^2 + x。

然后根据定积分的定义，计算 F(4) - F(1)。

F(4) = 4^3 - 4^2 + 4 = 64 - 16 + 4F(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1因此，∫[1,4] (3x^2 - 2x + 1) dx = F(4) - F(1) = 64 - 16 + 4 - (1 - 1 + 1) = 522. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，求在区间 [0, 3] 上的定积分，并求出曲线 y = f(x) 与 x 轴围成的面积。

解：首先计算定积分∫[0,3] (x^2 + 3x + 2) dx。

原函数为 F(x) = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 2x。