武汉大学研究生《泛函分析》期末试题15-16
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泛函分析2015-2016
一(10分)
设(X,ρ)为度量空间,令
U(x0,ε)={x∈X:ρ(x,x0)<ε},S(x0,ε)={x∈X:ρ(x,x0)≤ε}(1)问U(x0,ε)的闭包是否等于S(x o,ε)?
二(15分)
设p是赋范线性空间X上的次线性泛函,满足p(0)=0,且在0处连续。证明:p是连续映射。
三(15分)
设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子,若T的零空间是闭集,问T是否一定有界?
四(15分)
设X是可分的赋范线性空间,证明X∗中的任意有界序列{f n}必有弱*收敛的子列。
五(15分)
设H是Hilbert空间,φ(x,y)是定义在H×H上的泛函且关于x是线性的,关于y是共轭线性的,并且存在常数C使得|φ(x,y)|≤C∥x∥∥y∥,∀x,y∈H.
证明:存在唯一的线性算子A∈B(H)使得对所有x,y∈H,φ(x,y)= (Ax,y)且∥A∥=∥φ∥。其中∥φ∥=sup∥x∥=1,∥y∥=1|φ(x,y)|。
六(15分)
求R n在范数∥x∥=max1≤k≤n|ζk|下的共轭空间,其中任意x= {ζ1,ζ2,……,ζn}∈R n。
2七(15分)
设X=C[0,1],A:x(t)→tx(t),∀x∈X。证明:σ(A)=[0,1],且A 没有特征值。