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《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。
§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。
在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。
广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。
1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。
设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。
广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。
2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。
基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。
2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。
换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。
2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。
级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。
2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。
例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。
利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。
下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。
我们来看广义积分的定义。
对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。
此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。
这两个条件保证了广义积分的存在性。
接下来，我们来讨论广义积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。
最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。
比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
微积分公式大全一、基本公式：1.微分基本公式（导数）：（1）常量函数导数：(k)'=0；（2）幂函数导数：(x^n)'=n·x^(n-1)；（3）指数函数导数：(a^x)'= ln(a)·a^x；（4）对数函数导数：(log_a x)'= 1/(x·ln(a))；（5）三角函数导数：(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (tan x)'=sec^2 x；（6）反三角函数导数：(arcsin x)'=1/√(1-x^2), (arccos x)'=-1/√(1-x^2), (arctan x)'=1/(1+x^2)；（7）复合函数导数：f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)；2.积分基本公式：（1）不定积分：∫(k)dx=kx+C, ∫(x^n)dx= (x^(n+1))/(n+1)+C；（2）定积分：∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 在[a, b] 上的一个原函数；（3）换元积分：∫f(g(x))·g'(x)dx=∫f(u)du, 其中 u = g(x)；（4）分部积分：∫u·dv = u·v - ∫v·du；二、微分学公式：1.高阶导数：如果函数f(x)的n阶导数存在，则记作f^(n)(x)，有以下公式：（1）常函数的n阶导数为0；（2）幂函数的n阶导数为n!(n-1)!·x^(n-m)；（3）指数函数的 n 阶导数为a^x·ln^n(a)；（4）对数函数的n阶导数为(-1)^(n-1)·(n-1)!/x^n；（5）三角函数的n阶导数：sin(x)：n 为奇数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为cos(x+ nπ/2)；cos(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 -cos(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；tan(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 (-1)^(n-1)·2^(n-1)·B_n·(2n)!·x^(2n-1)，其中 B_n 为 Bernoulli 数；n为偶数时，n阶导数为0；2.泰勒展开：函数f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)·(x-a)+f''(a)·(x-a)^2/2!+......+f^(n)(a)·(x-a)^n/n!+......；当x接近a时，可以使用前n阶导数来估算函数的值；三、积分学公式：1.牛顿-莱布尼茨公式：设函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则有∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)；2.反常积分：（1）瑕积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域内发散；（2）收敛式积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域外收敛为 ln，x；（3）点收敛、条件收敛和绝对收敛；3.广义积分：（1）广义积分存在：∫(a~+∞)f(x)d x= A 表示对于任意定义域上的f(x)，在 a 之后的任意区间上都是收敛的；（2）比较判别法：若存在p>0和M>0，使得，f(x)，<=M·g(x)，那么当f(x)的积分是收敛的，那么g(x)的积分也是收敛的；（3）绝对收敛：如果，f(x)，在定义域上是收敛的，那么f(x)的积分是绝对收敛的；（4）积分判别法：如果积分是收敛的，但是f(x)的绝对值不是；或者f(x)的绝对值是收敛的，但是积分是发散的，那么f(x)的积分是条件收敛的；以上仅是微积分常用公式的集合，只能作为参考，实际应用仍需根据具体问题进行判断和运用。
《微积分Ⅱ》课程教学大纲制定（修订）单位：山东财经大学数学与数量经济学院制定（修订）时间： 2013年7月课程中文名称：微积分Ⅱ课程英文名称：Calculus课程代码：16200021学时数：68学分数：4先修课程：《微积分Ⅰ》适用专业：金融学、会计学、经济学、财政学、保险学、国际经济与贸易、工商金融学、会计学、经济学、财政学、保险学、国际经济与贸易、工商管理、管理科学、公共事业管理等。
一、课程的性质和任务1.课程性质《微积分Ⅱ》课程是全校经济类和管理类专业的学科基础课。
2.课程任务通过本课程的学习，使学生获得多元函数微分学、积分学、级数、常微分方程等的基本知识和基本方法，为学习后继课程奠定必要的数学基础，培养学生初步具有抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力，培养学生熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
二、本课程与其他课程的联系与分工本课程是《概率论与数理统计》、《微观经济学》、《计量经济学》等课程的先修课程。
三、课程教学内容第五章定积分教学目的与要求：1．理解定积分的概念与基本性质，掌握积分中值定理。
2．掌握牛顿-莱布尼兹公式，会求变限积分的导数。
3．掌握计算定积分的换元法与分部积分法。
4．掌握用定积分计算平面图形的面积、平行截面面积已知的立体体积和旋转体体积的方法，会用定积分求解一些简单的经济应用问题。
5．了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算收敛广义积分的方法，知道广义积分⎰+∞1p x dx ，⎰10p xdx 的敛散条件，了解Γ函数的概念、基本性质。
教学重点与难点：重点：微积分基本定理，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用。
难点：平行截面面积已知的立体体积的求法，广义积分的计算。
第一节 定积分的概念和性质一、 定积分问题举例曲边梯形的面积，变速直线运动的路程。
二、定积分的概念 1.定积分的概念 2.定积分的几何意义 三、定积分的基本性质线性性质，可加性，估值定理，积分中值定理。
广义积分的求解广义积分是高等数学中的一个重要分支，它经常被用于求解一些非解析函数的积分问题。
广义积分也可以被视为普通积分在定义域上的一种扩展，但是它与普通积分最大的不同之处在于其定义域是一个无穷区间。
因此，求解广义积分需要特别谨慎和精确定义积分区间和函数的性质。
本篇文章将探讨广义积分的定义、性质以及求解方法，旨在为广大数学学习者提供一些有益的参考。
一、广义积分的定义广义积分的定义非常简单，它可以被定义为当积分区间为无限区间时，积分的下限和上限中至少有一个为无穷时所得到的积分。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b)上有定义，其中b可以为无穷大，则该函数的广义积分为：∫a^b f(x)dx = lim(t→b)∫a^t f(x)dx其中，当a为负无穷时，广义积分的定义也可以写成：∫-∞^b f(x)dx = lim(t→-∞)∫t^b f(x)dx二、广义积分的性质广义积分和普通积分一样也具有一些非常重要的性质。
下面是一些常见的性质：1. 线性性质：即广义积分满足线性代数的规律，即对于任意常数a和b，有：∫a^b (af(x) + bg(x))dx = a ∫a^b f(x)dx + b ∫a^b g(x)dx2. 保序性质：即对于函数值的大小关系，广义积分也具有类似开区间的保序性质。
也就是说对于a<b<c，若在[a,b)上f(x)≤g(x)，在[b,c)上f(x)≥g(x)，则有：∫a^b f(x)dx ≤ ∫a^b g(x)dx∫b^c f(x)dx ≥ ∫b^c g(x)dx3. 比较定理：广义积分的比较定理是求解广义积分的一个非常重要的工具，它可以将复杂的广义积分问题简化为更为容易求解的问题。
具体而言，比较定理包括下列两个定理：若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ g(x)，则当广义积分∫a^b g(x)dx 收敛时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也收敛；当广义积分∫a^b f(x)dx 发散时，广义积分∫a^b g(x)dx 一定也发散；若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ Kg(x)（0<K<1），则当广义积分∫a^b g(x)dx 发散时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也发散。
