用一次函数观点看方程

1 / 3 26.2用函数观点看一元二次方程

教学任务分析

教

学

目

标 知识技能 了解一元二次方程的根的几何意义，掌握用二次函数图象求解一元二次方程的根．

数学思考 建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象，体会数与形的完美结合．

解决问题 1．通过实际问题，体会一元二次方程解的实际意义，发展数学思维．

2．求解过程中，学会合作、交流.

情感态度 1．通过对小球飞行问题的分析，感受数学的应用，激发学生学习热情．

2．在求解过程中，体会解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．

重点 利用二次函数图象解一元二次方程

难点 将方程转化为二次函数

教学流程安排

活动流程图 活动内容和目的

活动1 问题引入

活动2 方程与函数

活动3 巩固、应用

活动4 小结、布置作业 通过对小球飞行问题的求解，激发学生对一元二次方程根的探索兴趣．

观察、分析二次函数的图象，判断一元二次方程根的情况，发展学生分析问题的能力．

通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况，激发探索精神．

回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．

教学过程设计

问题与情境 师生行为

[活动1]

问题：

如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位: m)与飞行时间 t

(单位: s)之间具有关系：2520tth．

（1） 球的飞行高度能否达到15

m? 若能,需要多少时间?

（2）球的飞行高度能否达到20 m? 若能,需要多少时间?

出示问题，学生分析理解．

注意学生对高度、时间的理解．

分析：

（1） h是t的二次函数；

（2） 当h取具体值时，得到关

于t的一元二次方程；

（3） 如何求解一元二次方程的根呢？

（4）如何理解一元二次方程与二次函数的关系？

2 / 3 （3）球的飞行高度能否达到20.5 m?

一次函数教学反思

一次函数教学反思1

用函数的观点看方程（组）和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法。教学过程中要让学生理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，明白方程（组）、不等式与函数三者之间可以相互转化、相互渗透，让学生成为学习的主导者，主动去观察、分析、归纳与总结，得到更深刻、透彻的知识点，并且让学生在交流中体会成功。

教学优点：

1、能积极学习并采用多媒体课件进行授课。应用多媒体课件直观、明了的'展示了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程的联系，且课堂容量大、课堂效率高。运用幻灯片让枯燥的理论知识直观、形象、生动起来，激发了学生学习的积极性。

2、“数形结合”思想的完美体现。我能够利用一次函数图象从“形”方面直观地表示方程（组）和不等式的解或解集的含义，反过来，又从“数”的方面来解释方程（组）的解及不等式的解集实质就是图象上对应点的自变量的取值或取值范围。这节课让学生充分感受到“数形结合”思想的重要性。

教学不足：

1、课堂容量有些大，学生组内讨论时间较少，学生单独回答问题的机会也有点少。

2、缺乏对学困生的关注、指导和帮助。

3、对学生语言表达能力估计过高，用函数观点解释方程、不等式，学生只可意会，不会言语。一次函数教学反思2

相对前面两课内容来说，这一课的内容较为容易理解，再加上有前面两课的基础，学生应该好学习些。因此，这一课我在以下两个方面要求学生做好，图形解方程组的画图规范，利用图形进一步理解前一课的内容：“当_为何值时，y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2的题目类型”。

在课堂上，学生能够结合例题，总结出利用函数的图象解二元一次方程组的解题步骤：变形、画图、标交点、得结论。利用足够充分的时间让学生画图象解方程组，学生标交点的工作做得还不是很好，为此，提出了怎样才确保是实实在在可以看出是由图象得到交点坐标，得到方程组的解的，学生讨论的结果还是让我们满意的，不但由交点画垂线，在数轴上标出交的横坐标和纵坐标，而且把交点坐标在图上写出来，做到双保险。

26.2 用函数的观点看一元二次方程（1）

教学目标：

1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。

3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

重点难点：

重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。

难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．

教学过程：

一、引言

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题

问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋45。

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?

(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?

教学要点

1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；

2．学生解答，教师巡视指导；

3．让一两位同学板演，教师讲评。

问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?

教学要点

1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。

６　Ｍ册　

一次函数　

一一次国教与一元一次方程　

由于任何一元一次方程都可　转化为　＋ｂ＝０（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠　Ｏ）的形式，所以解一元一次方程可　以转化为：当一次函数值为０时，求　相应的自变量的值．　铡　１　利用图像求方程　一３＝　＋２的解．　

解法一　我们首先将方程　一３＝　＋２整理变形为５　一　

５＝０．　然后画出函数Ｙ＝５ｘ一５的图像，看直线Ｙ＝５ｘ一５与Ｘ轴　

的交点在哪，坐标是什么，由交点横坐标即可知方程的解．　

由图可知直线Ｙ＝５ｘ一５与　轴交点为（１，０），故可得Ｘ＝１．　

４　Ｙ＝５ｘ一　３　２　．．，．１　一　ｌ　／　一２３—４　

—５／　图　１　‘Ｉ／Ｙ＝　４－２　３　（１，３）　

／一ｌ０　／　：　

：６ｘ一３　

图　２　

解法二　我们可以把方程　一３＝　＋２看作函数Ｙ＝６ｘ一　

３与Ｙ＝　＋２在何时两函数值相等，即可从两个函数图像上看　

出，直线Ｙ＝６ｘ一３与Ｙ＝Ｘ＋２的交点．交点的横坐标即是方程　

的解．　由图像可以看出，直线Ｙ＝６ｘ一３与Ｙ：　＂４－２交点为　

（１，３），所以　＝１．　

二一次硅Ｉ散与二元一次方　程组　每个二元一次方程组都对应　两个函数．于是也对应两条直线．　从“数”的角度看．解方程组相当于　考虑自变最为何值时两个函数值相　等，以及这个函数值是何值；从“形”　的角度看．解方程组相当于确定两　条　线交点的坐标．　例２　两种移动电话计费方式如下：　

全球通　神卅ｌ行　

月租费　５Ｏ元／月　０　

本地通话费　０．４０元／分　０．６０元／分　

用函数方法解答如何选择计费方式更省钱．　

解法一　设每月通话时间累计　分钟，则全球通月消费Ｙ＝　

０．４０ｘ＋５０元，神州行月消费．Ｙ＝０．６０ｘ元．　

在同一坐标系中画出这两个一次函数的图像．　

解方程　ｆｙ　ｏ・４　＋５０，得ｆ　＝２５０，　【Ｙ＝０．６０ｘ．　ＩＹ＝ｌ５Ｏ．　

Ｔｈｅ　ｂｅｓｔ　ｗａｙ　ｏｆ　ｋｅｅｐｉｎｇ　ｆｉｔ　ｉｓ　ｔｏ　ｋｅｅｐ　ａ　ｈｅａｒｔ　ｙｏｕｎｇ．