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第五章 定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==与横轴所围成的图形的面积。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： 3．估计下列各积分的值4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x⎰10)2与⎰+10)1(dx x5．计算下列各导数 6．计算下列极限7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？8．计算下列各积分⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： 10.计算下列定积分11.利用函数的奇偶性计算下列积分12．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx x x14．计算下列定积分15.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。
1）⎰∞+14xdx2）⎰+∞-0dx e ax ()0>a3）dx ee x x ⎰∞+-+014）⎰+∞->>0)0,0(sin ωωp tdt e pt5）⎰-121x xdx 6）⎰-211x xdx7）⎰∞+∞-++222x x dx8）()⎰-e x x dx 12ln 1 (B)1．填空： 1）________)12111(lim =++++++∞→nn n n n 。
2）估计定积分的值：_____sin 1____342≤+≤⎰ππx dx。
3）运用积分中值定理可得：⎰-→xa a x x f dt t f a x )(()(1lim 是连续函数）＝________，______)0(sin lim =>⎰+∞→a dx xxa n n n 。
第五章 定 积 分§5—1 定积分概念一、填空题1． )(x f 在[a,b]上可积的充分条件是 。
2． nn knk n ∑=∞→1lim用定积分表示可表示成 。
3． 由定积分的几何意义知⎰-ππxdx sin = ，⎰-ππxdx sin = 。
4． 定积分dx x a aa⎰--22的几何意义是 。
二．判断题。
1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。
（ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。
（ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。
（ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。
（ ） 三．单项选择题。
1． 定积分⎰badx x f )(表示和式的极限是 。
（A ）、))((1l i ma b nkf n a b n k n --∑=∞→ （B ）、))(1(1l i ma b nk f n a b n k n ---∑=∞→ （C ）∑=∞→∆nk k kn x f 1)(l i m ξ（i ξ为i x ∆中任一点）（D ）、∑=∞→∆nk k kx f 1)(l i m ξλ（}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，i ξ为i x ∆中任一点）2．定积分⎰badx x f )(=∑=∞→∆nk kkxf 1)(l i m ξλ表明（A ）、[b a ,]必须n 等分,k ξ是[x k-1,x k ]的端点。
（B ）、[b a ,]可以任意分,ξk必是[x k-1,x k ]的端点。
（C ）、[b a ,]可以任意分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取。
（D ）、[b a ,]必须等分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取四．利用定积分定义计算 ⎰baxdx )(b a <§5—2 定积分的性质 中值定理一、判断题1．若函数)(x f 在[b a ,]上连续，且0)(2=⎰dx x f ba则在[b a ,]上f(x)0≡ （ ）2．若f(x),g(x)在[b a ,]上可积且f(x)<g(x),则dx x g dx x f baba⎰⎰<)()( （ ）3．若函数)(x f 在[b a ,]上可积且[d c ,]⊂ [b a ,] 则⎰⎰≤badcdx x f dx x f )()( （ ）4．若函数)(x f 在[b a ,]上可积，则至少有一点∈δ[b a ,],使⎰-baa b f ))((δ （ ）5．不等式 32a r c t a n 9331ππ≤≤⎰x d x x 成立。
第五章 定积分习题一一．选择题 1.⎰b xt dt e dx d 2的结果为( ) A.2x e B. 2x e - C. 22x b e e - D. 22x xe - 2.设()x f 连续,则()⎰=-→xa ax dt t f ax x lim( ) A.0 B.a C.()a af D. ()a f 3.设函数()⎰-=xdt t y 01,则y 有( )A.极小值21 B. 极小值21- C. 极大值21 D. 极大值21- 4.若()()⎰-=xdt x t dxd x f 0cos ,则()=x f ( ) A.x cos B. x cos - C.x sin D.x sin -5.若()⎰=+122dx k x ,则=k ( )A.0B.-1C.1D.21 6.曲线x y -=42与y 轴所围图形的面积为( ) A.()⎰--2224dy y B. ()⎰-224dy y C.dx x ⎰-44 D. dx x ⎰--444二．填空题1.若物体以速度()()()0≥=t v t v v 作直线运动,用定积分表示从时刻1t 到时刻2t 所经过的路程S,则S= .2.设平面图形由直线)1(,>==b b x x y 和曲线1=xy 所围(第一象限部分),该图形的面积I 的定积分表达式为 .3.()()[]=--⎰-dx x f x f a a.4.⎰-=-11221sin dx xx arc x .5.⎰=bdx x 0.6.设()x f '在[]b a ,连续,且()()1,0==b f a f ,则()()[]⎰=+badx x f x f 2'1 .7.设()x f 在()+∞∞-,一阶可导,()()()⎰≠=x x dt t xf x F 1,0则()=x F '' . 8.⎰=++∞→10421limdx x n nxn .9.若广义积分()⎰+∞2ln kx x dx发散,则k 的取值为 .10.由0,1,4>≥≤x y xy 所夹图形绕y 轴旋转所成旋转体体积V = . 三、计算题 1. 计算⎰+1313arctan dx xx x .2. 计算⎰+∞-0sin xdx e x .3. 求⎰-=xt dt e x f 02)(对x 的导数.4. 计算⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++112)2ln(cos 3tan sin dx x x x x . 5. 计算⎰--22232)1(dx x .6. ⎰e dx x 13)(ln 7. ⎰-1)1(arcsin dx x x x习题二一．选择题1.()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的( )A.必要条件B.充分条件C. 充分必要条件D.以上A 、B 、C 都不对 2.在积分中值定理()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ中,ξ是( )A. []b a ,内任意一点B. []b a ,的中点C. []b a ,内某一点D. []b a ,内至少存在的某一点3.若()x f 可导,()()20,00'==ff ,则()2limxdt t f xx ⎰→的值为( )A.0B.1C.2D.不存在4.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⎰0,0,122x a x x dte xf x t 若()x f 在0=x 连续则必有( ) A.1=a B.2=a C.0=a D.1-=a 5.⎰=+b a dx xdx d 211( D ) A.211x + B. 211b + C. 211a+- D.0 6.设()()⎰-=x x f dt t f 02121，且()10=f ,则()x f =( )A.2xe B.x e 21 C.x e 2 D.x e 2217.若()()()⎰+==xtxCdt t e x f e x x g 02122213,,且()()23lim '=+∞→x g x f x ,则必有( ) A.C=0 B.C=1 C.C=-1 D.C=2 8.=⎰-112dx x ( )A.0B.21C.1D.2 9.设()x f ''在[]b a ,连续,且()()b a f a b f =='',,则()()⎰∙b adx x f x f '''=( )A.b a -B. )(21b a -C.22b a -D.)(2122b a -10.若10=⎰+∞-dx ae x 收敛,则=a ( )A.1B.2C.21D. 21- 二．填空题1.设()x f 在积分区间上连续,则()()[]=--⎰-dx x f x f x aa2 .2.定积分⎰-=22cos ππxdx x .3.定积分⎰-=22cos ππxdx x .4.定积分()⎰-=+ππdx x xsin 2.5.定积分⎰-=+222cos 1sin ππdx x x.6.设()⎰=x tdt x f 0tan ,则()=x f ' . 7.设()⎰+∙=20321x dt t t x f ,则()=x f ' .8.设()⎰=xtdt x f 1arctan ,则()=x f ' .9.设()⎰=x tdt x f 0sin ,则=⎪⎭⎫⎝⎛2'πf .10.⎰+∞-=02dx e x .三、计算题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=-10 ,1101 ,)(2x x x xe x f x ,求⎰-2 0.)1(dx x f2. 求极限)cos 1()1arctan(lim 0002x x du dt t xu x -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰→. 3. ⎰+1)1ln(dx x .4. 将2)(2--=x x xx f 展成x 的幂级数.5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=+0,)1ln(0,)1(2x x x x xe x f x，求⎰-41)2(dx x f .6.求定积分⎰------6)6)(5)(4)(3)(2)(1(dx x x x x x x x .7． 设连续函数)(x f 满足方程x xe dt tf x f +=⎰0)()(，求)(x f .习题三一．选择题1.设()x f 在区间[]b a ,上连续,则()()⎰⎰-babadt t f dx x f 的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.不能确定2.设()x f 在[]b a ,上连续,x 是[]b a ,上的任一点,则下式中是()x f 的一个原函数的是( )A.()⎰dx x fB.()⎰badx x f C.()⎰xadt t f D.()⎰xadt t f '3.设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则下列结论不正确的是( ) A.()⎰badx x f 是()x f 的一个原函数 B.()⎰xadt t f 是()x f 的一个原函数()b x a <<C.()⎰bxdt t f 是-()x f 的一个原函数 D. ()x f 在[]b a ,上是可积的4.设函数()x f 在[]1,0上连续,令x t 4=,则()⎰=14dx x f ( )A.()⎰40dt t f B.()⎰1041dt t f C. ()⎰404dt t f D. ()⎰441dt t f 5.广义积分⎰+∞-+222x x dx( )A.收敛于2ln 32B. 收敛于2ln 23C. 收敛于41ln 31 D.发散6.⎰baxdx dx d arctan 等于( ) A.x arctan B.211x + C.a b arctan arctan - D.07.若函数()x x x f +=3,则()⎰-22dx x f 的值等于( )A.0B.8C. ()⎰20dx x f D. ()⎰22dx x f8.下列定积分等于零的是( )A.⎰-112cos xdx x B. ⎰-11sin xdx x C. ⎰-+11)sin (dx x x D. ⎰-+11)(dx x e x9.变上限积分()⎰xadt t f 是( )A.()x f ' 的一个原函数B.()x f '的全体原函数C.()x f 的一个原函数D.()x f 的全体原函数10.极限⎰⎰→x xx tdttdtsin lim等于( )A.-1B.0C.1D.2二．填空题1.根据定积分的几何意义,有()⎰=-101dx x .2.设(),sin 12dt t x x⎰=ϕ则导数()=x 'ϕ .3.⎰--=121dx x . 4.()⎰=xa dt t f dx d . 5.()⎰=2x a dt t f dx d . 6.()⎰=ua dt t f du d . 7.()⎰=badx x f dx d . 8.=++⎰4122dx x x .9.=⎰210arcsin xdx .10.设()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=+,0,1,0,111x e x x x x f x 则定积分()=-⎰201dx x f .三、计算题1. 计算⎰++102132dx x x . 2. 设xxe x f =+)12(, 求⎰53)(dt t f .3. 已知⎰+=+12)1ln()()(2x x f dx x f x , 求⎰1)(dx x f .4. 讨论级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--111co s 1)1(n n n 的敛散性, 若收敛,指出其条件收敛或绝对收敛.5. 计算⎰-20)2sin(1πdx x .6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,ln 1,)(2x x x x xe x f x ，求.)2(41⎰-dx x f7. 求.)2()1ln(102⎰-+dx x x习题四一．选择题 1.()⎰=+xdt t dx d 021ln （ ） A ．()1ln 2+x B.()1ln 2+t C.()1ln 22+x x D.()1ln 22+t t 2.=⎰→320sin limx dt t xx ( )A.0B.1C.31D.∞3.下列积分中,使用变换正确的是( )A.⎰+π03,sin 1dx xdx 令t x arctan = B.⎰-3023,1dx x x 令t x sin = C.()⎰-++2122,11ln dx xx x 令21x u += D.⎰--112,1dx x 令31t x = 4.下列积分中,值为零的是( )A.⎰-112dx x B.⎰-213dx x C.⎰-11dx D.⎰-112sin xdx x二．填空题1. 若2x e -为)(x f 的一个原函数，则='⎰1)(dx x f x .2. 函数⎰--=xdt t t y 02)2()1(的极小值点是 .3. 若)(x f 在R 上连续，则=⎰-aadt x f x )(cos 3 .4. 若⎰+=yx t dt e y x f 402),(，则='),(y x f x .5. 若⎰=x t dt xe x f 0)(，则=dxdf. 6. ⎰+∞-=04dx e x x .7. 若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰Ddxdy .8. =⎰∞→32sin limt xdx x tt . 9. 设,sin )(C xxdx x f +=⎰则=⎰362)(ππdx x xf .10. 设,)sin 3()( 02⎰+=x dt t t x f 则=→23)(limx x f x . 三、计算题1. 求连续函数),(x f 使其满足20)(2)(x dt t f x f x=+⎰.2. 计算⎰-12112dx ex .3. 计算⎰-0|cos sin |πdx x x .4. 讨论⎰+∞dx e ax 的敛散性.5. 设x e x f -=)(， （1）求dx x f ⎰)(;（2）若)()(x f x F ='，且1)0(=F ，求)(x F 的表达式； （3）计算⎰ba dx x f )(；（4）判别⎰+∞1)(dx x f 的收敛性，若收敛，求其值； （5）求202)(lim2xdt t f x x ⎰→；6. 计算⎰-12112dx ex .7. 可微函数)(x f y =满足⎰-=-xdt t f x f 0]1)(2[1)(，求：（1）)0(f ; （2）)(x f答案习题一一．选择题 1.⎰b xt dt e dx d 2的结果为( B ) A.2x e B. 2x e - C. 22x b e e - D. 22x xe - 2.设()x f 连续,则()⎰=-→xa ax dt t f ax x lim( C ) A.0 B.a C.()a af D. ()a f 3.设函数()⎰-=xdt t y 01,则y 有( B )A.极小值21 B. 极小值21- C. 极大值21 D. 极大值21-4.若()()⎰-=xdt x t dx d x f 0cos ,则()=x f ( A ) A.x cos B. x cos - C.x sin D.x sin -5.若()⎰=+122dx k x ,则=k ( C )A.0B.-1C.1D.21 6.曲线x y -=42与y 轴所围图形的面积为( A ) A.()⎰--2224dy y B. ()⎰-224dy y C.dx x ⎰-44 D. dx x ⎰--444二．填空题1.若物体以速度()()()0≥=t v t v v 作直线运动,用定积分表示从时刻1t 到时刻2t 所经过的路程S,则S= . ()⎰21t t dt t v2.设平面图形由直线)1(,>==b b x x y 和曲线1=xy 所围(第一象限部分),该图形的面积I 的定积分表达式为 . ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-b dx x x 113.()()[]=--⎰-dx x f x f aa. 04.⎰-=-11221sin dx xx arc x . 05.⎰=b dx x 0 . 221b ± 6.设()x f '在[]b a ,连续,且()()1,0==b f a f ,则()()[]⎰=+badx x f x f 2'1 .4π 7.设()x f 在()+∞∞-,一阶可导,()()()⎰≠=x x dt t xf x F 1,0则()=x F '' . ⎪⎭⎫⎝⎛x f x 11'3 8.⎰=++∞→10421limdx x n nx n . 4π9.若广义积分()⎰+∞2ln kx x dx发散,则k 的取值为 . 1>k10.由0,1,4>≥≤x y xy 所夹图形绕y 轴旋转所成旋转体体积V = . π 三、计算题 1. 计算⎰+1313arctan dx xx x .2. 计算⎰+∞-0sin xdx e x .3. 求⎰-=xt dt e x f 02)(对x 的导数.4. 计算⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++112)2ln(cos 3tan sin dx x x x x . 5. 计算⎰--22232)1(dx x .6. ⎰e dx x 13)(ln 7. ⎰-1)1(arcsin dx x x x习题二一．选择题1.()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的( B )A.必要条件B.充分条件C. 充分必要条件D.以上A 、B 、C 都不对 2.在积分中值定理()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ中,ξ是( D )A. []b a ,内任意一点B. []b a ,的中点C. []b a ,内某一点D. []b a ,内至少存在的某一点 3.若()x f 可导,()()20,00'==ff ,则()2limx dt t f xx ⎰→的值为( B ) A.0 B.1 C.2 D.不存在4.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⎰0,0,122x a x x dte xf x t 若()x f 在0=x 连续则必有( C ) A.1=a B.2=a C.0=a D.1-=a 5.⎰=+b a dx x dx d 211( D ) A.211x + B. 211b + C. 211a+- D.06.设()()⎰-=xx f dt t f 02121，且()10=f ,则()x f =( C ) A.2xe B.x e 21 C.x e 2 D.x e 2217.若()()()⎰+==xtxCdt t e x f e x x g 02122213,,且()()23lim '=+∞→x g x f x ,则必有( B ) A.C=0 B.C=1 C.C=-1 D.C=2 8.=⎰-112dx x ( C )A.0B.21C.1D.2 9.设()x f ''在[]b a ,连续,且()()b a f a b f =='',,则()()⎰∙b adx x f x f '''=( D )A.b a -B. )(21b a -C.22b a -D.)(2122b a -10.若10=⎰+∞-dx ae x 收敛,则=a ( C )A.1B.2C.21D. 21- 二．填空题1.设()x f 在积分区间上连续,则()()[]=--⎰-dx x f x f x aa2 . 02.定积分⎰-=22cos ππxdx x . 03.定积分⎰-=22cos ππxdx x . 04.定积分()⎰-=+ππdx x xsin 2. 332π5.定积分⎰-=+222cos 1sin ππdx x x. 06.设()⎰=x tdt x f 0tan ,则()=x f ' . x tan7.设()⎰+∙=20321x dt t t x f ,则()=x f ' . 34312x x +∙8.设()⎰=xtdt x f 1arctan ,则()=x f ' . x arctan9.设()⎰=x tdt x f 0sin ,则=⎪⎭⎫⎝⎛2'πf . 110.⎰+∞-=02dx e x .21三、计算题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=-10 ,1101 ,)(2x x x xe x f x ,求⎰-2 0.)1(dx x f2. 求极限)cos 1()1arctan(lim0002x x du dt t xu x -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰→. 3. ⎰+1)1ln(dx x .4. 将2)(2--=x x xx f 展成x 的幂级数.5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=+0,)1ln(0,)1(2x x x x xe x f x，求⎰-41)2(dx x f .6.求定积分⎰------6)6)(5)(4)(3)(2)(1(dx x x x x x x x .7． 设连续函数)(x f 满足方程x xe dt tf x f +=⎰0)()(，求)(x f .习题三一．选择题1.设()x f 在区间[]b a ,上连续,则()()⎰⎰-babadt t f dx x f 的值( C )A.小于0B.大于0C.等于0D.不能确定2.设()x f 在[]b a ,上连续,x 是[]b a ,上的任一点,则下式中是()x f 的一个原函数的是( C )A.()⎰dx x fB.()⎰badx x f C.()⎰xadt t f D.()⎰xadt t f '3.设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则下列结论不正确的是( A ) A.()⎰b adx x f 是()x f 的一个原函数 B.()⎰xadt t f 是()x f 的一个原函数()b x a <<C.()⎰b xdt t f 是-()x f 的一个原函数 D. ()x f 在[]b a ,上是可积的 4.设函数()x f 在[]1,0上连续,令x t 4=,则()⎰=104dx x f ( D )A.()⎰4dt t f B. ()⎰1041dt t f C. ()⎰404dt t f D. ()⎰441dt t f5.广义积分⎰+∞-+222x x dx( A )A.收敛于2ln 32B. 收敛于2ln 23C. 收敛于41ln 31 D.发散6.⎰baxdx dx d arctan 等于( D ) A.x arctan B.211x + C.a b arctan arctan - D.07.若函数()x x x f +=3,则()⎰-22dx x f 的值等于( A )A.0B.8C. ()⎰20dx x f D. ()⎰22dx x f8.下列定积分等于零的是( C )A.⎰-112cos xdx x B. ⎰-11sin xdx x C. ⎰-+11)sin (dx x x D. ⎰-+11)(dx x e x9.变上限积分()⎰xadt t f 是( C )A.()x f ' 的一个原函数B.()x f '的全体原函数C.()x f 的一个原函数D.()x f 的全体原函数10.极限⎰⎰→x xx tdttdtsin lim等于( C )A.-1B.0C.1D.2二．填空题1.根据定积分的几何意义,有()⎰=-101dx x .21 2.设(),sin 12dt t x x⎰=ϕ则导数()=x 'ϕ . 2sin x3.⎰--=121dx x . 2ln - 4.()⎰=xa dt t f dx d . ()x f 5.()⎰=2x a dt t f dx d . ()22x xf 6.()⎰=ua dt t f du d . ()u f 7.()⎰=badx x f dx d . 0 8.=++⎰4122dx x x .322 9.=⎰210arcsin xdx .12312-+π10.设()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=+,0,1,0,111x e x x x x f x 则定积分()=-⎰201dx x f . 2ln 1+三、计算题1. 计算⎰++102132dx x x . 2. 设x xe x f =+)12(, 求⎰53)(dt t f .3. 已知⎰+=+12)1ln()()(2x x f dx x f x , 求⎰1)(dx x f .4. 讨论级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--111co s 1)1(n n n 的敛散性, 若收敛,指出其条件收敛或绝对收敛.5. 计算⎰-20)2sin(1πdx x .6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,ln 1,)(2x x x x xe x f x ，求.)2(41⎰-dx x f7. 求.)2()1ln(102⎰-+dx x x习题四一．选择题 1.()⎰=+xdt t dx d 021ln （ A ） A ．()1ln 2+x B.()1ln 2+t C.()1ln 22+x x D.()1ln 22+t t2.=⎰→320sin limx dt t xx ( C )A.0B.1C.31D.∞3.下列积分中,使用变换正确的是( C )A.⎰+π03,sin 1dx xdx 令t x arctan = B.⎰-3023,1dx x x 令t x sin =C.()⎰-++2122,11ln dx xx x 令21x u += D.⎰--112,1dx x 令31t x = 4.下列积分中,值为零的是( A )A.⎰-112dx x B.⎰-213dx x C.⎰-11dx D.⎰-112sin xdx x二．填空题1. 若2x e -为)(x f 的一个原函数，则='⎰1)(dx x f x .2. 函数⎰--=xdt t t y 02)2()1(的极小值点是 .3. 若)(x f 在R 上连续，则=⎰-aadt x f x )(cos 3 .4. 若⎰+=yx t dt e y x f 402),(，则='),(y x f x .5. 若⎰=x t dt xe x f 0)(，则=dxdf. 6. ⎰+∞-=04dx e x x .7. 若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰Ddxdy .8. =⎰∞→32sin limt xdx x tt . 9. 设,sin )(C xxdx x f +=⎰则=⎰362)(ππdx x xf .10. 设,)sin 3()( 02⎰+=x dt t t x f 则=→23)(limx x f x . 三、计算题1. 求连续函数),(x f 使其满足20)(2)(x dt t f x f x=+⎰.2. 计算⎰-12112dx ex .3. 计算⎰-20|cos sin |πdx x x .4. 讨论⎰+∞dx e ax 的敛散性.5. 设x e x f -=)(， （1）求dx x f ⎰)(;（2）若)()(x f x F ='，且1)0(=F ，求)(x F 的表达式； （3）计算⎰ba dx x f )(；（4）判别⎰+∞1)(dx x f 的收敛性，若收敛，求其值；（5）求202)(lim2xdt t f x x ⎰→；6. 计算⎰-12112dx ex .7. 可微函数)(x f y =满足⎰-=-xdt t f x f 0]1)(2[1)(，求：（1）)0(f ; （2）)(x f。
第五章 定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。
(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。
4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。
5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。
7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。
第五章 定积分 单元测试一、选择题1．若24(5)10f x x x-=-，则积分40(21)f x dx +=⎰（ ） A ．0 B ．4πC ．是发散的广义积分D ．是收敛的广义积分 2．若已知(0)1(2)3(2)5f f f '===，，，则10(2)xf x dx ''=⎰（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－2 3．设()f x 是以l 为周期的连续函数，则(1)()a k la klf x dx +++⎰之值（ ）A ．仅与a 有关B ．仅与a 无关C ．与a 及k 均无关D ．与a 和k 都有关 4．若0x →时，220()()()xF x x t f t dt ''=-⎰的导数与2x 是等价无穷小，则必有（ ）（其中f 有二阶连续导数）A ．(0)1f ''=B ．1(0)2f ''=C ．(0)0f ''=D ．(0)f ''不存在5．若221()lim1nnn x f x x x →∞-=+，且设20()f x dx k =⎰，则必有（ ） A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝－1 D ．k ＝2 6．设2sin ()sin x t xf x e tdt π+=⎰，则()f x =（ ）A ．正常数B ．负常数C ．恒为0D ．不是常数 7．已知()f t 是()-∞+∞，内的连续函数，则211()()x xf t dt t dt ϕ=⎰⎰恒成立时，必有()t ϕ=（ ）A ．2()f t B ．33()t f t C ．23()t f t D ．233()t f t8．设()f x 在[]a a -，上连续且为偶函数，0()()xx f t dt φ=⎰，则（ ）A ．()x φ是奇函数B ．()x φ是偶函数C ．()x φ是非奇非偶函数D ．()x φ可能是奇函数，也可能是偶函数 9．设y 是由方程2sin 0yxt e dt tdt π+=⎰⎰所确定的x 的函数，则dydx=（ ）A ．sin 1cos x x - B ．sin cos 1x x -+ C ．cos y y e D ．cos y ye-10．222(1)dxx -=+⎰（ ）A ．43-B ．43C ．23- D ．不存在 11．设636322-22sin cos (sin cos )1x M xdx N x x dx x ππππ-==++⎰⎰，，23622(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰则有（ ）A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N << 12．下列广义积分发散的是（ ） A ．11sin dxx-⎰ B．1-⎰ C ．20x e dx +∞-⎰ D ．22ln dxx x+∞⎰13．若()f x 是具有连续导数的函数，且(0)0f =，设02()0()00x tf t dt x x x x ϕ⎧⎪ ≠=⎨⎪=⎩⎰ 则(0)ϕ'=（ ）A ．(0)f 'B ．1(0)3f ' C ．1 D ．1314．若设0()sin()xd f x t x dt dx =-⎰，则必有（ ）A ．()sin f x x =-B ．()1cos f x x =-+C ．()sin f x x = 1D ．()1sin f x x =- 15．若()x x t =是由方程2110x t t e dt +--=⎰所确定，则22t d ydx=之值为（ ）A ．0B ．1C ．2e D ．22e 16．设2211(1)0x x a e dx b e dx -==⎰⎰，，则（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．b e > 17．设0()()()xF x xf x t dt f x =-⎰，为连续函数，且(0)0()0f f x '=>，，则()y F x =在(0)+∞，内是（ ）A ．单调增加且为向上凹的B ．单调增加且为单调凸的C ．单调减少且为向上凹的D ．单调减少且为向上凸的 18．设()f x 在()-∞+∞，内连续，则（ ）为正确的 A ．若()f x 为偶函数，则()0aa f x dx -≠⎰ B ．若()f x 为奇函数，则0()2()aaaf x dx f x dx -≠⎰⎰C ．若()f x 为非奇非偶函数，则()0aaf x dx -≠⎰D ．若()f x 为以T 为周期的奇函数，则0()()xF x f t dt =⎰也是以T 为周期的函数19．下列式中正确的是（ ），其中21sin 0()00x x f x xx ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ A ．0π=⎰B ．21xdx x +∞-∞+⎰C ．1310dxx -=⎰ D ．11()0f x dx -=⎰ 20．设()f x 连续，且1()f tx dx x =⎰，则()f x =（ ）A ． 2x B ．x C ． 2x D ．2x二、填空题 1．214n n →∞++=-_____________。
《高等数学》单元自测题答案 第五章 定积分及其应用一、填空题： 1、0； 2、≤； 3、65； 4、)sin(362x x ； 5、2+e ． 二、选择题：1、D ； 2 、C ； 3、B ； 4、C ； 5、D 。
三、计算题：1、解 令t x sin 2=，则tdt dx cos 2=，且 当0=x 时，0=t ；当2=x 时，2π=t 。
所以，⎰⎰⋅-=-20232023cos 2sin 44sin 84πtdt t t dx x x⎰⎰⋅-=⋅⋅=2022203cos cos )1(cos 32cos 2cos 2sin 8ππttd t tdt t t1564)cos 31cos 51(322035=-=πt t 。
2、解⎰⎰⎰⎰+=+=+---20322322223cos 20cos )cos (πππππππxdx xdx xdx dx x x34)sin 31(sin 2sin )sin 1(2203202=-=-=⎰ππt x x d x 。
3、解⎰⎰⎰--=-⋅=210221021021112arcsin )arcsin (arcsin dx xx x xd x x xdx π123121221121)1(211221022122-+=-⋅+=--+=⎰πππxx x d 。
4、解31)11lim (31)131(31314=--=⋅-=+∞→+∞∞+⎰xx x dx x 。
5、解 2)arcsin(ln )(ln 1ln )(ln 111212π==-=-⎰⎰ee e x x x d x x dx 。
四、应用题：1、已知函数)(x f 在 12=x 的某邻域内可导，且0)(lim 12=→x f x ，1004)(lim 12='→x f x ，求3121212)12(])([limx dtdu u tf x tx -⎰⎰→。
解 []2121231212123121212)12(3)(lim )12(])([lim )12(])([lim x du u xf x dt du u tf x dt du u tf x x xt x xt x --='-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎰⎰⎰⎰⎰→→→ [])12(6)]([)(lim )12(3)(lim 121221212x x f x du u f x du u f x x x x x --+='--'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰→→ 20086)()(2lim 6)]()([)(lim 1212='+=-'+--=→→x f x x f x f x x f x f x x 。
第五章 定 积 分§5—1 定积分概念一、填空题1． )(x f 在[a,b]上可积的充分条件是 。
2． nn knk n ∑=∞→1lim用定积分表示可表示成 。
3． 由定积分的几何意义知⎰-ππxdx sin = ，⎰-ππxdx sin = 。
4． 定积分dx x a aa⎰--22的几何意义是 。
二．判断题。
1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。
（ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。
（ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。
（ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。
（ ） 三．单项选择题。
1． 定积分⎰badx x f )(表示和式的极限是 。
（A ）、))((1lim a b nkf n ab nk n --∑=∞→ （B ）、))(1(1lim a b nk f n ab nk n ---∑=∞→（C ）∑=∞→∆nk kkn x f 1)(lim ξ（i ξ为i x ∆中任一点）（D ）、∑=∞→∆nk kkx f 1)(lim ξλ（}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，i ξ为i x ∆中任一点）2．定积分⎰badx x f )(=∑=∞→∆nk kkxf 1)(lim ξλ表明（A ）、[b a ,]必须n 等分,kξ是[x k-1,x k ]的端点。
（B ）、[b a ,]可以任意分,ξk必是[x k-1,x k ]的端点。
（C ）、[b a ,]可以任意分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取。
（D ）、[b a ,]必须等分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取四．利用定积分定义计算 ⎰baxdx )(b a <§5—2 定积分的性质 中值定理一、判断题1．若函数)(x f 在[b a ,]上连续，且0)(2=⎰dx x f ba则在[b a ,]上f(x)0≡ （ ）2．若f(x),g(x)在[b a ,]上可积且f(x)<g(x),则dx x g dx x f baba⎰⎰<)()( （ ）3．若函数)(x f 在[b a ,]上可积且[d c ,]⊂ [b a ,] 则⎰⎰≤badcdx x f dx x f )()( （ ）4．若函数)(x f 在[b a ,]上可积，则至少有一点∈δ[b a ,],使⎰-baa b f ))((δ （ ）5．不等式 32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x 成立。
（ ） 二、单选题a) 积分中值定理))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ中ξ是[b a ,]上（A ）任意一点 （B ）必存在的某一点 （C ）唯一的某点 （D ）中点 b) 设 I 1=⎰xetdt ln I 2=dt t xe⎰2ln （x>0）。
则（A ）仅当x>e 时I 1<I 2 （B ）对一切e x ≠有I 1<I 2(C) 仅当x<e 时I 1<I 2 (D) 对一切e x ≠有I 1≥I 2c) I=dx x x an n n ⎰+∞→1sin lim（a 为常数）积分中值定理=⋅∞→δδ1sin a(A) =⋅∞→δδ1sin lim a n 2a sin a 1 (B) =⋅∞→δδ1sin lim a n 0(C) =⋅∞→δδ1sin lim a n a ( D) =⋅∞→δδ1sin lim a n ∞三、比较下列积分的大小。
1．⎰⎰+-11)1(dx x dx ex与 2.⎰⎰4040cos sin ππxdx xdx 与四、估计积分dx exx ⎰-22的值。
五、证明：若函数)(x f 在[b a ,]上连续，非负，且)(x f 0≠ 则0)(>⎰badx x f六、设函数)(x f 在[b a ,]上连续，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f 222)()()()(七、设函数)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且)0(f =3⎰132)(dx x f证明：在（0，1）内至少存在一点C ，使0)(='c f§5.3 微积分基本公式一、填空题1．dx x dx d ⎰202sin π= 。
2．=⎰dt t dx d x 02sin 。
3．=⎰dt t dx d x 202sin 。
4．=⎰dt t dx d x22sin 。
5．=⎰→32sin limx dt t x x 。
6．()=+⎰∞→1arctan lim22x dt t xx 。
7．()⎰-2sin x tdt t x dx d =- 。
8。
⎰+101x edx = 。
9．=⎰2)(dx x f 。
其中)(x f =⎩⎨⎧-x x 22 2110≤<≤≤x x10. 函数)(x f =2x 2+3x+3 在 [1，4] 上的平均值为 。
二． 判断题1．0)(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰x a dt t x dx d ( ) 2. 1cos cos 303-='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x tdt x ( )3.若函数)(x f 在[b a ,]上连续，则)(x F =⎰xadt t f )( 在[b a ,]上可导。
（ ）4．2cos 2cos 22cos 1020===+⎰⎰⎰πππxdx dx x dx x sinxπ=0 ( )5．函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=>--⎰xxx x dt t x x x e e 02)0(cos 21)0(2)0(1)1(2sin 在R 上处处连续 （ ）三．单项选择题1． 设)(x f 为连续函数，且F(x)=⎰xxdt t f ln 1)(，则)(x F '等于（A ）x 1f(x)+)1(12x f x (B) )1()(ln x f x f + (C) )1(1)(ln 12x f xx f x - (D) )1()(ln x f x f - 2． 设F(x)=⎰-xadt t f a x x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（A ）2a (B) )(2a f a (C) 0 (D) 不存在3． )(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤)2(sin 1)0(cos 122πx b xb x x且2)(20=⎰πdx x f 则b=(A)2π (B)3π (C)4π (D)6π 四．设)(x f y =由方程 012=-⎰+-y x t dt e x 确定，求曲线)(x f y =在x=0处的切线。
五.计算下列定积分 1．dx xx 221)1(⎰+2.⎰+321xdx3. ⎰404tan πxdx 4. 设)(x f =⎰-⎩⎨⎧≤>12)()0(cos )0(πdx x f x x x ex 求5. ⎰20}cos ,max{sin πdx x x 6.⎰-202sin 1πdx x四、 设 )(x f =x x -2⎰⎰+12)(2)(dx x f dx x f , 求 )(x f五．求b a ,的值，使 ⎰=+-→xx dt t a t x bx 0201sin 1lim六．设)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧1sin 21x ππ><≤≤x x x 或00 求F(x)=⎰x at t f 0)(在(+∞∞-,)内的表达式.七． 设)(x f 为连续函数,证明:⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x xt dt t x t f dt du u f 000))(()(§5.4 定积分的换元法一、填空题1．若函数)(x f 在[a a ,-]上连续，则=--⎰-aadx x f x f )]()([ 。
2．设)(x f '连续，则='⎰badx x f )2( 。
3．=-⎰xdt x t dx d 0)cos( 。
4．=-+⎰-33239)4(dx x x 。
5．设)(x f 是以T 为周期的连续函数，且,1)(0=⎰Tdx x f 则⎰+Tdx x f 200211)(= 。
二、判断题1．若)(x f 为(+∞∞-,)上的连续函数，且⎰⎰=-xxxdt t f dt t f 0)(2)(则f(x)必为偶函数。
（ ）2．由于I =I tdtt x x dx -=+-=+⎰⎰--112112111令 0=∴I ( ) 3⎰⎰⎰⎰+=+=--2122111210dx x dx x x dx x x dx x x （ ）三、单项选择题1． 定积分dx e xx 12121⎰-的值是 （A ）21e (B) 21e e - (C) 1 （D ）不存在 2． I=dx x f x a⎰23)( （0>a ）,则I=(A)⎰2)(a dx x xf (B)⎰a dx x xf 0)( (C) ⎰20)(21a dx x xf (D)21⎰adx x xf 0)(四、计算下列定积分 1．⎰+31ln 1e xx dx 2.⎰⋅25cos 2sin πxdx x3．⎰-++02222x x dx 4.⎰---1122)2(dx x x5．.)2()0()0(1)(312⎰-⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-dx x f x e x x x f x 求设五、证明：⎰⎰+=+2020cos sin cos cos sin sin ππθθθθθθθθd d ，并利用结果计算⎰+20cos sin sin πθθθθd 之值。
六、设函数)(x f 为[a a ,-]上连续的偶函数。
求证：⎰⎰=+-a aa x dx x f dx e x f 0)(1)( 并利用结果计算xdx e e x x422sin 1⎰-+ππ七．设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续、可导，且⎰-=xdt t f t x x F 0)()2()(，证明：（1）若)(x f 是偶函数，则)(x F 也是偶函数； （2）若0)(<'x f ，则)(x F 在),(+∞-∞内单调增加。
§5.5 定积分的分部积分法一、判断题1．若)(x f '连续，则⎰⎰⎰-=='11011)2()2()2()2(dx x f x xf x xdf dx x f x ( )2．)ln 1(11ln 1ln ln 111e ee e e e e dx x x xx dx x x eee eee-=+--=⋅-=⎰⎰ （ ） 二、填空题1．=⎰27sin πxdx 。
