2016年春季新版湘教版九年级数学下学期2.2、圆心角、圆周角课件19

P P B P O A B
O A
探究点二 圆周角定理
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通 过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，
他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁
分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和 ∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
E
D
C
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CD DE BC

BOC=COD=DOE=35
B
A
O
·
AOE 180 3 35


75

例3：如图，已知AB、CD为圆O的两条弦，
.求证:AB＝CD. AD BC
C B O D A
， 证明： AD BC = BC BD ， AD BD ， 即 AB CD AB=CD
O
.
顶点在圆上 两边都与圆相交

A
B
这样的角叫圆周角.
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圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的 角叫做圆周角. 下列各图中的∠APB是否是圆周角? 哪圆你 A P A 几心认 P A O 种的为 O o(p) 类位圆 B B B 型置周 A A A ？关角 O 系相 P B O O P B 有对 B
⌒
⌒
5.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦
⌒ ⌒ BE∥OA,求证：AC=AE.
C
A
O
E
B
课堂小结
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 相等．

形的外接圆。
D
C
O
A B
四边形中两组对角∠A与∠C,∠B与∠D有什
么关系？
D
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心 A
角的和是周角 O
∴∠A＋∠C＝180°
同理∠B＋∠D＝180°
B
C
圆的内接四边形的对角互补。
如图，四边形ABCD为⊙O圆的内接四边形∠BOD=100° 求∠BAD及∠BCD的度数。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∠A=_4_5_°__,
A
80
B
D E
C
A
100 D
O
B
C
通过本课的学习，你又有 什么收获？
1.直径（或半圆）所对的圆周角是直角; 2. 90°的圆周角所对的弦是直径． 3.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 4.圆内接四边形和四边形的外接圆。圆的内接四 边形的对角互补。
人生在勤，不索何获？ ——张衡
∴∠ACB=90° 又∠ABC=60°
OE
A
B
又∴∵∠∠CCADBB=与30∠°CDB都是⌒BC所对的圆周角 D
∴∠CDB=∠CAB=30°
1 、 如 图 (1) ， △ ABC 叫 ⊙ O内的接_____ 三 角 形 ， ⊙ O 叫 △A外B接C的 ____ 圆。
2、 如上图(1),若弧BC的度数为1000, 则∠BOC10=0__° 5,0∠°A= __
解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为B⌒D
∠BOD=100° ∴∠BAD=1 ∠BOD
A
=
1 2
1002°=50°
O
∵∠BCD+∠BAD=180°

②延长AO交⊙O于点C，连结CB，
B
求∠C的度数。 40°
动脑筋
圆心角的顶点发生变化时，我们得到几O
·O
·O 圆周角
B
C
B
C
B
C
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
A
特征：① 角的顶点在圆上。
② 角的两边都与圆相交。
·O
B
C
辩一辩
1.下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
这渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思 想方法。
问题1.如图，在⊙O中，∠B、∠D、∠E的 大小有什么关系？为什么?
∠B= 21∠AOC ∠D= 21∠AOC ∠E= 21∠AOC
∠B=∠D=∠E
D
B
E
·O
A
C
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等。
每位同学画一个圆，然 后任意画一个圆周角，以及 相应的圆心角（它所对的弧 也是圆周角所对的弧），量 出它们的度数，看它们之间 有什么关系？
∠BAC=
1 2
∠BOC
A O ·
C B
与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条弧所对的圆周角与 圆心角有什么关系。你能证明这个猜测吗？
情形一 圆周角的一边通过圆心
∠BAC=
A
B
⌒⌒
如图， 若 AC = BD
则 ∠ D=∠A
C
D
∴AB∥CD
例2
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，已知
∠AOB=50°，∠BOC=70°， 求∠ACB和∠BAC
度数。
解：∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB

证明：∵∠ABC和∠APC 都是A⌒C所对的圆周角。
∴∠ABC=∠APC=60°
A P
· O
C
(同弧所对的圆周角相等） B
同理，∵∴∠∠BBAACC和=∠∠CCPPBB=都60是°⌒。B所C 对的圆周角，
∴△ABC等边三角形。
做一做
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否 会遇到暗礁.如图所示,A,B表示灯塔,暗礁分布在经 过A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点 ∠ACB就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时,就有可能触礁.
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；用于找相等的
角 90°的圆周角所对的弦是直径。
用用于于判判断断某某个
圆条周线角是是否否过是 圆直心角
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：B⌒D=D⌒E
2
A
A
A
C
C
C●O●OFra bibliotek●OB
B B
n老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关
系?为什么?
∠B = ∠D= ∠E
问题2.如图2,在⊙O中,若弧AB等于弧EF.能否
得到∠C =∠G呢？ ∠C =∠G
D
B E
●O
A
C G
O
A
C
图1
(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于 “危险角”时,船位于哪个区域?为什 C 么(2)?当船与两个灯塔的夹角∠α小 于“危险角”时,船位于哪个区域? 为什么?

C
O
B
AC
D
问题1、如图，在⊙O中,∠B、∠D、∠E的
大小有什么关系?为什么? ∠B= 21∠AOC ∠D= 21∠AOC ∠E= 21∠AOC ∠B=∠D=∠E
B
A
·O
E C
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
反之，相等的圆周角所对的弧也相等。
问题2、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，
1、在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相 推论： 等；相等的圆周角所对的弧相等。
2、直径或半圆所对的圆周角是直角；90º的圆周 角的所对的弦是直径。
二、体现的数学思想：由特殊到一般和分类讨论的思想。
三、方法思考：1、证明题的思路寻找方法； 2、等积式的证明方法； 3、添辅助线的方法。
（2）AC = BC，∠CAB = ∠ABC = ∠D，
∠ACE =∠BCE =∠DAB （3）BC2 = AC2 = CE ·CD，AD2
=
DE
A
·DC
BE2 = AE2 = DE ·CE
O
EB D
一、知识点：
圆周角
顶点在圆上 两边都和圆相交
圆周角性 一条弧所对的圆周角，等于该弧所对的圆心角 质定理 的一半。
A
· B ∴AD=BD=√22AB=5√2cm
D
3.如图，你能设法确定一个圆形纸片的 圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
4、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求
∠A A
∠BAC=∠BDC
A ∠BOD=100
∠DAC=∠DBC ·O ∠A=∠BAC+∠DAC
·O ° ∠A=50°
B
D =∠BDC+∠DBC B

●O
●O
●O
B
B B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关
系?为什么?
∠B = ∠D= ∠E
问题2.如图2,在⊙O中,若弧AB等于弧EF.能否
得到∠C =∠G呢？ ∠C =∠G
D
B E
●O
A
C G
O
A
C
图1
F B
图2E
∠ α ＜ ∠C,这与∠ α ＞ ∠C矛盾.
所以: 船不可能在⊙O外.
P
C
E
因此,船只能位于⊙O内. (2)船位于暗礁区域外(即⊙O外).A
·o
B
随堂练习
1、为什么有些电影院的坐位排列(横排) 呈圆弧形?说一说这种设计的合理性?
2、如图,哪个角与∠BAC 相等?
D A
C
B
随堂练习
3.如图.⊙O的直径AB=10cm,C是⊙O上的一点. ∠ABC =30°.求AC的长.
讨论与思考
C
如图，CD是⊙O的直径，
O
弦AB⊥CD于E，那么你
能得到什么结论？
A
EB
结论：
D
（1）AE = BE，AC = BC，AD = BD
（2）AC = BC，∠CAB = ∠ABC = ∠D，
∠ACE =∠BCE =∠DAB
（3）BC2 = AC2 = CE ·CD，AD2 = DE ·DC
问题讨论
问题3、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗?
∠BAC =90º
问题4、如图3，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O

（1）仿第4题得证
（2）∆AOC≌∆BOD ∴∠AOC=∠DBO=60º
∴OC//BD
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。 3.圆心角的度数与它所对弧的度数相等。
练 习 巩 固： • 练习第1、2题 作 业 布 置： 习题2.2第1、2题
A
O·
∵CD平分∠ACB，∠ACD= ∠BCD
B
∴AD=BD=
√2 2
AB=5√2cm
D
3.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心
吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
4、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A.
A
∠BAC=∠BDC ∠DAC=∠DBC
∠A=∠BAC+∠DAC =∠BDC+∠DBC =20°+30°=50°
1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形的对
角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
∠2=∠7 ∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
D A 1 87
2
2、如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD
·
3 4
6
5C
B
的长．
C
∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90° 在Rt△ABC中，由勾股定理BC=8cm
2、等积式的证明方法；
3、添辅助线的方法。
A O· B
等边三角形，∠DCB=120º
5、如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，
BE是⊙O的一条弦，点C是AE的中点，

A
C
B
D
E
思考：图中的∠ABC的顶点各在圆的什么 位置？∠ABC的两边和圆是什么关系？
A●
●O
●C
A
C
B●
B
D
E
观察图中的∠ABC ,它的顶点在圆上,它的两边分 别与圆另有一个交点.像这样的角,叫做圆周角.
注意：⑴顶点在圆上
⑵角的两边分别和圆相交
做一做
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
B
∵OA=OB
∴ ∠ABO = ∠BAO
∴ ∠AOC =2 ∠ABO
即ABC=1 AOC 2
你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
试一试
②当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
n提示:能否转化为①的情况? 过点B作直径BD.由①可得:
做一做
A
· 100°
C
B
(1) 求∠A
C O· 20° A A
B (2) 求∠AOB
90°
· O
B
(3) 求∠AOB
O
A
·
B AB为直径,求
∠ACB
C (4)
做一做
2、如图 .已知圆心角∠AOB的 度数为100°.求圆周角∠ACB的 度数.
O
A B
C
猜一猜
做一做
驶向胜利 的彼岸
3.如图(1),在⊙O中,∠BAC=50°,求∠C的大小.
BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC=2_12__∠BOC
证明：∠ACB= 12∠AOB ∠BAC= 21∠BOC ∠AOB=2∠BOC

B
∵OA=OB
∴ ∠ABO = ∠BAO
∴ ∠AOC =2 ∠ABO
即ABC= 1 AOC 2
你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
试一试
②当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为①的情况? 过点B作直径BD.由①可得:
图１ 不是
图２ 不是 图３
是
不是
图４
不是
图５
在下图中,当球员在B,D,E处射门时，它所处的 位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC.∠ADC. ∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
在同圆或等圆中，相等
的弧所对的圆心角相等.
那么在同圆或等圆中，
A
相等的弧所对的圆周角
C
有什么关系?
B
D
E
类比圆心角探知圆周角
A C
F
●O
E
B
忆一忆
1.圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角.
O.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 B
C
两条弧、两条弦中有一组量相等，
那么它置发生改变，可能出现哪些情形？
·
·
·
·
·
在射门游戏中,球员射中球门的难易与它所处 的位置B对球门AC的张角（ ∠ABC ）有关.
A
D
B E
●O
●O
B
D
A
C
(1) C
(2)
4.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系? 为什么?
随堂练习
1.举出生活中含有圆周角的例子.
2.如图.在⊙O中.∠BOC=50°，求∠BAC 的大小.

列结论中错误的个数为（ D ）
① ABCD；②AB=CD；③△AOB≌△COD． A．0 B．1 C．2 D．3
精品
巩固提升
5、在⊙O中，已知 AB 2CD ，则下列结论正确的是
（ B） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD
D
A a
D．不能确定AB与2CD的大小关
精品
巩固提升
6、如图，在⊙O中， AB AC ，∠ACB=60°，
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它A们所对
的弧_相__等__，所对的弦也__相__等___．
在同圆或等圆中，如果_两___个__圆__心__角__，a__两__条__弧__，
__两___条__弦___中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组都分别相等．
OA与OC重合，OB与OD重合．而同圆的半A径相等，
OA=OC，OB=OD，从而点A与C重合，B与D重合．
a
因此，AB 与CD 重合，AB与CD重合．
所以 AB CD，AB=CD．
精品
新知讲解
在同一圆中∠AOB=∠COD，
由旋转不变性得：AB=CD，AB CD．
D
∠AOB=∠COD
AB=CD
AB CD
求圆心角∠AOB的度数． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC．
D
A
∴∠AOB=∠COB=∠AOC．
a
又∵∠AOB+∠COB+∠AOC=360°，
∴∠AOB= 1（∠AOB+∠COB+∠AOC）
3
=
1 3
×360°=120°．
精品
巩固提升
1、下面四个图中的角，为圆心角的是（ D ）