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第八篇函数与方程

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第八篇 函数与方程

考纲传真

1.考查函数零点的个数和取值范围

2.利用函数零点求解参数的取值范围

3.与实际问题相联系，考查数学应用能力

复习建议

1.准确理解函数零点与方程的根，函数图象与x轴交点之间的关系

2.会利用函数值域求解“a＝f(x)有解”型问题

3.利用数形结合思想解决有关函数零点的个数问题

考点梳理

1．函数的零点

(1)定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．

(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．

(3)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

2．零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.

3．用二分法求函数f(x)零点（该部分内容本次复习不做要求）

典例归纳

例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．

(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；

(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．

例2 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．

例3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．

例4 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．

例5 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x (x>0)．

(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

课堂小结

1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

2．函数零点的判定常用的方法有

(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.

3．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．

4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．

课后作业

一、选择题

1.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )

A．(－1,1) B．(－2,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

2.方程|x2－2x|＝a2＋1 (a>0)的解的个数是 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4

3.若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点 ( )

A．至少有一个 B．至多有一个

C．有且只有一个 D．可能有无数个

4.已知函数f(x)＝log2x－13x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0

A．恒为负 B．等于零

C．恒为正 D．不小于零

5.已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是( )．

A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点

B．函数f(x)必有一个零点是正数

C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点

D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点

6.已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0,1]上有且只有一个零点，则实数m的取值范围为( )

A．(－2,0) B．(－1,0)

C．[－2,0] D．(－2，－1)

7.函数f(x)＝ x2＋2x－3，x≤0，－2＋ln x，x>0的零点个数为 ( )

A．3 B．2 C．1 D．0

8.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则( )

A．a

二、填空题

9. 若函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，则实数a的取值范围是________．

10.若f(x)＝ x2－x－1，x≥2或x≤－1，1， －1

11.已知函数y＝f(x) (x∈R)满足f(－x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为________． 12.已知函数f(x)＝ 2x－1，x>0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

三、解答题

13.关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时：

(1)有两不同正根；

(2)不同两根在(1,3)之间；

(3)有一根大于2，另一根小于2；

(4)在(1,3)内有且只有一解．

14.(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；

(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．

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第九节 函数与方程

第九节 函数与方程

第九节 函数与方程

题号 1 2 3 4 5

6

答案

1．(2013·安徽安庆四校联考)如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)零点的区间是( )

A．[－2.1，－1] B．[1.9，2.3]

C．[4.1，5] D．[5，6.1]

解析：根据二分法的概念，由图象易知，函数f(x)在区间[1.9，2.3]上不能用二分法求出函数的零点．故选B.

答案：B

2．已知函数f(x)＝3x＋x－9的零点为x0，则x0所在区间为( )

A.－32，－12 B.－12，12

C.12，32 D.32，52

解析：∵函数f(x)＝3x＋x－9在R上连续，f32 ＝27＋32 －9

＜0，f52 ＝243 ＋52 －9＞0，

所以f32 f52 ＜0，故函数的零点x0所在区间为32，52，故选D.

答案：D

3. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …

y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …

y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76

9.0 11.56 …

那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间( )

A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8)

C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)

答案：C

4．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )

A．[－4，－2] B．[－2，0]

C．[0，2] D．[2，4]

解析：对于B，∵f(0)＝4sin 1＞0，f－π2＝4sin(－π＋1)＋π2＝π2－4sin 1＜π2－4sinπ6＝π2－2＜0，∴在该区间上存在零点．

(北京专用)2019版高考数学一轮复习第二章函数第八节函数与方程作业本理

(北京专用)2019版高考数学一轮复习第二章函数第八节函数与方程作业本理

1 第八节 函数与方程

A组 基础题组

1.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )

A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1

2.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:

x 1 2 3 4 5 6

y 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6

则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

3.(2017北京西城二模,12)若函数f(x)=则f=

;方程f(-x)=的解是 .

4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=x2-2x,若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4个零点,则m的取值范围是

.

5.(2017北京顺义二模,14)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-k.

(1)当m=2时,若函数g(x)有两个零点,则k的取值范围是 ;

(2)若存在实数k,使得函数g(x)有两个零点,则m的取值范围是 . 2 6.(2017北京通州期末,14)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k(x-1)有且只有一个零点,则实数k的取值范围是 .

7.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=

(1)求g(f(1))的值;

(2)若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.

B组 提升题组

8.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-的零点个数是( )

A.4 B.3 C.2 D.1

9.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a(x+1)有三个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( )

A. B.(0,+∞)

C.(0,1) D.

10.已知函数f(x)满足f(x)+1=,当x∈[0,1]时, f(x)=x,若在区间(-1,1]上,g(x)=f(x)-mx-2m有两个零点,则实数m的取值范围是(

第六章 过程与函数

第六章 过程与函数

第六章 过程与函数

实验一：设计一个温度转换程序，实现摄氏和华氏温度之间的转换，并可通过滚动条调整显示。

实验步骤：

（1）我们假定温度值在华氏-40～212度之间变化，在摄氏-40～100度之间变化。该程序可把华氏和摄氏温度值在滚动条上显示出来。程序的界面有1个滚动条和6个标签及两个文本框组成，如图所示。

摄氏—华氏温度转换（1）

（2）对象属性及其设置如下表：

对象 属性 设置值

Form1 BorderStyle 3-Fixed Double

Caption "华氏与摄氏温度转换"

Name Temp

Vscroll1 LargeChange 10

Max -40

Min 100

Name VscThermometer

SmallChange 1 Label1 Alignment 2-Center

Caption Fahrenbeit

Label2 Alignment 2-Center

Caption Celsins

Label3 Alignment 1-Right Justfy

Caption 212

Label4 Alignment 1-Right Justfy

Caption -40

Label5 Alignment 0-Left Justfy

Caption 100

Label6 Alignment 0-Left Justfy

Caption -40

Text1 Name TxtDegrestF

Text (空白）

Text2 Name TxtDegrestC

Text (空白）

（3）除上述属性外，把所有控件（滚动条除外）的Fontsize属性设置为12。设计完成后如下图所示。

摄氏—华氏温度转换（2）

（3）下面来写几个过程：

高考数学八个模块知识点

高考数学八个模块知识点

高考数学八个模块知识点

在高中数学教学中，高考是一个重要的里程碑。数学作为高考的一门主要科目，涉及到了各个模块的知识点。在这篇文章中，我们将会系统地总结高考数学中的八个模块的知识点，以帮助同学们更好地复习和备考。

一、函数与方程

函数与方程是高考数学中的基础模块，也是最为常见和重要的知识点之一。主要包括函数的性质与图像、一次函数与二次函数、指数函数与对数函数、三角函数等内容。同学们需要掌握函数的定义、性质，能够绘制函数图像，熟练运用函数的基本性质解决实际问题。

二、数列与数学归纳法

数列与数学归纳法是高考数学中的第二个模块，也是一个相对容易掌握的知识点。这一模块主要包括等差数列与等比数列的概念与性质，数列的通项公式，以及数学归纳法的基本原理与应用。通过学习数列与数学归纳法，同学们可以解决一些关于数列和求和的问题。

三、三角函数

三角函数是高考数学中的一个较为复杂的模块，也是许多同学感到困难的知识点之一。这一模块主要包括角度的度量、三角函数的概念、性质与图像，以及相关的恒等变换与解三角方程等内容。同学们需要深入理解三角函数的性质，能够运用三角函数解决各种相关的题目。

四、平面向量

平面向量作为高考数学中的一个重要模块，主要包括向量的概念与性质、向量的运算、向量的共线与垂直、向量的应用等内容。同学们需要掌握向量的基本概念，能够进行向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，并能够应用向量解决几何与物理问题。

五、解析几何

解析几何作为高考数学中的一个重要模块，主要包括平面解析几何与空间解析几何。同学们需要掌握坐标系的建立及相关的性质，能够利用解析几何的方法解决几何问题，包括直线的方程与位置关系、圆与圆的位置关系、曲线方程与性质等内容。

六、概率与统计

概率与统计作为高考数学中的一个实际应用模块，主要包括事件与概率、随机事件的概率计算、离散型随机变量与其分布、统计图表与数据分析等内容。同学们需要掌握统计学中的基本概念与方法，能够运用概率与统计解决实际问题，包括随机事件的计算、概率模型的应用、数据的整理与分析等。