高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册

第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线、轴以及两条直线、所围成,求其面积. ①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点，用直线将曲边梯形分成个小曲边梯形，用表示第个曲边梯形的面积; ②．常代变(近似代替)：在第个窄曲边梯形的底上任取，有. ③．近似和(求和)：④．取极限：令，则2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度在时间间隔上连续，且，求在运动时间内物体所经过的路程①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点，将它分成个小段，用表示物体第个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第个小段上经过的路程任取，有. ③．近似和(求和)：④．取极限：令，则这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念 1．定积分 :设函数在区间上有界，若在区间内任意插入，任取，记，只要和式极限总存在，则称此极限为在上的定积分,记作，即，此时也称在区间上黎曼可积. 注：1°.引例中，曲边梯形的面积；路程2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即3°.在定积分定义中，要求积分上限大于积分下限，为了方便起见，规定：当时，；当时，. 4°.定积分定义中意味着区间的分割越来越细.时必有小区间的个数并不能保证(不等分的时候，当等分的时候5°.若已知在上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如等分) (例如取或)来计算定积分2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件：定理1.若在上可积，则在上有界反之未必，例如：狄利克雷函数在上有界，但不可积, 分和的极限不总存在. (2). 充分条件：定理2. 若在上连续，则在上可积反之未必，例如在上可积，但在上有一个间断点定理3. 若在上有界，并且只有有限个间断点，则在上可积. 定理4. 若在上单调且有界，则在上可积. 例1. 利用定义计算定积分解：将区间进行等分, 分点为则，于是，，取，，所以例2. 用定积分表示下列极限 1.. 2. .三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性性质1. ( k为常数) 性质2. 2.积分区间的可加性性质3. 设，则有 3.保序性性质4. 若在，，则性质5. 若在，，则 4.绝对不等式性性质6. 5.介值性性质7.设和是在上的最大值和最小值，则. 性质8. 6.中值性性质9.(积分中值定理) 若在上连续，则至少存在一点，使得 .证明：设在上的最大值和最小值为和，则由介值性得， . 再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点，使注：1°.积分中值定理对或的情形都成立. 2°.称为在上的平均值. 因为，故它是有限个数的平均值概念的推广3°.积分中值定理的几何意义: 以为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以为的矩形的面积第二节微积分基本公式一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系在变速直线运动中, 已知位臵函数与速度函数之间满足：，即的原函数又物体在时间间隔内经过的路程为，即速度函数区间上的定积分等于的原函数在上的增量这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数 1.积分上限函数：若函数区间上可积，则称函数分上限函数，或变上限积分注：积分上限函数在上连续推导：，有，当，即在上连续 2.积分上限函数的导数：定理1.若函数在区间上连续，则积分上限函数在并且 . 证明: ，则有 (积分中值定理)，又在上连续，故有 . 若，取，可证；若，取，可证. 注：其它变限积分求导: 1°；2°； 3. .3.原函数存在定理：定理2.若函数在区间上连续，则积分上限函数在上的一个原函数注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路例1.例2.设在内连续且，证明在内单调增加证明：由于(积分中值定理，所以在内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可积的关系： (1).函数存在原函数，但不一定可积例如：对函数，由于，令，即函数在区间上具有原函数，但由于在无界，所以在不可积，事实上，取，有，即在无界(2).函数可积，但不一定存在原函数例如：函数在除了一个间断点外都连续，所以在可积，但在上不存在原函数 (3).存在既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数：三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式定理3. (微积分基本定理)设函数在区间上连续，若函数是在上的任一原函数，则证明：由于积分上限函数是的一个原函数，故，令，得，因此；再令，得注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数在上的定积分等于它的任意一个原函数在上的增量微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式，若函数在上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式：定理3’ 设函数在区间上有界，且有有限多个间断点，若存在连续函数，的间断点外，有，则证明：假设在不连续，不满足，，有在区间上连续，且满足，从而有，由的连续，有 . 例3. .例4.例5. . . 例6.计算正弦曲线在与轴所围成的平面图形的面积. 解：例7.用微积分基本定理证明积分中值定理：若在，使得证明：因为连续，故具有原函数，设为它的一个原函数，即，由牛顿—莱布尼茨公式有由在上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少存一点，使得，故第三节定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元法：定理1.设函数在区间上连续，函数满足：(1). , ，并且当从变到时，对应的单调地从变到； (2). 函数在或上具有连续导数，则有证明：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在，且它们的原函数也存在. 设的一个原函数，则是的原函数，于是由牛顿—莱布尼茨公式，有 . 注：1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回. 2°.换元公式也可以这样使用, 即凑元法，换.这相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算 . 解：令，则，当时，；时，，于是 .例 .例3.例4.计算 . . 解：令，则，，且当时，；当时，，于是 .另解： + 例5. 设为上的连续函数， (1). 若，则.(偶倍 (2). 若，则.(奇零证明: 由于，对积分作变换，令，则有，于是例6.若在上连续，证明(1). ；，并由此计算 (2). 证明： (1).令，则，且当时，；当时，，于是 . (2). 令，则，且当时，；当时，，于是整理得由此例7. 设是连续的周期函数，周期为，证明： (1). (2). ,并由此计算证明： (1).记，则，即与无关，因，于是(2).由于，又由(1)知，因此由于是以为周期的周期函数，于是 (令例8. 计算. 解：由于，令，，；时，，则，.当于是 (偶倍奇零) . 例9.设函数，计算解：设，则，且当时，；时，，于是 ) (由于二、定积分的分部积分法定理2. 设函数、在区间上连续，则有定积分的分部积分公式：证明：由于，两端在上积分得，，整理得例10. 计算解：. 例11. 计算解：令，则，，于是思考题：. 提示: 令，则第四节反常积分一、无穷积分 1.引例：曲线和直线及轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作，其含义可理解为将记作，因其积分区间时无穷区间，故称其为无穷积分. 2.无穷积分：设函数在区间上连续，取，若极限为在无穷区间上无穷积分,记作存在此时也称为无穷积分可类似定义：，收敛；若上述极限不存在,则称无穷积分在无穷区间上的无穷积分： . 在无穷区间上的无穷积分：注：上述定义中若出现，并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也称为第一类反常积分 3.无穷积分的计算：设是在上的一个原函数，引入记号 ; 则有类似牛——莱公式的计算表达式: 例 1.计算反常积分解：；；. 另解： . 注：是否正确？因为，故原积分发散，所以对反常积分, 使用“偶倍奇零”的性质, 否则会出现错误例2. 计算反常积分.解：. 当时收敛; 时发散. 证明：当时，有，例3. 证明积分当时，有因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散二、瑕积分 1.引例：曲线与轴及轴和直线所围成的开口曲边梯形的面积可记作，其含义可理解为将记作，因其被积函数在积分区间内无界，也称为无界函数的反常积分易知左端点是被积函数的无界间断点，称其为被积函数的瑕点，因此无界函数的反常积分也称为瑕积分 2.瑕点：若函数在点的任意邻域内都无界，则称为的无界间断点，又称为瑕点. 3.瑕积分：设函数在区间上连续，点为的瑕点，取，若存在，则称此极限为在区间上的瑕积分记作，此时也称瑕积分收敛；若上述极限不存在,就称瑕积分发散，可类似定义：若在区间内连续，为的瑕点，则有： .若在区间上除了点外连续，为的瑕点，则有：注：若出现，并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积分. 注：1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分, . 常积分. 例如: 2°.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如(令 (令) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算：设是的一个原函数，则有类似牛——莱公式的计算表达式: 若为瑕点, 则若为瑕点, 则 . 若和都为瑕点, 则思考题：若瑕点，则提示：和不一定相等.例 . 例5. 讨论反常积分的收敛性. 解：由于，所以反常积分发散. 例6. 证明反常积分当时收敛; 时发散. 证明：当时，为被积函数的瑕点，有，当时，有因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散例7. 计算反常积分解：注意到这是一个无穷限和瑕点都出现的反常积分令，则，，当时，；当时，，于是 . 再令，，，，当时，；当，于是 . 三.两类反常积分之间的关系：瑕积分积分可转化为无穷积分，例如：设函数在区间上连续，为的瑕点，由定义有，令，有第五节反常积分的审敛法函数一、无穷积分的审敛法由于无穷积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题，于是根据函数极限的理论，不难得出无穷积分的收敛准则： 1.柯西收敛准则：定理1. 收敛的充要条件是：对，，当成立下面讨论无穷积分2.有界审敛法：的另外几种收敛判别法，首先考虑非负函数的无穷积分定理2. 设非负函数在区间上连续，若函数在收敛证明：由于，则在上单调增加且有上界，根据极限收敛准则知存在 , 收敛由此定理，可得下面的比较审敛法： 3．比较审敛法：定理3.设函数、在区间上连续，且，有， (1). 若(2). 收敛，则收敛；发散证明：设，由于，有. (1). 收敛，则有，即单调递增且有上界, 由定理1知收敛 (2).用反证法：则由知，发散注：大的收敛，保证小的收敛；小的发散，导致大的发散由于反常积分当时，收敛；当时，发散，故通常取作为比较函数，即有下面的柯西审敛法： 4．柯西审敛法：定理4.设非负函数在区间上连续，对常数，记， (1). 当时，若，, 有，则收敛； (2).当时，若，, 有则发散例1.的敛散性解：由于收敛，故收敛在比较审敛法的基础上，可以得到应用更方便的极限审敛法： 5．极限审敛法：定理5.设非负函数在区间上连续，对常数，记， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，则证明：收敛；发散 (1). 当时，若，则由极限定义知：对任意给定的，当时，必有，即收敛 (2). 当时, 若, 则由极限定义，可取，使，当充分大时，必有，即，由比较审敛法知发散，由若，则对任意，当充分大时，，即发散例2. 的敛散性收敛，故解法(一)：由于，而收敛解法(二)：由于收敛例3. 的敛散性. 解：由于发散. 例4. 的敛散性. 发散.解：由于，极限审敛法知的概念以及绝对收敛定理. 6．绝对审敛法： (1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛：设反常积分若收敛，收敛，则称发散，则称绝对收敛；条件收敛； (2)．绝对审敛法：定理6.若函数在区间上连续，且收敛，则收敛证明：令，则，由于，故敛，而，又例5. 判断反常积分故收敛为常数，的敛散性解:由于，而再由绝对收敛定理知二、瑕积分的审敛法收敛，根据比较审敛原理知收敛由于瑕积分可转化为无穷积分，故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中来. 1.柯西收敛准则：定理7. (为的瑕点)收敛的充要条件是：对，成立 2．比较审敛法：定理8.设非负函数、在区间上连续，为、的瑕点，且，有， (1). 若(2). 收敛，则收敛；发散利用反常积分当时收敛; 敛法和极限审敛法： 3．柯西审敛法：定理9.设非负函数在区间上连续，为的瑕点， (1). 若，当时，,有，则收敛； (2).若，当时，, 有4．极限审敛法：发散定理10.设非负函数在区间上连续，为的瑕点，对常数，， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，则例6. 判别反常积分收敛；发散的敛散性. 解：易知是被积函数的瑕点，由于，由极限判别法知瑕积分例7.判定椭圆积分发散.的敛散性解：易知是被积函数的瑕点，由于，故由极限判别法知5．绝对审敛法：收敛. (1).瑕积分的绝对收敛与条件收敛：设瑕积分(为的瑕点)收敛，若收敛，则称绝对收敛；若发散，则称条件收敛；(2)．绝对审敛法：定理11.若函数在区间上连续上连续，且收敛，则收敛例8.判定反常积分的敛散性. ，而收敛，根据比较审敛解:易知是被积函数的瑕点，由于法知收敛. ，再由绝对收敛定理知例9.判定反常积分的敛散性解: 易知是被积函数的瑕点，由于,从而，即收敛. 收敛，从而三、函数 1. 函数：称参变量的反常积分为为函数，记作2. 函数的收敛性：收敛证明：由定义式可知，函数可分解为当时，为定积分；当时，为瑕积分，为瑕点，此时，由于，又由于时，瑕积分对无穷积分收敛，于是收敛，由于，从而收敛综上可得收敛 3. 函数的性质： (1). 递推公式：. 证明：应用分部积分法，有当介于两个整数之间时，则当为正整数时，则，而，所以 (2). 当时，. 证明：由于且，又当时连续(可证)，于是 .(3). 余元公式: 注： (4). 函数的其它形式：推导：对函数注： 1. ，令得， . 推导：令，则，，于是。

第五章 定积分习题及答案(简单层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1；10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。

(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。

4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x ，求()⎰-21dx x f 。

第五章 定积分一、本章的教学目的1．了解定积分的定义，函数()f x 在[,]a b 上可积的充分条件。

2．掌握定积分的性质，理解定积分中值定理。

3．掌握积分上限函数的求导方法及其应用。

4．熟练掌握微积分公式、定积分的换元积分法及分部积分法。

5．掌握用定积分计算平面图形的面积和求旋转体体积的计算公式。

主要内容1．定积分的概念与性质曲边梯形，曲边三角形；分割，黎曼和，黎曼和的极限；()f x 在[,]a b 上可积，()f x 在[,]a b ]上的定积分；定积分的几何意义；定积分的基本性质.关于函数可积性的几个重要结论： （1）可积函数必有界；（2）有限区间[,]a b 上的连续函数可积；（3）在有限区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数可积. 2．微积分基本定理变上限积分，变限积分的求导公式：()()()xaf t dt f x '=⎰微积分基本公式：()()()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰，其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数. 3．定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法；对称区间[,]a a -(0)a >上奇偶函数定积分的性质：（()f x 是奇函数）；()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰ （()f x 是偶函数）； 周期函数定积分的性质：()()a T Taf x dx f x dx +=⎰⎰ （T 为()f x 的周期）； 定积分的分部积分公式：()()()()()()bbbaaau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰.4．定积分的应用由x a =，x b =，()y f x =，()y g x =所围成的平面图形的面积()()baS f x g x dx =-⎰；微元法；由x a =，x b =，x 轴及()y f x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积2[()]bx aV f x dx π=⎰；由y c =，(0)y d d c =>≥，y 轴及()x y ϕ=所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体体积2[()]dy cV y dy πϕ=⎰二、本章教学的重点和难点1．教学重点：定积分的性质，微积分基本公式，定积分的换元法与分部积分法定积分的应用。

第五章 定积分及其应用习 题 5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A AA A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.( 2 )( 1 )( 3 )(4)解：=s ⎰+t t d )12(053. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.4. 利用定积分定义计算120d x x ⎰.解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆ni i i ni i i ni i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n n i 1232111)(=311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61nn ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 120d x x ⎰=31．5. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 35093(1)11,(0)5,(),(1)781024f f f f -====的大小，知min max 5093,111024f f ==，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即14315093(425)d 22512x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明⎰1d xe x与⎰1d 2x e x ，哪个积分值较大？解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x7. 证明：⎰---<<2121212d 22x e ex 。

班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级 姓名姓名 学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小： （1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。

（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。

高等数学习题册（上册）目录习题1-1 函数 (1)习题1-2 常用的经济函数 (5)习题2-1 极限 (9)习题2-2 无穷小与无穷大，极限运算法则 (13)习题2-3 极限存在准则，两个重要极限及无穷小的比较 (17)习题2-4 函数的连续性 (21)习题2-5 闭区间上连续函数的性质 (25)第二章综合题 (29)第二章自测题 (36)习题3-1 导数概念 (40)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（一） (44)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（二） (48)习题3-3 高阶导数 (52)习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 (56)习题3-5 函数的微分 (60)习题3-6 边际与弹性 (64)第三章综合题 (68)第三章自测题 (74)习题4-1 中值定理 (78)习题4-2 洛必达法则 (82)习题4-3 导数的应用（一） (86)习题4-3 导数的应用（二） (90)习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用 (94)习题4-5 泰勒公式 (98)第四章综合题 (100)第四章自测题 (104)习题5-1 不定积分的概念、性质 (108)习题5-2 换元积分法（一） (112)习题5-2 换元积分法（二） (116)习题5-3 分部积分法 (120)习题5-4 有理函数的积分 (122)第五章综合题 (124)第五章自测题 (128)微积分（上）模拟试卷一 (134)微积分（上）模拟试卷二 (138)参考答案 (142)习题1-1 函数1. 填空题：（1）()x y 32log log =的定义域 。

（2）523arcsin3xx y -+-=的定义域 。

（3）xxy +-=11的反函数 。

（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ，则=)(x f 。

2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明 令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111xx xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x xxdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明 令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明 已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx;解34343434342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t tx dxx te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解 因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。