湘教版九年级数学下册第1章二次函数课件
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湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 不共线三点确定二次函数的表达式
一般式法求二次函数的表达式
探究归纳 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个
待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表
格的一部分，要求这个二次函数的表达式.
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
A．8
B．14
C．8或14
D．-8 或 -14
7. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c ＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是 x＝－3，∴ b ＝－3，
数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k， 把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1， 再把点(1，-8) 代入上式得 a(1+2)2 + 1 = -8，解得 a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 2)2 +1 或 y = -x2 - 4x -3.
再把点( 0，-3)代入上式得 所以 a( 0 + 3 )( 0 + 1 ) = -3， 解得 a = -1， 所以所求的二次函数的表达式是 y = -( x + 3)( x +1 )，即 y = -x2 - 4x -3.
归纳总结 交点法求二次函数解析式的方法 这种已知抛物线 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是：
湘教版九年级数学下册课件：1.1二次函数(共16张PPT)
Page 9
【例2】若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是 a ≠ -2 ________. 【解析】本题考查了二次函数的一般形式，y=ax2+bx+c(a，b，c 为 常数，a ≠ 0).所以若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，只要a+2≠0即可， 即a ≠ -2.故答案是 a≠价为6000元.现降价销售， 若每年的平均降价率为x，怎么用x来表示该型号电脑现在的售 价y(元)？
Page
5
笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的（1-x）倍， 于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下关系： y=6000(1-x)2，0＜x＜1， 即 y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
S=x2 二次函数
（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；
C=2 πr
S=π r 2
一次函数
二次函数
（3）圆的面积S关于它的半径r的函数； （4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长 度y关于另一条对角线的长度x的函数.
1 S xy 2 2S y x
Page 15
反比例函数
我思
我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
Page 12
练习
1、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
1 ( 2) y 2 x
(3) y 3x 1
(4) y x 2x 1
2
答案：（1）（4）
2
(5) y ( x 5) x
2
2
(6) y 3x 2 x
3
(8) y x x
【例2】若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是 a ≠ -2 ________. 【解析】本题考查了二次函数的一般形式，y=ax2+bx+c(a，b，c 为 常数，a ≠ 0).所以若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，只要a+2≠0即可， 即a ≠ -2.故答案是 a≠价为6000元.现降价销售， 若每年的平均降价率为x，怎么用x来表示该型号电脑现在的售 价y(元)？
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5
笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的（1-x）倍， 于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下关系： y=6000(1-x)2，0＜x＜1， 即 y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
S=x2 二次函数
（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；
C=2 πr
S=π r 2
一次函数
二次函数
（3）圆的面积S关于它的半径r的函数； （4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长 度y关于另一条对角线的长度x的函数.
1 S xy 2 2S y x
Page 15
反比例函数
我思
我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
Page 12
练习
1、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
1 ( 2) y 2 x
(3) y 3x 1
(4) y x 2x 1
2
答案：（1）（4）
2
(5) y ( x 5) x
2
2
(6) y 3x 2 x
3
(8) y x x
湘教版九下数学课件(图片版)：第1章二次函数
综合练习 二次函数图象与性质的运用........................................................................................115
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式..................................................................................134 专题一 求二次函数表达式的三种方法及求二次函数对称轴的技巧...........................152
1.4 二次函数与一元二次方程的联系......................................................................................173 1.5 二次函数的应用
第1课时 建立二次函数模型解决抛物线型问题......................................................................194 第2课时 二次函数与最大面积问题..........................................................................................214 第3课时 二次函数与最大利润问题..........................................................................................233
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
1.1 二次函数..........................................................................................................................................2 1.2 二次函数的＞0)的图象与性质.................................................................................22 第2课时 二次函数y=ax²(a＜0)的图象与性质................................................................................41 第3课时 二次函数y=a(x-h)² (a≠0)的图象与性质...........................................................................61 第4课时 二次函数y=a(x-h)²+k (a≠0)的图象与性质......................................................................78 第5课时 二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图象与性质.......................................................................96
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式..................................................................................134 专题一 求二次函数表达式的三种方法及求二次函数对称轴的技巧...........................152
1.4 二次函数与一元二次方程的联系......................................................................................173 1.5 二次函数的应用
第1课时 建立二次函数模型解决抛物线型问题......................................................................194 第2课时 二次函数与最大面积问题..........................................................................................214 第3课时 二次函数与最大利润问题..........................................................................................233
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
1.1 二次函数..........................................................................................................................................2 1.2 二次函数的＞0)的图象与性质.................................................................................22 第2课时 二次函数y=ax²(a＜0)的图象与性质................................................................................41 第3课时 二次函数y=a(x-h)² (a≠0)的图象与性质...........................................................................61 第4课时 二次函数y=a(x-h)²+k (a≠0)的图象与性质......................................................................78 第5课时 二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图象与性质.......................................................................96
新湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的图象与性质》精品课件
2 一般地，二次函数y=ax 的图象关于y轴对称.
抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点.
练习
2 1.画出二次函数y=-10x 的图象并填空： （1）抛物线的对称轴是 （2）抛物线的开口向 y轴 ，顶点是 ； ； 原点O(0，0)
下
（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大 而 ；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值 增大 的增大而 . 减小
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
例2
画二次函数
的图象 . 1 x2 y=-Biblioteka 4解列表：
x
y = - 1 x2 4
0 0
1
2 -1
3
4 -4
-1 4
-9 4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.
利用对称性画出y轴左边的部分.
这样我们得到了
的图象 . x2 y = -1
4
说一说
的图象，能不能从它 y = 1 x2
2
y = - 1 x2 2
的图象呢？
在
1 x2 y =的图象上任取一点 2
，它关于 P a ，如下图所示：
x轴的对称点Q的坐标是
1 2 , a 2
a ,- 1 a 2 2
y = 1 x2 2
Q
从点Q的坐标看出，点Q在
′ B
B
′ A
A
′ B
B
2 可以证明y= x 的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分， 函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.
连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点 和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性， 画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点 用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了 的图象. 如上图所示.
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数性质》精品课件.ppt
A．直线 y＝x 上 B．直线 y＝－x 上 C．x 轴上 D．y 轴上
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 14．抛物线 y＝2(x－2)2－6 的顶点为 C，已知 y＝ －kx＋3 的图象经过点 C，这个一次函数图象与两坐标 轴所围成的三角形的面积为__1__．
15．如图，小华在某次投篮中，球的运动路线是 抛物线 y＝－15x2＋3.5 的一部分．若命中篮圈中心，则 他与篮底的距离是__4__m.
函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质
1．(4 分)抛物线 y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是( A ) A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1) 2．(4 分)抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴是( C ) A．直线 x＝12 B．直线 x＝－12 C．y 轴 D．直线 x＝2
解：(1)抛物线开口向上，对称轴是 x＝3，顶点坐 标是(3，－8) (2)当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小 (3)当 x＝3 时，y 有 最小值，最小值是－8 (4)该函数图象可由 y＝2x2 的 图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 8 个单位得到
三、解答题(共 30 分) 16．(10 分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－ 1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式． 解：y＝(x－1)2－1
17．(10 分)(2015·衡阳)如图，顶点 M 在 y 轴上的 抛物线与直线 y＝x＋1 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连接 AM，BM.
(1)求抛物线的函数关系式； (2)判断△ ABM 的形状，并说明理由．
解：(1)y＝x2－1 (2)△ABM 为直角三角形
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 14．抛物线 y＝2(x－2)2－6 的顶点为 C，已知 y＝ －kx＋3 的图象经过点 C，这个一次函数图象与两坐标 轴所围成的三角形的面积为__1__．
15．如图，小华在某次投篮中，球的运动路线是 抛物线 y＝－15x2＋3.5 的一部分．若命中篮圈中心，则 他与篮底的距离是__4__m.
函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质
1．(4 分)抛物线 y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是( A ) A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1) 2．(4 分)抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴是( C ) A．直线 x＝12 B．直线 x＝－12 C．y 轴 D．直线 x＝2
解：(1)抛物线开口向上，对称轴是 x＝3，顶点坐 标是(3，－8) (2)当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小 (3)当 x＝3 时，y 有 最小值，最小值是－8 (4)该函数图象可由 y＝2x2 的 图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 8 个单位得到
三、解答题(共 30 分) 16．(10 分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－ 1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式． 解：y＝(x－1)2－1
17．(10 分)(2015·衡阳)如图，顶点 M 在 y 轴上的 抛物线与直线 y＝x＋1 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连接 AM，BM.
(1)求抛物线的函数关系式； (2)判断△ ABM 的形状，并说明理由．
解：(1)y＝x2－1 (2)△ABM 为直角三角形
湘教版九年级数学下册.1二次函数的图象和性质课件
对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_；
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____增__大______，简称为右___升__;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____减__小______，简称为左____降___;
4.当x=____0_时，函数值最___小____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛
二次函数
y x2
y=x2的图象
形如物体抛
射时所经过
的路线,我们 这条抛物线关于
把它叫做抛 y轴对称,y轴就
物线
是它的对称轴.
.
典例解析：
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列 表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
0
1
2
3 ...
y 1 x2 2
我猜想都有这一性质．
可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于
y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____增__大______，简称为右___升__;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____减__小______，简称为左____降___;
4.当x=____0_时，函数值最___小____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛
二次函数
y x2
y=x2的图象
形如物体抛
射时所经过
的路线,我们 这条抛物线关于
把它叫做抛 y轴对称,y轴就
物线
是它的对称轴.
.
典例解析：
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列 表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
0
1
2
3 ...
y 1 x2 2
我猜想都有这一性质．
可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于
y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取
湘教版九年级数学下册二次函数的图象与性质课件
得到的？（
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
湘教版数学九年级下册1.1二次函数课件
①y＝1－2x2
1
1
②y＝ (x－2)(x＋3)－ x2
2
2
③y＝(a2＋1)x2＋bx
1 1
④y＝ 2＋ －1
x x
2
⑤y＝ x －2x－3
⑥y＝( x2)＋2 x－1
解：
①③是二次函数，
其余都不是二次函数．
【归纳总结】
“一化三注意”判定二次函数：
一化
化简函数
注意表达式
是整式
注意自变量的
最高次数式2
其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，
c为常数项.
二次函数的一般情势:
y＝ax 2 ＋bx＋c (其中a 、 b 、 c是常数,a≠0)
二次函数的特殊情势：
当b＝0时， y＝ax 2 ＋c
当c＝0时， y＝ax 2 ＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax 2
例题讲授
例1 下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？
x
获取新知
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙
围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，
设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形
植物园的面积S（m2）与x之间函数关系式.
= (100 − 2), 0 < < 50
即 = −2 2 + 100, 0 < < 50
______．
5．如图，用一段长为30 m的篱笆围一个一边靠墙(墙的
长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边的长为x m.
(1)求菜园的面积y(m2)与x(m)之间的函数表达式；
(2)求(1)中自变量x的取值范围．
解：
(1)∵AB边的长为x m，菜园ABCD是矩形菜园，
1
1
②y＝ (x－2)(x＋3)－ x2
2
2
③y＝(a2＋1)x2＋bx
1 1
④y＝ 2＋ －1
x x
2
⑤y＝ x －2x－3
⑥y＝( x2)＋2 x－1
解：
①③是二次函数，
其余都不是二次函数．
【归纳总结】
“一化三注意”判定二次函数：
一化
化简函数
注意表达式
是整式
注意自变量的
最高次数式2
其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，
c为常数项.
二次函数的一般情势:
y＝ax 2 ＋bx＋c (其中a 、 b 、 c是常数,a≠0)
二次函数的特殊情势：
当b＝0时， y＝ax 2 ＋c
当c＝0时， y＝ax 2 ＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax 2
例题讲授
例1 下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？
x
获取新知
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙
围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，
设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形
植物园的面积S（m2）与x之间函数关系式.
= (100 − 2), 0 < < 50
即 = −2 2 + 100, 0 < < 50
______．
5．如图，用一段长为30 m的篱笆围一个一边靠墙(墙的
长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边的长为x m.
(1)求菜园的面积y(m2)与x(m)之间的函数表达式；
(2)求(1)中自变量x的取值范围．
解：
(1)∵AB边的长为x m，菜园ABCD是矩形菜园，
湘教版九年级下册数学精品课件 第1章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取 0 和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
Ox
3. 若抛物线 y = ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则 a 的值是 2 ； （2）对称轴是 y 轴 ，开口 向上 . （3）与对称轴的交点是（0，0），该点是图象
上的最 小 值 . （4）若 A（x1，y1)，B(x2，y2) 在这条抛物线上，且
x1 < x2 <0，则 y1 > y2.
且 A 点的横坐标是 3，
∴点 A 的纵坐标 y = 2×3+3=9，∴点 A 的坐标为
(3，9)，将点 A 的坐标代入 y = ax2 得：a = 1.
∴抛物线的解析式为 y = x2.
y 2x 3
y
x2
解得：xy
3或
9
x
y
1 1
∴点 B 的坐标为 (-1，1)．
二次函数y=ax2 的图象及性质
问题1：观察图象，点 A 和点 A' ，点 B 和点 B' ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图还可看出，y 轴右边描出的各点，当横坐标
增大时，纵坐标怎样变化？
y
y = x2 的图象关于 y 轴对
A9
A'
称，y轴就是它的对称.
B6
B'
图象在 y 轴右边的部分，函数
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
Ox
3. 若抛物线 y = ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则 a 的值是 2 ； （2）对称轴是 y 轴 ，开口 向上 . （3）与对称轴的交点是（0，0），该点是图象
上的最 小 值 . （4）若 A（x1，y1)，B(x2，y2) 在这条抛物线上，且
x1 < x2 <0，则 y1 > y2.
且 A 点的横坐标是 3，
∴点 A 的纵坐标 y = 2×3+3=9，∴点 A 的坐标为
(3，9)，将点 A 的坐标代入 y = ax2 得：a = 1.
∴抛物线的解析式为 y = x2.
y 2x 3
y
x2
解得：xy
3或
9
x
y
1 1
∴点 B 的坐标为 (-1，1)．
二次函数y=ax2 的图象及性质
问题1：观察图象，点 A 和点 A' ，点 B 和点 B' ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图还可看出，y 轴右边描出的各点，当横坐标
增大时，纵坐标怎样变化？
y
y = x2 的图象关于 y 轴对
A9
A'
称，y轴就是它的对称.
B6
B'
图象在 y 轴右边的部分，函数
《二次函数》湘教版九年级下册课件
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
知识拓展：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
已知二次函数y=ax2+bx。当x=-1时， y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值
解：把x=-1，y=7； x=2，y=10代入
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关键 是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是 ：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
二次函数的概念：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做x的二次函数
观察下列函数有什么共同点:
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都
是二一次。般地,形如 y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)
知识运用
温馨提示：需要细心 考虑哦！
例4:m取何值时，y= (m2-1)xm(m-1）
是二次函数？
解:因为函数y= (m2-1)xm(m-1) 是二次函数
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1
但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0 综上所述,m=2
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
知识拓展：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
已知二次函数y=ax2+bx。当x=-1时， y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值
解：把x=-1，y=7； x=2，y=10代入
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关键 是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是 ：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
二次函数的概念：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做x的二次函数
观察下列函数有什么共同点:
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都
是二一次。般地,形如 y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)
知识运用
温馨提示：需要细心 考虑哦！
例4:m取何值时，y= (m2-1)xm(m-1）
是二次函数？
解:因为函数y= (m2-1)xm(m-1) 是二次函数
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1
但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0 综上所述,m=2
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求m的值.
解：依题意得 m 1 0 且 m2 m 2 ，解得m 2 .
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的
函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S
(k≠0)
首页
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？
合作探究
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆 墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为
100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m）， 求矩形植物园的面积S（ m2 ）与x之间函数关系式.
s x(100 2x),0 x 50
首页
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函 数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状 呢?
首页
合作探究
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
描点法
（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为 任意值.
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.
5.函数 y=（m-2）x2+mx-3 （m 为常数）． （1）当 m __≠_2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
课堂小结
1.本堂课学习了二次函数的概念; 2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变 量与函数值的对应关系.
观察上面所列的函数表达式有什么共同点？它 们与一次函数的表达式有什么不同？
s 2x2 100x,0 x 50
y 6000x2 12000x 6000,0 x 1
经化简后都具有y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的 形式
结论
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数， a≠0)的函数叫做二次函数
与一对角线长x之间的函数关系．
解：(1)
S
6a2 ;(2) y
x2
4
;
(3) y 13x 338 .
随堂训练
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x2
(2)
y
1 x2
(3) y x(1 x)
(4) y (x 1)2 x2
先化简后判断
首页
2.做一做: （1）正方形边长为x（厘米），它的面积y（平方 厘米）是多少？
合作探究
1.在探究一的坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2 的 2
图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
y x2
8 6
4 2
－4 －2
y 2x2
归纳：
相同点：开口都向上，顶
点是原点而且是抛物线的 y 1 x2 最低点，对称轴是 y 轴
2 不同点：a 要越大，抛
24
物线的开口越小．
本章内容 第1章
二次函数
1.1 二次函数 1.2 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质 1.2 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质 1.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 1.2 第4课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 1.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 1.5抛物线形二次函数
一、列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
首页
二、描点
三、连线
y
y=x2
10
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 y x2
们把它叫做抛物线.
关于y轴对称
对称轴与抛物线的交点
课堂小结
y x2
8
y 2x2
6
第1章 二次
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2
ax +bx+c=0(a ≠0)
2.我们学习过哪些函数？它们的一般解析式 怎么表示？
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
称：a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.
例2：如图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm,在 木板4个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积 S（cm）与x之间的函数表达式.
例题学习 例1:关于x的函数 y (m 1)xm2m是二次函数,
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的表达式．
3.函数的 y ax2 bx c（a，b，c均为常数），
当a，b，c满足什么条件时？
(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
4.请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
说一说，生活中见到的一些抛物线.
首页
合作探究 y x2
二次函数y=x2的图象与性质
1.图象开口向 上 ． 2.图象关于 y轴 对称，顶点（0，0）. 3.增减性：当x＜0时，y随x的增大而 减小 ，
当x＞0时，y随x的增大而增大 ，简称为左降右升 . 4.最值：函数有最 小 值，最 小 值等于 0 .
即 s 2x2 100x,0 x 50
首页
合作探究
问题2：某型号的电脑两年前的销售为6000元，现
降价销售，若每年的平均降价率为x，求现在售价 为y（元）与平均降价率x之间的函数关系.
y 60001 x2 ,0 x 1
即 y 6000x2 12000x 6000,0 x 1
说一说
叫做抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而 减小.
当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而 增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
解：依题意得 m 1 0 且 m2 m 2 ，解得m 2 .
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的
函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S
(k≠0)
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观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？
合作探究
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆 墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为
100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m）， 求矩形植物园的面积S（ m2 ）与x之间函数关系式.
s x(100 2x),0 x 50
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1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
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情景引入
请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函 数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状 呢?
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合作探究
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
描点法
（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为 任意值.
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.
5.函数 y=（m-2）x2+mx-3 （m 为常数）． （1）当 m __≠_2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
课堂小结
1.本堂课学习了二次函数的概念; 2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变 量与函数值的对应关系.
观察上面所列的函数表达式有什么共同点？它 们与一次函数的表达式有什么不同？
s 2x2 100x,0 x 50
y 6000x2 12000x 6000,0 x 1
经化简后都具有y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的 形式
结论
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数， a≠0)的函数叫做二次函数
与一对角线长x之间的函数关系．
解：(1)
S
6a2 ;(2) y
x2
4
;
(3) y 13x 338 .
随堂训练
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x2
(2)
y
1 x2
(3) y x(1 x)
(4) y (x 1)2 x2
先化简后判断
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2.做一做: （1）正方形边长为x（厘米），它的面积y（平方 厘米）是多少？
合作探究
1.在探究一的坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2 的 2
图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
y x2
8 6
4 2
－4 －2
y 2x2
归纳：
相同点：开口都向上，顶
点是原点而且是抛物线的 y 1 x2 最低点，对称轴是 y 轴
2 不同点：a 要越大，抛
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物线的开口越小．
本章内容 第1章
二次函数
1.1 二次函数 1.2 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质 1.2 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质 1.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 1.2 第4课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 1.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 1.5抛物线形二次函数
一、列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
首页
二、描点
三、连线
y
y=x2
10
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 y x2
们把它叫做抛物线.
关于y轴对称
对称轴与抛物线的交点
课堂小结
y x2
8
y 2x2
6
第1章 二次
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2
ax +bx+c=0(a ≠0)
2.我们学习过哪些函数？它们的一般解析式 怎么表示？
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
称：a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.
例2：如图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm,在 木板4个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积 S（cm）与x之间的函数表达式.
例题学习 例1:关于x的函数 y (m 1)xm2m是二次函数,
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的表达式．
3.函数的 y ax2 bx c（a，b，c均为常数），
当a，b，c满足什么条件时？
(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
4.请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
说一说，生活中见到的一些抛物线.
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合作探究 y x2
二次函数y=x2的图象与性质
1.图象开口向 上 ． 2.图象关于 y轴 对称，顶点（0，0）. 3.增减性：当x＜0时，y随x的增大而 减小 ，
当x＞0时，y随x的增大而增大 ，简称为左降右升 . 4.最值：函数有最 小 值，最 小 值等于 0 .
即 s 2x2 100x,0 x 50
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合作探究
问题2：某型号的电脑两年前的销售为6000元，现
降价销售，若每年的平均降价率为x，求现在售价 为y（元）与平均降价率x之间的函数关系.
y 60001 x2 ,0 x 1
即 y 6000x2 12000x 6000,0 x 1
说一说
叫做抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而 减小.
当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而 增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.