必修2 第六章 平面向量及其应用 6.1-6.3节同步练习

第六章 6.1A 级——基础过关练1．下列说法中，正确的个数是( ) ①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量；④向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B 【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．2．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同【答案】ABC 【解析】很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A ．AB →＝OC → B ．AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →| D ．AD →＝FC →【答案】D 【解析】由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →，FC →的方向不同，故AD →≠FC →.故选D ．4．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A ．AD →与CB → B ．OB →与OD →C ．AC →与BD → D ．AO →与OC →【答案】D 【解析】∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，则AO ＝OC ，即AO →＝OC →. 5．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________，与OA →相等的向量是________．【答案】2 CO → 【解析】易知|OA →|＝12|CA →|＝12×22＝2，CO →与OA →的模相等，方向相同．6．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________(填序号)．【答案】①③④ 【解析】相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．【答案】3π 【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π. 8．如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．(1)与AB →相等的向量有哪些？ (2)与AB →共线的向量有哪些？ (3)若|AB →|＝1.5，求|CE →|的大小．解：(1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量，有ED →，DC →.(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量，有BA →，ED →，DC →，EC →，DE →，CD →，CE →. (3)若|AB →|＝1.5，则|CE →|＝|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝3.9．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个？(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？ 解：(1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．B 级——能力提升练10．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A ．AD →＝BC →B ．AC →＝BD → C ．PE →＝PF →D ．EP →＝PF →【答案】D 【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.11．(多选)如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则以下说法正确的是( )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C ．BD →的模恰为DA →的模的3倍 D ．CB →与DA →不共线【答案】ABC 【解析】由于AB →＝DC →，因此与AB →相等的向量只有DC →，而与AB →的模相等的向量有DA →，DC →，AC →，CB →，AD →，CD →，CA →，BC →，BA →，因此选项A ，B 正确；而Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，∴|DO →|＝32|DA →|，故|DB →|＝3|DA →|，因此选项C 正确；由于CB →＝DA →，因此CB →与DA→是共线的，故选项D 错误．12．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 【答案】梯形 【解析】∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ．∴四边形ABCD 是梯形．13．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________.【答案】23 【解析】易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.14．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ．若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．【答案】32【解析】如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E .因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|.因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.15．设向量a ，b ，c 为非零向量，若p ＝a |a |＋b |b |＋c|c |，试探讨|p |的取值范围．解：因为a |a |，b |b |，c|c |是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p |取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p |的最小值为0.并且|p |随着向量a ，b ，c 的变化而变化，可以取到0到3之间的一个值，因此|p |的取值范围[0,3]．16．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解：(1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．C 级——探索创新练17．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．此图中，马可以从A 处跳到A 1处，用向量AA 1→表示马走了“一步”，也可以跳到A 2处，用向量AA 2→表示．请在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解：如图，马在B 处只有3步可走，马在C 处有8步可走，人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大．。

6.1 平面向量的概念课后训练巩固提升1.正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( ) A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等n 边形,所以n 条边的边长都相等,即这n 个向量的模都相等.2.在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是AB,AC 的中点,则 ( )A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 B .DE⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等 D .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗ 相等,因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以由三角形的中位线定理可得DE ∥BC.所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.3.(多选题)下列说法正确的是( )A.1 021 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B.若O 是直线l 上的一点,单位长度已选定,则l 上有且只有两个点A,B,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量 C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行向量D.一人从点A 向东走500 m 到达点B,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示这个人从点A 到点B 的位移1021cm 时,1021cm 长的有向线段刚好表示单位向量,故A 不正确;因为单位长度已选定,向量的起点为O,所以l 上有且只有两个点A,B,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量,故B 正确;方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,故C 正确;根据位移的定义,可知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示这个人从点A 到点B 的位移,故D 正确.4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD,且AB ∥CD,即四边形ABCD 为平行四边形. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ | B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C .BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D .CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗A,因为四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,因此|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ |一定成立,故A 符合题意;对于B,根据菱形的性质,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线一定成立,故B 符合题意;对于C,因为BD 与EH 不一定平行,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定共线,故C 不符合题意;对于D,根据菱形的性质,知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FG ⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模相等, 因此CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗ 一定成立,故D 符合题意.故选ABD.6.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= .A,B,C 三点不共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线, 又因为m ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 且m ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以m=0.7.如果把平面上一切单位向量归结到共同的起点O,那么这些向量的终点所组成的图形是 .,方向任意,若单位向量有共同的始点O,则其终点构成一个单位圆.O 为圆心的单位圆8.一个4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)如图所示,在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个.9.一辆汽车从点A 出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D. (1)作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)求|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.如图所示.(2)由题意,易知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以在四边形ABCD 中,AB ∥CD 且AB=CD,所以四边形ABCD 为平行四边形,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=200千米.。

6.3.1 平面向量基本定理课后·训练提升 基础巩固1.设向量e 1与e 2不共线,若3xe 1+(10-y)e 2=(4y-7)e 1+2xe 2,则实数x,y 的值分别为( ) A.0,0 B.1,1 C.3,0D.3,4答案:D解析:因为e 1与e 2不共线,所以{3x =4y -7,10-y =2x ,解方程组得x=3,y=4.2.(多选题)已知e 1,e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一个基底的是( ) A.{e 1-e 2,2e 2-2e 1} B.{e 1-e 2,e 1+e 2} C.{2e 2-e 1,-2e 2+e 1} D.{2e 1+e 2,4e 1+2e 2}答案:ACD解析:不共线的向量才能作为基底,选项A,C,D 中的向量均共线,故不可作为一组基底.3.在△ABC 中,点D 在BC 边上,且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可用基底{a,b}表示为( ) A.12(a+b)B.23a+13bC.13a+23bD.13(a+b)答案:C解析:因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BD⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+23b.4.在△ABC 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ∥BC,EF 交AC 于点F,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则BF ⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.-a+15bB.a-15bC.23a-13bD.13a+23b答案:A解析:∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 又EF ∥BC,∴EF ⃗⃗⃗⃗ =15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴BF ⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =-45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+15b. 5.已知A,B,D 三点共线,且对任一点C,有CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CA⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ等于( ) A.23B.13C.-13D.-23答案:C解析:因为A,B,D 三点共线,所以存在实数t,使AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ). 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-t)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CA⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以{1-t =43,t =λ,解得t=λ=-13. 6.设点D 为△ABC 中BC 边上的中点,O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,则( )A.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:依题意,得BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选D.7.设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案:12解析:如图,由题意知,D 为AB 的中点,BE⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以λ1=-16,λ2=23, 所以λ1+λ2=-16+23=12.8.向量a 在基底{e 1,e 2}下可以表示为a=2e 1+3e 2,若a 在基底{e 1+e 2,e 1-e 2}下可表示为a=λ(e 1+e 2)+μ(e 1-e 2),则λ= ,μ= . 答案:52-12解析:由条件,可知{λ+μ=2,λ-μ=3,解得{λ=52,μ=-12.9.如图,在△OAB 中,延长BA 到点C,使AC=BA,在OB 上取一点D,使DB=13OB,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,用a,b 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC⃗⃗⃗⃗⃗ .解:OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b-23b=2a-53b. 10.如图,在△ABC 中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗ =2EB⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)求CD 的长;(2)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 解:(1)因为DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =√19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =√19×4-23×2×3×12+9=√673, 即CD 的长为√673. (2)DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =43+13×2×3×12=73.能力提升1.(多选题)若e 1,e 2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法正确的是( )A.λe 1+μe 2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α中的任一向量a,使a=λe 1+μe 2的实数λ,μ有无数多对C.若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e 1+μ1e 2=λ(λ2e 1+μ2e 2)D.若存在实数λ,μ,使λe 1+μe 2=0,则λ=μ=0 答案:AD解析:由平面向量基本定理,可知AD 说法正确,B 说法不正确.对于C,当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,故C 说法不正确. 2.如图所示,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,∠AOB=60°,OB⊥OC,设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.x=-2,y=-1B.x=-2,y=1C.x=2,y=-1D.x=2,y=1 答案:B解析:过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D,连接BC(图略). 由|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,∠AOB=60°,OB⊥OC,知∠COD=30°. 在Rt △OCD 中,可得OD=2CD=2,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即x=-2,y=1. 3.若OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠-1),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D.11+λa+λ1+λb答案:D解析:∵P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即(1+λ)OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠-1), ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λOP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λOP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λa+λ1+λb.4.若点M 是△ABC 所在平面内一点,且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABM 与△ABC 的面积之比为 .答案:1∶4解析:如图,由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,可知M,B,C 三点共线.令BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R), 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒λ=14. 设△ABM 与△ABC 的面积分别为S △ABM 和S △ABC ,则S △ABM S △ABC=14,即△ABM 与△ABC面积之比为1∶4.5.如图,平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,线段OD 上有点M 满足DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,线段CO 上有点N 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R,且λ>0),设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,已知MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μa -16b(μ∈R),则λ= ,μ= .答案:3 12解析:依题意得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16(a-b)=16a-16b, AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12+12λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12+12λ)·(a+b), 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+(16a -16b)=16a+56b,AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16a+56b+(μa -16b)=(16+μ)a+23b,由平面向量基本定理,得{12+12λ=23,12+12λ=16+μ,解得{λ=3,μ=12. 6.如图所示,在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BM=23BC,AN=14AB.(1)试用向量a,b 来表示DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AM 交DN 于O 点,求AO ∶OM 的值.解:(1)因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a,所以DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a-b.因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+23b.(2)因为A,O,M 三点共线,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(a +23b)-b=λa+(23λ-1)b.因为D,O,N 三点共线,所以DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,存在实数μ,使DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μDN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则λa+(23λ-1)b=μ(14a -b).由于向量a,b 不共线, 则{λ=14μ,23λ-1=-μ,解得{λ=314,μ=67.所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =314AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1114AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AO ∶OM=3∶11.7.设e 1,e 2是不共线的非零向量,且a=e 1-2e 2,b=e 1+3e 2. (1)求证:{a,b}可以作为一个基底;(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e 1-e 2的分解式; (3)若4e 1-3e 2=λa+μb(λ,μ∈R),求λ,μ的值. (1)证明若a,b 共线,则存在λ∈R,使a=λb, 则e 1-2e 2=λ(e 1+3e 2). ∴(1-λ)e 1-(3λ+2)e 2=0.∵e 1,e 2不共线,∴{1-λ=0,3λ+2=0,该方程组无解,∴λ不存在,故a 与b 不共线,可以作为一组基底. (2)解设c=ma+nb(m,n ∈R),则3e 1-e 2=m(e 1-2e 2)+n(e 1+3e 2)=(m+n)e 1+(-2m+3n)e 2. ∴{m +n =3,-2m +3n =-1,解得{m =2,n =1. ∴c=2a+b.(3)解由4e 1-3e 2=λa+μb,得4e 1-3e 2=λ(e 1-2e 2)+μ(e 1+3e 2)=(λ+μ)e 1+(-2λ+3μ)e 2. ∴{λ+μ=4,-2λ+3μ=-3,解得{λ=3,μ=1.故所求λ,μ的值分别为3,1.拓展创新(多选题)如图,A,B 分别是射线OM,ON 上的两点,则下列向量的终点P 落在阴影区域内(包括边界)的有( )A.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB⃗⃗⃗⃗⃗ B.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ C.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ D.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +15OB⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:BD解析:如图,若点P 在阴影区域内(包括边界),过点P 作AB 的平行线与OA,OB 的交点分别为C,D,连接OP,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =αOC ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中α+β=1,α≥0,β≥0.若设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≥0,μ≥0),显然0≤λ≤α,0≤μ≤β,所以0≤λ+μ≤1且λ≥0,μ≥0.给出的4个向量中,只有BD 满足0≤λ+μ≤1且λ≥0,μ≥0,所以终点落在阴影区域内(包括边界)的有BD.。

6.2.4 向量的数量积第1课时向量数量积的概念课后·训练提升1.已知a,b为单位向量,a与b的夹角为60°,则a·b=()A.12B.√32C.1D.-12答案：A解析：a·b=1×1×cos60°=12.2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：C解析：由条件可知,cosθ=a·b|a||b|=21×4=12,又θ∈[0,π],故θ=π3.3.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角θ为45°,则m·n=()A.12B.12√2C.-12√2D.-12答案：B解析：由已知条件得m·n=|m||n|cosθ=4×6×√22=12√2.4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则向量a 在向量b方向上的投影向量为( )A.-4eB.4eC.-2eD.2e答案：A解析：根据投影向量的定义,设a,b 的夹角为θ,可得向量a 在向量b 方向上的投影向量为|a|cosθe=a ·b |b |·e=-4e.故选A.5.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·(15b)=-36,则a 与b 的夹角为( )A.60°B.120°C.135°D.150°答案：B解析：设a 与b 的夹角为θ. 由(3a)·(15b)=-36,得a·b=-60,即|a||b|cosθ=-60,已知|a|=10,|b|=12,解得cosθ=-12,又0°≤θ≤180°,故夹角θ为120°.6.已知平面上三点A,B,C,满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( ) A.-7 B.7 C.25 D.-25答案：D解析：由条件知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3×cos(180°-A)=-20cosC-15cosA=-20×45-15×35=-16-9=-25.7.已知|b|=3,向量a 在向量b 方向上的投影向量为32e(其中e 是与b 方向相同的单位向量),则a·b 的值为( ) A.3 B.92C.2D.12答案：B解析：设a 与b 的夹角为θ.∵|a|cosθe=32e,即|a|cosθ=32,∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.8.在等腰直角三角形ABC 中,∠A=90°,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案：135°9.已知a,b 的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,若a ⊥b,则a·b= . 答案：010.已知在△ABC 中,AB=AC=4,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则△ABC 的形状是 . 答案：等边三角形解析：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠BAC, 即8=4×4×cos∠BAC,于是cos ∠BAC=12.因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°. 又AB=AC,故△ABC 是等边三角形.11.已知a·b=-9,向量a 在向量b 上的投影向量为-3e 1(e 1是与b 方向相同的单位向量),向量b 在向量a 上的投影向量为-32e 2(e 2是与a 方向相同的单位向量),求a 与b 的夹角θ. 解：由题意可知{|a |cosθ=-3,|b |cosθ=-32,∴{a ·b |b |=-3,a ·b|a |=-32,即{-9|b |=-3,-9|a |=-32,∴{|a |=6,|b |=3.∴cosθ=a ·b|a ||b |=-96×3=-12.又θ∈[0,π],∴θ=2π3.12.如图,已知△ABC 是等边三角形.(1)求向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角; (2)若点E 为BC 的中点,求向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角. 解：(1)∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°.如图,延长AB 至点D,使AB=BD,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴∠DBC 为向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角. 又∠DBC=120°,∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°. (2)∵点E 为BC 的中点, ∴AE ⊥BC,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°.。

6.1 平面向量的概念课后·训练提升 基础巩固1.(多选题)下列说法中,正确的是( ) A.若四边形ABCD 是平行四边形,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.若|a|=|b|且a ∥b,则a=b C.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C 三点共线 D.若a ∥b,则a 与b 的方向相同或相反 答案:AC解析:当四边形ABCD 是平行四边形时,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,长度相等,因此有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项A 中说法正确;两个向量的模相等且平行,但这两个向量的方向不一定相同,故选项B 中说法错误;选项C 中说法显然正确;0与任一向量平行,但零向量的方向是任意的,故选项D 中说法错误. 2.在同一平面内,把所有单位向量的起点固定在同一点,则其终点形成的轨迹是( ) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线答案:A解析:平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.3.如图,在3×4的格点图(规定小方格的边长为1)中,若起点和终点都在方格的顶点处,则与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有( )A.12个B.18个C.24个D.36个 答案:C解析:由题意可知,每个小正方形的边长均为1,则其对角线长为√2,每个小正方形中存在两个与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量.4.如图所示,在等边三角形ABC 中,点P,Q,R 分别是线段AB,BC,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:B解析:向量相等要求模相等且方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量.5.(多选题)下列条件中,能使a ∥b 成立的有( ) A.a=bB.|a|=|b|C.a 与b 方向相反D.|a|=0或|b|=0答案:ACD解析:若a=b,则a 与b 长度相等且方向相同,所以a ∥b;若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,方向不确定,因此不一定有a ∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,故若a 与b 方向相反,则有a ∥b;零向量与任意向量都平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a ∥b.6.设a 0,b 0是两个单位向量,则下列结论正确的是( ) A.a 0=b 0B.a 0=-b 0C.|a 0|+|b 0|=2D.a 0∥b 0答案:C解析:因为a 0,b 0是单位向量,所以|a 0|=1,|b 0|=1. 所以|a 0|+|b 0|=2.故选C.7.如图,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是某人行走的路线,那么AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的几何意义是某人从A 点沿西偏南 方向行走了 km.答案:60° 2解析:由已知图形可知,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的几何意义是从A 点沿西偏南60°方向,行走了2km.8.已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,若∠ABC=90°,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:√3解析:在Rt △ABC 中,由勾股定理可知,BC=√AC 2-AB 2=√3,故|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. 9.将向量用具有同一起点M 的有向线段表示,当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,且|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:3或1解析:当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 同向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|EF ⃗⃗⃗⃗ |=3; 当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 反向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|EF ⃗⃗⃗⃗ |=1.10.如图,O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED,OCFB 都是正方形,在图中的向量中:(1)分别找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量; (2)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (3)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量; (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否相等? 解:(1)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有BF ⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量有CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO⃗⃗⃗⃗⃗ 不相等,因为它们的方向不相同. 11.已知一架飞机从A 地沿北偏东30°方向飞行2 000 km 到达B 地,再从B 地沿南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C 地,最后从C 地沿西南方向飞行1 000√2 km 到达D 地.作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求出向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模和方向. 解:以A 为原点,正东方向为x 轴正方向,正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系.据题设,B 点在第一象限,C 点在x 轴正半轴上,D 点在第四象限,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示, 由已知可得,△ABC 为正三角形,所以AC=km. 又∠ACD=45°, CD=1000√2km,所以△ADC 为等腰直角三角形, 所以AD=1000√2km,∠CAD=45°.故向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1000√2km,方向为东南方向.能力提升1.(多选题)已知A={x|x 是与a 共线的向量},B={y|y 是与a 长度相等的向量},C={z|z 是与a 长度相等,方向相反的向量},其中a 为非零向量,下列关系中正确的是( ) A.C ⊆A B.A∩B={a}C.C ⊆BD.(A∩B)⊇{a}答案:ACD解析:因为A∩B 中包含与a 长度相等且方向相反的向量,所以B 中的关系错误.2.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式中成立的是( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗C.PE ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗D.EP ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:根据相等向量的定义,分析可得,选项A,B 中的等式不成立;选项C 中,PE ⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故PE ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 不成立;选项D 中,EP ⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗ 方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 成立. 3.已知点D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点,则|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为()A.12B.13C.1D.2答案:C解析:因为四边形ABPC 是平行四边形,且点D 为对角线BC 与AP 的交点,所以点D 为AP的中点,所以|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为1.4.若四边形ABCD 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是 (填四边形ABCD 的形状). 答案:矩形解析:∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ∥BC,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴四边形ABCD 是平行四边形.又由|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,知该平行四边形的对角线相等,故四边形ABCD 是矩形. 5.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= . 答案:0解析:平行向量又叫共线向量,因为A,B,C 是不共线的三点,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,而与不共线向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 都共线的向量只能是零向量. 6.如图所示,已知四边形ABCD 是矩形,O 为对角线AC 与BD 的交点,设点集M={O,A,B,C,D},向量的集合T={PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |P,Q ∈M,且P,Q 不重合},则集合T 有 个元素.答案:12解析:根据题意知,由点O,A,B,C,D 可以构成20个向量,且它们有12个向量各不相等,由元素的互异性知T 中有12个元素. 7.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.(1)与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 ; (2)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)6解析:(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形,可知与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|EC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6. 8.在平行四边形ABCD 中,点E,F 分别是CD,AB 的中点,如图所示.(1)写出与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (2)求证:BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)解:与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ∥CD,且AB=CD.又点E,F 分别是CD,AB 的中点,所以ED ∥BF,且ED=BF,所以四边形BFDE 是平行四边形,故BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD⃗⃗⃗⃗⃗ .。

6.2.1 向量的加法运算课后训练巩固提升1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形.2.已知向量a ∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b 的方向( ) A.与向量a 方向相同 B.与向量a 方向相反 C.与向量b 方向相同D.不确定a 和b 方向相同,那么它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;如果它们的方向相反,已知a 的模大于b 的模,那么它们的和的方向与a 的方向相同.3.如图所示,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC,AC 与BD 交于点O,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A .CD⃗⃗⃗⃗⃗ B .OC⃗⃗⃗⃗⃗ C .DA ⃗⃗⃗⃗⃗D .CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .4.在平行四边形ABCD 中,若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( ) A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴四边形ABCD 是矩形.5.(多选题)下列向量的运算结果为零向量的是( ) A .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗ D .MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG⃗⃗⃗⃗⃗项,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; B 项,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;C 项,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; D 项,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG⃗⃗⃗⃗⃗ =0.6.若a 表示“向东走8 km”,b 表示“向北走8 km”,则|a+b|= ,a+b 的方向是 .,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,因为a+b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|a+b|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√82+82=8√2(km), 因为∠AOB=45°,所以a+b 的方向是东北方向.√2 km 东北方向7.根据图示填空,其中a=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,d=BA⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)a+b+c= ; (2)b+d+c= .DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)b+d+c=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ .DB ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)CA⃗⃗⃗⃗⃗ 8.若在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,且|a|=|b|=1,|a+b|=√2,则△ABC 的形状是 .|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=√2,所以△ABC 为等腰直角三角形.9.如图,请在图中直接标出:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ .,(1)向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ . 10.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=3,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.,∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴以OA,OB 为邻边所作的▱OACB 为菱形.连接OC,AB,则OC ⊥AB,设垂足为点D.∵∠AOB=60°,∴AB=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3, ∴在Rt △OBD 中,OD=3√32, ∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=3√32×2=3√3.1.已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式成立的是( ) A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗D .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ABCD 是菱形,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 项正确.2.在矩形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度等于( ) A.2√5B.4√5C.12D.6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模的2倍. 又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√42+22=2√5, 所以向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为4√5.3.已知P 为△ABC 所在平面内一点,当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ 成立时,点P 位于( )A.△ABC 的AB 边上B.△ABC 的BC 边上C.△ABC 的内部D.△ABC 的外部,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则点P 在△ABC 的外部.4.(多选题)设a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则下列结论正确的是( ) A.a ∥bB.a+b=bC.|a+b|<|a|+|b|D.|a+b|=|a|+|b|a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且b 为任一非零向量, ∴A,B,D 均正确.5.如图,已知电线AO 与天花板的夹角为60°,电线AO 所受拉力|F 1|=24 N.绳BO 与墙壁垂直,所受拉力|F 2|=12 N,则F 1与F 2的合力大小为 ,方向为 .,以OA,OB 为邻边作平行四边形BOAC,则F 1+F 2=F,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ .∵在Rt △OAC 中,∠OAC=60°,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12, ∴∠ACO=90°, ∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3, ∴F 1与F 2的合力大小为12√3N,方向为竖直向上.√3 N 竖直向上6.设P 为▱ABCD 所在平面内一点,则:①PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ .其中成立的为 .(填序号)PA,PC 为邻边作平行四边形PAEC,则PE 与AC 交于AC 的中点O,同样以PB,PD 为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD 与PF 交于BD 的中点O',因为O 与O'重合,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .7.如图,在△ABC 中,O 为重心,D,E,F 分别是BC,AC,AB 的中点,化简下列式子:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)∵F,E,D 分别是AB,AC,BC 的中点, ∴FE ⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 8.如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等,方向相反, ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .。

第六章平面向量及其应用练习题1、平面向量的概念 (1)2、向量的加法运算 (7)3、向量的减法运算 (13)4、向量的数乘运算 (20)5、向量的数量积 (26)6、平面向量基本定理 (32)7、平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示 (39)8、平面向量数乘运算的坐标表示 (45)9、平面向量数量积的坐标表示 (51)10、平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例 (58)11、余弦定理 (67)12、余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题 (74)13、余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题 (83)1、平面向量的概念【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列说法不正确的是( )A．向量的模是一个非负实数B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同【解析】选D.根据向量的有关概念易判断，D项错误．2．(2021·淄博高一检测)在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )A．一组 B．二组 C．三组 D．四组【解析】选A.△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，在如图所示的向量中，相等向量是CE → 和EA →，有一组． 3．下面几个命题： ①若a ＝b ，则|a |＝|b |； ②若|a |＝0，则a ＝0； ③若|a |＝|b |，则a ＝b ；④若向量a ，b 满足⎩⎨⎧|a |＝|b |，a ∥b ， 则a ＝b.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选C.①正确．②正确．③错误.a 与b 的方向不一定相同．④错误．a 与b 的方向有可能相反．4．如图，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定不成立的是( )A.|AB→ |＝|EF → |B ．AB → 与FH → 共线C ．BD → 与FH → 共线 D ．CD → ＝FG →【解析】选C.对于A ，因为四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，因此|AB → |＝|EF → |一定成立，故A 不符合题意；对于B ，根据菱形的性质，AB → 与FH → 共线一定成立，故B 不符合题意；对于D ，根据菱形的性质，CD → 与FG → 方向相同且模相等，因此CD → ＝FG → 一定成立，故D 不符合题意． 二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，AO → 是某人行走的路线，那么AO → 的几何意义是某人从A 点沿西偏南________方向行走了________km.【解析】由已知图形可知，AO → 的几何意义是从A 点沿西偏南60°方向，行走了2 km.答案：60° 26．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K ，L ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量KL → 相等的向量是________．【解析】如图，因为K ，L 分别是AB ，BC 的中点，连接AC ，所以KL∥AC，KL ＝12AC ，同理MN∥AC，MN ＝12 AC ，所以KL∥MN，KL ＝MN ， 所以KL → ＝NM → .答案：NM → 三、解答题7．(10分)如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B.点C 为小正方形的顶点，且|AC→ |＝ 5 .(1)画出所有的向量AC → ； (2)求||BC → 的最大值与最小值．【解析】(1)画出所有的向量AC →如图所示；(2)由(1)所画的图知，①当点C 在点C 1或C 2时，||BC → 取得最小值 12＋22 ＝ 5 ；②当点C 在点C 5或C 6时，||BC → 取得最大值 42＋52 ＝41 .所以||BC → 的最大值为41 ，最小值为 5 . 【加固训练】在如图的方格纸上，每个小正方形的边长都是1，已知向量a .(1)试以点B 为终点画一个向量b ，使b ＝a .(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝ 5 ，并画出向量c 的终点组成的图形．【解析】(1)如图所示，向量OB → 即为所求向量b .(2)向量AC → 即为一个所求向量c ，向量c 的终点组成的图形是一个以点A 为圆心，以 5 为半径的圆，如图所示．【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．若|AB → |＝|AD → |且BA → ＝CD → ，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形【解析】选C.由BA → ＝CD → ，知AB ＝CD 且AB∥CD，即四边形ABCD 为平行四边形． 又因为|AB→ |＝|AD → |，所以平行四边形ABCD 为菱形． 2．(多选题)在下列结论中，正确的结论为( ) A ．a ∥b 且|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件 B ．a ∥b 且|a |＝|b |是a ＝b 的既不充分也不必要条件 C ．a 与b 方向相同且|a |＝|b |是a ＝b 的充要条件 D ．a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b 的充分不必要条件【解析】选ACD.若a ＝b ，则a 与b 方向相同，模相等，所以A 对B 错；a 与b 方向相同且|a|＝|b|⇔a ＝b ，所以C 对；对于D ，a 与b 方向相反⇒a≠b ，|a|≠|b|⇒a ≠b ，所以充分性成立；但a≠bD ⇒/a 与b 方向相反，a ≠bD ⇒/|a|≠|b|，所以不必要，D 对． 二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB → 是平行向量，与BC → 是共线向量，则m ＝________．【解析】因为A ，B ，C 三点不共线， 所以AB → 与BC → 不共线，又因为m ∥AB → 且m ∥BC → ，所以m ＝0. 答案：04．如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)所标向量中，与向量ED → 相等的向量有________； (2)若|AB→ |＝3，则|EC → |＝________． 【解析】(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，可知与向量ED → 相等的向量有AB → ，DC → .(2)因为|AB → |＝3，|EC → |＝2|AB → |，所以|EC →|＝6.答案：(1)AB → ，DC → (2)6 【加固训练】如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是__________，它们的模都等于________． (2)存在着共线向量，这些共线的向量是__________，它们的模的和等于________．【解析】(1)模相等的两个向量是CH → ，AE → ， |CH→ |＝|AE → |＝12＋32 ＝10 .(2)共线的向量是DG → ，HF →，且|DG→ |＋|HF → |＝2 2 ＋3 2 ＝5 2 . 答案：(1)CH → ，AE →10 (2)DG → ，HF →5 22、向量的加法运算【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC → 的是( ) A ．BA → ＋AD → ＋DC → B ．BD → ＋DA → ＋AC → C ．AB → ＋BD → ＋DC → D ．DC → ＋BA → ＋AD →【解析】选C.在A 中，BA → ＋AD → ＋DC → ＝BD → ＋DC → ＝BC → ； 在B 中，BD → ＋DA → ＋AC → ＝BA → ＋AC → ＝BC → ； 在C 中，AB → ＋BD → ＋DC → ＝AD → ＋DC → ＝AC → ；在D 中，DC → ＋BA → ＋AD → ＝DC → ＋BD → ＝BD → ＋DC → ＝BC → . 2．下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ； ②AB → ＋BA → ＝0； ③AC → ＝DC → ＋AB → ＋BD → .A ．②③ B．② C．① D．③【解析】选B.②错误，AB → ＋BA → ＝0，①③正确．3．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB → ＋FE →＋CD → |等于( )A.1 B ． 2 C ． 3 D ．2【解析】选D.正六边形ABCDEF 中，AB → ＝ED → ，CD → ＝AF → ，所以AB → ＋FE → ＋CD → ＝ED →＋FE → ＋AF →＝AF → ＋FE → ＋ED → ＝AD → ， 因为|AB→ |＝1，所以|AD → |＝2. 4．在平行四边形ABCD 中，若|BC → ＋BA → |＝|BC → ＋AB →|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定【解析】选B.依题意，平行四边形ABCD 中，|BC → ＋BA → |＝|BC → ＋AB → |，则平行四边形ABCD 的两条对角线相等．故四边形ABCD 为矩形． 二、填空题(每小题5分，共10分)5．化简：(AB → ＋MB → )＋(BO → ＋BC → )＋OM → ＝________．【解析】(AB → ＋MB → )＋(BO → ＋BC → )＋OM → ＝(AB → ＋BC → )＋(BO → ＋OM → ＋MB → )＝AC → ＋0＝AC → . 答案：AC →6．如图所示，O(0，0)，A(－2，－1)，B(0，1)， 则|OA → ＋OB → |＝________．【解析】如图所示，由平行四边形法则知，OA →＋OB → ＝OC → ，点C 的坐标为(－2，0)， 所以|OA → ＋OB → |＝2. 答案：2 三、解答题7．(10分)如图，四边形ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC ＝BD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点．试求：(1)AB → ＋AE → ；(2)AB → ＋AC → ＋EC → ；(3)CD → ＋AC → ＋DB → ＋EC → . 【解析】由已知得四边形ACEB ，四边形ABDE 均为平行四边形． (1)AB → ＋AE → ＝AD → ；(2)AB → ＋AC → ＋EC → ＝AE → ＋EC → ＝AC → ；(3)CD → ＋AC → ＋DB → ＋EC → ＝CE → ＋ED → ＋AC → ＋DB → ＋EC → ＝(CE → ＋EC → )＋(ED → ＋DB → )＋AC →＝EB → ＋AC → ＝CA → ＋AC → ＝0. 【加固训练】如图，已知三个向量a ，b ，c ，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a ＋b ＋c .【解析】利用三角形法则作a ＋b ＋c ，如图①所示，作OA → ＝a ，以A 为起点，作AB → ＝b ，再以B 为起点，作BC → ＝c ，则OC → ＝OB → ＋BC → ＝OA → ＋AB → ＋BC →＝a ＋b ＋c .利用平行四边形法则作a ＋b ＋c ，如图②所示，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，以OA →，OB → 为邻边作▱OADB ，则OD → ＝a ＋b ，再以OD → ，OC → 为邻边作▱ODEC ，则OE → ＝OD →＋OC → ＝a ＋b ＋c .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．(多选题)已知平行四边形ABCD ，设AB → ＋CD → ＋BC → ＋DA → ＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |<|a |＋|b |【解析】选AC.因为在▱ABCD 中，AB → ＋CD → ＝0，BC → ＋DA → ＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，A ，C 正确，B 错误；|a ＋b |＝|0＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，D 错误．2．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB → ＋AC → |＝ 2 ，则△ABC 的形状是( ) A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．等腰直角三角形【解析】选D.设线段BC 的中点为O ，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|AB → ＋AC → |＝2|AO → |，又|AB → ＋AC → |＝ 2 ，故|AO→ |＝22 ，又BO ＝CO ＝22 ， 所以△ABO 和△ACO 都是等腰直角三角形， 所以△ABC 是等腰直角三角形． 二、填空题(每小题5分，共10分)3．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE → ＋EA →＝________； (2)BE → ＋AB → ＋EA → ＝________； (3)DE → ＋CB → ＋EC → ＝________； (4)BA → ＋DB → ＋EC → ＋AE → ＝________． 答案：(1)DA→ (2)0 (3)DB → (4)DC → 4．如图，一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行300 km 后到达B 地，然后向C 地飞行，已知C 地在A 地北偏东60°方向处，且|BC→ |＝300 2 km ，则飞机从B 地向C 地飞行的方向是南偏东____________，|AB → ＋BC →|＝________ km.【解析】由题意和图形可知∠BAC＝90°，因为|AB → |＝300 km ，|BC →|＝300 2 km ， 所以|AC→ |＝300 km ， 因为∠ABC＝45°，A 地在B 地南偏东30°的方向处， 所以C 地在B 地南偏东75°的方向处． 故飞机从B 地向C 地飞行的方向为南偏东75°. 答案：75° 300 【加固训练】如图，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ．绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为______，方向为________________．【解析】以OA → ，OB → 为邻边作平行四边形BOAC ，则F 1＋F 2＝F ，即OA → ＋OB → ＝OC → ，则∠OAC＝60°，|OA → |＝24，|AC → |＝|OB → |＝12， 所以∠ACO＝90°，所以|OC→ |＝12 3 . 所以F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上． 答案：12 3 N 竖直向上 三、解答题5．(10分)已知在任意四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF →＋EF → ＝AB → ＋DC → .【证明】如图，在平面内取点O ，连接AO ，EO ，DO ，CO ，FO ，BO.EF →＝EO → ＋OF → ＝EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ， AB →＝AO → ＋OB → ，DC →＝DO → ＋OC → ＝DE → ＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ＋FC → . 因为E ，F 分别是AD ，BC 的中点， 所以DE → ＝EA → ，BF → ＝FC → .所以EF → ＋EF → ＝EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ＝DE → ＋AO → ＋OB → ＋FC →＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF →＝(AO → ＋OB → )＋(DE → ＋FC → ＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ) ＝AB → ＋DC → .3、向量的减法运算【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，BC → ＝a ，CA → ＝b ，则AB → 等于( ) A ．a ＋b B ．－a ＋(－b ) C ．a －b D ．b －a【解析】选B.AB → ＝CB → －CA → ＝－a －b ＝－a ＋(－b ). 【加固训练】AC → 可以写成：①AO → ＋OC → ；②AO → －OC → ；③OA → －OC → ；④OC → －OA → ，其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】选D.由向量的加法及减法定义可知①④符合．2．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，则EF → 等于( )A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．b －c【解析】选D.EF → ＝OA → ＝CB → ＝OB → －OC → ＝b －c .3．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF → －DB → 等于( )A.FD → B ．FC → C ．FE → D ．DF →【解析】选 D.由题图易知AF → ＝DE → ，所以AF → －DB → ＝DE → －DB → ＝BE → ，又BE → ＝DF →，所以AF → －DB → ＝DF → .4．在四边形ABCD 中，AB → ＝DC → ，若|AD → －AB → |＝|BC → －BA → |，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定【解析】选B.因为AB → ＝DC → ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为|AD → －AB → |＝|BC → －BA → |，所以|BD → |＝|AC → |. 所以四边形ABCD 为矩形．二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知OA → ＝a ，OB → ＝b ，若|OA → |＝12，|OB → |＝5，且∠AOB＝90°，则|a －b |的值为____________．【解析】a ，b ，a －b 构成了一个直角三角形，则 |a －b |＝|a |2＋|b |2 ＝122＋52 ＝13. 答案：13 【加固训练】在△ABC 中，|AB → |＝|BC → |＝|CA → |＝1，则|AB → －BC → |＝________. 【解析】延长CB 到D ，使CB ＝BD ，连接AD ，如图．在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD＝120°， AB →－BC → ＝AB → ＋CB → ＝AB → ＋BD → ＝AD → . 易求得AD ＝ 3 ，即|AD → |＝ 3 . 所以|AB → －BC → |＝ 3 . 答案： 36．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB → ＝c ，AC → ＝b ，BD → ＝a ；AD → ＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．【解析】根据题意画出图形，如图所示，d －a ＝AD → －BD → ＝AD → ＋DB → ＝AB → ＝c .d ＋a ＝AD → ＋BD → ＝AD → ＋DC → ＝AC → ＝b . 答案：c b三、解答题7．(10分)如图，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB → ＝a ，BC → ＝b ，AC → ＝c ，试作向量：(1)a －b ；(2)a －b ＋c .【解析】(1)在正方形ABCD 中，a －b ＝AB → －BC → ＝AB → －AD → ＝DB → .连接BD ，箭头指向B ，即可作出a －b .(2)过B 作BF∥AC，交DC 的延长线于F ，连接AF ，则四边形ABFC 为平行四边形， 所以a ＋c ＝AB → ＋AC → ＝AF → .在△ADF 中，DF → ＝AF → －AD → ＝a ＋c －b ＝a －b ＋c ，所以DF → 即为所求． 【加固训练】如图，在正五边形ABCDE 中，若AB → ＝a ，BC → ＝b ，CD → ＝c ，DE → ＝d ，EA → ＝e ，求作向量a －c ＋b －d －e .【解析】a －c ＋b －d －e ＝(a ＋b )－(c ＋d ＋e )＝(AB → ＋BC → )－(CD → ＋DE → ＋EA → )＝AC → －CA → ＝AC → ＋AC → .如图，连接AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ， 则CF → ＝AC → ，所以AF → ＝AC → ＋AC → ， 即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分) 1．有下列不等式或等式： ①|a |－|b |＜|a ＋b |＜|a |＋|b |； ②|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b |； ③|a |－|b |＝|a ＋b |<|a |＋|b |； ④|a |－|b |<|a ＋b |＝|a |＋|b |. 其中，一定不成立的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选A.①当a 与b 不共线时成立；②当a ＝b ＝0，或b ＝0，a ≠0时成立；③当a 与b 方向相反，且|a |≥|b |时成立；④当a 与b 方向相同时成立． 2．(多选题)(2021·泰安高一检测)下列各式中结果为零向量的是( ) A ．AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → B ．AB → ＋BC → ＋CA → C ．OA → ＋OC → ＋BO → ＋CO → D ．AB → －AC → ＋BD → －CD →【解析】选BD.由向量加法的法则得A ：AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝AB → ＋MB → ＋BM → ＝AB → ， 故结果不为零向量；B ：AB → ＋BC → ＋CA → ＝AC → ＋CA →＝0，结果为零向量；C ：OA → ＋OC → ＋BO → ＋CO → ＝BO → ＋OA → ＝BA → ，结果不为零向量；D ：AB → －AC → ＋BD → －CD → ＝AB → ＋BD → －(AC → ＋CD → )＝AD → －AD → ＝0，结果为零向量． 【加固训练】(多选题)下列说法正确的是( ) A ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则OM → －OE → ＝OD → B ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则OM → ＋DO → ＝OE → C ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则OD → －EO → ＝OM → D ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则DO → ＋EO → ＝OM →【解析】选ABC.由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A ，B ，C 都正确．由相反向量定义知，若OD → ＋OE → ＝OM → ，则DO → ＋EO → ＝－OD → －OE → ＝－(OD → ＋OE → )＝－OM → ，故D 错误．二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图，设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB → ＝a ，AD → ＝b ，OD → ＝c ，则OB → ＝__________．【解析】由于OB → ＝DB → －DO → ，而DB → ＝AB → －AD → ＝a －b ，DO → ＝－OD → ＝－c ，所以OB → ＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c4．已知菱形ABCD 的边长为2，则向量AB → －CB → ＋CD → 的模为________，|AC → |的范围是____________． 【解析】因为AB → －CB → ＋CD →＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝AD → ，又因为|AD→ |＝2，所以|AB → －CB → ＋CD → |＝|AD →|＝2.又因为AC → ＝AB → ＋AD → ，且在菱形ABCD 中，|AB → |＝2，所以||AB → |－|AD → ||<|AC →|＝|AB → ＋AD → |<|AB → |＋|AD → | 即0<|AC→ |<4. 答案：2 (0，4) 三、解答题5．(10分)已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求|a ＋b ||a －b | .【解析】设OA → ＝a ，OB → ＝b ，则BA → ＝OA → －OB → ＝a －b . 因为|a |＝|b |＝|a －b |， 所以BA ＝OA ＝OB.所以△OAB 为正三角形．设其边长为1， 则|a －b |＝|BA→ |＝1，|a ＋b |＝2×32 ＝ 3 . 所以|a ＋b ||a －b | ＝31 ＝ 3 .【加固训练】已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM → ＝a ，CA → ＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |；(2)|a ＋(a －b )|＝|b |.【证明】因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CA ＝CB. 又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM. (1)因为CM → －CA → ＝AM → ，又|AM→ |＝|CM → |，所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点，所以AM → ＝MB → ，所以a ＋(a －b )＝CM → ＋(CM → －CA → )＝CM → ＋AM → ＝CM → ＋MB → ＝CB → ，因为|CA → |＝|CB→ |， 所以|a ＋(a －b )|＝|b |.4、向量的数乘运算【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，在矩形ABCD 中，点E 为CD 的中点，那么向量12AB →＋AD → 等于( )A.AE → B ．AC → C ．DC → D ．BC → 【解析】选A.因为E 为CD 的中点，所以， 则12AB → ＋AD → ＝DE → ＋AD → ＝AE → . 2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ＝( )A.－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【解析】选D.根据图形可看出2a ＋b ＝c ；满足2a ＋b 与c 共线，所以λ＝2.3．在四边形ABCD 中，若AB → ＝3e ，CD → ＝－5e ，且|AD → |＝|BC → |，则四边形ABCD是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形【解析】选C.因为AB → ＝－35 CD → ，所以AB∥CD，且|AB → |≠|CD → |.而|AD→ |＝|BC → |，所以四边形ABCD 为等腰梯形．4．(2021·新乡高一检测)已知MN → ＝a ＋5b ，NP → ＝－2(a －4b )，PQ → ＝3(a －b )，则( )A ．M ，N ，P 三点共线B ．M ，N ，Q 三点共线C ．M ，P ，Q 三点共线D ．N ，P ，Q 三点共线【解析】选B.NQ → ＝NP → ＋PQ → ＝a ＋5b ＝MN → ，所以M ，N ，Q 三点共线． 【加固训练】已知向量a ，b ，且AB → ＝a ＋2b ，BC → ＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【解析】选A.AB → ＋BC → ＋CD → ＝a ＋2b ＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝AD → ＝3AB→ ，所以A ，B ，D 三点共线． 二、填空题(每小题5分，共10分)5．若|a |＝m ，b 与a 方向相反，|b |＝2，则a ＝______b . 【解析】因为2|a |＝m|b |，a 与b 方向相反，所以a ＝－m2 b .答案：－m2【加固训练】已知2a －b ＝m ，a ＋3b ＝n ，那么a ，b 用m ，n 可以表示为a ＝________，b ＝________．【解析】由2a －b ＝m ，可得2a －m ＝b ， 代入a ＋3b ＝n 可得a ＋3(2a －m )＝n ，解得a ＝37 m ＋17 n ，代入2a －m ＝b 可得b ＝－17 m ＋27 n .答案：37 m ＋17 n －17 m ＋27n6．已知向量a ，b 不共线，若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ等于________．【解析】因为向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，所以(a ＋λb )∥(b ＋λa )，即存在一个负实数m ，使得a ＋λb ＝m(b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b . 因为a 与b 不共线，所以1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ＜0，所以1－λ2＝0，所以λ＝－1. 答案：－1 三、解答题7．(10分)如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC → ＝a ，BD → ＝b ，试用a ，b 分别表示DE → ，CE → ，MN → .【解析】由三角形中位线定理，知DE 綊12 BC ，故DE → ＝12 BC → ，即DE →＝12 a .CE → ＝CB → ＋BD → ＋DE →＝－a ＋b ＋12 a ＝－12 a ＋b .MN → ＝MD → ＋DB → ＋BN → ＝12 ED → ＋DB →＋12 BC →＝－14 a －b ＋12 a ＝14a －b .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．如图，已知OA → ＝a ，OB → ＝b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则MN → ＝( )A.a ＋b B ．2a －3b C ．3a ＝2b D ．2b －2a【解析】选D.因为OA → ＝a ，OB → ＝b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ， 所以AB 是△MSN 的中位线，所以MN → ＝2AB → ＝2(OB → －OA → )＝2b －2a . 【加固训练】(2021·焦作高一检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，P 为线段AB 的中点，且OA → －BO → ＋3OC → ＝0，那么( ) A ．CO → ＝23 OP → B ．CO → ＝13 OP →C ．CO → ＝32 OP →D ．CO → ＝12OP →【解析】选A.O 是△ABC 所在平面内一点，因为P 是AB 边中点． 则OA → ＋OB → －3CO → ＝0⇒OA → ＋OB → ＝3CO → ，⇒2OP → ＝3CO → ⇒CO → ＝23OP → .2．(多选题)(2021·德州高一检测)已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) A ．2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2eB ．存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0C ．当x ＋y ＝0时，x a ＋y b ＝0D ．已知梯形ABCD ，其中AB → ＝a ，CD →＝b【解析】选AB.A.联立2a －3b ＝4e 和a ＋2b ＝－2e 消去向量e 可得出4a ＋b ＝0，所以b ＝－4a ，且a ≠0，所以a ，b 共线；B ．因为a ，b 都是非零向量，且λ≠μ，λa －μb ＝0，所以λ，μ都不为0，所以a ＝μλb ，所以a ，b 共线；C ．当x ＝y ＝0时，满足x ＋y ＝0，此时对任意的向量a ，b 都有x a ＋y b ＝0，所以得不出a ，b 共线；D ．因为AB 与CD 不一定平行，所以得不出a ，b 共线． 二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2021·淄博高一检测)C 在线段AB 上，且AC CB ＝32 ，则AC → ＝____AB → ，BC →＝____AB→ .【解析】因为AC CB ＝32 ，所以AC → ＝35 AB → ，BC → ＝－25 AB →.答案：35 －254．如图，四边形ABCD 是一个梯形，AB → ∥CD → 且|AB → |＝2|CD → |，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC→ ＝____________； (2)MN→ ＝____________． 【解析】(1)因为AB → ∥CD → ，|AB → |＝2|CD → |，所以AB → ＝2DC → ，DC →＝12 AB → .AC → ＝AD → ＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN →＝－12 DC → －AD → ＋12 AB → ＝－14 e 1－e 2＋12 e 1＝14e 1－e 2. 答案：(1)e 2＋12 e 1 (2)14 e 1－e 2【一题多变】在本例中，若条件改为BC → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN → .【解析】因为MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN → ，MN → ＝MC → ＋CB → ＋BN → ，所以2MN → ＝(MD → ＋MC →)＋DA → ＋CB → ＋(AN → ＋BN → ).又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点， 所以MD → ＋MC → ＝0，AN → ＋BN → ＝0. 所以2MN → ＝DA → ＋CB → ，所以MN → ＝12 (－AD → －BC → )＝－12 e 2－12 e 1.三、解答题5．(10分)(2021·忻州高一检测)已知△OAB 中，点C 是点B 关于点A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点，设AB → ＝a ，AO → ＝b . (1)用向量a 与b 表示向量OC → ，CD → ； (2)若OE → ＝45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线．【解析】(1)因为AB → ＝a ，AO → ＝b ， 所以OC → ＝OA → ＋AC → ＝－a －b ，CD → ＝CB → ＋BD → ＝CB → ＋13 BO → ＝CB → ＋13(BA → ＋AO → )＝2a ＋13 (－a ＋b )＝53 a ＋13 b .(2)因为CE → ＝OE → －OC → ＝45 (－b )＋a ＋b＝a ＋15 b ＝35CD → ，所以CE → 与CD → 共线，又因为CE → 与CD → 有公共点C ，所以C ，D ，E 三点共线．5、向量的数量积【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2021·广州高一检测)已知向量a ，b 满足|a |＝ 3 ，|b |＝2 3 ，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角是( )A ．150° B．120° C．60° D．30° 【解析】选B.设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b | ＝－33×23＝－12 ，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.2．(2021·台州高一检测)已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3 ，那么|a －4b |等于( )A ．2B ．2 3C ．6D ．12 【解析】选B.因为(a －4b )2＝a 2－8a·b ＋16b 2 ＝|a |2－8|a |·|b |cos π3＋16|b |2＝4－8＋16＝12，所以|a －4b |＝2 3 .3．在△ABC 中，若AB → ·BC → ＋AB → 2＝0，则BC → 在BA → 上的投影向量为( )A ．BA →B ．12 AB →C ．AC →D ．12CA →【解析】选A.因为0＝AB → ·BC → ＋AB → 2＝AB → ·(BC → ＋AB → )＝AB → ·AC → ，所以AB → ⊥AC → ，又BC → 与BA → 的夹角为锐角，所以BC → 在BA → 上的投影向量为BA → . 4．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 【解析】选D.由已知可得：a·b ＝||a ·||b ·cos 60°＝1×1×12 ＝12 .A ：因为(a ＋2b )·b ＝a·b ＋2b 2＝12 ＋2×1＝52 ≠0，所以本选项不符合题意；B ：因为(2a ＋b )·b ＝2a·b ＋b 2＝2×12 ＋1＝2≠0，所以本选项不符合题意；C ：因为(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝12 －2×1＝－32≠0，所以本选项不符合题意；D ：因为(2a －b )·b ＝2a·b －b 2＝2×12 －1＝0，所以本选项符合题意．二、填空题(每小题5分，共10分)5．在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，|AB → |＝ 3 ，|CB → |＝1，则AC →与CB → 的夹角θ＝________．【解析】在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝ 3 ，CB ＝1，所以tan ∠ACB＝AB CB＝ 3 ，所以∠ACB＝60°，即CB → 与CA → 的夹角为60°， 所以AC → 与CB → 的夹角为120°.答案：120°6．如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB → ·BC → 等于________．【解析】因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝ 3 ，所以AB → ·BC → ＝1× 3 ×cos 150°＝－32 .答案：－32三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在▱ABCD 中，|AB→ |＝4，|AD → |＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD → ·BC → ； (2)AB → ·DA → .【解析】(1)因为AD → ∥BC → ，且方向相同， 所以AD → 与BC → 的夹角是0°，所以AD → ·BC → ＝|AD → ||BC → |·cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为AB → 与AD → 的夹角为60°， 所以AB → 与DA → 的夹角为120°，所以AB → ·DA → ＝|AB → ||DA →|·cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－6.8．已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．【解析】设a 与b 的夹角为θ，由已知条件得⎩⎨⎧（a ＋3b ）·（7a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2b ）＝0，即⎩⎨⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0， 所以2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，所以|a |＝|b |，所以cos θ＝a ·b |a ||b | ＝12b 2|b |2 ＝12 .因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝1，则向量a 与a －b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．5π6 D ．2π3【解析】选A.|a －b |＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝ 3 ， 设向量a 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a －b ）|a ||a －b | ＝22－12×3 ＝32 ，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6. 2．(多选题)已知正方形ABCD 的边长为2，向量a ，b 满足AB → ＝2a ，AD → ＝2a ＋b ，则( )A ．|b |＝2 2B ．a⊥bC ．a·b ＝2D ．(4a ＋b )⊥b【解析】选AD.由条件可得：b ＝AD → －AB → ＝BD → ， 所以|b |＝|BD→ |＝2 2 ，A 正确； a ＝12 AB → ，与BD → 不垂直，B 错误； a·b ＝12AB →·BD → ＝－2，C 错误；4a ＋b ＝AB → ＋AD → ＝AC →，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以(4a ＋b )⊥b ，D 项正确．二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA → ＝4，BF → ·CF → ＝－1，则BE → ·CE → 的值是________．【解析】设BD → ＝a ，DF → ＝b ，则BA → ·CA → ＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF → ·CF → ＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b|2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138 ，|b |2＝58，则BE → ·CE → ＝(a ＋2b )·(－a ＋2b )＝4|b |2－|a |2＝78 .答案：784．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 上的投影向量的模等于________． 【解析】a ·b ＝|a ||b |co s 45°＝4|b |cos 45°＝2 2 |b |，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝|a |2＋12 a ·b －3|b |2＝16＋ 2 |b |－3|b |2＝12，解得|b |＝ 2 或|b |＝－223 (舍去).b 在a 上的投影向量的模为||b |cos 45°| ＝ 2 cos 45°＝1. 答案： 2 1三、解答题(每小题10分，共20分)5．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设P ，Q 满足AP → ＝λAB → ，AQ →＝(1－λ)AC →(λ∈R )，若BQ → ·CP →＝－32 ，求实数λ的值．【解析】因为BQ → ＝BA → ＋AQ → ，CP → ＝CA → ＋AP → ， 所以BQ → ·CP → ＝(BA → ＋AQ → )·(CA → ＋AP → ) ＝AB → ·AC → －AB → ·AP → －AC → ·AQ → ＋AQ → ·AP →＝AB → ·AC → －λAB → 2－(1－λ)AC → 2＋λ(1－λ)AB → ·AC →＝2－4λ－4(1－λ)＋2λ(1－λ)＝－2λ2＋2λ－2＝－32 ，所以λ＝12 .6．(2021·黄冈高一检测)已知向量n 与向量m 的夹角为π3，且|n |＝1，|m |＝3，n ·(n －λm )＝0. (1)求λ的值；(2)记向量n 与向量3n －m 的夹角为θ，求cos 2θ. 【解析】(1)由n ·(n －λm )＝n 2－λm ·n ＝1－λ×3×1×cos π3＝0，所以λ＝23. (2)因为n ·(3n －m )＝3n 2－m ·n ＝3－3×1×12 ＝32|3n －m |＝（3n －m ）2 ＝9n 2－6m ·n ＋m 2 ＝9－6×32＋9 ＝3，所以cos θ＝n ·()3n －m ||n ·||3n －m ＝321×3 ＝12， 所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2－1＝－12 .6、平面向量基本定理【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．设{e 1，e 2}是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是( ) A ．e 1－e 2与e 2－e 1 B ．2e 1＋3e 2与－4e 1－6e 2 C ．e 1＋2e 2与2e 1－e 2 D ．－12 e 1＋18 e 2与e 1－14e 2【解析】选C.因为只有不共线的两个向量才能作为基底，选项A 、B 、D 中的两个向量都是共线的，不可以作为基底．选项C 中的两个向量不共线，可作为基底． 2．(2021·成都高一检测)如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a ＝λe 1＋μe 2，则λ＋μ＝( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3【解析】选A.根据图象可知a ＝－3e 1＋(e 2＋e 1)＝－2e 1＋e 2，所以λ＝－2，μ＝1，λ＋μ＝－2＋1＝－1.3.在△ABC 中，AE → ＝15 AB → ，EF∥BC，EF 交AC 于F ，设AB → ＝a ，AC → ＝b ，则BF →等于( )A ．－a ＋15 bB ．a －15 bC ．23 a －13 bD ．13 a ＋23b【解析】选A.因为AE →＝15 AB → ，所以BE → ＝－45AB →.又因为EF∥BC，所以EF → ＝15 BC → ＝15(AC →－AB → )，所以BF → ＝BE → ＋EF → ＝－45 AB → ＋15 (AC → －AB → )＝15 AC → －AB → ＝－a ＋15 b .【加固训练】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF →＝( )A ．34 AB → ＋14 AD → B ．14 AB → ＋34 AD →C ．12 AB → ＋AD → D ．34 AB → ＋12AD → 【解析】选D.根据题意得：AF →＝12 (AC → ＋AE → )，又AC → ＝AB → ＋AD → ，AE →＝12 AB → ，所以AF →＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34 AB → ＋12AD →. 4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD → ＝4DB → ＝rAB → ＋sAC → ，则3r ＋s 的值为( )A ．165B ．125C ．85D ．45【解析】选C.因为CD → ＝4DB → ＝rAB → ＋sAC → ， 所以CD → ＝45 CB → ＝45(AB → －AC → )＝rAB→ ＋sAC → ，所以r ＝45 ，s ＝－45 .所以3r ＋s ＝125 －45 ＝85. 二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在正方形ABCD 中，设AB → ＝a ，AD → ＝b ，BD → ＝c ，则在以{a ，b }为基底时，AC → 可表示为________，在以{a ，c }为基底时，AC → 可表示为________．【解析】以{a ，b }为基底时，由平行四边形法则得AC → ＝a ＋b .以{a ，c }为基底时，将BD → 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则得AC → ＝2a ＋c . 答案：a ＋b 2a ＋c6．已知e 1，e 2不共线，且a ＝k e 1－e 2，b ＝e 2－e 1，若a ，b 不能作为基底，则实数k 等于________．【解析】因为a ，b 不能作为基底，所以a ，b 共线，可设a ＝λb ，λ∈R ，则k e 1－e 2＝λ()e 2－e 1 ，即k e 1－e 2＝λe 2－λe 1，因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎨⎧k ＝－λ，－1＝λ，所以k ＝1. 答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)7．(2021·大连高一检测)如图，已知M ，N ，P 是△ABC 三边BC ，CA ，AB 上的点，且BM → ＝14 BC → ，CN → ＝14 CA → ，AP → ＝14 AB →，若AB → ＝a ，AC → ＝b ，试用基底{a ，b }表示向量NP → ，AM → .【解答】因为CN →＝14 CA → ，所以AN → ＝34AC →，所以NP → ＝AP → －AN → ＝14 AB → －34 AC → ＝14 a －34 b ，AM →＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋14 BC → ＝AB →＋14 (AC → －AB → )＝34 AB → ＋14 AC → ＝34 a ＋14b .8．如图，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA → ＝a ，BC → ＝b .试以{a ，b }为基底表示EF → ，DF → .【解析】连接FA ，DF. 因为AD∥BC，且AD ＝13BC ，所以AD → ＝13 BC → ＝13 b ，所以AE → ＝12 AD → ＝16 b .因为BF → ＝12 BC → ，所以BF → ＝12 b ，所以FA → ＝BA → －BF → ＝a －12 b .所以EF → ＝EA → ＋AF → ＝－AE → －FA → ＝－16 b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝13 b －a ，DF → ＝DA → ＋AF → ＝－(AD → ＋FA →) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13b ＋⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝16 b －a .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知非零向量OA → ，OB → 不共线，且2OP → ＝xOA → ＋yOB → ，若PA → ＝λAB → (λ∈R )，则x ，y 满足的关系式是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．2x ＋y －2＝0 【解析】选A.由PA → ＝λAB → ， 得OA → －OP → ＝λ(OB → －OA → )， 即OP → ＝(1＋λ)OA → －λOB → . 又2OP→ ＝xOA → ＋yOB → ， 所以⎩⎨⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ， 消去λ得x ＋y ＝2.2．(多选题)(2021·岳阳高一检测)如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB∥CD，AB ＝2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．AC → ＝AD → ＋12 AB → B ．MC → ＝12 AC → ＋12 BC →C ．MN → ＝AD → ＋14 AB → D ．BC → ＝AD → －12AB →【解析】选ABD.AC → ＝AD → ＋DC → ＝AD → ＋12 AB → ，A 正确；MC →＝MA → ＋AC → ＝12 BA → ＋AC → ＝12 ()BC →－AC → ＋AC → ＝12 AC → ＋12 BC → ，B 正确；MN → ＝MA → ＋AD → ＋DN → ＝－12AB → ＋AD → ＋14 AB → ＝AD → －14 AB → ，C 错误；BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝AD → －12 AB → ，D 正确．二、填空题(每小题5分，共10分)3．方格纸中向量a ，b ，c 如图所示，若c ＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________．【解析】设水平向右，竖直向上的单位向量分别为e 1，e 2， 则a ＝e 1＋3e 2，b ＝3e 1－e 2，c ＝5e 1＋5e 2， 又c ＝λa ＋μb ，所以⎩⎨⎧λ＋3μ＝5，3λ－μ＝5，所以⎩⎨⎧λ＝2，μ＝1， 即λ＋μ＝3.答案：34．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，线段OD 上有点M 满足DO → ＝3DM → ，线段CO 上有点N 满足OC → ＝λON → (λ＞0)，设AB → ＝a ，AD → ＝b ，已知MN → ＝μa －16b ，则λ＝________，μ＝________．【解析】依题意得BD → ＝b －a ，AC →＝a ＋b ，且DM → ＝16 DB → ＝16 (a －b )＝16 a －16 b ，AN →＝AO → ＋ON → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ AC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ (a ＋b )，所以AM → ＝AD → ＋DM → ＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －16b ＝16 a ＋56 b ，AN → ＝AM → ＋MN → ＝16 a ＋56 b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μa －16b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μ a ＋23 b ，即AN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ (a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μ a ＋23 b ，由平面向量基本定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12＋12λ＝23，12＋12λ＝16＋μ，解得⎩⎨⎧λ＝3，μ＝12．答案：312三、解答题(每小题10分，共20分)5．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE → ＝23 AD → ，AB →＝a ，AC → ＝b .(1)用a ，b 表示AD → ，AE → ，AF → ，BE → ，BF → ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【解析】(1)延长AD 到点G ，使AG → ＝2AD →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG → ＝a ＋b ，AD → ＝12 AG → ＝12 (a ＋b )，AE → ＝23 AD → ＝13 (a ＋b )，AF →＝12 AC → ＝12b ，BE → ＝AE → －AB → ＝13 (a ＋b )－a ＝13 (b －2a )，BF → ＝AF → －AB → ＝12 b －a ＝12 (b－2a ).(2)由(1)知，BE →＝23 BF → ，所以BE → ，BF → 共线．又BE → ，BF → 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．6．(2021·六盘山高一检测)如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF → ＝λAB → ＋μAD →，求λ＋μ的值． (2)若AB ＝2，当AE → ·BF → ＝1时，求DF 的长．【解析】(1)因为点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点， 所以CF → ＝－13 DC → ＝－13 AB → ，EC → ＝12 BC → ＝12 AD → ，所以EF → ＝EC → ＋CF → ＝－13 AB → ＋12 AD →，所以λ＝－13 ，μ＝12 ，故λ＋μ＝－13 ＋12 ＝16.(2)设CF → ＝λCD → ，则BF → ＝BC → ＋CF → ＝AD → －λAB → ，又AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋12AD →，AB → ·AD → ＝0，所以AE → ·BF → ＝(AB → ＋12 AD → )·(AD → －λAB → )＝－λAB → 2＋12 AD → 2＝－4λ＋2＝1，故λ＝14 ，所以DF ＝(1－λ)×2＝32.7、平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量a ＝(1，2)，a ＋b ＝(3，2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1，2) C ．(5，6) D ．(2，0) 【解析】选D.b ＝(3，2)－a ＝(3，2)－(1，2)＝(2，0).2．已知AB → ＝(－2，4)，则下面说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是(－2，4) B ．B 点的坐标是(－2，4)C ．当B 是原点时，A 点的坐标是(－2，4)D ．当A 是原点时，B 点的坐标是(－2，4)【解析】选D.由任一向量的坐标的定义可知．当A 点是原点时，B 点的坐标是(－2，4).故D 项说法正确．3．(2021·淮安高一检测)已知点A(1，0)，B(3，2)，向量AC → ＝(2，1)，则向量BC → ＝( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(1，0)D ．(－1，0)【解析】选A.AB → ＝(2，2)，AC → ＝(2，1)； 所以BC → ＝AC → －AB → ＝(0，－1). 【加固训练】在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB → ＝(2，4)，AC → ＝(1，3)，则DA → ＝( )A ．(2，4)B ．(3，5)C ．(1，1)D ．(－1，－1) 【解析】选C.DA → ＝－AD → ＝－BC → ＝－(AC → －AB → )＝(1，1).4．(2021·开封高一检测)已知M(3，－2)，N(5，－1)，若NP → ＝MN →，则P 点的坐标为( )A ．(3，2)B ．(3，－1)C ．(7，0)D ．(1，0)【解析】选C.设点P 的坐标为(x ，y)，则NP → ＝(x －5，y ＋1)，MN → ＝(5－3，－1＋2)＝(2，1)，由NP → ＝MN → ，所以(x －5，y ＋1)＝(2，1)，解得x ＝7，y ＝0；所以点P(7，0).二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·长沙高一检测)如图所示，在平面直角坐标系中，CD → ＝(2，－3)，则点D 的坐标为________．【解析】设点D 的坐标为(x ，y)，则CD → ＝OD → －OC →＝(x －2，y －4)＝(2，－3)， 即⎩⎨⎧x －2＝2y －4＝－3，解得x ＝4，y ＝1； 所以点D 的坐标为(4，1). 答案：(4，1)6．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB → 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x ＝________．【解析】易得AB → ＝(2，0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎨⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， 解得x ＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB → ，AC → ，BC → ，BD → 的坐标．【解析】正三角形ABC 的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， 所以C(1， 3 )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 ，所以AB → ＝(2，0)，AC →＝(1， 3 )， BC →＝(1－2， 3 －0)＝(－1， 3 )， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 .8．已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R )，C(4，5).若AP → ＝AB → ＋AC → ，试求λ为何值时：(1)点P 在一、三象限角平分线上； (2)点P 在第一象限内．【解析】设点P 的坐标为(x ，y)，则AP → ＝(x ，y)－(λ，3)＝(x －λ，y －3)，又因为AB → ＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)，AC → ＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，所以AP → ＝AB → ＋AC → ＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)， 所以⎩⎨⎧x －λ＝9－2λ，y －3＝2λ－1. 则⎩⎨⎧x ＝9－λ，y ＝2λ＋2. (1)若P 在一、三象限角平分线上， 则9－λ＝2λ＋2，所以λ＝73 .(2)若P 在第一象限内，则⎩⎨⎧9－λ>0，2λ＋2>0.所以－1<λ<9.所以λ＝73 时，点P 在一、三象限角平分线上；－1<λ<9时，点P 在第一象限内．【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知i ，j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA → ＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x∈R )，则点A 位于( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)， 所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565， 故选：D.多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（ ）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确； 对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________． 答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6， 所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

6.2 平面向量的运算6.2.2 向量的减法运算课后·训练提升 基础巩固1.在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0 答案:C解析:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故只有C 中结论错误. 2.在△ABC 中,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a答案:B解析:如图,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CA⃗⃗⃗⃗⃗ +(-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-b-a.3.已知O,A,B,C 是4×4方格纸(小正方形的边长为1)上不同的4个格点,O,A 的位置如图所示.若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,则满足条件的点B,C 共有( )组.A.9B.10C.11D.12答案:D4.(多选题)下列各式中能化简为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:ABC解析:选项A 中,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项B 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项C 中,-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项D 中,-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.(多选题)若a,b 为非零向量,则下列结论正确的是( ) A.若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同 B.若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反 C.若|a|+|b|=|a-b|,则|a|=|b|D.若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同答案:ABD解析:对于选项A,若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同,结论正确;对于选项B,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,结论正确;对于选项C,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,但a 与b 的模不一定相等,结论错误;对于选项D,若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同,结论正确. 6.如图,在四边形ABCD 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则DC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.a-b+cB.b-(a+c)C.a+b+cD.b-a+c 答案:A解析:由题意可知,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+a+c.故选A. 7.如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的中点,E 是边AB 上一点,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:0解析:因为D 是边BC 的中点,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 8.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= . 答案:13解析:∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,∠AOB=90°,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,∴a-b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|a-b|=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. 9.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,且|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:2解析:以AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB(图略),由向量加减法几何意义可知,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |. 又|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,M 是线段BC 的中点, ∴|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 10.如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.解:方法一:先作a-b,再作a-b-c 即可.如图①所示,以A 为起点分别作向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.连接CB,得向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,再以C 为起点作向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,连接DB,得向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ .则向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求作的向量a-b-c.方法二:先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. 作AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-c; 作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,连接OC,则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b-c. 11.设O 是△ABC 内一点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,若以线段OA,OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以线段OC,OD 为邻边作平行四边形,第四个顶点为H.试用a,b,c 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BH⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:由题意可知四边形OADB 为平行四边形,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b, ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-(a+b)=c-a-b. 又四边形ODHC 为平行四边形, ∴OH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b, ∴BH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OH ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b-b=a+c. 能力提升1.平面内有四边形ABCD 和点O,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形答案:B解析:因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB CD,故四边形ABCD 是平行四边形.2.如图,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则向量BD⃗⃗⃗⃗⃗ 可以表示为( )A.a+b-cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c答案:C解析:由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a+c.故选C. 3.已知平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形 答案:C解析:∵m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m 与n 的长度相等, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD(图略), 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,平行四边形ABCD 为矩形,则△ABC 为直角三角形,∠B=90°. 4.(多选题)对于菱形ABCD,下列各式中正确的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ | C.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | D.|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BCD解析:如图,在菱形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴B 中式子正确.又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, |AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴C 中式子正确;|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴D 中式子正确;A 中式子不正确,故选BCD.5.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b(a>b),|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15],则a= ,b= . 答案:10 5解析:因为a-b=||OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a+b, 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15], 所以{a +b =15,a -b =5,解得{a =10,b =5.6.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:a+c-b解析:由已知得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b. 7.如图所示,O 是平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 的交点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,求证:b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明方法一:因为b+c=DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以b+c=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a,即b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .方法二:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a.方法三:因为c-a=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -b, 所以b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .8.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.求证:(1)|a-b|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|.证明因为△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB.又点M 是斜边AB 的中点,所以CM=AM=BM. (1)因为CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b, 又|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a-b|=|a|. (2)因为点M 是斜边AB 的中点, 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以a+(a-b)=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a+(a-b)|=|b|.。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用基本知识过关训练单选题1、已知向量a ⃑,b ⃑⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1,a ⃑⊥b ⃑⃑，则向量a ⃑−2b ⃑⃑在向量a ⃑方向上的投影向量为（ ） A ．a ⃑B ．1 C ．-1D ．−a ⃑ 答案：A分析：根据给定条件，求出(a ⃑−2b ⃑⃑)⋅a ⃑，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1,a ⃑⊥b ⃑⃑，则(a ⃑−2b ⃑⃑)⋅a ⃑=a ⃑2−2b ⃑⃑⋅a ⃑=1，令向量a ⃑−2b ⃑⃑与向量a ⃑的夹角为θ， 于是得|a ⃑−2b⃑⃑|cosθ⋅a⃑⃑|a⃑⃑|=(a⃑⃑−2b ⃑⃑)⋅a ⃑⃑|a⃑⃑|⋅a ⃑⃑|a⃑⃑|=a ⃑，所以向量a ⃑−2b ⃑⃑在向量a ⃑方向上的投影向量为a ⃑. 故选：A2、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑. 故选：D.3、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ） A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗ 答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确. 故选：D.4、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（ ） A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果. 因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b⃑⃗|=√3， 所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b ⃑⃗=−1， 所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12.故选：B.5、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( ) A ．2√3B ．−2√3i C ．√3−3i D ．3+√3i 答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ．6、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．34C ．√24D ．√23 答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B7、在△ABC 中，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解. 因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac=c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形. 故选：B8、如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，动点M 从顶点B 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点F ，若FD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值和最小值分别是m ，n ，则m +n =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 答案：D分析：连接AC ，根据正六边形的特征可得FD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，从而可得FD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⟩，再根据当M 在BC 上运动时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|与cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|与cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⟩均逐渐减小，即可求得m ，n ，从而得出答案.解：连接AC ，在正六边形ABCDEF 中，FD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴FD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⟩， ∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=2√3， 因为当M 在BC 上运动时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|与cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|与cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⟩均逐渐减小，所以当M 在CD 上运动时，|AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⟩取得最大值，为2√3， 当M 移动到点F 时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⟩取得最小值，为0． ∴m =2√3×2√3=12，n =2√3×0=0，∴m +n =12． 故选：D.小提示：多选题9、如图，在平行四边形ABCD 中，E,F 分别为线段AD,CD 的中点，AF ∩CE =G ，则（ ）A ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．BG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3GD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：AB分析：由向量的线性运算，结合其几何应用求得AF⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)、AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2GD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即可判断选项的正误 AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即A 正确 EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=12(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，即B 正确 连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有|GF||AG|=|GE||CG|=12∴AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即C 错误 同理BG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+13BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) DG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，即GD⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) ∴BG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2GD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即D 错误 故选：AB小提示：本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系10、等边三角形ABC 中，BD →=DC →,EC →=2AE →，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ） A ．AD →=12(AB →+AC →)B ．BE →=23BC →+13BA →C ．AF →=12AD →D ．BF →=12BA →+13BC →答案：AC分析：可画出图形，根据条件可得出D 为边BC 的中点，从而得出选项A 正确； 由EC →=2AE →可得出AE →=13AC →，进而可得出BE →=13BC →+23BA →，从而得出选择B 错误； 可设AF →=12AD →，进而得出AF →=λ2AB →+3λ2AE →，从而得出λ=12，进而得出选项C 正确；由AF →=12AD →即可得出BF →=12BA →+14BC →，从而得出选项D 错误． 如图，∵ BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，∴ AD →=12(AB →+AC →)，∴A 正确； ∵ EC →=2AE →，∴ AE →=13AC →=13(BC →−BA →)，∴ BE →=BA →+AE →=BA →+13(BC →−BA →)=13BC →+23BA →，∴ B 错误； 设AF →=λAD →=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2AE →，且B ，F ，E 三点共线，∴ λ2+3λ2=1，解得λ=12，∴ AF →=12AD →，∴C 正确；BF →=BA →+AF →=BA →+12AD →=BA →+12(BD →−BA →)=BA →+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →，∴D 错误.故选：AC11、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断. A 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗； C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗. 故选：BCD. 填空题12、我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，则△ABC 的面积为S =√14[(ab )2−(a 2+b 2−c 22)2].根据此公式，若bc =6，且b 2+c 2−a 2=4，则这个三角形的面积为_________. 答案：2√2分析：依题意可得S =√14[(bc )2−(c 2+b 2−a 22)2]，则代入数据计算可得；解：依题意△ABC 的面积为S =√14[(ab )2−(a 2+b 2−c 22)2]，同理可得S =√14[(bc )2−(c 2+b 2−a 22)2]，因为bc =6，且b 2+c 2−a 2=4，所以S =√14[62−(42)2]=2√2 所以答案是：2√213、设向量a ⃗=(1,−1),b ⃑⃗=(m +1,2m −4)，若a ⃗⊥b ⃑⃗，则m =______________. 答案：5分析：根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 由a ⃗⊥b ⃑⃗可得a ⃗⋅b⃑⃗=0， 又因为a ⃗=(1,−1),b ⃑⃗=(m +1,2m −4)， 所以a ⃗⋅b ⃑⃗=1⋅(m +1)+(−1)⋅(2m −4)=0， 即m =5， 所以答案是：5.小提示：本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.14、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处. 所以答案是：100(√3+1)解答题15、在△ABC中，asinC+ccosA=0．(1)求A；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：b=√2c；条件②：sinB=√1010；条件③：a=√10．答案：(1)3π4(2)1分析：(1)利用正弦定理将已知条件边化角，化简即可.(2) 若选择①②，可以确定△ABC的三个角，但无法确定边长，不符合题意；若选②③，利用正弦定理求边长b，根据角度关系求sinC，即可求出面积；若选①③，利用余弦定理求边长c，再求出b，即可求面积.（1）因为asinC+ccosA=0，由正弦定理可得sinAsinC+sinCcosA=0，因为sinC≠0，所以sinA+cosA=0，即tanA=−1，因为A∈(0,π)，则A=3π4；（2）若选择①②，由sinB=√2sinC，可得sinC=√510，由于已知条件未给出任意一边的长度，满足条件的三角形有无数个，并不唯一确定，不符合题意.若选择②③，由正弦定理asinA =bsinB，及a=√10，sinB=√1010，得√10sin3π4=√1010，所以b=√2，因为A=3π4，所以B∈(0,π4)，∴cosB=√1−sin2B=3√1010，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√22×3√1010−√22×√1010=√55，所以S△ABC=12absinC=12×√10×√2×√55=1．若选择①③，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，及b=√2c，得10=2c2+c2−2√2c2×√22，解得c=√2，所以b=2，所以S△ABC=12bcsinA=12×2×√2×√22=1．。