广义积分

高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。

掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。

接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。

一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。

对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。

（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。

第九讲广义积分9 . 1 广义积分的概念广义积分也叫非正常积分或反常积分．它是相对正常积分（也就是定积分或叫黎曼积分）而提出的．我们知道，正常积分必须具备两个前提条件：一是积分区间必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际仁常常需要解决不满足上述条件的积分，这就是广义积分．它分为两类：无穷区间的广义积分（又叫无穷积分）和无界函数的广义积分（又叫瑕积分） .一、无穷区间的广义积分 1 ．定义设f 定义在[)+∞,a 上，且对任何有限区间[]u a ,， f 在其上可积，若极限()()⎰==∞→∞→u au u J u F dx x f lim lim 存在，称广义积分()⎰+∞adx x f 收敛，记为()⎰+∞=adx x f J ，否则称()⎰+∞adx x f 发散．同理可定义：()()⎰⎰-∞→∞-=buu bdx x f dx x f lim对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f ，其中a 为任意的实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，称左边的无穷积分收敛． 注：对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f 类型，右边两无穷积分收敛是指：对两独立的极限()⎰-+∞→avv dx x f lim与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在，而不能认为是互有关联的极极()⎰-+∞→avv dx x f lim 与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在 · 一般地，称 ()⎰-+∞→auv dx x f lim 为()⎰+∞∞-dx x f 的柯西主值，记作()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..．无穷积分的敛散与它的柯西主值之间的关系如下： ( 1 ）若无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 收敛，则()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..必存在，且它们的值相等 · ( 2 ）若()⎰+∞∞-dx x f p V ..存在，但无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 未必收敛 · 例如：0lim ..==⎰⎰-+∞→+∞∞-a uv xdx xdx p V ，但⎰+∞∞-xdx 显然是发散的 ·2 ．等价定义 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对 0>∀ε，a A >∃当 M > A 时，恒有()ε<⎰+∞Mdx x f .3 ．柯西准则 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对0>∀ε，a A >∃，当 A A A >>12时，恒有()ε<⎰21A A dx x f4 ．绝对收敛和条件收敛 ( l ）绝对收敛：若()⎰+∞adx x f 收敛，称()⎰+∞adx x f 是绝对收敛的显然绝对收敛必收敛。

广义积分与变换广义积分和变换是数学中重要的概念和工具，它们在许多领域中都有广泛的应用和重要的意义。

本文将介绍广义积分和变换的概念、性质以及应用，并探讨它们在数学和其他科学领域的重要性。

一、广义积分广义积分是指当被积函数在某些区间上不满足黎曼可积条件时，我们对其进行积分的方法。

广义积分的概念首先由数学家柯西引入，并经过数学家黎曼的修正和扩展而得到完善。

广义积分最常见的形式是定积分的广义形式，即积分上下限可以是无穷大或无界的。

对于函数f(x)，如果在[a, b]上黎曼可积，那么我们可以定义其定积分∫[a, b]f(x)dx。

如果f(x)在[a, b]上不满足黎曼可积条件，我们可以将积分区间[a, b]分割成若干个子区间，再分别在这些子区间上定义广义积分。

当极限∫[a, t]f(x)dx存在时，我们称之为广义积分的收敛性。

广义积分具有一些重要性质，如线性性、比较性、积分换元等。

这些性质使得广义积分成为处理无穷和无界函数的有力工具。

广义积分在微积分、数学分析以及其他科学领域的建模和问题求解中都有广泛的应用。

例如，它可以用于求解曲线长度、体积、面积等几何问题，还可以用于解析几何、概率论、统计学等领域的计算。

二、变换与广义积分变换是一种数学工具或方法，将原始函数或模型转换为新的函数或模型，并通过改变变量或坐标系来简化问题或求解问题。

变换与广义积分有着密切的联系和应用。

常见的变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、泊松变换等。

这些变换在信号处理、电路分析、图像处理、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

它们通过将原始函数表示为频域或复平面上的函数，使得问题的求解便捷而简单。

其中，傅里叶变换和拉普拉斯变换是最为常见和重要的变换。

傅里叶变换将函数表示为频域上的函数，它在信号处理和图像处理中具有重要的应用。

通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而进行频谱分析、滤波和频率特征提取等操作。

傅里叶变换的性质和快速算法（如快速傅里叶变换）使得信号处理变得简单高效。