北邮研究生泛函分析 - 加强版 - 最终稿--2016修改

《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。

以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。

距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。

（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。

赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。

（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。

北邮考研详解与指导名词解释1.编码/解码2.SNS3.沉默的螺旋4.创新扩散5,博客人二。

1.依附理论2.斯蒂分金的游戏论（名字我忘了大体是这么个读法。

好吧，很明显这个题楼主没有看哦）3.非语言符号有什么功能?4.传播学史上主要的三个媒介理论的相互借鉴和异同。

三。

1.施拉姆认识媒介的八个原则，以及他对传播学的贡献。

2.三网融合将会使未来的传播进程和传播格局产生什么样的变化这几天,有很多的考生朋友向笔者咨询关于复试的事,或电话,或邮件,一一答复实在困难,也比较麻烦,于是乎想到利用一段闲暇的时间写下这些文字,如果你有耐心把它看完,那么恭喜你,你已经把很多对手抛弃在后面。

不久全国硕士生招生自划线高校将公布分数线的同时也公布了各自的复试工作办法,国家线也将于近日出炉。

已经上线的朋友应该及时地浏览、查阅招生单位的相关复试文件,及早做好参加复试的准备工作。

自06年教育部就要求复试成绩占总成绩的30%至50%以来,很多自主划线高校积极响应,部分自主划线高校07年的实际复试成绩已经占到了50%。

可想而知,复试的比重只会只升不降,今年更是如此。

复试之所以重要,原因之一是在研究生数量不断增加的今天,教育部和招生高校已经开始往培质量一边添加砝码,使之平衡。

另一方面是招生单位能够在复试更加直观、有效地考查考生综合素质和专业发展潜质,这样更有利于筛选优秀的学生,淘汰那些在初试中考得好但并具有培养潜能的人。

很多朋友认为自己的初试成绩不错,可以松一口气,这是致命的想法,往年很多在初试中取得高分的朋友在复试中也被淘汰出局,在复试结束之前,一切皆有可能。

因此,初试考得好的朋友应该保持清醒的头脑,切不要因为取得高分而沾沾自喜,防止复试中的“黑马”,初试考得不好的朋友更应该利用这段时间,把专业知识再温习一遍,亡羊补牢,为时尚不晚。

虽然今年国家线还没有出来,但根据前几年的分数线判断,今年的分数线的仍然不会出现大幅度的升降,最多也就是3到5分之间波动。

北京邮电大学2016考研复试参考书目
北京邮电大学2016年硕士研究生入学考试复试笔试内容
院系：001信息与通信工程学院
院系：002电子工程学院
院系：004自动化学院
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服
务！
院系：005软件学院
第3页共8 页
院系：006数字媒体与艺术设计学院
院系：007理学院
院系：008经济管理学院
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服
务！
院系：009公共管理学院
第5页共8 页
院系：011教育技术研究所
院系：012马克思主义学院
院系：013网络技术研究院
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！
第7页共8 页
院系：014信息光子学与光通信研究院
(责任编辑：田学江)
一分耕耘一分收获。

加油！。

1泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

泛函分析,泛函分析简介泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。

它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。

它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

1概述泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。

泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。

使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。

2拓扑线性空间由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。

而函数空间一般是无穷维线性空间。

所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。

拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。

巴拿赫空间这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。

比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。

或者对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。

(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。

对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。

微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。

北邮考研详解与指导院系：001信息与通信工程学院专业代码、名称笔试时间专业课笔试内容专业课笔试相关参考书目备注081000信息与通信工程085208电子与通信工程110503军事通信学60分钟《数字电路与逻辑设计》《数字电路与逻辑设计》（第2版），刘培植等编著，2013年出版，北京邮电大学出版社。

一份试卷四门考题，考生选三门作答。

《C 语言程序设计》《C 语言程序设计》（第3版），谭浩强编著，清华大学出版社。

《计算机网络》《计算机网络》（第五版），谢希仁编著，2008年出版，电子工业出版社。

《概率论与数理统计》《概率论与数理统计》（第4版），盛聚编著，高等教育出版社。

1.充分备考2月中上旬2015年全国硕士研究生考试成绩公布后，34所自划线研究生招生单位也将在3月陆续公布复试分数线，3月底，全国各研招单位复试工作陆续进行。

因此你要在这段时间经常浏览招生单位网站，及时获取复试信息,尽可能多地了解复试内容和形式，并尽早做好相应准备。

听力方面可以找历年四、六级或考研真题，在给定的时间内回答所有题目，同时训练自己的语感。

在口语考试方面，可针对下面几个问题做准备(一般都会涉及这几个方面）：一是自我介绍,如来自什么地方、毕业学校、所学专业、业余喜好、家庭基本情况等信息;二是做好用英语讲解自己专业的准备。

口语测试时老师有可能就你所报的专业展开话题,考查用英语讲解陌生概念的能力，因此可先用笔头组织回答这些问题的要点，然后再根据这些要点来组织语言。

平时在阅读专业文献时，注意多积累一些专业方面的英语词汇。

2.信息灵通在复试的前期准备中，信息是最重要的。

这些信息除了复试的时间、地点、考官等基本常识外，还包括复试的范围、内容及考查方式等。

具体搜集信息的方法有以下几种：首先，要及时向报考学校的招生办咨询复试的形式及时间，经常浏览所报考学校的网站。

其次，关于复试的范围和内容可以向上届师兄师姐询问，他们亲历过复试，所以由他们提供的信息也最为可靠。

1§3 列紧集设),(ρX 是一个距离空间，A 是X 的一个子集，A 称为是有界的，如果X x ∈∃0及0r >，使得0(,)A B x r ⊂，其中00(,){|(,)}B x r x X x x r ρ∈< 。

在有穷维欧氏空间中，有界无穷集必含有一个收敛子列，但这个性质不能推广到任意的距离空间。

例 在[0,1]C 上，考察点列10,,()(1,2,)11,,n t nx t n nt t n ⎧≥⎪⎪==⎨⎪−≤⎪⎩…。

显然)1,(}{θB x n ⊂(因为[]1,0,1∈∀≤t x n )，其中θ表示恒等于0的函数，但是{}n x 不含有收敛子列。

事实上，若{}n x 有收敛子列{()}i n x t ，则{()}i n x t 收敛0,(0,1],()1,0,t x t t ∈⎧=⎨=⎩但()[0,1]x t C ∉,故)}({t x n 在[0,1]C 中无收敛子列。

定义 1.3.1 设),(ρX 是一个距离空间，A 为其一子集，称A 是列紧的，如果A 中的任意点列在X 中有一个收敛子列。

若这个子列还收敛到A 中的点，则称A 是自列紧的。

如果空间X 是列紧的，那么称X 为列紧空间。

命题 1.3.2 在n中任意有界集是列紧集，任意有界闭集是自列紧集。

命题 1.3.3 列紧空间内任意（闭）子集都是（自）列紧集。

2证明 设X A ⊂，X A x n ⊂⊂∀}{，由X 列紧知，}{n x 在X 中有收敛子列}{k n x ,所以A 是列紧集。

若A 还是闭的，由于x x A x k k n n →⊂,}{，由A 是闭，知A x ∈。

从而A 是自列紧集。

□命题1.3.4 列紧空间必是完备空间。

证明 设X 为列紧空间，{}n x 为X 中的基本列。

因为X 列紧，故{}k n x ∃在X 中收敛，极限记为0x ，且X x ∈0，则0x x n →，故X 完备。

（用到P 13 习题1.2.2）□补充性质 在度量空间),(ρX 上，基本列{}n x 是收敛列⇔{}n x 有收敛子列。