第8节 函数与方程

一次函数与方程和不等式讲义(经典)

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一次函数与方程和不等式讲义

函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

1、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

2、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

3、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

4、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

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高考专题复习资料4 函数与方程

1．函数零点的概念：对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。

2．函数零点与方程根的关系：

方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有点函数)(xfy有零点.因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是)(xf的零点

3．函数零点的存在性定理：

如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间),(ba内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。

但要注意：如果函数)(xfy在],[ba上的图象是连续不断的曲线，且0x是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有.0)()(bfaf 注：若()0()0fxfx或恒成立，则没有零点。

三．【技巧平台】

1.对函数零点的理解及补充

（1）若)(xfy在xa处其函数值为0，即()0fa，则称a为函数()fx的零点。

（2）变号零点与不变号零点

①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。

②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。

③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。

（3）一般结论：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf的实数根。从图像上看，函数)(xfy的零点，就是它图像与x轴交点的横坐标。 2

（4）更一般的结论：函数()()()Fxfxgx的零点就是方程()()fxgx的实数根，也就是函数()yfx与()ygx的图像交点的横坐标。

1/9 第三节 圆的方程

一、教材概念·结论·性质重现

1．圆的定义及方程

定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准

方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r

一般

方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F>0) 圆心：－D2，－E2，

半径：12D2＋E2－4F

(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

②圆心在任一弦的中垂线上．

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．

(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为－D2，－E2，半径r＝D2＋E2－4F2的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点－D2，－E2；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．

2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

3．常用结论

2/9 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (√)

(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆． (×)

(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是1，12． (×)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0． (×)

2．若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是( )

人教版八年级数学下册《一次函数与一元一次方程》评课稿

一、课程概述

《一次函数与一元一次方程》是人教版八年级数学下册的一个重要内容，主要介绍了一次函数和一元一次方程的概念、性质、解法以及应用等。通过这个单元的学习，学生将进一步巩固和深化对函数和方程的理解，并能够灵活运用其相关解题方法解决实际问题。

二、教材分析

该单元主要包含以下几个部分：

1. 一次函数的概念和性质

这一部分主要通过例题引导学生初步认识一次函数的概念，了解函数和自变量、因变量之间的关系。同时，介绍了一次函数的线性关系、函数图像的特点以及斜率的含义等。

2. 一次函数的图像和方程

在这一部分中，学生将学习如何绘制一次函数的图像，并能够通过观察图像来确定函数的表达式。同时，通过图像分析一次函数的性质，如函数的增减性、奇偶性等。此外，还介绍了一次函数与方程之间的关系，引导学生掌握通过方程确定函数的图像和通过图像确定函数的方程的方法。

3. 一元一次方程的概念和解法

这一部分主要围绕一元一次方程展开，首先介绍了方程的概念和方程的根的含义。然后，通过具体例题引导学生学习解一元一次方程的常用方法，如等式性质法和移项法等，并能够熟练运用这些方法解决相关问题。 4. 一次函数和一元一次方程的应用

在这一部分中，通过具体的实际问题，引导学生将一次函数和一元一次方程应用于日常生活中的实际情境。通过解答这些问题，学生将进一步理解并掌握一次函数和一元一次方程在实际问题中的应用方法。

三、教学目标

本单元的教学目标主要包括以下几个方面：

1. 了解一次函数的概念和性质，能够灵活运用相关概念解决问题；

2. 掌握一次函数的图像和方程之间的关系，能够通过图像确定函数的表达式；

3. 熟练掌握解一元一次方程的常用方法，能够应用这些方法解决相关问题；

4. 能够将一次函数和一元一次方程应用于实际问题中，灵活解决实际问题。

四、教学重点和难点

本单元的教学重点主要包括：