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广义积分

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广义积分

广义积分

其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散

广义积分的计算

广义积分的计算

广义积分的计算
广义积分是普通积分的推广，用来计算不同类型函数的积分，它是一种综合考虑形式空间上一般性情况的重要数学技术。

一般把广义积分分为半定积分和不定积分，半定积分就是在一个定的范围另一端不定的形式，是在这一范围任意点上求和，而不定积分则是限定这个积分的上下限，在这两个上下限的范围的任意点上求和，可以用两种方法来计算，一是直接求解，即在该范围内直接计算函数的积分；二是求导后再计算，就是将所给函数先求其一阶导数，再将求出的一阶导数作积分，这样就可以求出所要求的积分值。

广义积分初步

广义积分初步

证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极

10广义积分

10广义积分

在 0 使得对任意 a a , b b ， f ( x)dx I ，则记


lim a f ( x)dx a

b
b

f ( x)dx 。否则称 f ( x)dx 发散。
a
b
注 10.1.2 ： 如 果 函 数 f : (a, b)
第 4 页 / 共 10 页
10.3 广义积分的收敛性 判断广义积分的收敛性是一个很重要的问题。由于广义积分是 Riemann 积分 随积分限变化时的极限，所以可以用判断函数收敛的办法来判断广义积分的 收敛性。 Cauchy 准则、 单调有界收敛定理、 夹逼定理是判定收敛的普遍方法， 对广义积分而言还有一个判别收敛的重要方法——比较法。 广义积分收敛的 Cauchy 准则 定理 10.3.1（广义积分收敛的 Cauchy 准则）
A A
lim

2A
sgn( x)dx lim A ，所以
A
x


sgn( x)dx 不收敛。
例 10.1.5：
0
e
dx 收敛当且仅当 0 。
第 2 页 / 共 10 页
解： e
0
A x
1 e A 1 A x , 0 , 0 ，所以 lim e dx 。■ dx 0 A A, 0 , 0
A f ( x)dx I
B
。
于是对任意 A, A (, min{ N , a}) ，
F ( A) F ( A)
A A
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A B

第五节 广义积分

第五节 广义积分

1 1
例2. 计算广义积分
2
x2 sin x dx.
解:

2
1 x2
sin 1 dx x


2
sin
1 x
d

1 x

lim b
b1
sin
2
x
d

1 x


lim
b
cos
1 b x 2


lim
b
t
f (x) d x
t
t a
例1. 计算广义积分
解:
dx 1 x2

0
dx 1 x2

0
dx 1 x2
lim a
01 a 1 x2
dx lim b
b1 0 1 x2 dx
y
y

1 1 x2
lim a
基本问题： （1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间； （2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2

lim b

lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a


0

2
.
原式


arcsin x a

§1广义积分的概念与计算

§1广义积分的概念与计算

§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。

在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。

广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。

1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。

设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。

广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。

2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。

2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。

基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。

2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。

换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。

2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。

级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。

2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。

例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。

利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。

第九讲广义积分

第九讲广义积分9 . 1 广义积分的概念广义积分也叫非正常积分或反常积分．它是相对正常积分（也就是定积分或叫黎曼积分）而提出的．我们知道，正常积分必须具备两个前提条件：一是积分区间必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际仁常常需要解决不满足上述条件的积分，这就是广义积分．它分为两类：无穷区间的广义积分（又叫无穷积分）和无界函数的广义积分（又叫瑕积分） .一、无穷区间的广义积分 1 ．定义设f 定义在[)+∞,a 上，且对任何有限区间[]u a ,， f 在其上可积，若极限()()⎰==∞→∞→u au u J u F dx x f lim lim 存在，称广义积分()⎰+∞adx x f 收敛，记为()⎰+∞=adx x f J ，否则称()⎰+∞adx x f 发散．同理可定义：()()⎰⎰-∞→∞-=buu bdx x f dx x f lim对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f ，其中a 为任意的实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，称左边的无穷积分收敛． 注：对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f 类型，右边两无穷积分收敛是指：对两独立的极限()⎰-+∞→avv dx x f lim与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在，而不能认为是互有关联的极极()⎰-+∞→avv dx x f lim 与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在 · 一般地，称 ()⎰-+∞→auv dx x f lim 为()⎰+∞∞-dx x f 的柯西主值，记作()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..．无穷积分的敛散与它的柯西主值之间的关系如下： ( 1 ）若无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 收敛，则()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..必存在，且它们的值相等 · ( 2 ）若()⎰+∞∞-dx x f p V ..存在，但无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 未必收敛 · 例如：0lim ..==⎰⎰-+∞→+∞∞-a uv xdx xdx p V ，但⎰+∞∞-xdx 显然是发散的 ·2 ．等价定义 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对 0>∀ε，a A >∃当 M > A 时，恒有()ε<⎰+∞Mdx x f .3 ．柯西准则 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对0>∀ε，a A >∃，当 A A A >>12时，恒有()ε<⎰21A A dx x f4 ．绝对收敛和条件收敛 ( l ）绝对收敛：若()⎰+∞adx x f 收敛，称()⎰+∞adx x f 是绝对收敛的显然绝对收敛必收敛。

广义积分


∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim
+∞
0
+∞
f ( x )dx
∫a f ( x )dx + blim ∫0 a → −∞ → +∞
0
b
f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例1 计算广义积分 ∫− ∞ 解
1
例7 计算广义积分 解
∫
2
1
dx . x ln x
∫1
2
dx 2 dx = lim ∫1+ε x ln x ε →0+ x ln x
2
= lim ∫1+ε
ε → 0+
ε → 0+
d (ln x ) 2 = lim [ln(ln x )]1+ε ε → 0+ ln x
= lim [ln(ln 2) − ln(ln(1 + ε ))]
b
b
上连续, 设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ ,+∞ ) 上连续 , 如果 广义积分 ∫− ∞ f ( x )dx 和 ∫0
0 +∞
f ( x )dx 都收敛 ， 则 都收敛，
+∞
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的广义积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx . 上的广义积分，
= lim ∫a
ε → +0
c −ε
f ( x )dx
b
f ( x )dx + lim
b

广义积分

2 3
3
3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
0
2 3
3
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
1 例 9 证明广义积分0 q dx 当q 1 时收敛，当 x q 1时发散.
1
11 1 1 证 (1) q 1, 0 q dx 0 dx ln x 0 , x x , q 1 1 q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 0 x ,q1 1 q 0 1 q 1 因此当q 1 时广义积分收敛，其值为 ； 1 q 当q 1 时广义积分发散. 1
a x a

b
(2)f (x)在x b 无界, f ( x)dx F( x) |b F( x ) F(a ) a lim
a xb

b
( 3) f(x)在x c(a c b)无界,
a f ( x )dx a f ( x )dx c
xc
b
c
b
f ( x )dx
a
a

当 f ( x)dx, g( x)dx都收敛时
a
a

[f(x) g(x)]dx
a

f ( x)dx g( X)dx
a

0 dx dx dx 解 0 1 x 2 2 2 1 x 1 x b 1 0 1 lim dx lim a dx 2 b 0 1 x a 1 x 2
解 : sin xdx sin xdx sin xdx
sin xdx cos x |0 lim cos x 1不存在 0

广义积分


二、无界函数的广义积分
【例7】
二、无界函数的广义积分
【例8】
下列算式是否正确？
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
思考
(1)本节学习了几种不同类型的广义积分？它与定积分有何 区别与联系？
(2)为什么要学习广义积分？什么情况下要用广义积分？
谢谢聆听
广义积分
一、无穷区间的广义积分
定义1
设f(x)在区间［a,+∞)内连续，任取b>a，若极限 limb→+∞ 存在，则称此极限为f(x)在区间［a,+∞)上的广义积 分，记作∫+∞af(x ，即
(5-7) 此时称广义积分∫+∞af(x 存在或收敛；否则称广义积分 ∫+∞af(x 没有意义或发散． 类似地，可定义f(x)在区间(－∞,b］上的广义积分
一、无穷区间的广义积分
注意分
【例3】
这个广义积分的几何意义是：当a→－∞，b→+∞时，虽然 图5-8中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π．
图 5-8
二、无界函数的广义积分
定义3
此时称广义积分
存在或收敛；否则称广义积分
没有意义或发散．这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点．
类似地，可定义f(x)在区间［a,b)上的广义积分
二、无界函数的广义积分
定义4
否则，称其没有意义或发散．
二、无界函数的广义积分
【例4】
二、无界函数的广义积分
图 5-9
二、无界函数的广义积分
【例5】
注意
该题的结论一般要记住，可作为定理使用．
二、无界函数的广义积分
【例6】
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理论与实验课教案首页
第12 次课授课时间2016年12月4日第6～7节课教案完成时间2016年11月28日
理论与实验课教案续页
基 本 内 容
教学方法手段
和时间分配
复习:
一、 定积分的概念——特殊乘积和式的极限 二、 定积分的性质 三、 定积分的计算
积分上限函数及其导数'()(())'()x
a
x f t dt f x Φ==⎰
牛顿—莱布尼兹公式
()d ()()()b b
a a
f x x F x F b F a ==-⎰
第五节 广义积分和Γ函数
一、无穷区间上的广义积分 引例：求曲线)0(11
2>+=x x y 与x 轴、y 轴所围成的开口曲边梯形的面积。

根据定积分的思想，所求面积的底边为无限长的曲边梯形，它可表示为
在[0,)+∞上任取一点b ，则在区间[0,]b 上的曲边梯形面积为
2
01
()1b
S b dx x =+⎰
5分钟
15分钟
提问：如何求无限长曲边梯形面积
基 本 内 容
教学方法手段
和时间分配
为药物的表现容积，F 为吸收分数，D 为口服剂量。

求c t -曲线下的面积AUC(Area under Curve)。

课堂练习： 计算广义积分
0pt t e dt (p ).+∞
->⎰
二、被积函数有无穷型间断点的广义积分
)(x f 在],[b a 上有无穷间断点（若)(x f 在c 点无定义，且
∞=→)(lim x f c
x ）
引例：求曲线)0(112
>-=
x x y 与x 轴、y 轴及直线1x =所围成的开口曲边梯形的面积。

根据定积分的思想，所求面积的侧边为无限长的曲边梯形，它可表示为
在[0,1)上任取0,ε>则在区间[0,1]ε-上的曲边梯形面积为
⎰
---=ε
ε10
2
111dx x
S
类比得到 定义
()b
a
f x dx ⎰
时，
要求:
1）,a b 为常数；
2）()f x 在[,]a b 上
连续必可积。

12
1dx S x
=-⎰。