理论力学-虚位移原理 案例

虚位移原理例题虚位移原理是力学中的一个重要概念，它是描述物体在受力作用下发生位移的原理。

虚位移原理在力学、静力学、动力学等领域都有着广泛的应用。

下面我们通过一些例题来深入理解虚位移原理的应用。

例题一，弹簧振子。

一根质量为m的弹簧上挂着一个质量为M的物体，当物体受到外力F时，弹簧发生形变。

求弹簧的位移x。

解析，根据虚位移原理，我们可以假设弹簧的位移为x，那么弹簧所受的弹力为-kx，其中k为弹簧的弹簧系数。

根据牛顿第二定律，物体所受的合外力为F-kx，根据虚位移原理，这个合外力所做的虚功等于零。

因此，我们可以得到F-kx=0，解得x=F/k。

例题二，斜面上的物体。

一个质量为m的物体沿着无摩擦的斜面向下滑动，斜面的倾角为θ，斜面的高度为h。

求物体滑动的位移s。

解析，根据虚位移原理，我们可以假设物体沿着斜面滑动的位移为s，那么物体所受的重力分解成沿斜面方向的分力为mgsinθ，垂直斜面方向的分力为mgcos θ。

根据虚位移原理，物体所受的合外力为mgsinθ，这个合外力所做的虚功等于零。

因此，我们可以得到mgsinθs=0，解得s=0。

例题三，简谐振动。

一个质量为m的物体挂在一个弹簧上，弹簧的劲度系数为k。

求物体振动的最大位移A。

解析，根据虚位移原理，我们可以假设物体振动的位移为x，那么物体所受的弹力为-kx。

根据牛顿第二定律，物体所受的合外力为-mg-kx，根据虚位移原理，这个合外力所做的虚功等于零。

因此，我们可以得到-mg-kA=0，解得A=mg/k。

通过以上例题的分析，我们可以看到虚位移原理在力学问题中的重要作用。

它通过假设物体的虚位移，使得问题的分析变得简单而直观。

虚位移原理的应用不仅仅局限于上面的例题，它在静力学、动力学、弹性力学等领域都有着广泛的应用。

因此，掌握虚位移原理对于理解力学问题、解决实际问题具有重要意义。

总结：虚位移原理是力学中的一个重要概念，它描述了物体在受力作用下发生位移的原理。

第15章 虚位移原理15-1 图示曲柄式压缩机的销钉B 上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。

作用线平分ABC ∠。

设AB = BC ，θ2=∠ABC ，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。

解：令B 有虚位移AB B ⊥r δ，而C 有铅直向上的虚位移C r δ，如图（a ）。

将B r δ及C r δ向BC 方向投影，为简单起见，以B r δ表示B r δ的绝对值B r δ，以C r δ表示C r δ，则有)902cos(δ)90cos(δ︒-=-︒θθB C r r即 θcos 21δδ=C B r r （1） 由虚位移原理得 0δsin δN =-C B r F r F θ θsin δδN F F r r C B = （2） 将式（1）代入（2）得 θtan 2N F F =15-3 挖土机挖掘部分示意如图。

支臂DEF 不动，A 、B 、D 、E 、F 为铰链，液压油缸AD 伸缩时可通过连杆AB 使挖斗BFC 绕F 转动，EA = FB = a 。

当︒==3021θθ时杆DF AE ⊥，此时油缸推力为F 。

不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩M 。

解：由虚功原理： 0δδcos 1=-⋅ϕθM r F A （1）式中 a r B δδ=ϕ （2）A 、B 的虚位移向AB 投影 22sin δcos δθθB A r r =2tan δδθB A r r = （3）式（2），（3）代入（1）得 0δδtan cos 21=⋅-⋅⋅a r M r F B B θθ Fa M Fa M 21,sin ,30221==︒==θθθ15-5 在图示机构中，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。

已知：OC = a ，OK = l ，在点C 处垂直于曲柄作用一力F 1；而在点B 沿BA 作用一力F 2。

求机构平衡时F 2与F 1的关系。

解：用解析法解，选取ϕ为广义坐标，则滑块A 的约束方程ϕtan l y A =ϕϕδsecδ2l y A = （1） 由虚位称原理 0δδ)(21=+-A y F a F ϕ （2）把式（1）代入（2）得 0δsec δ221=+-ϕϕϕl F a F因 0δ≠ϕ，于是有 0sec 221=+-ϕl F a F故 ϕ221cos a l F F =15-7 图示滑套D 套在光滑直杆AB 上，并带动杆CD 在铅直滑道上滑动，已知︒=0θ时弹簧为原长，弹簧刚性系数为5 kN/m 。

第12章 虚位移原理及其应用12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。

试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。

解：应用解析法，如图（a ），设OD = lθsin 2l y A =；θsin 6l y B =θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B =应用虚位移原理：0δδ12=⋅-⋅A B y F y F02612=-F F；213F F =12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。

已知：AC = BC= EC = DE = FC = DF = l 。

解：应用解析法，如图所示：θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3δl x D =应用虚位移原理：0δδ12=⋅-⋅-D A x F y F0cos3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F =12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。

求竖向力F 1与F 2的大小关系。

解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=⋅+⋅r F r F 如图（b ）：βθtan δδtan δ2a 1r r r ==；12δtan tan δr r θβ=0δtan tan δ1211=⋅-⋅r θβF r F ；θβtan tan 21⋅=F F12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。

机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。

机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。

习题12-1图（a ）习题12-2解图习题12－3（a ）r a（b ）解：应用虚位移原理：0δδ2211=⋅-⋅ϕϕM M （1）如图所示，e a δcos δr r =θ其中：`1a δδϕ⋅=OA r ；2e δcos 2δϕθ⋅⋅=OA r 所以：21δ2δϕϕ=，代入式（1）得：122M M =12－5 等长的AB 、BC 、CD 三直杆在B 、C 铰接并用铰支座A 、D 固定，如图所示。

第14章作业
1、已知：在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为 M 。

手轮轴两端各有螺距同为
h 、但方向相反的螺纹。

螺纹上各套有一个螺母 A 和 B ，这两个螺母分别与长为 a 的杆相铰接，四杆形成菱形框，如图所示。

此菱形框的点 D 固定不动，而点 C 连接在压缩机的水平压板上。

试求：当菱形框的顶角等于 2 θ 时，压缩机对被压物体的压力。

2、已知：挖土机挖掘部分示意如图。

EA = FB = r 。

当时杆 AE ⊥ DF ，此时油缸推力为F，不计构件重量。

试求：此时挖斗可克服的最大阻力矩 M 。

3、已知： 图示远距离操纵用的夹钳为对称结构。

当操纵杆 EF 向右移动时，两块夹板就会合拢将物体夹住。

操纵杆的拉力为F，在图示位置两夹板正好相互平行。

试求：被夹物体所受的压力。

4、已知：跨度为 l 的折迭桥由液压油缸 AB 控制铺设，两段相同的桥身重量都是 ，质心 G 位于其中点。

试求：平衡时液压油缸中的力F和角 θ之间的关系。

5、已知： 图示桁架中， AD = DB = 6m ， CD = 3m ，节点 D 处载荷为 。

试求：用虚位移原理求杆 3的内力。