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从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
【知识梳理】
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－b2a 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} x|x≠－b2a
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a
4.分式不等式与整式不等式
(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
【微点提醒】
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 2
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c>0或a>0，Δ<0.
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c<0或a<0，Δ<0.
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
一次函数教学反思
一次函数教学反思1
用函数的观点看方程（组）和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法。教学过程中要让学生理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，明白方程（组）、不等式与函数三者之间可以相互转化、相互渗透，让学生成为学习的主导者，主动去观察、分析、归纳与总结，得到更深刻、透彻的知识点，并且让学生在交流中体会成功。
教学优点：
1、能积极学习并采用多媒体课件进行授课。应用多媒体课件直观、明了的'展示了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程的联系，且课堂容量大、课堂效率高。运用幻灯片让枯燥的理论知识直观、形象、生动起来，激发了学生学习的积极性。
2、“数形结合”思想的完美体现。我能够利用一次函数图象从“形”方面直观地表示方程（组）和不等式的解或解集的含义，反过来，又从“数”的方面来解释方程（组）的解及不等式的解集实质就是图象上对应点的自变量的取值或取值范围。这节课让学生充分感受到“数形结合”思想的重要性。
教学不足：
1、课堂容量有些大，学生组内讨论时间较少，学生单独回答问题的机会也有点少。
2、缺乏对学困生的关注、指导和帮助。
3、对学生语言表达能力估计过高，用函数观点解释方程、不等式，学生只可意会，不会言语。一次函数教学反思2
相对前面两课内容来说，这一课的内容较为容易理解，再加上有前面两课的基础，学生应该好学习些。因此，这一课我在以下两个方面要求学生做好，图形解方程组的画图规范，利用图形进一步理解前一课的内容：“当_为何值时，y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2的题目类型”。
在课堂上，学生能够结合例题，总结出利用函数的图象解二元一次方程组的解题步骤：变形、画图、标交点、得结论。利用足够充分的时间让学生画图象解方程组，学生标交点的工作做得还不是很好，为此，提出了怎样才确保是实实在在可以看出是由图象得到交点坐标，得到方程组的解的，学生讨论的结果还是让我们满意的，不但由交点画垂线，在数轴上标出交的横坐标和纵坐标，而且把交点坐标在图上写出来，做到双保险。
第九讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
4.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
【基础知识】
1.一元二次不等式与一元二次函数的关系：
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.
2.简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
3.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0，Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔a<0，Δ<0.
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
4.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式
把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式.
5.一元二次不等式的形式：
任意一个一元二次不等式都可以利用不等式的性质变成二次项系数大于0的形式，并且可以化为下列形式中的一种： (1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；
(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(3)ax2＋bx＋c≥0(a>0)；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a>0).
6.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
用函数观点看方程(组)与不等式（解答应用）
一、解答题
1.作出函数y=-x+5的图象，观察图象回答下列问题：
(1)x___________时，-x+5≤0；
(2)x___________时，-x+5≥0；
(3)x___________时，-x+5<2；
(4)x___________时，-x+5>3.
2.若正比例函数2m-21)x-(2my中，y随x的增大而减小，求这个正比例函数.
3.已知3x+y=2，当y取何值时，-1
4.【2008·浙江台州】在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：
(1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：
①___________；②___________；③___________；④___________；
(2)如果点C的坐标为(1，3)，那么不等式11bxkbkx的解集是_________ ．
5.已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时，y=2. (1)求y与x的函数关系式；(2)求当x=-1时的函数值；(3)如果y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围.
6.已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4)
求：(1)m为何值时，y随x的增大而减小；
(2)m、n分别为何值时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m、n分别为何值时，函数图象经过原点？ 7.一次函数y=-3x+12与x轴的交点坐标是多少，当函数值大于0时，x的取值范围是多少，当函数值小于0时，x的取值范围是多少？
8.【2007·山东日照】某水产品市场管理部门规划建造面积为24002m的集贸大棚，大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为282m，月租费为400元；每间B种类型的店面的平均面积为202m，月租费为360元.全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%.
