第八讲 用函数的观点看方程

用函数的观点看方程与方程组一、教学内容分析1.揭示二元一次方程和方程组、二元一次方程和方程组的解、一次函数、一次函数的图象间的内在联系。

（1）二元一次方程与一次函数的解析式可以互化，每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。

（2）二元一次方程的解为坐标的点在相应的一次函数的图象上，一次函数图象上的点的坐标是相应一次方程的解。

2.对后续学习的作用（1）是后续学习 “用二次函数的观点看一元二次方程”，高中阶段“函数的零点”、“二分法求方程的近似解”、“一元二次不等式的解法”、“线性规划”、“曲线与方程”等内容的基础。

（2）所隐含的构造函数的方法，是解决数学问题的一种重要方法。

例 已知关于x 2x m =+有解，求实数m 的取值范围。

分析：构造函数y =和2y x m =+，问题转化：若半圆224(0)x y y +=≥与直线2y x m =+有交点，求直线在y 轴上的截距m 的取值范围。

二、教学目标:1．通过一次函数解析式与二元一次方程一般形式的对比，使学生体会一次函数与二元一次方程的联系：可以互化，但研究的对象不同，是两种不同的数学模型．2．通过动手操作，使学生体会二元一次方程的解为坐标的点与一次函数图象上的点的关系．3．通过教学使学生体会学习用函数的观点看方程（组）的必要性，在此基础上掌握借助函数图象研究方程（组）的解的方法，体会数形结合的价值．4．通过具体的实例，使学生初步体会构造函数研究方程解的方法．三、教法的关键本内容的教学目标属于“过程与方法”维度的目标，目标的达成需要通过具体的问题来实现，设计好具有探究性的问题是达成教学目标的关键。

教学设计一、激思导学（一）议一议从形式上看一次函数y=2-x 和二元一次方程20x y +-=有什么联系？（教师适时归纳：从形式上看，一次函数解析式和二元一次方程可以互化，将20x y +-=化成用含有x 的代数式表示y 的形式之后即可以看成y 是x 的一次函数．）（二）想一想完成下列各题并思考后面的问题：1．写出满足方程20x y +-=的解： ；2．在平面直角坐标系中，描出你在“1”中写出的解为坐标的点；3．在同一坐标系画出一次函数y=2-x 的图象．二元一次方程20x y +-=的解与一次函数y=2-x 的图象有什么关系？（教师适时归纳：以方程20x y +-=的解为坐标的点在一次函数y=2-x 的图象上；函数图象上的任意一点的坐标都是方程的解．因此，我们可以借助函数的图象研究方程的解．）设计意图：使学生理解一次函数与二元一次方程的联系，初步体会“用函数的观点看二元一次方程”的合理性．二、探究释疑（一）做一做1．直线y=2-x 与x 轴的交点坐标是___________，方程2-x =0的解是___________．2．如图，一次函数1+=ax y 的图象与两坐标轴的交点分别为（-2，0）、（0，1），则：（1）关于x 的一元一次方程01=+ax 的解是 ；（2）关于x 的一元一次方程11=+ax 的解是 ．3．如图，一次函数y ax b =+的图象与两坐标轴的交点分别为A （0，2）、B （1，0），则：（1）关于x 的一元一次方程0ax b +=的解为 ；（2）关于x 的一元一次方程b ax-=2的解为 ； （3）关于x 的一元一次方程1=+b ax 的解为 ．（二）议一议怎样借助一次函数的图象估计一元一次方程的解？设计意图：通过让学生经历由具体到抽象、由简单到复杂的问题的解决过程，使学生体会学习“借助函数的图象估计方程解”的必要性，掌握其基本的方法．（三）做一做前面已经作出了一次函数y=2-x 的图象（如图），请在该坐标系内再作出一次函数y=x 的图象，观察两个函数图象并解答下面的问题：（1）两个一次函数图象的位置关系怎样？交点坐标是多少？ (2)当两个函数的函数值相等时，自变量x 的值等于__________；（3）方程组2y x y x =-⎧⎨=⎩的解是________ ； (4) 方程组⎩⎨⎧=-=+02y x y x 的解是_______ ．（四）议一议怎样借助一次函数的数象估计二元一次方程组的解？设计意图：使学生初步体会可以用函数的观点看二元一次方程组．初步了解可以构造一次函数，借助一次函数的图象估计方程组的解．三、归纳提升如图，一次函数y ax b =+与y mx n =+的图象相交于点P （-1，2）则（1）关于x 的一元一次方程ax b mx n +=+的解为 ； （2）关于x 、y 的二元一次方程组,y ax b y mx n=+⎧⎨=+⎩的解为 ； （3）关于x 、y 的二元一次方程组0,0ax y b mx y n -+=⎧⎨-+=⎩的解为 ． 设计意图：使学生掌握借助函数图象估计方程和方程组的解的方法，进一步领会“函数”与“方B A 0 x y 1 2 y o xP 0 x y-1 2程（组）”间的联系，进一步体会借助函数的图象研究方程（组）的解的价值．四、延伸拓展已知方程5125x x -=+．（1）用一个一次函数的图象估计已知方程的解，这个一次函数可以是哪些？（2）能否用两个一次函数图象的交点估计已知方程的解？这两个一次函数分别可以是哪些？ 设计意图：使学生进一步领会，可以通过构造函数研究与方程解有关的问题，进一步体会根据具体问题构造函数的方法，提升学生分析问题、解决问题的能力，为后续学习打下基础．五、回顾反思通过这节课的学习，你有哪些收获？六、布置作业教材P129：第2、5、6题。

从函数的观点看方程及不等式数学是研究现实世界的量的关系的学科——恩格斯。

由于数学概念、理论和方法都源于实际,是从现实世界的材料中抽象出来的。

数学内容之间相互联系,充满运动变化和对立统一的辨证关系。

函数和方程(方程组)及不等式的这种对应关系正是这种辨证关系的真实写照。

一、函数与方程的关系(一)从关系式上看。

一次函数的关系式为:y=ax+b(a≠0),一元一次方程的一般形式为:ax+b=0(a≠0)从形式上可以看出,当把一次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;反之,把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y就可将方程式转化为函数式。

同理,二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),当把二次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;将方程式右边的0换成一个变量y则方程式变为函数式。

(二)从函数的图象与方程的解来看。

一次函数的图象是一条直线,这条直线必与x轴相交,其交点坐标为(-,0),也就是当因变量y=0时其自变量x=-,这个x的值就是方程ax+b=0(a≠0)的解,换句话说,方程ax+b=0(a≠0)的解就是相对应函数的图象直线y=ax+b上无数个点中的与x 轴相交的那一点的横坐标;二次函数的图象是一条抛物线,这条抛物线与x轴的位置关系有三种情况:当抛物线与x轴有一个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个相等的实数根x1=x2=-,当抛物线与x轴有两个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=,x2=,当抛物线与x轴没有交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根。

换句话说,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是相对应抛物线上无数个点中的与x轴相交的那一点或两点的横坐标。

二、函数与二元一次方程组的关系当把二元一次方程组中每个方程右边的0改写成变量y,就可将方程组转化为两个一次函数式。

从函数观点看方程和不等式-----在整体观下，以内部关联建构新知一、教材分析(七中育才汇源校区、蹇蕾)《义务教育数学课程标准（2023版）》站在知识整体的平台上，关注知识的结构和体系，要求处理好局部知识与整体知识的关系，感受数学的整体性，对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解．函数、方程、不等式的知识是初中数学教学的重要内容，既是学习的重点，也是学习的难点．三者知识交汇也是中考、高考考查的热点问题，它们是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，蕴含着丰富的数学思想和方法.因此，用联系的观点研究它们是很.有必要的.函数、不等式、方程它们是动与静的关系，是变量与常量的关系，静是点，动是线，常量是变量的瞬间．在变化中，在规律中，在动静之中函数、方程、不等式既各自独立又相互联系，共同组成了“数与代数”的核心内容．二、学情分析１.经验基础:从学生认知来看，学生已经学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式相关的概念和解法、函数图象的定义及画法、一次函数的定义及图象的性质、一次函数y=kx+b图象上的点的坐标与一次函数y=kx+b中两个变量的对应关系，这些知识和方法为本节课的学习作了铺垫，同时，学生初步具有利用数形结合思想解决问题的意识和能力.故本节课仅研究一次函数与对应的二元一次方程（组）与一元一次不等式的联系.２.困难预测：（1）函数的学习刚刚开始，学生对函数这一抽象概念的理解还不够深刻，运用函数解决一些问题存在困难. （2）学生很难用自己的语言表达函数与方程、不等式的关系.（3）整合内容较多，如果学生若没有理解到问题本质，容易混淆.3.预测学后：学生能够体会数形结合的优势，将抽象的方程、不等式用直观的图形表示出来，通过不同的途径解决问题，建立一次函数与方程、不等式的联系，发展了几何直观，强化数学数形结合思想、转化思想.并为后继各类函数与方程、不等式的学习奠定基础.三、教学目标（1）通过观察一次函数图象，求方程的解和不等式的解集，体会一次函数与方程、不等式的内在联系.（2）经历探究一次函数与方程、不等式的关系的过程，初步感受三者的辩证与统一，感受数学知识与方法的内在联系，体会数形结合的数学思想,发展几何直观.四、教学内容本节课是在八年级上学完一次函数后，安排的一节整合课.从教学内容来看，本节课要探究一次函数与方程、不等式的关系，会用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解和一元一次不等式的解集.通过问题探究，建立函数图象点的坐标与方程的解、不等式解集的关系，为今后研究更加复杂的函数相关问题奠定基础．本节课的设计原因：（1）从教材知识顺序方面：在八上第四章一次函数的学习之前，整体做了课程的顺序的调整，先学习了八上第五章的二元一次方程组的解法，八年级下第二章一元一次不等式的解法，再来学习函数，这样在确立解析式、求自变量的取值范围等函数问题就比较方便.在三个概念刚刚学完之后，就将三者联系起来看，可以从整体上连贯的把握知识之间的内在联系，同时加深对函数的理解.(2)从教材相关内容的整体安排来看：关于方程、不等式、函数部分的教材，内容螺旋上升，逐步深化，同一类问题从不同角度理解分析，实现了从“四基”到“四能”（四基:基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本活动经验，四能:提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力)，实现了从初步感知→梯度深化→寻求关联→构建体系→探寻本质．,脱节,对于函数与方程、不等式之间的联系缺乏深刻认识,导致学生在学习过程中对模块间内容不能形成系统,对知识的要求达成率就会降低.所以，一次函数学完后再将函数、方程、不等式三部分内容整合起来，有利于从整体上把握数学知识结构,有利于全面提高学生的数学素养，从函数的观点研究方程和不等式，感受三者之间的内在联系，并学会从“数”和“形”两个不同的角度去分析观察同一对象，发展几何直观.(3)从思想方法方面：初高中各类函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）与方程（一元一次，一元二次，二元一次方程组）、不等式（组）之间都可以产生联系，研究问题的思路、本质、方法都是类似的，今天课程的学习也为后面进一步研究奠定基础. 北师大版高中教材对于“方程、不等式、函数”内容的编排如下：五、教学重、难点: 教学重点：（1）一次函数与二元一次方程(组)的联系 （2）一次函数与一元一次不等式的联系 教学难点:能从函数的角度理解方程、不等式六、问题群设置1、主问题：一次函数与对应的方程、不等式有什么联系？2、子问题群（1）对同一个关系式两种表达形式（一次函数及对应的二元一次方程）该如何理解？ (2) 一次函数与对应的二元一次方程有什么联系？ （3）一次函数与对应的二元一次方程组有什么联系？ （4）一次函数与相关的一元一次不等式有什么联系？ 七、教学过程一、引入课题1、下面的图你可以看到什么？2、y=−x+5又可以看作什么？3、请把二元一次方程−2x+y=−1和2x+3y=2化成对应的一次函数. 教师组织学生欣赏图片，学生回答问题.教师提出问题， y=−x+5是什么？因为最近一直在学一次函数，可能大部分学生第一反应是一次函数，如果学生看不出来是方程，教师可以马上将式子变形为x+y=5,加以引导.教师同时强调任何一个二元一次方程都可以化成一个一次函数.引导学生理解二元一次方程和一次函数可以在形式上达到一致，为后继学习做铺垫.让同学感受同一个事物可以从不同角度来看，视角不同，感官不同.二、联想探究探究一、借二元一次方程，初论以形助数1、方程x+y=5有多少个解，请试着写出几个，2、画出函数y=-x+5的图象，3、你能说说二元一次方程和对应的一次函数有联系吗？如果有，是什么？为什么？二元一次方程的解是对应的一次函数图象上点的坐标. 学生写出二元一次方程的解，画出y=-x+5的图象后，教师引导学生从联系的眼光看两者，小组讨论二元一次方程和对应的一次函数有联系吗？如果有，是什么？为什么？鼓励学生用自己的语言表述出这种关系，并能深入本质，找到产生这种联系的原因.本节课的暗线是y=−x+5，既是方程又是函数，以它为基础，不断变化演绎深化，直击问题本质.第一部分内容是基础，同时让学生初步体会用联系的眼光寻找一次函数和二元一次方程的关系，初步体会数形结合思想.探究二、用二元一次方程组，再论以形解数请用不同的方法解方程组{x+y=5−2x+y=−1二元一次方程组的解是对应的两个一次函数图象的交点坐标.灵活用1：探究一的学习，学生初步有了从函数角度来看方程的意识，教师组织学生以小组为单位先讨论解法，再自己操作.然后教师再请学生讲解.学生可能谈到代数方法，也可能通过图象法解决.当学生说出交点坐标就是方程组的解时，教师继续追问，为什么你觉得交点就是方程组的解呢？直在y=−x+5的基础上又加y=2x−1，变成二元一次方程组去研究，过渡的很自然.已有的结论也作为新知探索的基石，继续寻找方程组的解和函数交点坐标之间的关系.灵活用1的安O x y请用不同方法解下列方程组：(1) {x +y =5x −y =3 (2) {x +y =52x +2y =2 (3) {x +y =52x +2y =10你能用函数的观点解释以上方程组的解吗？ 二元一次方程组 两个一次函数 一个解 一个交点（两直线相交） 解 无数解 无数交点（两直线重合） 交点 无解 无交点（两直线平行） 数 形 探究三、引一元一次不等式，实现梯度深化 已知{y =−x +5y >0,求x 的取值范围.灵活用2：一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象如图， 当y ＜0时，x 的取值范围是__________ 在已有函数图象不变的情况上，请你尝试改编题目. 延伸拓展1：如图，已知：函数y 1＝-x +b 和y 2＝ax ﹣3的图象交于点P （2，3），则不等式-x +b ＞ax ﹣3的解集是__________延伸拓展2：如图所示，函数y 1＝|x |和y 2＝x +的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是 ． 击问题本质. 学生先独立完成，再请学生用不同方法讲解，最后请学生总结通过解以上三个方程组，又有什么发现和体悟. 教师引导学生用不同的方法解决. 从代数角度考虑，求x 范围就是解一元一次不等式-x+5>0;从函数角度就是一次函数y 值大于0，即图象上的点的纵坐标大于0时，对应点的横坐标的取值范围.学生先独立完成灵活用2，再尝试改编题目，对学生的能力提出更高的要求.当然也有学生可能先求出一次函数解析式，转化成不等式，解不等式.教师予以鼓励，但也请学生自己感受图象法的直观.学生独立思考，再分享自己的方法.教师引导学生用函数的观点应该如何来看这个不等式呢？ 非一次函数与不等式的问题，是否也可以观察图象解决问题，根据学情，灵活把握时间，可以当场处理，也可以留到课下完成.排，让学生进一步理解方程组的解和对应函数交点坐标的关系，是对探究二的深化.让学生体会到还可以形解数，数形结合的思想.从函数的角度看可以看方程，还可以看不等式.利用图象将一次函数与一元一次不等式联系起来 学生利用所学，通过图象直观解决不等式问题，加深对一次函数与不等式之间的关系的理解，发展几何直观.进一步深化问题，若两个一次函数相交，借助于函数图象求不等式的解集，让学生进一步体会从图象上去解不等式非常直观.延伸拓展，可以进一步提高学生思维，这道题用代数方法做就非常复杂，如果用图象法就非常容易了,是一道非常好的数形结合的例子.三、揽全局，形通法学到这里，请同学们回顾一下，本堂课什么地方给你的感受是很深的？或者你有什么样的感悟要与大家分享？四、布置作业八、基于单元整体教学的1设计思路和突破点.1.以数学问题驱动知识建构“如果将数学看成人类的一种创造性活动，那么，‘问题’在很大程度上就可被看成这种活动的实际出发点”，因此，以问题解决驱动数学思维与知识建构，是行之有效的教学方法．本节内容的呈现顺序依次是一次函数与二元一次方程的关系、一次函数图象上的点与二元一次方程解的关系、两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，这是“由易到难、拾级而上”的呈现方式．三个探究活动，使知识的发生发展浑然一体，使学生已有水平和教师要求学生达到的水平之间产生认知冲突，从而激发学生的探究欲望，产生数学学习的动力．当学生的思维处于困顿、愤悱之时，教者通过追问，将问题分解、后退至知识关联之处、学生可认知之处，进而有效驱动学生知识建构与思维发展．这是一种自上而下的、在问题解决中建构知识、发展思维的教学策略，这样既能引发学生认知冲突，又能兼顾学生认知的整体性和思维的发展性．2.以内部关联促进数学理解郑毓信教授认为:数学是外部力量与内部因素相互作用的结果.而以数学内部的关联促进数学理解不失为一种重要的教学方法．本节教学设计是在学生操作后提出一系列层层深入的问题，进而引发认知冲突，然后回到知识的本源，从知识间内在的、本质的关联出发探究:一次函数就是二元一次方程、函数图象上点的坐标与函数两个变量的关系、两个一次函数图象的公共点的坐标同时满足两个函数关系式，学生自然而然意识到:求交点坐标就是求联列两个一次函数得到的二元一次方程组的解，从而突破学习难点，促进学生对数学本质的理解．这正是外部力量与内部因素相互作用、从内部关联突破难点.有了前面两个活动的铺垫，学生通过类，也很自然的从函数的角度去理解不等式问题，找到问题的本源.3.以活动促进学生有效学习在学生学习活动方式上，宜采用独立思考、小组交流、班级展示、教师指导、教师讲解等多种形式，既为学生提供自主学习交流的时间和机会，充分发挥学生的主体作用，又要注重教师的及时指导与适时点拨，帮助学生实现认识上的提升.。

练习：
请考虑下面两种移动电话的计费方式：
月租费 本地通话费
全球通 50元/月 0.40元/分
神州行
0
0.60元/分
用函数的方法解答如何选择计费方式更省钱？ 提示：根据下图即可得出答案：
y
250
y2=0.6x
(x为自然数)
200
150
100
.50
. .
..
..
..
.
y1=50+0.4x （x为自然数）
如：解方程3(x+7)=2x. 整理得:x+21=0 作出直线y=x+21,它与x轴的交点的横坐标就是 方程3(x+7)=2x解.
例 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每 秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？
从数的 角度看:
求ax+b=0(a≠0)的解. x为何值时，y=ax+b的值为0？
彬彬
1时后乙距离A地80千米，即乙的速度是20千 米/时；2时后甲距离A地30千米，即甲的速度是15
千米/时，由此可以求出甲、乙两人的速度和，进 而求解本题．
老师为了检测小凯的数学学习情况，编了四道 测试题. 问题①：解方程2x+20=0; 问题②：当x为何值时，函数y=2x+20的值0？
问题③：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x 轴的交点坐标；
问题④：问题①②有何关系？ ①③呢？
问题①：解方程2x+20=0; x=-10
问题②：当x为何值时，函数y=2x+20的值0？ x=-10
y
问题③：画出函数y=2x+20 的图象，并确定
20 y=2x+20