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§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。
Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。
见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。
理论力学导学章虚位移原理第1616章第16章虚位移原理目录1. 内容提要... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (3)2. 基本要求... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (7)3. 典型例题... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (8)4. 补充习题... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (36)1.内容提要1)基本概念虚位移原理是用动力学的解题方法来研究静力学的平衡问题。
(1) 虚位移的概念及计算虚位移不是经过d t时间所发生的真实小位移，而是假想的、约束所允许的微小位移。
(2) 虚位移的计算方法大致可以分为以下两种：a. 虚速度法当时间“冻结”后，虚位移与速度具有相同的几何关系，所以可以利用运动学中研究速度的各种方法。
b. 解析法当质点系的广义坐标一旦确定，就将各质点的坐标表示为广义坐标的函数，然后通过对各质点坐标的变分，得到各质点的虚位移表示广义坐标的变更的关系式。
但必须注意，在应用解析法解题时，质点系中每一个质点都应处于一般位置。
0δ1=⋅∑=i ni i r F r r 0)δδδ(1=++∑=ni i iz i iy i ix z F y F x F (3)虚位移原理的应用几何形式对结构和机构都是适合的，但对机构，用解析法往往比较方便。
解析形式不能应用于处于特殊位置的机构。
应用虚位移原理解题时，对自由度为零的结构，根据题所要求的未知量，一般每次解除一个约束，使系统只有一个自由度，然后应用虚位移原理的几何形式（虚速度法）求解；对处于一般位置的机构，则可应用虚位移的解析形式求解。
虚位移原理的两种表达形式几何形式解析形式广义坐标形式的虚位移原理广义力以广义坐标表示的虚位移就是广义虚位移，与广义虚位移乘积后可以构成虚功的主动力就是广义力。
