6-6 广义积分与伽玛函数

γ(x)伽玛函数公式广义积分公式γ(x)伽玛函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于各个领域。

它的定义是通过一个广义积分公式给出的。

下面我们来深入了解一下伽玛函数以及它的广义积分公式。

伽玛函数是数学家欧拉在18世纪提出的，它是阶乘函数在复数域上的推广。

伽玛函数的定义如下：γ(x) = ∫(0,∞) t^(x-1)e^(-t)dt其中，x是一个复数，t是变量，e是自然对数的底。

伽玛函数的定义域为复数域，可以取任意复数值。

当x为正整数时，伽玛函数可以化简为阶乘函数，即γ(n) = (n-1)!，其中n为正整数。

伽玛函数的广义积分公式是用来计算伽玛函数的一种方法。

它的形式如下：∫(0,∞) t^(x-1)e^(-t)dt这个广义积分公式可以通过一系列的数学变换和技巧进行求解。

其中最常用的方法是利用分部积分法。

通过多次应用分部积分法，可以将伽玛函数的广义积分公式转化为其他形式的积分，从而得到其数值解。

伽玛函数和其广义积分公式在数学和科学领域具有广泛的应用。

首先，在统计学中，伽玛函数被用于描述连续性随机变量的概率密度函数。

例如，在伽玛分布中，伽玛函数被用来描述事件发生的时间间隔。

在物理学中，伽玛函数和其广义积分公式被用于求解一些重要的物理问题。

例如，在量子力学中，伽玛函数被用来描述粒子的波函数，从而求解粒子的能量和位置等信息。

在工程学和经济学中，伽玛函数也有着广泛的应用。

例如，在电路分析中，伽玛函数被用来计算电容和电感元件的响应。

在金融学中，伽玛函数被用来计算期权定价模型中的一些关键参数。

通过以上的介绍，我们可以看出，γ(x)伽玛函数以及其广义积分公式在数学和各个应用领域都有着重要的地位和作用。

它的定义简洁明了，通过广义积分公式可以计算出其值。

伽玛函数的应用广泛，不仅在理论研究中有着重要的地位，也在实际问题的求解中发挥着重要的作用。

γ(x)伽玛函数及其广义积分公式是数学中一种重要的特殊函数和求积方法。

它的应用范围广泛，涵盖了数学、物理、工程和经济等多个领域。

第六章定积分Definite Integral§4 广义积分与Γ函数对于定积分有两方面的要求：①积分f区间[]b a,是有限的；②被积函数()x 是有界的.但在一些实际问题中常会遇到具有无穷间断点的函数（无界函数）的积分或函数在无穷区间上的积分问题.因此把定积分的概念推广，就得到无穷积分（infinite integral）和瑕积分（flaw integral）,这两类积分统称为广义积分（improper integral）.而Γ函数（Gamma function ）则是一类应用十分广泛的无穷积分.无穷积分（无穷区间上的积分）Definition （See ）设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续，如果极限()⎰+∞→bab dx x f lim （a ＜b ）存在，则称此极限值为()x f 在[)+∞,a 上的无穷积分（infinite integral ），记作()⎰+∞a dx x f ，即()()⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f lim，这时我们说无穷积分()⎰+∞adxx f 存在（existence ）或称其收敛（convergence 或converges ）；如果极限()⎰+∞→bab dx x f lim（a ＜b ）不存在，我们就说无穷积分()⎰+∞adxx f 不存在（non-existence ）或称其发散（divergence 或diverges ）. 【Note 】类似地，可以定义()x f 在区间(]b ,∞-及()+∞∞-,上的无穷积分： ①()()⎰⎰-∞→∞-=baa b dx x f dx x f lim；②()()()dx x f dx x f dx x f c c⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=()()dx x f dx x f bcb c aa ⎰⎰+∞→-∞→+=lim lim（其中()+∞∞-∈,c ）.※ 对于无穷积分()dx x f ⎰+∞∞-，其收敛的充分必要条件是()⎰∞-cdx x f 与()dx x f c⎰+∞均收敛.若()x F 是()x f 的原函数，且分别将()x F lim a -∞→和()x F lim b +∞→简记为()∞-F 和()∞+F ，则仿Newton-Leibniz 公式，无穷积分可简记为：Example 6.4.1（See ）求⎰+∞-0xdx e . 解()b 0xb bxb 0xelim dx e limdx e -+∞→-+∞→+∞--==⎰⎰()1e 1lim bb =-=-+∞→.【Note 】也可写为⎰⎰+∞-+∞--=0x0xde dx e()101e 0x=-=-+∞-.Example 6.4.2（See ）求⎰+∞0xdx cos . 解b 0xsin lim xdx cos limdx x cos b bb 0+∞→+∞→+∞==⎰⎰b sin lim b +∞→=，此极限不存在，于是⎰+∞0xdx cos 发散.Example 6.4.3（See ）求⎰+∞∞+－dx x 112.解+∞∞-=+⎰+∞∞x arctan dx x 112－πππ=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-∞→+∞→22a arctan lim b arctan lim a b .Example 6.4.4（See ）Determinewhether⎰+∞-0xdxxe converges ordiverges .Solution From the definition , we have dx xe limdx xe RxR 0x⎰⎰-+∞→+∞-=.To evaluate the last integral , you will need integration by parts . Letx u = dx e dv x-=dx du = xe v --=we than have⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰⎰⎰--+∞→-+∞→+∞-R0x xR RxR 0xdx e xelim dx xe limdx xe R 0⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--+∞→R0x R R e Re 0lim ()RR R e 1Re lim --+∞→-+-=.Note that the limit RR Re lim -+∞→has the indeterminate form ∞⋅0. We resolve this with L ’Hospital ’s Rule, as follows:e 1lim edRd RdR d lim e R lim Re lim R R R R R R R R ====+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∞+∞→-+∞→. Returning to the improper integral, we now have⎰+∞-0xdx xe ()1e 1Re lim R R R =-+-=--+∞→.Example6.4.5（See ）已知dt te x x 1lim a taxx ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求a 的值. 解 a axx ax x e x 11lim x x 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→，dt te a t⎰∞-()a a taattat e0ae dt e tetde ∞-∞---=-==⎰⎰∞-∞-()()1a e 0e ae a a a -=--=，故()1a e e a a -=，于是1a 1-=，即2a =.※ Example 6.4.6（See ）证明无穷积分⎰+∞1x dx α当α＞1时收敛于11－α，当α≤1时发散.证明 当1≠α时，ααααα--=-=--⎰11b 1xxdx 11b1b1，所以当1=α时，b ln lim x dx lim xdxb b 1b 1+∞→+∞→+∞==⎰⎰α+∞=.所以无穷积分⎰+∞1xdx α当α＞1时收敛于11－α，当α≤1时发散.瑕积分（无界函数的积分）=--=-+∞→∞+⎰ααα11lim 11b x dx b 11－α，α＞1 ∞+， α＜1Definition （See ）设函数()x f 在区间(]b ,a 上连续，当+→a x 时，()∞→x f ，如果极限()dx x f lim bRaR ⎰+→存在，则称此极限值为无界函数()x f 在(]b ,a 上的瑕积分（flaw integral ），仍记作()dx x f ba⎰，即()()dx x f dx x f bRa R ba⎰⎰+→=lim ，这时我们说瑕积分()dx x f ba ⎰存在（existence ）或称其收敛（convergence 或converges ），并称无穷间断点a 为瑕点（flaw spot ）；如果极限()dx x f lim bRa R ⎰+→不存在，我们就说瑕积分()dx x f ba⎰不存在（non-existence ）或称其发散（divergence 或diverges ）. 【Note 】类似地，可以定义()x f 在区间[)b ,a 上连续，当-→b x 时，()∞→x f 及()x f 在区间[]b ,a 上除c 点外连续，而当c x →时，()∞→x f 上的瑕积分：①()()⎰⎰-→=RabR badx x f dx x f lim ；②()()()dx x f dx x f dx x f bc c a b a ⎰⎰⎰+=()()dx x f dx x f bR cR R acR 2211⎰⎰+-→→+=lim lim（其中()b ,a c ∈）.※ 对于瑕积分()dx x f ba ⎰，其收敛的充分必要条件是()⎰c a dx x f 与()dx x f bc ⎰均收敛.【Note 】需要特别注意的是，瑕积分与通常定积分的记法一样，都是()dx x f ba⎰，其是否为瑕积分，就看积分区间[]b ,a 上是否有瑕点（无穷间断点）.一旦忽略了这一点，若按通常的定积分去计算，就会出现错误.例如，我们在前边曾经举过的两个例子，xln dx x 11111==-⎰－，2x1dx x 111112-=-=-⎰－都是错误的.Example 6.4.7（See ）求dx x ln 10⎰. 解 因为当+→0x 时，-∞→x ln ，所以按定义()1Rx x ln x lim xdx ln lim dx x ln 1R 0R 0R 10-==⎰⎰++→→ ()R R ln R 1lim 0R +--=+→R ln R lim 10R +→--=，而()0R lim R1R 1lim R 1Rln lim R ln R lim 0R 20R 0R 0R =-=-==++++→→→→，所以1dx x ln 10-=⎰.Example 6.4.8（See ）判断dx x 1112⎰－的敛散性.解 因为当0x →时，∞→2x 1，所以dx x 1112⎰－+=⎰dx x 1012－dx x112⎰dx x 1lim 11R 120R ⎰-→=－ dx x1lim 1R 20R 22⎰+→+，而dx x1lim 11R 120R ⎰-→－ 1R 11x1lim 0R --→-=+∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-→1R 1lim 10R 1，故瑕积分dx x 1112⎰－发散.Example 6.4.9（See ）Determine whether⎰-1dx x11converges ordiverges .Solution From the definition , we have()x 1d x11lim dx x 11lim dx x 11R 01R R 01R 1---=-=-⎰⎰⎰--→→()2R 11lim 2x 1lim 21R 1R R=--=--=--→→.And so, theimproper integralconverges to 2.【Note 】也可以写成这样：()x 1d x 11dx x11101---=-⎰⎰2x1210=--=-.Example 6.4.10（See ）Determine whether⎰-21dx x11converges ordiverges .Solution From the definition , we have()x 1d x 11lim dx x 11lim dx x112R 1R 2R 1R 21---=-=-⎰⎰⎰++→→-∞=-=--=++→→R 1ln lim x1ln lim 1R 1R 2R.So that the improper integral diverges. ※ Example 6.4.11（See ）证明瑕积分⎰1x dx α当α＜1时收敛于α-11，当α≥1时发散.证明 因为被积函数在0x =处无界,而由瑕积分定义知,当α＜1时，αααα-=--=-→+⎰111R 1lim xdx 10R 10,此时积分收敛. 当1=α时，()+∞=-=+→⎰R ln lim x dxR 10α. ⎰1R x dx α= αα---1R11，1≠α lnR -， 1=α当α＞1时，-∞=--=-→+⎰ααα1R 1lim x dx 10R 10.所以瑕积分⎰1x dxα当α＜1时收敛于α-11，当α≥1时发散.【Note 】Example 6.4.8（See ）也可这样作：dx x 1112⎰－+=⎰dx x 1012－dx x112⎰，而由上例知，dx x112⎰发散（2=α＞1），故dx x 1112⎰－发散.Example 6.4.12 ①k 为何值时，瑕积分()⎰+e13k x ln x dx 收敛？②k 为何值时，无穷积分()⎰+∞-e 2k x ln x dx收敛？ 解①因()()⎰⎰⎰+=====++==103k x ln t 1t ,e x 0t ,1x e 13k e13k t dt x ln x ln d x ln x dx，由上例可知，当3k +＜1即k ＜2-时，瑕积分()⎰+e13k x ln x dx收敛.②因()()⎰⎰⎰+∞-=+∞→+∞→==+∞-+∞-==12k xln t t ,x 1t ,e x e 2k e2k t dt x ln x ln d x ln x dx，由Example 6.4.6可知，当2k -＞1即k ＞3时，无穷积分()⎰+∞-e 2k x ln x dx收敛.Γ函数下面讨论一个在概率论中要用到的积分区间无限且含有参变量的积分. Definition （See ）广义积分()dx e x s x 01s -+∞-⎰=Γ（s ＞0）是参变量s 的函数，称为Γ函数（或伽马函数[ gamma function ]）. 可以证明()s Γ在s ＞0时是收敛的，其他情形皆发散.容易证明，Γ函数有一个重要性质：()()s s 1s ΓΓ=＋.证明 ()x 0s xs de x dx e x 1s -+∞-+∞⎰⎰-==+Γsxxs x d e ex 0⎰+∞--+-=+∞xd e x s 0x 1s ⎰+∞--=()s s Γ=（注意，当s＞0时，0ex 0xs =-+∞-）.【Note 】 公式()()s s 1s ΓΓ=＋是一个递推公式（recurrence formula 或recursion formula ）.利用这一公式，计算Γ函数的任意一个函数值都可化为求Γ函数在区间(]1,0上的函数值. ※ 若s 是正整数n ，易证明()!n 1n =+Γ事实上，()()()()1n 1n n n n 1n --==ΓΓΓ＋ ()()()()()()2232n 1n n 2n 2n 1n n ΓΓ⋅--==---= ()1!n Γ=，而()1dx e 10x ==⎰+∞-Γ，所以()!n 1n =+Γ.由上式易知，()11=Γ，()12=Γ. Example 6.4.13（See ）计算下列各值：①()6.4Γ；②()()3521ΓΓ⋅；③⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛2125ΓΓ.解 ①()()()6.36.316.36.4ΓΓΓ=+=()()6.16.16.26.36.26.26.3ΓΓ⨯⨯=⨯=()()6.09856.86.06.06.16.26.3ΓΓ=⨯⨯⨯=；②()()24!2!4213521=⨯⨯=⋅ΓΓ； ③43212121232123232125=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ΓΓΓΓΓΓ.Example 6.4.14（See ）计算积分dx e x x 05-+∞⎰.解 ()120!56dx e x x 05＝==-+∞⎰Γ.Γ函数还可以写成另外一种形式，例如，设Γ函数中的2y x =，则有()dy e y 2s 2y 01s 2-+∞-⎰=Γ.此式中的广义积分dy e 0y 2⎰+∞-是概率论中常见的泊松积分（Poisson ’s integral ），可以证明dy e 0y 2⎰+∞-收敛且等于2π（要用到多元积分学中的二重积分知识，在本课程以中将不涉及这部分内容），所。

积分的Gamma函数Gamma函数是数学家欧拉在18世纪中提出的。

实际上，欧拉之前一位同样著名的数学家布尔塔伯(Bernoulli)就曾提出类似的组合公式。

Gamma函数广泛用于计算、统计学和物理学等领域的数学问题，因此成为了一个非常重要的函数。

本文将主要探讨Gamma函数在积分中的应用。

一、 Gamma函数的定义Gamma函数的定义为：$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$$其中，实数$z$大于零。

Gamma函数利用积分的方法，对实数$z$大于零的取值进行了定义。

这个积分式子看似简单，但其实是非常重要的积分形式之一。

二、积分中的Gamma函数1. 用Gamma函数求解极限极限在数学中是一个非常基础的概念，而且极限通常都是通过积分来进行计算的。

举个例子来说，如果要求解这样一个极限：$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{n^n}$$这个极限可以通过Gamma函数来求解。

先对这个式子做一些变形:$$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{2\pi}\sqrt{n}(\frac{n}{e}) ^n e^{-n}}{n^n}$$然后再将$\frac{1}{n}$替换成小数$x$，再来看这个式子：$$=\lim_{x\rightarrow 0}(\sqrt{2\pi}\sqrt{n^2x}(\frac{1}{n^2x e})^{n} e^{-n})$$将$x$通过Gamma函数表示出来，得到：$$=\lim_{x\rightarrow0}(\sqrt{2\pi}\sqrt{n^2x}\frac{1}{\Gamma(n+1)}(nx e)^{-n} e^{-n})$$于是，极限的取值为：$$=\frac{\sqrt{2\pi}}{e}$$可以看到，Gamma函数在求解这个极限问题中起了不小的作用。

gamma函数的性质
伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。

该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。

与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。

可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

函数性质编辑
1、通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：Γ(x+1)=xΓ(x)
于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：
2、与贝塔函数的关系：
3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：
其中。

4、
这个公式称为余元公式。

由此可以推出以下重要的概率公式：
5、对于，伽马函数是严格凹函数。

6、伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马函数在处的留数为
历史背景
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n²自然的表达，即便n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。

直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。

一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢?我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐
标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

伽马积分公式推导伽马积分是一种特殊函数，常常用于数学和物理学中的积分计算中。

它在加法、乘法和导数等运算规则中有很多应用。

本文将从基本定义开始，逐步推导出伽马积分的公式。

首先，我们定义伽马函数（gamma function）为：Γ(x) = ∫[0, ∞] t^(x-1) * e^(-t) dt其中，x是实数。

伽马函数是连续函数，且在区间(0,∞)内定义。

接下来，我们使用分部积分法来推导伽马函数的性质。

分部积分法的公式如下：∫u * v dx = u * v - ∫v * du dx我们取 u = t^(x-1) 和 dv = e^(-t) dt。

根据分部积分法，我们有：du = (x-1) * t^(x-2) dtv=-e^(-t)将u和v的值代入分部积分法的公式中，得到：∫t^(x-1) * e^(-t) dt = -t^(x-1) * e^(-t) + ∫(x-1) * t^(x-2) * e^(-t) dt我们可以将原积分重新表示为以下形式：∫t^(x-1) * e^(-t) dt = -(t^(x-1) * e^(-t)) + (x-1) *∫t^(x-2) * e^(-t) dt接下来，我们将对第二项应用同样的分部积分法。

令 u = t^(x-2)和 dv = e^(-t) dt：du = (x-2) * t^(x-3) dtv=-e^(-t)将u和v的值代入分部积分法的公式中，得到：∫t^(x-2) * e^(-t) dt = -t^(x-2) * e^(-t) + (x-2) * ∫t^(x-3) * e^(-t) dt将上式代入原积分表达式中，得到：∫t^(x-1) * e^(-t) dt = -(t^(x-1) * e^(-t)) + (x-1) * (-(t^(x-2) * e^(-t)) + (x-2) * ∫t^(x-3) * e^(-t) dt)通过简化上式，我们可以得到如下形式：∫t^(x-1) * e^(-t) dt = -(t^(x-1) * e^(-t)) + (x-1) * (-(t^(x-2) * e^(-t)) + (x-2) * (-(t^(x-3) * e^(-t)) + ...我们可以看出，该表达式可以继续展开为一个无穷级数的形式。