第六章 线性空间

第六章 线性空间3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （1n ≥）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n n ⨯实矩阵，A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：1122121212(,)(,)(,)a b a b a a b b a a ⊕=+++，211111(1)(,)(,)2k k k a b ka kb a -=+； 6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k =0 α；7）集合与加法同6），数量乘法定义为：k = αα；8）全体正实数+R ，加法与数量乘法定义为：a b ab ⊕=，k k a a = ．解 1）不能构成实数域上的线性空间．因为两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，所以对加法不封闭． 2）能构成实数域上的线性空间．事实上，{()|()[]}V f f x x =∈R A 即为题目中的集合，显然，对任意的(),()f g V ∈A A ，及k ∈R ，有()()()f g h V +=∈A A A ，()()()kf kf V =∈A A ，其中()()()h x f x g x =+．这就说明V 对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，故V 构成实数域上的线性空间．3）能构成实数域上的线性空间．由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三角）矩阵，一个数k 乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n 级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．4）不能构成实数域上的线性空间．因为，两个不平行与某一向量α的两个向量的和可能平行于α，例如：以α为对角线的任意两个向量的和都平行于α，从而不属于题目中的集合．5）能构成实数域上的线性空间．事实上，{(,)|,}V a b a b =∈R 即为题目中的集合．显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容易验证，对于任意的(,)a b ，(,)i i a b V ∈，1,2,3i =；,k l ∈R ，有①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立； ②直接验证，可知加法的结合律也成立；③由于(,)(0,0)(0,00)(,)a b a b a b ⊕=+++=，故(0,0)是V 中加法的零元素；④如果11111(,)(,)(,)(0,0)a b a b a a b b aa ⊕=+++=，则有211(,)(,)a b a a b =--，即2(,)aa b --为(,)a b 的负元素；⑤21(11)1(,)(1,1)(,)2a b a b a a b -=+= ； ⑥222(1)(1)(1)((,))(,)(,[]())222l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la ---=+=++ 2(1)(,)()(,)2kl kl kla klb a kl a b -=+= ； ⑦22(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k l l k a b l a b ka kb a la lb a --⊕=+⊕+ 222(1)(1)(,)22k k l l ka la kb a lb a kla --=+++++2(1)(1)[(),()]2k k l k l a k l b a ++-=+++()(,)k l a b =+ ；⑧1122121212[(,)(,)](,)k a b a b k a a b b a a ⊕=+++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++， 而221122111222(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k k k k a b k a b ka kb a ka kb a --⊕=+⊕+ 22212112212(1)(1)(,)22k k k k ka ka kb a kb a k a a --=+++++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++， 即11221122[(,)(,)](,)(,)k a b a b k a b k a b ⊕=⊕ ．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以V 构成实数域上的一个线性空间．6）不能构成实数域上的线性空间．因为1=≠0 αα，故不满足定义的第5条规律． 7）不能构成实数域上的线性空间．因为()2k l k l αα+=≠=+=+ ααααα，故不满足定义的第7条规律． 8）能构成实数域上的线性空间．由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故+R 对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的,a b +∈R ，,k l ∈R ，有①a b ab ba b a ⊕===⊕；②()()()()a b c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕； ③11a a a ⊕==，即1是定义的加法⊕的零元素； ④111a a a a ⊕==，即1a是a 的负元素； ⑤11a a a == ；⑥()()()()ll klkklk l a k a a a a kl a ===== ； ⑦()()()k lk l k l a aa a k a l a ++===⊕⑧()()()()()kk kk a b k ab ab a b k a k b ⊕====⊕ ．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以+R 构成实数域上的一个线性空间． 『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的． 4．在线性空间中，证明：1）k =00；2）()k k k -=-αβαβ．『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．证明 1）证法１ 由于对任意的向量α，存在负向量-α，使得()+-=0αα，故(())()(1)(())0k k k k k k k k =+-=+-=+-=+-==00αααααααα；证法２ 对于任意的向量α，有()k k k k +=+=00ααα，左右两边再加上k α的负向量k -α，即可得k =00；2）利用数量乘法对加法的分配律，得到()()k k k k -+=-+=αββαββα，等式两边再加上k β的负向量k -β，即可得()k k k -=-αβαβ． 5．证明：在实函数空间中，21,cos ,cos2t t 是线性相关的．『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可．证明 由于在实函数空间中，有1cos 22cos 2-=t t ，即cos 2t 可由另外两个向量线性表出，故21,cos ,cos 2t t 是线性相关的．7．在4P 中，求向量ξ在基1234,,,εεεε下的坐标，设2）1234(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)====--=εεεεξ． 解法1 设ξ在基1234,,,εεεε下的坐标为1234(,,,)k k k k '，则有11223344k k k k =+++ξεεεε．2）将向量等式按分量写出，得12312342412420,0,30,1.k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+++=⎪⎨-=⎪⎪+-=⎩ 解方程组，得12341,0,1,0k k k k ===-=，即为ξ在基1234,,,εεεε下的坐标．解法2 将1234,,,εεεε和ξ作为矩阵的列构成一个矩阵()1234,,,,=εεεεξA ，对A 进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定ξ与1234,,,εεεε的线性关系．2）对A 进行初等行变换，得到1210010001111100100003010001011101100010⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪=→→ ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，于是13=-ξεε．『方法技巧』解法1，利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法2，利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观察出向量的坐标．8．求下列线性空间的维数与一组基： 1）数域P 上的空间n nP ⨯；2）n nP⨯中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；『解题提示』根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数． 解 1）n nP⨯是数域P 上全体n 级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间．对于任意的1,i j n ≤≤，令ij E 表示第i 行第j 列的元素为1，其余元素均为0的n 级矩阵．根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义，容易验证ij E ，,1,2,,i j n =是线性无关的，且任意n 级矩阵A 均可由它们线性表出，从而为n nP⨯的一组基．于是n nP⨯的维数为2n ．2）仍然使用1）中的符号，并记{|}n n S P ⨯'=∈=A A A ，{|}n n T P ⨯'=∈=-A A A ，{()|0,}n n ij ij N a P a i j ⨯==∈=>A ．则，按照矩阵的加法和数量乘法，,,S T N 分别表示n nP ⨯中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线性空间．容易验证①ii E ，1,2,,i n = ；ij ji +E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间S 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=． ②ij ji -E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间T 的一组基，其维数为(1)12(1)2n n n -+++-=． ③ii E ，1,2,,i n = ；ij E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间N 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=． 『方法技巧』求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析．9．在4P 中,求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下的坐标．设1）1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩εεεε1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3),=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ηηηη 1234(,,,)x x x x =ξ在1234,,,ηηηη下的坐标； 2）1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1),=-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=--⎩εεεε1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2),=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩ηηηη (1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标； 『解题提示』由于题目是在4维向量空间4P 中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵；对于求ξ在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标变换法．解 1）由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故i η，1,2,3,4i =在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为iη本身，故123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA 即为由基1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵．又由于1234(,,,)x x x x =ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为111222133344412927331129231900182773926y x x y x x y x x y x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ， 即1123421234314412344111,93914123,27932712,3371126.279327y x x x x y x x x x y x x y x x x x ⎧=+--⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=--++⎩2）由于这一题目是在4维向量空间4P 中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法（3）可知，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为112341234(,,,)(,,,)-=A εεεεηηηη111112021212111131110021101111222----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令12341234(,,,),(,,,)==B C εεεεηηηη，则根据初等矩阵与初等变换的对应，可以构造2n n ⨯矩阵=()P B C ，对矩阵P 实施初等行变换，当把B 化成单位矩阵E 时，矩阵C 就化成了1-B C ：1111202121211113=1110021101111222---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P 10001001010011010010011101010⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭1()-=E B C 于是，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为11001110101110010-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A B C ． 另外，设1234,,,e e e e 为4P 的单位向量组成的自然基，那么12341234(,,,)(,,,)=e e e e B εεεε．于是1123412341100(1,0,0,0)(,,,)(,,,)0000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e B ξεεεε， 因此，ξ在1234,,,εεεε下的坐标为112134111111021210011100001110y y y y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ． 类似地，构造矩阵=()'P Bξ，并对其进行初等行变换，将B 化成单位矩阵E 时，矩阵'ξ就化成了1-'B ξ： 11111110003/132121001005/13=()1110000102/130111000013/13---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪'→→= ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P EB ξ，所以，(1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标为12343512133y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 『方法技巧』利用n 维向量空间中的向量构成矩阵，将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另一个矩阵（或向量）的乘积问题，注意在计算这样的矩阵乘法时，利用初等变换与初等矩阵的对应，构造一个新的矩阵，利用初等行变换就可求得．10．继第9题1），求一非零向量ξ，它在基1234,,,εεεε与1234,,,ηηηη下有相同的坐标． 解 根据上一题的讨论可知，由1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵为123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA ． 设所求向量为1234(,,,)x x x x '=ξ，由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，故根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为1-A ξ．因此，如果ξ在两组基下的坐标相同，那么1-=A ξξ．左右两边乘以A ，可得=A ξξ，即()-=0A E ξ，也就是说ξ是齐次线性方程组()-=0A E X 的解．利用消元法求得方程组的解为12341111x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 其中k 是任意常数．于是(,,,)k k k k '=ξ，k 是非零常数，即为所求向量．『特别提醒』利用坐标变换公式，将求向量问题转化成了求解线性方程组问题．12．设12,V V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊂，证明：如果1V 的维数与2V 的维数相等，那么12V V =．证明 设12dim dim V V r ==．那么①如果0r =，则1V 与2V 都是零空间，从而，12V V =．②如果0r >，任取1V 的一组基12,,,r ααα，由于21V V ⊂，且12,V V 的维数相等，故，根据基的定义，12,,,r ααα也是2V 的一组基，于是1122(,,,)r V L V == ααα．『方法技巧』这个题目的结论，在证明两个线性空间相等时经常使用． 14．设100010312⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求33P⨯中全体与A 可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基．『解题提示』可以待定所求矩阵的元素，利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组，即可求得．解 设111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X 是与A 交换的任意一个矩阵．首先将矩阵A 分解成100000010000001311⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A EB ．由于单位矩阵E 与任何矩阵都可交换，故X 与A 可交换当且仅当X 与B 可交换．事实上，由()=+=+=+AX E B X EX BX X BX ，()=+=+=+XA X E B XE XB X XB可知=AX XA 当且仅当=BX XB ．将=BX XB 按元素写出，即为131313232323333333112131122232132333300030003333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 从而132311213133122232330,33,3,x x x x x x x x x x ==⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 即132331331121323312220,33,3.x x x x x x x x x x ==⎧⎪=--⎨⎪=--⎩ 这是一个含有9个未知数的线性方程组，取1112212233,,,,x x x x x 为自由未知量，依次取值为5维单位向量，得线性方程组的一个基础解系为1100000300⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，2010000030⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，3000100100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，4000010010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，5000000311⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ．于是12345,,,,X X X X X 即为所求空间的一组基，且这个空间的维数为5．『方法技巧』本题中，利用单位矩阵的良好性质，将求与A 交换的矩阵的形式转化成一个与相对简单的矩阵B 可交换的形式，这能够给计算带来简便．19．设1V 与2V 分别是齐次方程组120n x x x +++= 与121n n x x x x -==== 的解空间，证明12n P V V =⊕．证法１ 由于齐次方程组120n x x x +++= 的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -= ααα．另外，齐次方程组12n x x x === 的一组基础解系为(1,1,,1)'= β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．又由于向量组121,,,,n - αααβ组成的n 级矩阵的行列式111111001(1)0010110011n n +---=-≠， 故121,,,,n - αααβ线性无关，从而121dim (,,,,)n L n -= αααβ，而121(,,,,)n n L P -⊂ αααβ，所以，根据习题12可知，121(,,,,)n n P L -= αααβ．于是，12121121(,,,)()(,,,,)n n n V V L L L P --+=+== αααβαααβ，且12dim dim dim n P V V =+，故12n P V V =⊕．证法2 由于齐次方程组120n x x x +++= 的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα， 即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -= ααα．另外，齐次方程组12n x x x === 的一组基础解系为(1,1,,1)'= β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．对于任意的12V V ∈ ξ，不妨设112211n n k k k l --=+++= ξαααβ，则112211n n k k k l --+++-=0 αααβ，按分量写开，即为1211210,0,0,0.n n k k k l k l k l k l -------=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 直接解得1210n k k k l -===== ，从而=0ξ．因此12{}V V =0 ．所以1212dim()dim dim V V V V n +=+=，而显然12n V V P +⊂，根据习题12可知，12n V V P +=，结合12{}V V =0 ，有12n P V V =⊕．证法3 设1212(,,,)n a a a V V =∈ ξ，即1V ∈ξ且2V ∈ξ，那么12120,.n n a a a a a a +++=⎧⎨===⎩ 直接解得120n a a a ==== ，即=0ξ．因此12{}V V =0 ．另外，对于任意的12(,,,)n n x x x P =∈ η，显然有1212(,,,)(,,,)(,,,)n n x x x x x x x x x x x x ==---+ η， 其中121()n x x x x n=+++ ，且121(,,,)n x x x x x x V ---∈ ，2(,,,)x x x V ∈ ．所以12n P V V =+． 结合12{}V V =0 ，有12n P V V =⊕．『方法技巧』证法3的证明更为直接和简便．20．证明：如果12V V V =⊕，11112V V V =⊕，那么21211V V V V ⊕⊕=．证法1 由题设知，11122V V V V =++．由于12V V V =⊕，故12dim dim dim V V V =+．又因为11112V V V =⊕，所以11112dim dim dim V V V =+．于是11122dim dim dim dim V V V V =++．因此21211V V V V ⊕⊕=．证法2 由题设知，11122V V V V =++．设11122=++0ααα，其中11112223,,V V V ∈∈∈ααα，那么，由11122()=++0ααα及12V V V =⊕，可得11122,+==00ααα．再由11112V V V =⊕可得1112==0αα，于是，零向量的表示法唯一，从而21211V V V V ⊕⊕=．。

第六章 线 性 空 间例6.1 设线性空间V 的两组基分别为12,,,n ααα；12,,,n βββ.(1) 证明：任给{}1,2,,i n ∈，则存在{}1,2,,i j n ∈使111,,,,,,i i j i n ββαββ-+为V 的一组基.(2) 若3n =，对于任意{}1,2,3i ∈，是否存在{},1,2,3,j k j k ∈≠，使,,i j k βαα为V 的一组基？说明理由.解 (1) 令()111,,,,,i i i n V L ββββ-+=，则dim 1i V n =-，因此12,,,n ααα中必存在向量不在i V 中，所以存在{}1,2,,i j n ∈使i j i V α∉，则111,,,,,,i i j i n ββαββ-+线性无关，构成V 的一组基.(2) 对于任意{}1,2,3i ∈，则存在{},1,2,3,j k j k ∈≠，使得,,i j k βαα为V 的一组基. 我们采用反证的方法说明：对于i β，假设123,,ααα中每两个向量与i β合并均不构成V 的一组基，则()12,i L βαα∈，()13,i L βαα∈，()23,i L βαα∈，那么()()(){}121323,,,0i L L L βαααααα∈=，所以0i β=，矛盾.例6.2 设V 是n 维线性空间，12,,W W W 均为V 的子空间，并且21W W ⊂，12W W W W =，21W W W W +=+.证明：21W W =.证 由题目假设，则必有21dim()dim()W W W W =,)dim()dim(12W W W W +=+；那么11dim()dim()W W W W ++22dim()dim()W W W W =++.由维数公式，则12dim()dim()dim()dim()W W W W +=+，因此)dim()dim(21W W =. 但21W W ⊂，则1W 的基也必然构成2W 的基，所以21W W =.例6.3 （s 个子空间的维数公式）设V 为线性空间，且12,,,s V V V 均是V 的有限维子空间. 证明：()11121dim dim dim ()s s si i i ik i i i k V V V V -====⎛⎫⎛⎫=-I ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑证 由维数公式，则有211212dim()dim()dim()dim()V V V V V V =+-+，()312312123dim ()dim()dim()dim()V V V V V V V V V +=++-++，22111111dim dim()dim dim s s s s k s k k k k k V V V V V -----===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 11111dim dim()dim dim s s s sk s k k k k k V V V V V --===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 将上述各式左右两边分别相加，即得()12111dim dim dim si s s i k i i i k i i V V V V -====⎛⎫⎛⎫⋂=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑, 所以)(I 式成立.例6.4 设12,,,s V V V 为线性空间V 的有限维子空间，证明：下述结论等价：1）{}111()0,1,2,,ii i s V V V V V i s -++++++=∀=；2）1212dim()dim dim dim s s V V V V V V +++=+++.证 1)2)⇒ 对s 作归纳. 2s =时，由维数公式得到121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-12dim dim V V =+.假设1s -时成立(3)s ≥. 下证s 时也成立.12dim()s V V V +++[]121121dim dim()dim ()s s s s V V V V V V V V --=++++-+++121dim dim(),s s V V V V -=++++而当1,2,,1i s =-时，均有1111()i i i s V V V V V -+-+++++111(){0}i i i s V V V V V -+⊆+++++=；那么由归纳假设，则可以得到1212dim()dim dim dim s s V V V V V V +++=+++.2)1)⇒当1,2,,1i s =-时，均有[]111dim ()ii i s V V V V V -++++++1111dim()dim()dim 0si i i s i i V V V V V V -+==++++++-≤∑所以111(){0}ii i s V V V V V -++++++=.例6.5 设V 为n 维线性空间，1V 为其非平凡子空间. 证明：存在不只一个V 的子空间W ，使W V V ⊕=1.证 设s ααα,,,21 为1V 的一组基)(n s <，由基扩充定理，则可将其扩充为V 的一组基s ααα,,,21 n s s ααα,,,,21 ++. 令1W ),,(1n s L αα +=，由于1V ),,(1s L αα =，那么11W V V ⊕=.由于1V ,1W 均为V 的非平凡子空间，则存在V ∈1β，使得11V ∉β，11W ∉β，那么121,,,,βαααs 线性无关（否则1β可由s ααα,,,21 线性表出，矛盾），将此组扩充成V的一组基s ααα,,,21 s n -βββ,,,,21 ，取2W ),,,(21s n L -=βββ ，则21W V V ⊕=，由于11W ∉β,21W ∈β，所以有21W W ≠.提示 仍利用基扩充定理,则121(,,,)(,,)s s n V L L ααααα+=⊕.易知向量组12111,,,,,,s s n ααααααα+++与向量组121,,,,,,s s n ααααα+等价，则向量组12111,,,,,,s s n ααααααα+++也线性无关，所以也有12111(,,,)(,,)s s n V L L ααααααα+=⊕++.但是111(,,)s s n L αααα+++∉.问题 设V 为n 维线性空间，1V 是V 的非零子空间，若存在唯一的子空间2V ，使得21V V V ⊕=，证明：V V =1.补1 1)证明:在[]n P x 中，多项式)())(()(111n i i i a x a x a x a x f ----=+- ,n i ,,2,1 =是一组基,其中n a a a ,,,21 是互不相同的数;2)在1)中, 取n a a a ,,,21 是全体n 次单位根, 求由基1,,,1-n x x 到基n f f f ,,,21 的的过渡矩阵.证 1)记)())(()(21n a x a x a x x F ---= ,则)()()(x f a x x F f i i i =-=.n x P x g ][)(∈∀,设0111)(b x b x b x g n n +++=-- ,记i i d a g =)(),2,1(n i =,则)()(')(')()()(11x f a F d a F a x x F d x g i iini i i i ni ∑∑===-=.设0)()()(2211=++x f k x f k x f k n n ,1a x =令代入,则0)()(112===a f a f n ,因此0)(111=a f k ,但0)(11≠a f ,则01=k ,同理02===n k k ,所以多项式组n f f f ,,,21 线性无关,则构成一组基.2)当n a a a ,,,121 =为全体n 次单位根时,1)(-=nx x F 则,由综合除法,则121111--++++=--=n n n x x x a x x f1221222221n n n n n x f a a x a x x x a -----==++++-12211----++++=--=n n n n n n n nn n x x a x a a a x x f则基1,,,1-n x x 到基n f f f ,,,21 的的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1111112222112 n n n n n nn a a a a a a . 说明 1)也可根据dim []n P x n =,且n f f f ,,,21 线性无关来证. 补2 设n ααα,,,21 是n 维线性空间V 的一组基，A 是一s n ⨯矩阵，且()()1212,,,,,,s n A βββααα=.证明：()12dim ,,,()s L R A βββ=证1 设()12,,,s A A A A =，即A 由s 个n 维列向量构成，记r A R =)(，不妨设部分组12,,,r A A A 为组12,,,s A A A 的一极大无关组，那么()()()11111,,,,,,,,,,n r n r s n s A A A βααβααβαα===.设011=++r r k k ββ ，即()()1111,,,,0n r n r k A k A αααα++=，则有()()111,,0n r r k A k A αα++=，但n ααα,,,21 为V 的一组基，则011=++r r A k A k ，因此01===r k k ，所以r βββ,,,21 线性无关.当1,,j r s =+时，可设1rj i i i A c A ==∑，那么()()()111111,,,,,,r rrj n j n i i i n i i i i i i A c A c A c βααααααβ=====∑=∑=∑，说明部分组r βββ,,,21 是s βββ,,,21 的一个极大线性无关组，因此r βββ,,,21 为生成空间()12,,,s L βββ一组基，所以()12dim ,,,()s L R A βββ=.证2 设r A R =)(，则存在n 阶可逆矩阵P 和s 阶可逆矩阵Q 使000r E A P Q ⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，那么()()12120,,,,,,()00rs n E P Q βββααα⎛⎫=⋅⋅I⎪⎝⎭令()()1212,,,,,,n n P δδδααα=，由于矩阵P 可逆，则12,,,n δδδ也是V 的一组基.由()I ，则()()()121210,,,,,,,,,0,,000rs n r E Q Q βββδδδδδ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，因此向量组12,,,s βββ与1,,r δδ等价，从而r βββ,,,21 的秩为r ，所以()12dim ,,,()s L R A βββ=.证3 任给V β∈，则可设1122n n x x x βααα=+++，记()12,,,n X x x x '=，则有()12,,,n X βααα=，建立映射:,()n V P X ϕϕβ→=，则ϕ是V 到nP 的同构映射. 记()12,,,s A A A A =，由题设，则(),1,2,,i i A i s ϕβ==，由于同构映射保持对应向量组的线性相关性，因此()()1212,,,,,,s s R R A A A βββ=，所以()12dim ,,,()s L R A βββ=.补3 设),,,(21n x x x f 为一实二次型,秩n f =)(,符号差s f =)(,记()1||2t n s =-.证明：存在nR 的一个t 维子空间1V ，使0)~,,~,~(,)~,,~,~(21121=∈∀n n x x x f V x x x .证 对于实二次型),,,(21n x x x f ，存在非退化线性替换CY X =，其中C 为实可逆矩阵，使得),,,(21n x x x f 222222111(1)(1)t t nt s t s y y y y y y δδ++++=+++-++----. 其中1δ=或1-.令t i Y i n i i ,,2,1,1 =+=+-εε,其中()0,,0,1,0,,0i ε'=（第i 分量为1的单位列向量），则t Y Y Y ,,,21 线性无关，令t i CY X i i ,,2,1, ==，那么组t X X X ,,,21 也线性无关. 取()112,,,t V L X X X '''=(行向量组所生成)，则t V =1dim .1V α∀∈，设1122t t k X k X k X α'=+++，则()1122t t C k Y k Y k Y α'=+++，但是()11221221,,,,0,,0,,,,t t t t k Y k Y k Y k k k k k k '+++=，所以有2222221221()0t t f k k k k k k α=+++----=.补4 设21,V V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：存在V ∈α使1V α∉，2V α∉同时成立.证 由于1V 为V 的非平凡子空间，则存在1V ∉α，若2V ∉α，则结论成立，可设2V ∈α；同理存在2V ∉β，且1V ∈β，那么必有21,V V ∉+∉+βαβα.其实,若1V ∈+βα,则1)()(V ∈-++ββα,即1V ∈α,矛盾;另一关系也同理可得.补5 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的s 个非平凡子空间. 证明：V 中至少有一向量不属于s V V V ,,,21 中任何一个.证 对s 作归纳.1=s 时,结论显然成立.假定k s =时成立.下证1+=k s 时也成立.设1+k 个非平凡子空间为121,,,,+k k V V V V ,对于k V V V ,,,21 ,由归纳假设,则存在V ∈α使得α不属于k V V V ,,,21 中任何一个.若1+∉k V α,则结论成立.下设1+∈k V α,由于1+k V 为V 的非平凡子空间，则存在1,+∉∈k V V ββ,考虑如下1+k 个向量:)()1(,,,2,I +++++ βαβαβαβαk k .若有某两个向量属于同一个i V )1(k i ≤≤,则必有m V m i (∈α为自然数),那么)1(k i V i ≤≤∈α,矛盾.所以)(I 中必有一个向量不属于k V V V ,,,21 中的任何一个.设向量βα+l 不属于k V V V ,,,21 中的任何一个.若1+∈+k V l βα, 则有1)(+∈-+=k V l l αβαβ,此与β的取法矛盾.所以121,,,,+∉+k k V V V V l βα.得证. 问题1 设12,,,s W W W 是向量空间n P 的s 个线性子空间，12s W W W W =. 证明：W 为nP 的线性子空间的充分必要条件是，存在(1)i i s ≤≤，使i W W =.证 充分性显然. 下证必要性. 对s 作归纳. 当1=s 时，结论显然成立. 假定1s -时成立，考察12s W W W W =. 如果s W W ≠，则存在\s W W β∈. 任给s W α∈，则必有\s k W W αβ+∈. 当1,2,,k s =时，s 个向量中必有两个向量属于同一个i W (11)i s ≤≤-. 此两个向量相减后可得i W α∈，因此11s s W W W -⊂，于是11s W W W -=. 利用归纳假设，则可得一个,11i i s ≤≤-使得i W W =. 结论成立.问题2 设dim V n =，证明：任给正整数m n ≥，V 中必有m 个向量12,,,m ααα使得其中任意n 个向量均构成V 的一组基.证 我们对正整数m 作归纳，当m n =时，结论显然成立. 假设()m k k n =≥时结论成立，即V 中存在向量组12,,,k ααα使得其中任意n 个向量均构成V 的一组基，则其中任意1n -个向量均线性无关，令其中每1n -个向量生成子空间记为()11,2,,n i k V i C -=，并记1n k C t -=. 由于子空间12,,,t V V V 均非平凡，由补充题5知，必存在()11,1,2,,k k i V V i t αα++∈∉=，那么121,,,,k k αααα+中每n 个向量均线性无关，可构成V 的一组基. 这说明1m k =+时结论也成立.。

第六章线性空间［教学目标］1理解集合与映射的概念和运算，掌握单射、满射和可逆映射的条件与判别。

2深刻理解线性空间的定义，掌握线性空间的性质。

3理解线性组合、向量组的等价、线性相关、线性无关、基、维数和坐标的定义，掌握线性相（无）关和基的性质，会求向量关于给定基的坐标。

4理解过渡矩阵的概念和性质，掌握向量在不同基下的坐标公式。

5理解子空间、生成子空间和线性方程组的解空间的概念，掌握子空间和生成子空间的性质。

6理解和子空间的和概念，掌握维数定理。

7了解直和的概念和充要条件。

8理解同构和同构映射的概念，掌握同构的充要条件。

［教学重难点］线性空间的定义，线性相（无）关和基的性质，过渡矩阵和向量关于给定基的坐标的求法，线性方程组的解空间，子空间的交、和与直和的概念。

［教学方法］讲授［教学时间］22学时。

［教学内容］集合与映射，线性空间的定义和简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构［考核目标］会判断一个集合是否为线性空间。

会求向量关于给定基的坐标和两组基的过渡距阵。

会判断和证明向量组线性相（无）关或是基。

教学过程：§1 集合·映射一集合的相关概念1、集合：若干个固定事物的全体，简称集。

一般用大写拉丁字母A,,表示。

把不包含任何元素的集合叫空集，记为BC∅。

2、元素：集合中的每一个事物，简称元。

一般用小写拉丁字母a,,表示。

bc二者关系：元素属于或不属于某个集合。

记为a∈A,a∉A.3、子集、真子集及其表示方法。

（集合与集合之间是包含或不包含的关系）,.⊂⊆A B A B4、集合相等：BA=等价于A与B互相包含。

5、交集{}B=∈A∈xxBAorx6、并集{}B∈=,A∈xAxxB7、性质A 的子集。

A 是A、B的子集，A与B是BB二映射1、定义：B A ,是两个集合，σ是A 到B 的对应法则，如果A a ∈∀，按照这个对应法则，在B 中存在唯一的元素B b ∈与之对应，我们称σ是A 到B 的映射，记为:A B σ→， b 叫a 在σ下的象，a 叫b 在σ下的一个原象。