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2、定常约束和非定常约束 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
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② 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
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3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限 形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只 能以微分形式表达。
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形 式，则这类约束称为完整约束。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2 l2
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双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，
其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数）
f j ( x1,y1,z1; ;xn ,yn ,zn )0 ( j1,2, ,s)
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
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(P1asin P2 2asin F2a cos) (P2bsin F2bcos ) 0 由于 , 是彼此独立的，所以：
P1asin P2 2asin F2acos 0 P2 bsin F2bcos 0
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§10-1 基本概念
一、约束及约束方程 约束：限制质点或质点系运动的条件。 约束方程：表示约束的限制条件的数学方程。 例如：
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构 xA2 yA2 r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
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二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
（xB-xA）2+（yB-yA）2=l2
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除前述外，还有：
xA2+ yA2=a2 (xB –c)2+ yB2=b2
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由此可知：质点系受到约束，决定质点系位置的独立坐 标就减少，每增加一个约束，就增加一个约束方程，独立坐 标就减少一个。
一般地，由n个质点组成的非自由质点系，受s个完整约束 ，其独立坐标数为k=3n-s 。只要给定k个坐标，质点系的位置 就可完全确定，其余s个坐标由约束方程决定。因此：
①定义：确定质点系位置的独立参数，
称为广义坐标。
例如双锤摆用两个广义坐标 、ψ
表示。
广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,
y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束
情况下，广义坐标的数目=自由度数目。
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②广义坐标函数 广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可
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例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xA r 0是微分方程，但
经过积分可得到 xA r C （常数），该约束仍为完整约束。
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时
对质点或质点系进行运动限制 的约束称为双面约束。只能限 制质点或质点系单一方向运动 的约束称为单面约束。
由rA的任意性，得 PQ tg
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2、解析法 系统为单自由度，
取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
由虚位移原理：
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
由于 任意，故 PQ tg
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例2 均质杆OA及AB在A点铰接，两杆各长2a和2b，各重
表示为广义坐标的函数。
例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
xA r cos , yA r sin xB r cos l 2 r 2 sin2 , yB 0
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例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
约束方程： x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
∵质点系处于平衡 ∴任一质点Mi也平衡。
Fi Ni 0 对质点Mi 的任一虚位移 ri ，有(Fi Ni ) ri 0
对整个质点系：
(Fi Ni ) ri 0
F i ri N i ri 0
由于是理想约束
N i ri 0
所以
Fi ri 0
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(2) 充分性：即当质点系满足 Fi ri 0 ，质点系一定平衡。 若 Fi ri 0 ，假设质点系不平衡，则至少有一个质点（设 为第i个质点）不平衡，则有
②解析式 ( X ixi Yiyi Zizi )0
i——Fi与ri之间的夹角； Xi 、 Yi 、 Zi 及δxi、 δyi 、
δzi——主动力Fi及δri在x、y、x轴上的投影。
上三式均称为静力学普遍方程，实际应用时,用①②两式。 二、虚位移原理的应用 1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力； 4、求平衡构架内二力杆的内力。
Fi Ni Ri 0 在 Ri 方向上产生实位移 dri ，取 ri dri ，则
(Fi Ni ) ri Ri ri 0
对质点系： (Fi Ni ) ri 0 (理想约束下， Ni ri 0 )
Fi ri 0 与前述条件矛盾
故 Fi ri 0 时质点系必处于平衡。
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①虚位移原理还可写成：∑Fiδri cosαi=0
q1
zi q2
q2
zi qk
qk
(i 1,2, n)
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[例1] 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。
(已知 OC=BC= a， OA=l )
解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。
1、几何法
给OA杆一虚位移δ，则
rC a
rC rA
a l
rA
l a
rC
l
rC rB
质点系受有理想约束的条件：
W N i ri 0
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理想约束的典型例子如下： 1、光滑支承面
N r WN N r 0
2、光滑铰链
N N'
WN N r N 'r 0
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3、刚体在粗糙 面上的纯滚动
r 0 W 0
4、无重刚杆
5、不可伸长的柔索
rA cos rB cos , NA NB
N A rA NB rB Байду номын сангаасArA cos NBrB cos 0
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§10-2 虚位移原理
一、虚位移原理 具有定常理想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与
充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作 的元功之和等于零。即
Fi ri 0
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证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 Fi ri 0
xC asin , yC acos xA lsin , y A lcos xB 2asin , yB 0
注意：解析法要用固定坐标！
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四、理想约束
力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚元功，记为δW ：
W F r W XxYy Zz
如果约束反力在质点系的任何虚位移中的所有的元功之和 等于零，则称这种约束为理想约束。
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
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一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由 度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的 坐标及矢径可表为广义坐标的函数。
xi xi (q1, q2, , qk ) yi yi (q1, q2, , qk ) zi zi (q1, q2, , qk ) ri ri (q1, q2, , qk )
二、自由度和广义坐标 1.自由度 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标（x，y，
z），确定n 个自由质点在空间的位置需要3n个独立坐标；确定 一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标（x，y）（约束 方程z=0）。
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确定质点系位置 的独立坐标数
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约束方程 zA=0， zB=0
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除前述外，还有：
(i 1,2, , n)
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三、虚位移
1.定义：质点或质点系为约束允许的任何的微小位移，称为 质点或质点系的虚位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 表示虚位移。
一般地，若质点可能有的运动轨迹是一曲线，则虚位移与轨迹 相切。
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虚位移与真正运动时发生的实位移不同。 ①实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实 际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。质点静 止时没有实位移但有虚位移。 ②实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限 值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 ③实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的 概念，完全与时间无关。 在定常约束下，微小的实位移必 然是虚位移之一。而在非定常约束下， 微小实位移不再是虚位移之一。
