理论力学虚位移原理

k = 3n − S
设
q1 , q2 K qk
为描述系统位形的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标。 广义坐标
两个质点组成质点系
Z
( x2 , y 2 , z 2 )
约束方程
( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z 2 ) 2 = l 2
θ
X
Y
ϕ
( x1 , y1 , z1 )
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 几何约束 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。 运动约束 定常约束：约束条件与时间无关，即约束方程中不显含时间t。 定常约束 非定常约束：约束条件与时间有关，即约束方程中显含时间t。 非定常约束 完整约束：包括几何约束和可化成几何约束的运动约束。 完整约束 非完整约束：不可化成几何约束的运动约束。 非完整约束 理想约束：约束力做功恒等于零的约束。 理想约束：约束力做功恒等于零的约束。
D
E
A
θ
ϕ
C X
求变分
xD = l cosθ y D = l sin θ xB = 2l cosθ y B = 2l sin θ
δ x D = − l sin θδθ δ y D = l cos θδθ δ x B = − 2 l sin θδθ δ y B = 2 l cos θδθ
ri = ri (q1 , q2 , K, qk )
虚位移表示如下：
∂ ri δ ri = ∑ δq j j =1 ∂ q j
k
i = 1,2, L, n
i = 1,2,L , n
显然，虚位移与时间无关。
确定系统中质点间虚位移的关系
如前所述，具有k个自由度的，由n个质点组成的质点系统， 质点间的位置关系不是完全独立的，因此，每一个质点的虚位移 并不完全独立。把每一个质点的虚位移用独立的广义坐标表示， 分析中通常需要建立非独立的质点虚位移之间的关系 建立非独立的质点虚位移之间的关系，方法如下： 建立非独立的质点虚位移之间的关系 1、虚速度法 虚速度法：方法等同于“平面运动刚体上两点间的速度关系 平面运动刚体上两点间的速度关系”。 虚速度法 平面运动刚体上两点间的速度关系 把“点的虚位移”视为“点的速度”，应用“基点法”、“速度 投影定理”和“速度瞬心法”以及“复合运动速度关系”，确定 两点间的虚位移关系。
Y xB B
xA
A yA
ϕ
yB
O
平面一般运动，3自由度，广义坐标： 定轴转动，单自由度，广义坐标：
X
xA , yA ,ϕ
ϕ
约束与约束方程
对物体运动的限制称为约束。用数学方程表示，称为约束方程 约束方程。 对物体运动的限制称为约束 约束方程 滑块—滑道 约束方程 y
y=0
质点被限制在某曲面上运动，约束方程为该曲面方程
δ rB
2
δrD
δθ
A
D
δ rC = 4δ rD sin θ
θ
δrC
C
AB=BC=AC=O1B=O2C=OA=a,求：此瞬时OE的虚位移与O1B 虚位移之间的关系。 E A C O2
δϕOE
O
60°
B
δϕO B
1
O1
虚速度法：根据约束，确定 δ r B ，δ rC
方向如图 的方向如图
于是刚体ABC的速度瞬心在 p 点。确定 δ r A
自由度数 k = 3 × 2 − 1 = 5
广义坐标， 广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ϕ ,θ
一般地，具有 个质点的系统中每一个质点用矢径表示为 一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri = ri (q1 , q2 , K , qk )
i = 1,2,K , n
即为选定的k个广义坐标 即为选定的 个广义坐标
当 M1 与 M2 间距不变时，即 r12 等于常数
Y
d ′W = 0 d ′W ≠ 0
—刚体内的两点 刚体内的两点
X
当 M1 与 M2 间距改变时，即 r12 不等于常数 —变形体内的两点 变形体内的两点
3、弹性力做功
l F1 = k (l − l0 ) l F2 = − F1
弹性恢复力
l0 ——弹簧原长 k ——弹簧刚度系数 定义 λ = l − l0 弹簧变形量 上式表明，弹性恢复力的方向 总与变形方向相反。 弹性力大小 弹性力方向
d ′W = F • dr
有限功 W = ∫ F • dr
AB
微分加“ 微分加“ ′”表示逆过程在某些 情况（如耗散系统）中不成立。 情况（如耗散系统）中不成立。
Z
F
A•
F = Fx i + Fy j + Fz k
dr α
dr = dxi + dyj + dzk
d ′W = F • dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
2、内力做功 内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反 设两个质点M1， M2 相互作用力F12 ，F21 F12 = − F21 则有 元功
d ′W = F12 • dr1 + F21 • dr2
Z F 12 r1 r2 M1 r12 M2 F21
= F12 • (dr1 − dr2 ) = F12 • d (r1 − r2 ) = F12 • dr12
其中
q1 , q2 , K , qk
表示每个质点的直角坐标
xi = xi (q1 , q2 , K , qk ) yi = yi (q1 , q2 , K, qk )
z i = z i ( q1 , q2 , K , qk )
注意，一般情况下， 的函数。 注意，一般情况下，广义坐标是时间 t 的函数。
1 δ x D = δ xC 4
1 δ y D = − cot θδ x C 4
B
Y
D
E
A
θ
C X
（2）虚速度法
各点虚位移方向如图 速度投影定理
δrB cos( − 2θ ) = δrC cos θ
2
δrD = lδθ
δrB = 2lδθ
π
δrB
B
δ rC = δ rB
δ rD =
E
sin 2θ = 2δ rB sin θ cos θ
ri = ri (q1 , q2 ,K, qk , t )
i = 1,2, L, n
在t时刻，外力作用下，经历无限小时间间隔∆t 质点系中每一 个质点产生微小位移dri（i=1，2，…，n）。显然，表示系统位形 的广义坐标也将产生一组微小增量 dqj （j=1，2，…，k）。 称为 系统广义实位移。满足条件 系统广义实位移 （1） （2） dri = ∑ dr ∂ri dq j + i j =1 ∂q dt j
虚位移原理用于建立约束系统的平衡条件 虚位移原理用于建立约束系统的平衡条件 约束系统
质点系的位形、 质点系的位形、约束方程及分类
质点系中全部质点空间位置的坐标描述， 质点系中全部质点空间位置的坐标描述，称为该质 点系的位形。 点系的位形。 质点系的位形可以由直角参考坐标系统确定， 质点系的位形可以由直角参考坐标系统确定， 也可以由与质点系自由度对应的广义坐标确定 自由度对应的广义坐标确定。 也可以由与质点系自由度对应的广义坐标确定。
虚位移原理
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。 虚位移原理 牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 矢量力学。 矢量力学 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学 标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 标量力学 能量，功等。 虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题 静力平衡问题中的应用。事实 静力平衡问题 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
解析法：在固定参考系中，将确定点的位置的直角坐标表示 2、解析法 解析法 为选定的独立广义坐标的函数，对其求变分 变分。 变分
试确定D、B、E、C点虚位移与广义坐标θ 的关系。 设AD=DB=BE=EC=l
B
D
E
A
θ
C
解：系统是单自由度，取θ为广义坐标。 1、解析法 建立图示坐标系统 由于AB=BC Y
约束方程
Y
M 1 : x12 + y12 = l12
z1 = 0
M 2 : ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = l
2 2 2 2
ϕ1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )百度文库
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 = 0
系统自由度 k = 3 × 2 − 4 = 2 取广义坐标
ϕ2
X
质点的直角坐标:
x1 = l1 cos ϕ1 y1 = l1 sin ϕ1
ϕ1 , ϕ 2
x2 = l1 cos ϕ1 + l2 cos(ϕ1 + ϕ 2 ) y2 = l1 sin ϕ1 + l2 sin(ϕ1 + ϕ 2 )
实位移与虚位移
实位移：质点系发生的为约束允许的真实位移。 实位移：质点系发生的为约束允许的真实位移。 设一个具有k个自由度的，由n个质点组成的的质点系统，每一个 质点由矢径 ri 表示其位置，而ri可以用广义坐标表示如下：
f ( x, y , z ) = 0
y x B
v = f ( x, t )
& 滑块 B 的约束方程 x = v
& 当v=0时，约束方程 x = 0
或
x=A
当v=C（常数）时，约束方程
& x=C
或 x = Ct + A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
& x = f ( x, t )
约束的分类
自由度和广义坐标
自由度：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变 量的个数。
对于n个自由质点组成的质点系，可用3n个直角坐标（xi ，yi，zi） i=1，2，3…n，描述每一个质点所在的位置称为质点系的位形。整 个系统有3n个自由度。 对于n个质点组成的非自由质点系，设其有S个约束方程，表明描 述质点系位形的3n个直角坐标不独立。这时，可以选取独立的k个 参数表示质点系的位形，而
xE = 2l cosθ + l cos ϕ = 3l cosθ y E = 2l sin θ − l sin ϕ = l sin θ
δ x E = − 3 l sin θδθ δ y E = 3 l cos θδθ
xC = 2l cosθ + 2l cos ϕ = 4l cosθ yC = 0
e δrA
δrA E
δr
r A
注意
δrA = δrAe + δrAr
A
p
O2 C
δϕ OE =
δrB
a
δr
e A
a
δrB
3
各虚位移间关系
δϕOE
O
60°
δr C
δϕ O B =
1
δrA =
δrB
B
δr
1
e A
=
δ rA
2
= a δϕ OE
δϕO B
O1
δϕO B = 2 3 OE δϕ
1
力和功
元功和有限功 元功
B
xD = l cosθ y D = l sin θ
xB = 2l cosθ y B = 2l sin θ
θ =ϕ
xE = 2l cosθ + l cos ϕ = 3l cosθ y E = 2l sin θ − l sin ϕ = l sin θ
xC = 2l cosθ + 2l cos ϕ = 4l cosθ yC = 0
r
r + dr
• B
Y
W = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz )
AB
X
特殊力系做功的计算 1、汇交力系合力做功 合力主矢 FR = ∑ Fi
W = ∫ FR • dr = ∫ ∑ Fi • dr = ∑ ∫ Fi • dr = ∑ Wi
AB AB AB
合力在有限路径做功等于分力在有限路径上做功之和
δ x C = − 4 l sin θδθ δ y C = 0
负号表示θ角增加时，虚位移方向与坐标方向相反。
各点虚位移关系，如D点虚位移与C点虚位移的关系
δ x D = − l sin θδθ δ y D = l cos θδθ δ x C = − 4 l sin θδθ δ y C = 0
k
i = 1,2,L, n
位移满足约束条件和 位移满足约束条件和初始条件 约束条件
虚位移：在实位移概念的基础上，不考虑主动力的作用（ 虚位移：在实位移概念的基础上，不考虑主动力的作用（产生位 移的动力）和初始条件，仅仅满足约束条件的位移。 约束条件的位移 移的动力）和初始条件，仅仅满足约束条件的位移。 与实位移的物理意义比较，虚位移是一种假设的、可能产生的 位移。两者的共同点是：在一定的条件下（定常、完整约束） 在一定的条件下（ 在一定的条件下 定常、完整约束） 实位移必是虚位移中的一组。 实位移必是虚位移中的一组。 虚位移与时间无关，对应k个自由度的质点系统，质点位置矢径