第6章线性空间练习题.doc

1.2. 已知向量空间的一个基为α1=（1 1 0）T ，α2=（1 0 1）T，α3=（0 1 1 ）T ，试求α=（2 0 0）T在上述基下的坐标。

解. 设α=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ， ()321ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110101011()321ααα-1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11111111121所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =()321ααα-1α=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111 2．验证α1=（1 -1 0）T，α2=（2 1 3）T，α3=（3 1 2 ）T为R 3的一个基，并把α=（5 0 7）T ，β=（-9 -8 -13）T用这个基线性表示。

解.设()321ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-230111321，321ααα= 230111321-= -6 ≠0所以α1，α2，α3为R 3的一个基。

设α=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ，β=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y由()αααα21=A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-723001115321→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-220054305321得α=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-132=2α1+3α2-α3 ，又有()βααα21=A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1323081119321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4200174309321 得β=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y =()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--233=3α1-3α2-2α3 。

3.下列n 阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？（1）n 阶对称矩阵全体所成之集合S ； （2）n 阶可逆矩阵全体所成之集合R ；（3）主对角线上各元素之和等于零的n 阶矩阵全体所成之集合T 。

第六章 线性空间§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用M a ∈表示a 是集合M 的元素，读为：a 属于M .用M a ∉表示a 不是集合M 的元素，读为：a 不属于M .所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M 是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成{}具有的性质a a M |=. 不包含任何元素的集合称为空集，记作φ.如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素，即M a ∈当且仅当N a ∈，那么它们就称为相等，记为N M =.如果集合M 的元素全是集合N 的元素，即由M a ∈可以推出N a ∈，那么M 就称为N 的子集合，记为N M ⊂或M N ⊃.两个集合M 和N 如果同时满足N M ⊂和M N ⊂.，则M 和N 相等. 设M 和N 是两个集合，既属于M 又属于N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的交，记为N M .属于集合M 或者属于集合N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的并，记为N M .二、映射设M 和M '是两个集合，所谓集合M 到集合M '的一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有M '中一个确定的元素a '与之对应.如果映射σ使元素M a '∈'与元素M a ∈对应，那么就记为σ,a)(a'=a'就为a在映射σ下的像，而a称为a'在映射σ下的一个原像.M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换.关于M到M'的映射σ应注意：1）M与M'可以相同，也可以不同；2）对于M中每个元素a，需要有M'中一个唯一确定的元素a'与它对应；3）一般，M'中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射.σ=集合M到集合M'的两个映射σ及τ，若对M的每个元素a都有)(aτ(a)σ=..则称它们相等，记作τ例1M是全体整数的集合，M'是全体偶数的集合，定义σ,2)(n∈Mnn=,这是M到M'的一个映射.例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义σ.|()=,|MA∈AA1这是M到P的一个映射.例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义σ.)(=,Pa∈aaE2E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射.例4 对于]x[Pf∈,定义)(xσxf=f'((x()))这是]P到自身的一个映射.[xa是M'中一个固定的元素，定义例5 设M，M'是两个非空的集合，σ.=,)(a∈aaM这是M到M'的一个映射.例6 设M 是一个集合，定义M a a a ∈=,)(σ.即σ把M 的每个元素都映到它自身，称为集合M 的恒等映射或单位映射，记为M 1.例7 任意一个定义在全体实数上的函数)(x f y =都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设σ及τ分别是集合M 到M '，M '到M ''的映射，乘积τσ定义为M a a a ∈=,))(())((σττσ,即相继施行σ和τ的结果，τσ是M 到M ''的一个映射.对于集合集合M 到M '的任何一个映射σ显然都有σσσ=='M M 11.映射的乘法适合结合律.设ψτσ,,分别是集合M 到M '，M '到M ''，M ''到M '''的映射，映射乘法的结合律就是)()(τσψσψτ=.设σ是集合M 到M '的一个映射，用)(M σ代表M 在映射σ下像的全体，称为M 在映射σ下的像集合.显然M M '⊂)(σ.如果M M '=)(σ，映射σ称为映上的或满射.如果在映射σ下，M 中不同元素的像也一定不同，即由21a a ≠一定有)()(21a a σσ≠,那么映射σ就称为11-的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称11-对应或双射.对于M 到M '的双射σ可以自然地定义它的逆映射，记为1-σ.因为σ为满射，所以M '中每个元素都有原像，又因为σ是单射，所以每个元素只有一个原像，定义a a a a '=='-)(,)(1σσ当.显然，1-σ是M '到M 的一个双射，并且M M '--==1,111σσσσ.不难证明，如果τσ,分别是M 到M '，M '到M ''的双射，那么乘积τσ就是M 到M ''的一个双射.§2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义.例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V 3的一个运算;20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R ×V 3到V 3的一个运算.30 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2. 数域P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1 令V 是一个非空集合，P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于V 中任意两个向量α与β,在V 中都有唯一的一个元素γ与它们对应,称为α与β的和,记为βαγ+=.在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P 中任一个数k 与V 中任一个元素α,在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应,称为k 与α的数量乘积,记为αδk =.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：:1) αββα+=+；2) )()(γβαγβα++=++；3) 在V 中有一个元素0,V ∈∀α,都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）；4) 0,,=+∈∃∈∀βαβαst V V (β称为α的负元素).数量乘法满足下面两条规则：5) αα=1;6) αα)()(kl l k =;数量乘法与加法满足下面两条规则：7) αααl k l k +=+)(;8) ;(βαβαk k k +=+）在以上规则中，l k ,等表示数域P 中任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素. 例3 数域P 上一元多项式环][x P ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用n x P ][表示.例4 元素属于数域P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ⨯表示.例5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.例6数域P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.例7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R 上的线性空间:1) 平面上全体向量所作成的集合V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法:V R a a ∈∈=αα,,0.2) R 上n 次多项式的全体所作成的集合W 对于多项式的加法和数与多项式的乘法.例8 设V 是正实数集, R 为实数域.规定αββα=⊕(即α与β的积),a ⊙α=a α(即α的a 次幂),其中R a V ∈∈,,βα.则V 对于加法⊕和数乘⊙作成R 上的线性空间.二 线性空间的简单性质线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 ,,,γβα代表线性空间V 中的元素，用小写拉丁字母 ,,,c b a 代表数域P 中的数.1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的.3..)1(;00;00ααα-=-==k4.如果0=αk ,那么0=k 或者0=α.§3 维数·基与坐标一、向量的线性相关与线性无关定义 2 设V 是数域P 上的一个线性空间，r ααα,,,.21 )1(≥r 是V 一组向量,r k k k ,,,21 是数域P 中的数，那么向量r r k k k αααα+++= 2211.称为向量组r ααα,,,.21 的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组r ααα,,,.21 线性表出.定义3 设r ααα,,,.21 ; (1)s βββ.,,21 (2)是V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的.定义4 线性空间V 中向量r ααα,,,.21 )1(≥r 称为线性相关，如果在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ，使0.2211=+++r r k k k ααα . (3)如果向量r ααα,,,.21 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组r ααα,,,.21 称为线性无关，如果等式（3）只有在021===r k k k 时才成立.几个常用的结论：1. 单个向量α线性相关的充要条件是0=α.两个以上的向量r ααα,,,.21 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.2. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，而且可以被s βββ.,,21 线性表出，那么s r ≤.由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.3. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，但βααα,,,,.21r 线性相关，那么β可以由被r ααα,,,.21 线性表出，而且表示法是唯一的.在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性.定义5 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的；如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的.定义6 在n 维线性空间V 中，n 个线性无关的向量n εεε,,,21 称为V 的一组基.设α是V 中任一向量，于是αεεε,,,,21n 线性相关，因此α可以被基n εεε,,,21 线性表出：n n a a a εεεα+++= 2211.其中系数n a a a ,,,21 是被向量α和基n εεε,,,21 唯一确定的，这组数就称为α在基n εεε,,,21 下的坐标，记为),,,(21n a a a .由以上定义看来，在给出空间V 的一组基之前，必须先确定V 的维数. 定理1 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,.21 ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而n ααα,,,.21 就是V 的一组基.例1 在线性空间n x P ][中，12,,,,1-n x x x是n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的数域P 上的多项式都可以被它们线性表出，所以n x P ][是n 维的，而12,,,,1-n x x x 就是它的一组基.例2 在n 维的空间n P 中，显然⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)1,,0,0(),0,,1,0(),0,,0,1(21n εεε 是一组基.对于每一个向量),,,(21n a a a =α,都有n n a a a εεεα+++= 2211.所以),,,(21n a a a 就是向量α在这组基下的坐标.例3 如果把复数域K 看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i 就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的.§4 基变换与坐标变换在n 维线性空间中，任意n 个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的.设n εεε,,,21 与n εεε''',,,21是n 维线性空间V 中两组基，它们的关系是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++='+++='+++='.,,22112222112212211111n nn n n nnn n n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε (1) 设向量ξ在这两组基下的坐标分别是),,,(21n x x x 与),,,(21n x x x ''' ，即 .22112211n n n n x x x x x x εεεεεεξ''++''+''=+++= (2) 现在的问题就是找出),,,(21n x x x 与),,,(21n x x x ''' 的关系. 首先指出，(1)中各式的系数n j a a a nj j j ,,2,1,),,,(21 =实际上就是第二组基向量),,2,1(n j j ='ε在第一组基下的坐标.向量n εεε''',,,21的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说，这个矩阵是可逆的.为了写起来方便，引入一种形式的写法.把向量.2211n n x x x εεεξ+++=写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n x x x 2121),,,(εεεξ, (3)也就是把基写成一个n ⨯1矩阵，把向量的坐标写成一个1⨯n 矩阵，而把向量看作是这两个矩阵的乘积.所以说这种写法是”形式的”，在于这里是以向量作为矩阵的元素，一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的.相仿地，(1)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='''nn n n n n n n a a a a a aa a a 2122221112112121),,,(),,,(εεεεεε. (4) 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211称为由基n εεε,,,21 到n εεε''',,,21的过渡矩阵，它是可逆的. 在利用形式写法来作计算之前，首先指出这种写法所具有的一些运算规律. 设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是V 中两个向量组，()()ij ij b B a A ==,是两个n n ⨯矩阵，那么;))(,,,()),,,((2121AB B A n n αααααα =;))(,,,(),,,(),,,(212121B A B A n n n +=+ααααααααα .),,,(),,,(),,,(22112121A A A n n n n βαβαβαβββααα+++=+ 现在回到本节所要解决的问题上来.由(2)有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''=n n x x x 2121),,,(εεεξ. 用(4)代入，得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n n x x x a a a a a aa a a 2121222211121121),,,(εεεξ.与(3)比较，由基向量的线性无关性，得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121, (5) 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 21121222211121121. (6)(5)与(6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式.例1 在§3例2 中有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='''111011001),,,(),,,(2121n n εεεεεε ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111011001 A 就是过渡矩阵.不难得出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-10000010000100011 A .因此⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''n n x x x x x x21211000001000010001也就是)2(,111n i x x x x x i i i ，， =-='='-.与§3所得出的结果是一致的.例2 取2V 的两个彼此正交的单位向量21,εε它们作成2V 的一个基.令21,εε''分别是由21,εε旋转角θ所得的向量，则21,εε''也是2V 的一个基，有 θεθεεθεθεεsin sin sin cos 212211+-='+='所以｛21,εε｝到｛21,εε''｝的过渡矩阵是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos . 设2V 的一个向量ξ关于基｛21,εε｝和｛21,εε''｝的坐标分别为),(21x x 与(21,x x '').于是由(5)得,cos sin sin cos 2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x θθθθ即.cos sin ,sin cos 212211θθθθx x x x x x '+'=''-'=这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式.§5 线性子空间一、线性子空间的概念定义7 数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空间（或简称子空间），如果W 对于V的两种运算也构成数域P 上的线性空间.定理2 如果线性空间V 的一个非空集合W 对于V 两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么W 就是一个子空间.既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.例2 线性空间V本身也是V 的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V 的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间. 例4 n x P ][是线性空间][x P 的子空间. 例5 在线性空间n P 中，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于r n -，其中r 为系数矩阵的秩.二、生成子空间设r ααα,,,21 是线性空间V 中一组向量，这组向量所有可能的线性组合r r k k k ααα+++ 2211所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V 的一个子空间，这个子空间叫做由r ααα,,,21 生成的子空间，记为),,,(21r L ααα .由子空间的定义可知，如果V 的一个子空间包含向量r ααα,,,21 ，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含),,,(21r L ααα 作为子空间.在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W 是V 的一个子空间，W 当然也是有限维的.设r ααα,,,21 是W 的一组基，就有),,,(21r L W ααα =.定理3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）),,,(21r L ααα 的维数等于向量组r ααα,,,21 的秩.定理4 设W 是数域P 上n 维线性空间V 的一个m 维子空间，m ααα,,,21 是W 的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在V 中必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,21 ++使得n ααα,,,21 是V 的一组基.结论 数域P 上线性空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间W b a W F b a ∈+∈∈∀⇔βαβα都有,,,,.§6子空间的交与和定理5 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交21V V 也是V 的子空间.由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：1221V V V V =(交换律)，)()(321321V V V V V V =（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的交：si i s V V V V 121==,它也是子空间.定义8 设1V ,2V 是线性空间V 的子空间，所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21αα+,而2211,V V ∈∈αα的向量组成的子集合，记作21V V +.定理6 如果1V ,2V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间.由定义有，子空间的和适合下列运算规律：1221V V V V +=+(交换律)，)()(321321V V V V V V ++=++（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的和∑==+++si i s V V V V 121 .它是由所有表示成),,2,1(,21s i V i i s =∈+++αααα的向量组成的子空间.关于子空间的交与和有以下结论：1. 设W V V ,,21都是子空间，那么由1V W ⊂与2V W ⊂可推出21V V W ⊂；而由1V W ⊃与2V W ⊃可推出21V V W +⊃.2. 对于子空间1V 与2V ，以下三个论断是等价的： 1）;21V V ⊂ 2) 121V V V = ; 3)221V V V =+.例1 在三维几何中用1V 表示一条通过原点的直线，2V 表示一张通过原点而且与1V 垂直的平面，那么，1V 与2V 的交是{}0，而1V 与2V 的和是整个空间.例2 在线性空间n P 中，用1V 与2V 分别表示齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n tn t t nn n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间，那么21V V 就是齐次方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0,0,0,02211121211122111212111n tn t t n n n sn s s n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a的解空间.例3 在一个线性空间V 中，有),,,,,(),,,(),,,(112121t s t s L L L ββααβββααα =+.关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.定理7（维数公式）如果1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，那么维（1V ）+维（2V ）=维（21V V ）+维（21V V ）.从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.推论 如果n 维线性空间V 中两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，那么1V ，2V 必含有非零的公共向量.§7 子空间的直和定义9 设21,V V 是线性空间V 的子空间，如果和21V V +中每个向量α的分解式221121,,V V ∈∈+=ααααα是唯一的，这个和就称为直和，记为21V V ⊕.定理8 和21V V +是直和的充要条件是等式)2,1(,021=∈=+i V i i ααα只有在i α全为零时才成立.推论 和21V V +是直和⇔{}021=V V .定理9 设21,V V 是线性空间V 的子空间，令21V V W +=，则21V V W ⊕=⇔维(W )=维(1V )+维(2V ).定理10 设U 是线性空间V 的一个子空间，那么一定存在一个子空间W 使W U V ⊕=.子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形.定义10 设s V V V ,,,21 都是线性空间V 的子空间，如果和s V V V +++ 21中每个向量α的分解式),,2,1(,21s i V i i s =∈+++=ααααα是唯一的，这个和就称为直和，记为s V V V ⊕⊕⊕ 21.定理11 s V V V ,,,21 是线性空间V 的一些子空间，下面这些条件是等价的： 1）∑=i V W 是直和； 2）零向量的表法唯一； 3）{}),,2,1(0s i V V ij j i ==∑≠;4）维(W )=∑)(i V 维.§8 线性空间的同构设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设n n a a a εεεα+++= 2211,n n b b b εεεβ+++= 2211而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.于是向量,βα+αk 的坐标分别是),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，具有以下性质：1）)()()(βσασβασ+=+;2) ).()(ασασk k =其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.由定义可以看出，同构映射具有下列性质：1. )()(,0)0(ασασσ-=-=.2. )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .3. V 中向量组r ααα,,,21 线性相关⇔它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关.因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数.4. 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合 {}11|)()(V V ∈=αασσ是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得，数域P 上任意两个n维线性空间都同构.定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征.第六章、线性空间(小结)线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.一、线性空间1. 线性空间的概念2. 线性间的性质(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；(2) αα-=-)1(;0,00==⇔=ααor k k .二、基、维数和坐标1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标；过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基；任意)(n m m <个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；任意)(n s s >个向量都是线性相关的.(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ,且V 中任意向量都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=，此时称W 为U 的一个余子空间.(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：① ∑=i V W 是直和；② 零向量的表示法唯一；③ {});,,2,1(,0t i V V ij j i ==∑≠④ ∑=i V W dim dim .四、线性空间的同构1.同构的定义2. 同构映射的基本性质：(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2) 同构映射把子空间映成子空间；(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：。

1、R n 中分量满足下列条件的全体向量1(,,)n x x 的集合，是否构成R n的子空间？①10n x x ++=；②120n x x x ⋅⋅⋅=；③2211n x x ++=。

解：①是，设(){}111,,|0n n V x x x x =++=，显然V 1≠∅，1,,,a b F V ξη∀∈∀∈，设1212(,,),(,,)x x y y ξη==，则()()()1111,,,,,,n n n n a b a x x b y y ax by ax by ξη+=+=++，而1111()()()()000n n n n ax by ax by a x x b y y a b ++++=+++++=+=所以1a b V ξη+∈，所以V 1是R n 的子空间； ②不是，取(1,0,,0),(0,1,,1)αβ==，则(){}11,,,|0n n V x x x x αβ∈=⋅⋅=，但(1,1,,1)V αβ+=∉，所以V 不是R n 的子空间；③不是，取(1,0,,0),(0,1,0,,0)αβ==，则(){}2211,,,|1n n V x x x x αβ∈=++=，但(1,1,0,,0)V αβ+=∉，所以V 不是R n 的子空间。

2、子集{}1|,,V X AX XB A B n ==为已知的阶矩阵是否是()n M F 的子集？解：是()n M F 的子集；证：显然1V ≠∅，1,,,X Y V a b F ∀∈∈，有()()A aX bY aAX bAY aXB bYB aX bY B +=+=+=+，所以1aX bY V +∈，所以1V 是()n M F 的子集。

3、设12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-，求含12,αα的R 4的一组基。

解：因为101010101010112001100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取34(0,0,1,0),(0,0,0,1)αα==，所以{}1234,,,αααα为R 4的一组基。

线性空间练习题、单项选择题R3中下列子集( )不是R3的子空间.A. w1={( x1,x2, x3) R I X2= 1} B . W2= {( x1, X2, X3)R | X3= 0}3 S 3C. W3 ={( X1,X2,X3) RlX I=X2= X3} D . W4 ={( X i,X2,X3) RlX1 = X2「X3}二、判断题1、设V=P nXn则W={A∣A^ P n tIAl = 0}是V 的子空间.2、已知V = {(a bi,c di)∣a,b,c,d ∙R}为R上的线性空间，则维(V)= 2.3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组〉1「2 J S线性表出，则维(W)= S4、设W是线性空间V的子空间，如果一〉，「V, W且I-W,则必有G ÷β2W.三、1 .已知W1={ a b| a,b^ R} , W2={ a1 0| a1,c1E R},是R2x2的两个子空间，求I0 0.丿£0丿W1^ W2,W1W2的一个基和维数.2•已知G关于基{此』2,%}的坐标为(1 , 0, 2),由基{%口2,6}到基{忙見见} "3 2 4、的过渡矩阵为1 0 0 ,求G关于基{S的坐标.Q 1 0」四、设P n是数域P上的n维列向量空间，AP nn且A'=A,记W1 ={AX I X E P n}, W2 ={X X € P n, AX =0},1. 证明：W1,W2都是P n的子空间；2. 证明：P n=W I 二W2.线性变换练习题一、填空题1 •设；1, ；2；3是线性空间V的一组基，V的一个线性变换匚在这组基下的矩阵是A =(a ij)3通，α=x1& +X2E2+ X3s3^V,则Cr 在基ε3^2^1下的矩阵B = _________,而可逆矩阵T = 满足B=T ^1AT 在基每，名2, %下的坐标为.2. 设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间P n的线性变换；「：' ■ P n,1 1 n则Cr (0) = ________ , dim (er —(0) )= ____ , dim(o^(P) )= ______ .3. _____________________________________________ 复矩阵A=(a j)n>n的全体特征值的和等于 ,而全体特征值的积等于______________________________________________ .4•设a是n维线性空间V的线性变换，且∙σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为 _________ 变换.5. 数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为________ 维线性空间，它与__________同构•6. ________________________________________________________________________________________设n阶矩阵A的全体特征值为W',打，f (X)为任一多项式，则f (A)的全体特征值为 _____________________________ .二、判断题1 .设;「是线性空间V的一个线性变换，>1,>2,…，∙ V线性无关，则向量组匚(-：*),；「(：• 2),…，匚CS)也线性无关•( )2 .设二为n维线性空间V的一个线性变换，则由C的秩+ ；「的零度=n ,有V= = (V)二二j (0).( )3. 在线性空间R2中定义变换σ(χ, y) = (1 ∙x, y),则二是R2的一个线性变换. ( )4. 若二为n维线性空间V的一个线性变换，则二是可逆的当且仅当 C J (0) ={ 0}. ( )5. 设二为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若二(W)是V的一个子空间，则W必为V的子空间. ( )三、计算与证明⅛ 0 1 A1.设A= 1 1 a ,问a为何值时，矩阵A可对角化？<1 0 0」并求一个可逆矩阵X,,使X-1AX二上..2 •在线性空间P n中定义变换二:C (Xι,X2,, X n)=(O, X2,, X n)(1)证明：；「是P n的线性变换.(2)求二(P n)与二JL(0).(3)二(P n) = J(O)=P n.3•若A是一个n阶矩阵，且A=A ,则A的特征值只能是0和1.欧氏空间练习题一、填空题1•设V是一个欧氏空间，CE V ,若对任意口W V都有(Jn)=O y C= ______________ •2•在欧氏空间R3中，向量α =(1,0,_1) , β =(0,1,0),那么(α , B ) = _____________ ，I cf= __________ 3•在n维欧氏空间V中，向量•在标准正交基1, 2,…，n下的坐标是(x1,x2,…，x n),那么(,i)= 巴=_ > _ •4. _____________________________________________________ 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是•5•已知A是一个正交矩阵，那么A JL = __________ , A = __________ •二、判断题仁在实线性空间R2中，对于向量I=(X l,X2)「=(y1,y2),定义C)=(X』* X2y2 1),那么R2构成欧氏空间。

线性空间测试题及答案一、选择题1. 线性空间中的向量加法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 分配律D. 所有选项都正确2. 以下哪个不是线性空间的定义条件？A. 向量加法的封闭性B. 标量乘法的封闭性C. 存在零向量D. 向量加法的逆元存在二、填空题1. 线性空间中的向量加法满足_________，即对于任意向量u, v ∈ V，存在一个向量w ∈ V，使得u + w = v。

2. 线性空间中的标量乘法满足_________，即对于任意向量v ∈ V和标量a, b，有(a + b)v = av + bv。

三、简答题1. 请简述线性空间的定义。

2. 线性空间中的向量加法和标量乘法需要满足哪些条件？四、计算题1. 给定线性空间V中的向量u = (1, 2)和v = (3, 4)，计算u + v。

2. 若标量a = 2，计算2u。

五、证明题1. 证明线性空间中的向量加法满足结合律。

2. 证明线性空间中的标量乘法满足分配律。

答案：一、选择题1. 答案：D2. 答案：D二、填空题1. 答案：逆元存在2. 答案：分配律三、简答题1. 答案：线性空间是一个集合V，配合两个二元运算：向量加法和标量乘法，满足以下条件：向量加法的封闭性、结合律、存在零向量、向量加法的逆元存在，以及标量乘法的封闭性、分配律、结合律。

2. 答案：向量加法需要满足封闭性、结合律、存在零向量、逆元存在，而标量乘法需要满足封闭性、分配律、结合律。

四、计算题1. 答案：u + v = (1+3, 2+4) = (4, 6)2. 答案：2u = 2 * (1, 2) = (2, 4)五、证明题1. 证明：设u, v, w ∈ V，则(u + v) + w = u + (v + w)，由向量加法的结合律得证。

2. 证明：设u ∈ V，a, b为标量，则a(bu) = (ab)u，由标量乘法的分配律得证。

第六章线性空间§ 1集合•映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西• 组成集合的东西称为这个集合的元素•用a M表示a是集合M的元素，读为：a属于M .用a F M表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M .所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的•因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成M = "a |a具有的性质—不包含任何元素的集合称为空集，记作'.如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即a M当且仅当a N，那么它们就称为相等，记为M二N .如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a • M可以推出a • N，那么M 就称为N的子集合，记为M N或N二M .两个集合M和N如果同时满足M N和N二M .,则M和N相等.设M和N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M 与N 的交，记为M N .属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并，记为M N .二、映射设M和M •是两个集合，所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法则，它使M中每一个元素a都有M •中一个确定的元素a •与之对应.如果映射二使元素a > M与元素a • M对应，那么就记为a ■就为a在映射二下的像，而a称为a ■在映射二下的一个原像.M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换.关于M到M •的映射匚应注意：1）M与M •可以相同，也可以不同；2）对于M中每个元素a，需要有M •中一个唯一确定的元素a •与它对应；3）—般，M •中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M到集合M ■的两个映射二及.，若对M的每个元素a都有二（a）二.（a）则称它们相等，记作二二...例1 M是全体整数的集合，M •是全体偶数的集合，定义-（n） = 2n, n M ,这是M到M •的一个映射.例2 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义5（A） A|,A M .这是M到P的一个映射.例3 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义二2（a）二aE , a P .E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射.例4对于f（x） P[x],定义r f（X））= f （x）这是P[X]到自身的一个映射.例5设M，M是两个非空的集合，a0是M中一个固定的元素，定义「（a）二a0,a M .这是M到M •的一个映射.例6设M 是- -个集合，定义二（a）二 a ,a M .即二把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为1 M .例7任意一个定义在全体实数上的函数y 二f（x）都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法，设匚及.分别是集合M到M，M ■到M “的映射，乘积.二定义为（.；「）（a） = （；「（a）） ,a M ,即相继施行；「和.的结果，.；「是M到M ”的一个映射.对于集合集合M到M的任何一个映射匚显然都有1M一"M .映射的乘法适合结合律.设匚,•「分别是集合M到M，M ■到M ，M “到M托勺映射，映射乘法的结合律就是（-）；「- （；「）.设二是集合M到M •的一个映射，用；「（M ）代表M在映射二下像的全体，称为M在映射二下的像集合.显然；「（M ） M .如果二（M ）二M •，映射二称为映上的或满射.如果在映射二下，M中不同元素的像也一定不同，即由a^ - a2一定有二（耳）=二（a?），那么映射二就称为1-1的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射.对于M到M •的双射二可以自然地定义它的逆映射，记为匚* .因为二为满射，所以M •中每个元素都有原像，又因为二是单射，所以每个元素只有一个原像，定义二'(a)二a,当二(a) = a .显然，二」是M ■到M的一个双射，并且'■- '■- = = 1 M '.不难证明，如果匚,.分别是M到M , M ■到M ”的双射，那么乘积v就是M到M “的一个双射.§ 2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义.例1 在解析几何里，讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法•不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算；2°解析几何中规定的实数与向量的乘法是R X V3到V3的一个运算.30由知道，空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1令V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于V中任意两个向量〉与,在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为〉与］的和，记为 =：'■.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一个数k与V中任一个元素—在V中都有唯一的一个元素：与它们对应，称为k与〉的数量乘积，记为：二k〉.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间.加法满足下面四条规则：：1） :- - - = ■ ■ :■；2）（、£）；3）在V中有一个元素0^ V ,都有: （具有这个性质的元素0称为V的零元素）；4） -• V , 「V , st 〉• 1 = 0 （ 1 称为〉的负元素）.数量乘法满足下面两条规则：5） 1——：；6）k（l：）=（kl）：;数量乘法与加法满足下面两条规则:7）（k 亠丨）：-k：：亠丨、；;8）k （；*_亠 | ；）= k 很亠k |;在以上规则中，k,l等表示数域P中任意数；：•「，等表示集合V中任意元素.例3数域P上一元多项式环P[x],按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x]n表示.例4元素属于数域P的m n矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用P mn表示•例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间：1）平面上全体向量所作成的集合V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法：a ：二0,a R^ - V .2）R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法•例8设V是正实数集,R为实数域.规定，二---■（即〉与]的积）,a O ：■ —a（即〉的a次幕）,其中〉J • V,a・R.则V对于加法①和数乘。