山西省太原市2016届高三模拟(一)数学(理)试题(图片版)

山西省太原市2017届高三模拟考试（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}1A x y lg x ==+，}2{B x x =<，则A B ⋂= （ ） A ．()2,0- B ．()0,2 C. ()1,2- D ．()2,1--2. 已知2zi i =-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．()1,2-- B ．()1,2- C. ()1,2- D ．()1,23．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则()()135810336a a a a a a ++++=，则11S =（ ） A ． 66 B ．55 C.44 D ．334．已知()()1,,,1a cosa b sina ==，且0απ<<，若a b ⊥，则α=（ ） A ．23π B ．34π C. 4π D ．6π5.函数()cos xf x x=的图像大致为（ ）A ．B ． C. D ．6. 已知圆22:1C x y +=,直线():2l y k x =+,在[]1,1-上随机选取一个数k ,则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为（ ）A ．12B7. 执行如图的程序框图，已知输出的[]0,4s ∈。

若输入的[],t m n ∈，则实数n m -的最大值为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．48. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．61π+ B．(2414π+C. (23142π++ D．(2314π++()1:,,10P x y D x y ∀∈++≥ ()2:,,220P x y D x y ∀∈-+≤ ()224:,,2P x y D x y ∃∈+≤其中真命题的是（ ）A ．12,P PB ．23,P P C. 24,P P D ．34,P P10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为AB =（ ） A ．6 B ．8 C. 12 D ．1611. 已知函数()()0f x sinwx w >=，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则实数w 的取值范围为（ ）A ．137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 2511,62⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1137,26⎛⎤ ⎥⎝⎦12. 设函数()()23202f x x ax a -=>与()2f x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为（ ） A ．212e B ．212e C. 1e D ．232e - 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知()()11,,1a b t =-=，,若()()//a b a b +-,则实数14. 已知双曲线经过点(，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为 ．15. 已知三棱锥A -16.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，2,a bcosB b c =≠. （1）证明：2A B = ；（2）若2222a c b acsinC +=+,求A .18. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。

太原市2016年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知全集{}5,4,3,2,1=U ，集合{}5,4,3=M ，{}5,2,1=N ，则集合{}2,1可以表示为（ ） A ．N M B ．N M C U )( C ．)(N C M U D ．)()(N C M C U U 2.已知i 是虚数单位，则复数=-+ii435（ ） A ．i -1 B ．i +-1 C ．i +1 D ．i --13.下图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ） A ．32 34 32 B ．33 45 35 C ．34 45 32 D ．33 36 354.若双曲线12222=-by a x 的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 21±= D ．x y 22±= 5.对于下列四个命题00)31()21(),,0(:01x x x p <+∞∈∃；03102102log log ),1,0(:x x x p >∈∃；x x p x 213log )21(),,0(:<+∞∈∀；x x p x 314log )21(),31,0(:<∈∀.其中的真命题是（ ）A ．31,p pB ．41,p pC ．32,p pD ．42,p p 6.执行如图所示的程序框图，若输出的2425=S ，则判断框内填入的条件可以是（ ） A ．7≥k B ．7>k C ．8≤k D ．8<k7.已知函数)2)(2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 图象过点)3,0(，则)(x f 图象的一个对称中心是（ ）A ．)0,3(π-B ．)0,6(π-C ．)0,6(πD ．)0,12(π8.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项的为n S ，若14,23==n n S S ，则=n S 4（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．3010.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+334222y x y x y x 所表示的平面区域为M ，若函数1)1(++=x k y 的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是（ ）A ．]5,3[B ．]1,1[-C ．]3,1[-D ．]1,21[-11.已知三棱锥ABC S -，满足SA SC SC SB SB SA ⊥⊥⊥,,，且SC SB SA ==，若该三棱锥外接球的半径为3，Q 是外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．33D ．334 12、已知函数221()2,()3ln 2f x x axg x a x b =+=+，设两曲线()y f x =与()y g x =有公共点，且在该点的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是（ ）A 、6136eB 、2332eC 、616e D 、2372e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=,0),(log ,0,log )(212x x x x x f 若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是______.14.已知圆2)2()1(:22=-+-y x C ，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为____.15.已知非零向量b a ,的夹角为60，且1a b -=，则a b +的最大值是______.16.若数列{}n a 满足)2()1(1≥=---n n a a n nn ，n S 是{}n a 的前n 项和，则=40S ______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知c b a ,,分别为锐角ABC ∆内角C B A ,,的对边，且A c a sin 23=. （1）求角C ； （2）若7=c ，且ABC ∆的面积为233，求b a +的值.18.（本小题满分12分）某工厂对一批共50件的机器零件进行分类检测，其重量（克）统计如下：重量段 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)件数5m12n规定重量在82克及以下的为甲型，重量在85克及以上的为乙型，已知该批零件有甲型2件. （1）从该批零件中任选1件，若选出的零件重量在]100,95[内的概率为26.0，求m 的值； （2）从重量在)85,80[的5件零件中，任选2件，求其中恰有1件为甲型的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的侧棱ABCD PD 底面⊥，且底面ABCD 是直角梯形，CD AD ⊥，CD AB ∥，221===CD AD AB .（1）求证：⊥BC 平面BDP ；（2）若侧棱PC 与底面ABCD PD 底面⊥所成角的正切值为21，点M 为侧棱PC 的中点，求异面直线BM 与PA 所成角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(03:222>=+a y a x M 的一个焦点为)0,1(-F ，左右顶点分别为B A ,.经过点F 的直线l 与椭圆M 交于D C ,两点.（1）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求21S S -的最大值. 21.（本小题满分12分）已知函数)(ln 2)(2R a ax x x x f ∈+-=.（1）若函数)(x f 的图象在2=x 处切线的斜率为1-，且不等式m x x f +≥2)(在],1[e e上有解，求实数m 的取值范围；（2）若函数)(x f 的图象与x 轴有两个不同的交点)0,(),0,(21x B x A ，且210x x <<，求证：0)2(21<+'x x f （其中)(x f '是)(x f 的导函数）. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，AC AB 2=. （1）求证：AD BE 2=；（2）当6,3==EC AC ，求AD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==.sin ,cos 2θθy x （1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于B A ,两点，若38=⋅MB MA ，求点M 轨迹的直角坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数322)(++-=x a x x f ，21)(+-=x x g . （1）解不等式：5)(<x g ；（2）若对任意的R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围.。

太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学(理)出题人、校对人：廉海栋 史天保 李小丽（2017年4月5日）一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1. 设集合A},1,x -2y |{y B 2},x |{x x ∈==<=A ，则A ∩B=A ．（﹣∞，3）B ．[2，3）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣1，2） 2.已知复数i -1z =（i 是虚数单位），则2z -z2的共轭复数是 A ．1-3i B ．1+3i C ．-1+3i D ．-1-3i7. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )种A. 18B. 24C. 36D. 48A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每小题5分,共20分）截面14. 已知,0c 5b 4a 3→→→→=++且,1|c ||b ||a |===→→→则)(→→→+⋅c b a =___________.15. 在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=x 与直线x=1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥=3|3103102πππ==⎰x dx x ．据此类比：将曲线y=2lnx 与直线y=1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= .三．解答题17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n S a +=，其中n S 为{}n a 的前n 项和*()n N ∈.（Ⅰ）求1S ，2S 及数列{}n S 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)nn nb S -=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当2n ≥时，17||39n T ≤≤. 18. （本小题满分12分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A 组”，否则为“B 组”，调查结果如下：（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关？ （Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A 组”和“B 组”的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A 组”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n a b c d =+++为样本容量.参考数据：19. （本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1⊥平面ABC ，A 1B 1∥AB ，AB=2A 1B 1，E 是AC 的中点． （1）求证：A 1E ∥平面BB 1C 1C ；（2）若AC=BC ，AB=2BB 1，求二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆E 的方程是22143x y +=，左、右焦点分别是1F 、2F ，在椭圆E 上有一动点A ，过A 、1F 作一个平行四边形，使顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示. (Ⅰ) 判断四边形ABCD 能否为菱形，并说明理由.(Ⅱ) 当四边形ABCD 的面积取到最大值时，判断四边形ABCD 的形状，并求出其最大值.21. （本小题满分12分）设函数()()()12ln 0f x k x x k =--＞．（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值；（2）设函数()1x g x xe -=（其中e 为自然对数的底数），若对任意给定的()0,s e ∈，均存在两个不同的()21,1,2i t e i e ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，使得()()i f t g s =成立，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线）为参数，：40(sin rcos x 1<<⎩⎨⎧==r r y C θθθ,曲线，为参数：)(sin 222cos 222x 2θθθ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y C 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线）20（πααθ<<=与曲线C 1交于N点，与曲线C 2交于O,P两点，且|PN |最大值为22.（1）将曲线C 1与曲线C 2化成极坐标方程，并求r 的值；（2）射线4παθ+=与曲线C 1交于Q 点，与曲线C 2交于O,M 两点，求四边形MPNQ面积的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=|x-a|，a<0.（1）若a= -2，求不等式f(x)+f(2x)>2的解集；（2）若不等式f(x)+f(2x)<21的解集非空，求a 的取值范围． 4.5高三校一模（理）答案选择题 DACDB ABCAA BA 填空题：13.-5315. 1)-(e π 16. 445π 17.解：（Ⅰ）数列{}n a 满足12n n S a +=，则1122()n n n n S a S S ++==-，即132n n S S +=，132n n S S +∴=，即数列{}n S 为以1为首项，以32为公比的等比数列，所以13()2n n S +=*()n N ∈.（Ⅱ）在数列{}n b 中，11(1)(1)13()2n n n n nb S ----==-⨯，{}n b 的前n 项和，||n T 24|1{1()39=-⨯+-+1312(1)[()]}|33()2n n ---+-++=24|1()39+-++1312(1)[()]|33()2n n ----++.而当2n ≥时，221|1()33-≤+-342[()]93++-++11(1)||13()2n n ---≤+247()|399-+=， 即17||39n T ≤≤. 18． 解：（1）由22⨯列联表可得()()()()()()222100262030240.6490.70856445050n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯-----2分没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关------------------4分（2）由题意得所抽取的5位女性中，“A组”3人，“B组”2人。

2016届山西省太原市高三第二次模拟考试数学（理）试题数学试卷（理工类）第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A {x|log2（x 1）2}, B {x|a x 6}，且Al B {x|2 x b}，则a b （）A. 7 B . 6 C . 5 D . 42. 如图，在复平面内，表示复数z的点为A，则复数—Z—的共轭复数是（）1 2iA. iB. iC.咅53D. -i5J321一,11-2 / <9|1 2 3 4 X3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是（）A. y 1B. y 3x3xC. y x|xD. y x3xx4. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A. 30 B . 24 C . 12 D . 4第1页（共16页）第2页(共16页)5.若函数f(x)同时满足以下三个性质： ①f(x)的最小正周期为 ；②对任意的x R ,都有f (x —) f ( x) 0 :③f (x)在(一，一)上是减函数，则f (x)的解析式可能是()4 4 2|1=0"二 2亦？A. f (x) sin 2x B . f (x) sin 2x3D. f (x) cos(2x ——)46. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为cos2x C. f (x) sin(x —)82,则输入的正整数a 的可能取值的集合是A. {123,4,5}B . {123,4,5,6} C. {2,3, 4,5} D. {2,3, 4,5,6}俯视因/输入口 /第3页（共16页）第4页(共16页)S|00()11.已知圆C ：X 2 y 2 1，点P （x 0,y 。

）是直线l :3x 2y 4 0上的动点，若在圆 C 上总uuu uuu uuu存在两个不同的点 AB ，使OA OB OP ，贝U x 0的取值范围是（）A. 24(0,)B. (24,0)C. (0, 13) D(0,13)1313241212. 已知函数 f(x) x ln — 2 12g(x) e x 2，若 g(m)f （n ）成立，则n m 的最小值为()A. 1 In 2B . ln 2C .2 e3 D. e 23第H 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）313. __________________________________________________________________ 已知（戯旦）6的展开式中含x?的项的系数为30,则实数a ______________________________xx y 6 07.设x, y 满足不等式组2x y 1 0，若z ax y 的最大值为2a 4，最小值为a 1 ,3x y 2则实数a 的取值范围是（ )A. [ 2,1]B . [ 1,2]C . [3, 2]D • [ 3,1]ABC 为边长等于 3的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC ,8.已知三棱锥S ABC 中，底面 SA 1，那么三棱锥SABC 的外接球的表面积为（A.B. 4C. 6D. 59.2 2已知双曲线x 2y2a b1 （a 0,b0）与函数y x （x 0）的图象交于点P ，若函数x 在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F （ 1,0），则双曲线的离心率是（A.v'5 1 B . ----------2D.10. 已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，若a n 和 S n 都是等差数列，且公差相等，则A. 50 B . 100 C1500 D . 2500第5页（共16页）14. 在区间0,1上随机抽取两个数 x, y ，则事件"xy — ”发生的概率为22tx 2 <2t si n(x —) x16. 已知关于x 的函数f(x) ---------------- 2 4的最大值为a ，最小值为b ，若2x cosxa b 2，则实数t 的值为 ______________ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 •17. (本小题满分12分)1 已知S n 是数列a n 的前n 项和，a 1 2，且4& a n ?a . 1，数列 0中，b ，且4b n 1 ——nb ---------------------, n N *.(n 1) b n(1) 求数列 a n 的通项公式；*(2)设 C n 1n2( n N ),求 c n 的前 n 项和 T n . 2 3b n318. (本小题满分12分)如图，在斜三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，AB AC ,且 AB AC 5, AA BC 13,AB 12.(1) 求证：平面 ABBA 平面ACC 1A 1 ； (2) 求二面角 A BB 1 C 的正切值的大小.15.在 ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b,c ，若 asin B ------ 2c ,贝U C 的大小是sin A第6页(共16页)19. （本小题满分12分）近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气， 某学校为了学生的健康， 对课间操活动做了如 下规定：课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动，预报得知, 这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%后2天均为80%且每一天出现雾霾与否是相互独立的•（1） 求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率； （2） 求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X 的分布列；（3） 用 表示该校未来一周 5天停止组织集体活动的天数，记“函数 f （X ） X 2 X 1在 区间（3,5）上有且只有一个零点”为事件 A ，求事件A 发生的概率• 20. （本小题满分12 分）（1）已知点A,B 是椭圆上两点，点 C 为椭圆的上顶点，ABC 的重心恰好是椭圆的右焦点F ，求A, B 所在直线的斜率;（2）过椭圆的右焦点F 作直线「I ?，直线h 与椭圆分别交于点 M , N ，直线J 与椭圆分别的方程.21. （本小题满分12分）x2已知函数 f (x) e ax bx 1 ( a, bBiC\2已知椭圆x2 a2y b 21（a b 0）的离心率为乎，uur 2uur 2uur 2 UU MPNQNPMQ求四边形MPNQ 的面积S 最小时直线I 1R ，e 为自然对数的底数） 过焦点且垂直于长轴的弦长为交于点P,Q ，且(1)若对于任意a 0,1 ,总存在x [1,2]，使得f(x) 0成立，求b的最小值;(2)若f(1) 0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围•请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号•22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，e。

2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，3，4} D．∅2．已知复数z=，则|z|等于（）A．1 B．2 C．D．3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题4．设a=30.5，b=log32，c=cos，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a5．执行如图的程序框图输出的T的值为（）A．4 B．6 C．8 D．106．函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（）A．B．C． D．7．设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π9．已知函数f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．已知平面内点A，B，O不共线，，则A，P，B三点共线的必要不充分条件是（）A．λ=μB．|λ|=|μ| C．λ=﹣μD．λ=1﹣μ11．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外界球的半径为（）A．B．2 C．3 D．12．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e的解集是（）A．（ln2，+∞）B．（2ln2，+∞） C．（﹣∞，ln2） D．（﹣∞，2ln2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）14．若a＞b＞c，且a+2b+c=0，则的取值范围是．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时．f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f （x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1=3，a2+a3=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，求b1+b2+b3+…+b2015的值．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且c•cosA﹣acosC=b．（1）其的值；（2）若tanA，tanB，tanC成等差数列，求的值．19．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图所示：（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．20．某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．21．函数f（x）=ax n（1﹣x）（x＞0，n∈N*），当n=﹣2时，f（x）的极大值为．（1）求a的值；（2）求证：f（x）+lnx≤0；（3）求证：f（x）＜．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．（1）求证：BE•EF=CE•BF；（2）求证：FE=FG．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求A，B两点的极坐标；（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．[选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，3，4} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合与它的补集关系，利用并集与交集的定义，即可求出结果．【解答】解：∵全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，∴（∁U A）∩B={1，2}．故选：A．2．已知复数z=，则|z|等于（）A．1 B．2 C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式计算．【解答】解：∵z==，∴|z|=1．故选：A．3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题【考点】特称命题；全称命题．【分析】首先，判断命题p和命题q的真假，然后，结合由逻辑联结词“且”、“或”、“非”构成的复合命题的真值表进行判断即可．【解答】解：对于命题p：∵x＞0，∴x+≥2=4，∴命题p为真命题；对于命题q：∵对∀x∈R，2x＞0，∴命题q为假命题，￢q为真命题，故只有选项C为真命题．故选：C．4．设a=30.5，b=log32，c=cos，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较；运用诱导公式化简求值．【分析】利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=30.5＞1，0＜b=log32＜1，c=cos＜0，∴a＞b＞c．故选：D．5．执行如图的程序框图输出的T的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】循环结构．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件S≥15，计算输出T的值．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=0+0+1=1，T=0+2=2；第二次运行S=1+2×2+1=6，T=2+2=4；第三次运行S=6+2×4+1=15≥15，T=4+2=6；满足条件S≥15，程序终止运行，输出T=6，故选：B．6．函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】对函数去掉绝对值符号，再结合余弦函数的图象，进而画出函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象即可．【解答】解：∵函数y=sinx||（0＜x＜π），∴函数y=，∴根据余弦函数的图象可得其图象为：故选：B．7．设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】绝对值三角不等式．【分析】满足条件的点（x，y）构成趋于为平行四边形及其内部区域，令z=2x﹣y，显然当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）﹣a=5，由此求得a的值．【解答】解：设点M（a，a）则满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1的点（x，y）构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示：令z=2x﹣y，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距的相反数，故当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）﹣a=5，解得a=3．故选：D．8．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积S底=2×2﹣2×=4﹣，底面周长C=4×1+2××π×2×1=4+π，由该几何体的高h=2，故该几何体的侧面积S侧=Ch=8+2π，故该几何体的表面积S=S侧+2S底=16+π，故选：B9．已知函数f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到m+n=a，mn=b，再由m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于m，n的方程组，求得m，n后得答案．【解答】解：由题意可得：m+n=a，mn=b，∵a＞0，b＞0，可得m＞0，n＞0，又m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：m=4，n=1；解②得：m=1，n=4．∴a=5，b=4，则a+b=9．故选：C．10．已知平面内点A，B，O不共线，，则A，P，B三点共线的必要不充分条件是（）A．λ=μB．|λ|=|μ| C．λ=﹣μD．λ=1﹣μ【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平面向量共线定理，将用表示出来，再用，将表示出来，进而根据题干信息推出A，B，P三点共线的充要条件．【解答】解：∵A，B，P三点共线，∴存在一个数m，满足∵∴即m（）=∴∵A，B，O三点不共线∴m﹣μ=0，m+λ=0 即λ=﹣μ=﹣m∴A，B，P三点共线的充要条件为λ=﹣μ∴A，B，P三点共线的必要不充分条件为|λ|=|μ|故选：B11．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠C DA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外界球的半径为（）A．B．2 C．3 D．【考点】球的体积和表面积．【分析】设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上，且点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，从而可求DM，MN，进而可求四边形DMON的外接圆的直径，即可求得球O的半径．【解答】解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，∴cosθ=，sinθ=．在△DMN中，DM==1，DN==．由余弦定理得MN==．∴四边形DMON的外接圆的半径OD==．故球O的半径R=．故选：D．12．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e的解集是（）A．（ln2，+∞）B．（2ln2，+∞） C．（﹣∞，ln2） D．（﹣∞，2ln2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，继而求出答案．【解答】解：∵∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵不等式f（x）＞，∴g（x）＞1，∵f（ln4）=2，∴g（ln4）=1，∴x＞ln4=2ln2，故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（）6的展开式中，常数项为15 ．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】本题是二项式展开式求项的问题，可由给出的式子求出通项表达式T r+1=（﹣1）r•，令x的次数为0即可．【解答】解：∵T r+1=（﹣1）r•，∴由6﹣3r=0得r=2，从而得常数项C6r=15，故答案为：15．14．若a＞b＞c，且a+2b+c=0，则的取值范围是（﹣3，﹣）．【考点】不等式的基本性质．【分析】先将a+2b+c=0变形为b=﹣（a﹣c），代入不等式a＞b，b＞c，得到两个不等关系，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系．【解答】解：∵a+2b+c=0，∴a＞0，c＜0，∴b=﹣（a+c），且a＞0，c＜0∵a＞b＞c∴a＞﹣（a+c），即c＞﹣3a，解得＞﹣3，将b=﹣（a+c ）代入b ＞c ，得﹣（a+c ）＞c ，即a ＜﹣3c ，解得＜﹣，∴﹣3＜＜﹣．故答案为：（﹣3，﹣）．15．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+6）=f （x ）．当﹣3≤x ＜﹣1时，当f （x ）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x ＜3时．f （x ）=x ，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f=f （x ）知函数的周期为6，求出f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）+f （6）的值． 【解答】解：∵f （x+6）=f （x ）， ∴T=6，∵当﹣3≤x ＜﹣1时，当f （x ）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x ＜3时．f （x ）=x ， ∴f （1）=1， f （2）=2f （3）=f （﹣3）=﹣1， f （4）=f （﹣2）=0， f （5）=f （﹣1）=﹣1， f （6）=f （0）=0，∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）+f （6）=1；f （1）+f （2）+f （3）+…+f+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）=336 故答案为：336．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f（）=；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当0≤x ≤arctan2时，f （x ）=；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣．当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．即可判断出．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣．当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确；②由图形可得：∀x ∈[0，π]），f （x ）+f （π﹣x ）=4，因此对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4，故正确；③不妨设x 1＜x 2，则＜0⇔f （x 1）＞f （x 2），显然不正确．综上只有：①②正确． 故答案为：①②．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1=3，a 2+a 3=36． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }对任意的正整数n 都有+++…+=2n+1，求b 1+b 2+b 3+…+b 2015的值．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ＞0，由于a 1=3，a 2+a 3=36．根据等比数列的通项公式即可得出a n ．（2）由于数列{b n}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，当n=1时， =3，解得b1．当n≥2时，可得=2，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=3，a2+a3=36．∴3（q+q2）=36，解得q=3．∴a n=3n．（2）∵数列{b n}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，∴当n=1时， =3，解得b1=9．当n≥2时， +++…+=2n﹣1，∴=2，∴b n=2a n=2×3n．∴b n=．∴b1+b2+b3+...+b2015=9+2（32+33+ (32015)=3+=32016．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且c•cosA﹣acosC=b．（1）其的值；（2）若tanA，tanB，tanC成等差数列，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：sinCcosA﹣sinAcosC=sinB，整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，利用同角三角函数基本关系式即可得解的值；（2）利用等差数列的性质可得2tanB=tanA+tanC，设tanA=x，由（1）可得tanC=5x，解得tanB=3x，由tanB=﹣tan（A+C），可得3x=，解得tanA的值，由题设可知，A为锐角，可求cosA，利用余弦定理即可得解的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c•cosA﹣acosC=b．∴由正弦定理可得：sinCcosA﹣sinAcosC=sinB=sin（A+C）=（sinAcosC+cosAsinC）， (3)分∴整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，∴==…6分（2）∵tanA，tanB，tanC成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，若设tanA=x，由（1）可得tanC=5x，可得：tanB=3x，∵tanB=﹣tan（A+C），∴3x=，解得x=，即tanA=，…10分由题设可知，A最小，一定为锐角，∴cosA=，∴=﹣2cosA=﹣…12分19．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图所示：（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出AB⊥BD，从而AB⊥面BCD，由此能证明AB⊥CD．（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BM﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵AB=BD，∠A=45°，∴AB⊥BD，又∵平面ABD⊥平面BCD，且BD是平面ABD与平面BCD的交线，∴AB⊥面BCD，∵CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．解：（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A（0，0，1），M（0，），，面ABM的法向量为=（1，0，0），设平面BMC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），cos＜＞===，观察知二面角A﹣BM﹣C为钝角，故二面角A﹣BM﹣C的余弦值为﹣．20．某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．则，．因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．…（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．则．X的可能取值为：0，1，2，3．．=．=．．321．函数f（x）=ax n（1﹣x）（x＞0，n∈N*），当n=﹣2时，f（x）的极大值为．（1）求a的值；（2）求证：f（x）+lnx≤0；（3）求证：f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的对数，根据n=2时，f（x）的极大值为，得到f（）=a•×=，解出即可；（2）问题转化为证x n（1﹣x）+lnx≤0，设g（x）=x n（1﹣x）+lnx，根据函数的单调性证明即可；（3）求出f（x）的最大值，问题转化为证明：＜，通过取对数结合换元思想以及函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）n=2时，f（x）=ax2（1﹣x），∴f′（x）=ax（2﹣3x），令f′（x）=0得：x=0或x=，∵n=2时，f（x）的极大值为，故a＞0，且f（）=a•×=，解得：a=1；（2）要证f（x）+lnx≤0，即证x n（1﹣x）+lnx≤0，设g（x）=x n（1﹣x）+lnx，定义域是（0，+∞），则g′（x）=，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，∴g（x）的最大值是g（1）=0，∴g（x）≤0成立，命题得证；（3）∵f（x）=x n（1﹣x），∴f′（x）=nx n﹣1﹣（n+1）x n=（n+1）x n﹣1（﹣x），显然，f（x）在x=处取得最大值，f（）=，因此只需证：＜，即证：＜，两边取对数，原式ln＜﹣，设t=（0＜t＜1），则n=， =1﹣t，因此只需证：lnt＜t﹣1即可，令ω（t）=lnt﹣t+1，∵0＜t＜1，∴ω′（t）=﹣1＞0，ω（t）在（0，1）递增，故ω（t）＜ω（1）=0成立，即lnt＜t﹣1，结论成立．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．（1）求证：BE•EF=CE•BF；（2）求证：FE=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断△CFE∽△EFB，线段对应成比例，从而证得式子成立．（2）根据 CFE∽△EFB，可得BE•EF=CF•BF，在根据圆的切线性质可得 FC2=FB•FC，从而证得结论成立．【解答】证明：（1）∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF，又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴=，∴BE•EF=CF•BF．（2）∵CFE∽△EFB，∴=，∴EF•EF=FB•FC，∵FG切⊙O于G，∴FC2=FB•FC，∴EF•EF=FG2，∴FG=FE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求A，B两点的极坐标；（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）将t=﹣1代入得A，B的坐标，即可得到结论．（2）求出曲线C2上的直角坐标方程，设P的坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：（1）经t=﹣1代入C1得x=3，y=﹣，则A（3，﹣），B（﹣3，），它们的极坐标为A（2，），B（2，）．（2）曲线C2的极坐标方程为．平方得ρ2==，即3ρ2+ρ2sin2θ=12，即3x2+3y2+y2=12，即3x2+4y2=12，即=1．设P（2cosθ， sinθ），则|PA|2+|PB|2=（2cosθ﹣3）2+（sinθ+）2+（2cosθ+3）2+（sinθ﹣）2=2（4cos2θ+3sin2θ+12）=2（15+cos2θ），∵cos2θ≤1，∴PA|2+|PB|2=2（15+cos2θ）≤32，即|PA|2+|PB|2的最大值是32．[选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，将f（x）写成分段函数的形式，画出函数的图象，从而求出f（x）的最大值即可；（2）问题转化为，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|=，如图示：，∴f（x）的最大值是3；（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，则，解得：﹣3≤m≤1．。

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2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(0,1] D ．[0,1) 2．复数(3＋2i)i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 3．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2<0” B ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0” C ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0” D ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0”4．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是( ) A ．f (x )＝－x |x | B ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝ln x x5．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．76．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( )A.12B.45C ．2D ．9 8．某几何体的三视图如图M1­1，则它的体积为( )图M1­1A ．72πB ．48π C．30π D ．24π9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象是( ) A ．关于直线x ＝π8对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．211．在同一个平面直角坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图象，其中a >0，且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )A BC D12．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，当x ≥3π4时，f (x )＝cos x .若关于x 的方程f (x )＝a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为( )A.54πB.32πC.94π D．3π 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22～24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．14．二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 15．如图M1­2，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为点P ，AP ＝3，则AP →·AC →＝________.图M1­216．阅读如图M1­3所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为________．图M1­3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝2，cos C ＝34.(1)求sin A 的值； (2)求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图M1­4，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D ­AE ­C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ­ACD 的体积．图M1­420．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么X 围取值时，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值？(3)求证：ln22×ln33×ln44×…×ln n n <1n(n ≥2，n ∈N *)．21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆O ：x 2＋y 2＝4截得的弦AB 的中点为M .(1)若|AB |＝4 55，某某数k 的值；(2)如图M1­5，顶点为O ，对称轴为y 轴的抛物线E 过线段BF 的中点T ，且与椭圆C 在第一象限的交点为S ，抛物线E 在点S 处的切线m 被圆O 截得的弦PQ 的中点为N ，问：是否存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．图M1­5 图M1­6请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答量请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10)选修4­1：几何证明选讲如图M1­6，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .23．(本小题满分10)选修4­4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．24．(本小题满分10)选修4­5：不等式选讲 若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)1.D 解析：由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }＝(－1,1)，得M ∩N ＝[0,1)．2．B 解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i·i＝－2＋3i.故选B.3．C 解析：对于命题的否定，要将命题中的“∀”变为“∃”，且否定结论，则命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”．故选C.4．A5．A 解析：∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5.又∵a 1a 2a 3＝105，∴a 1a 3＝21.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21，a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2.∴a n＝9－2n .由a n ≥0，得n ≤4.故选A.6．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.7．C 解析：∵f (0)＝20＋1＝2，f [f (0)]＝f (2)＝4a ，∴22＋2a ＝4a .∴a ＝2. 8．C 解析：几何体是由半球与圆锥叠加而成，它的体积为V ＝12×43π×33＋13×π×32×52－32＝30π.9．A 解析：依题意，得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22≠0，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A.10．A 解析：如图D129，将点(5,3)代入z ＝y －2x ，得最小值为－7.图D12911．D 解析：正弦函数y ＝sin ax 的最小正周期为T ＝2πa.对于A ，T >2π，故a <1，而y ＝a x的图象是增函数，故A 错误； 对于B ，T <2π，故a >1，而函数y ＝a x是减函数，故B 错误； 对于C ，T ＝2π，故a ＝1，∴y ＝a x＝1，故C 错误； 对于D ，T >2π，故a <1，∴y ＝a x是减函数．故选D.12．A 解析：作函数y ＝f (x )的草图(如图D130)，对称轴为x ＝3π4，当直线y ＝a 与函数有两个交点(即方程有两个根)时，x 1＋x 2＝2×3π4＝3π2；当直线y ＝a 与函数有三个交点(即方程有三个根)时，x 1＋x 2＋x 3＝2×3π4＋3π4＝9π4；当直线y ＝a 与函数有四个交点(即方程有四个根)时，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×3π4＝3π.故选A.图D13013.12 解析：从10件产品中任取4件，共有C 410种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有C 13C 37种，因此所求概率为C 13C 37C 410＝12.14．10 解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x5－k y k，则T 4＝C 35x 2y 3＝10x 2y 3，故答案为10.15．18 解析：设AC ∩BD ＝O ，则AC →＝2(AB →＋BO →)，AP →·AC →＝AP →·2(AB →＋BO →)＝2AP →·AB →＋2AP →·BO →＝2AP →·AB →＝2AP →·(AP →＋PB →)＝2|AP →|2＝18.16．－4 解析：由题意，得第一次循环：S ＝0＋(－2)3＝－8，n ＝2； 第二次循环：S ＝－8＋(－2)2＝－4，n ＝1，结束循环，输出S 的值为－4. 17．解：(1)∵cos C ＝34，∴sin C ＝74.∵asin A ＝c sin C ，∴1sin A ＝274，∴sin A ＝148. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴2＝1＋b 2－32b ，∴2b 2－3b －2＝0.∴b ＝2.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2×74＝74.18．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知，P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.故所求的分布列为：数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.19．(1)证明：如图D131，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为底面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图D131，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.图D131设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0.可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设易知，|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12.解得m ＝32(m ＝－32，舍去)． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ­ACD 的高为12.故三棱锥E ­ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.20．解：f ′(x )＝ax－a (x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0时，解得0<x <1，∴f (x )在(0,1)上单调递增； 令f ′(x )<0时，解得x >1，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递减． (2)∵函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°， ∴f ′(2)＝a2－a ＝1.∴a ＝－2，f ′(x )＝－2x＋2.∴g (x )＝x 3＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2－2x ＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，g ′(x )＝3x 2＋(4＋m )x －2.∵对任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值，且g ′(0)＝－2，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧g ′t <0，g ′3>0.由题知，对任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′1<0，g ′2<0，g ′3>0.解得－373<m <－9.(3)证明：令a ＝－1，f (x )＝－ln x ＋x －3，∴f (1)＝－2. 由(1)知，f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0. ∴ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立． ∵n ≥2，n ∈N *，则有0<ln n <n －1.∴0<ln n n <n －1n .∴ln22×ln33×ln44×…×ln n n <12×23×34×…×n －1n ＝1n (n ≥2，n ∈N *)．21．解：(1)圆O 的圆心为O (0,0)，半径为r ＝2. ∵OM ⊥AB ，|AB |＝4 55，∴|OM |＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝4 55. ∴2k 2＋1＝4 55.∴k 2＝14.图D132又k ＝k FB >0，∴k ＝12. (2)如图D132，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，B (0,2)，T 为BF 中点， ∴T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1. 设抛物线E 的方程为y ＝tx 2(t >0)，∵抛物线E 过点T ，∴1＝t ·1k2，即t ＝k 2. ∴抛物线E 的方程为y ＝k 2x 2.∴y ′＝2k 2x .设S (x 0，y 0)，则k m ＝y ′0|x x ＝＝2k 2x 0.假设O ，M ，N 三点共线，∵OM ⊥l ，ON ⊥m ，∴l ∥m .又k l ＝k >0，∴k l ＝k m .∴k ＝2k 2x 0.∴x 0＝12k ，y 0＝k 2x 20＝k 2·14k 2＝14. ∵S 在椭圆C 上，∴x 20a 2＋y 20b2＝1. 结合b ＝2，c ＝2k ，a 2＝b 2＋c 2＝4＋4k2. 得14k 24＋4k2＋1164＝1.∴k 2＝－5963. ∴k 无实数解，矛盾．∴假设不成立．故不存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线．22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又因为∠PGD ＝∠EGA ，所以∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .又AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径．图D133(2)如图D133，连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，所以ED 为圆的直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB .23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为22 55.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为2 55. 24．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 6ab ≥4 3.由于4 3>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.。

绝密★启用前数学(理科）班级姓名注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

考试时间120分钟，总共150分。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.1.已知集合A ={X ∣X-1>0},集合 B={X ∣∣X ∣≤2}，则A ∩B= A. (-1,2) B. [-2,2] C. (1,2] D.[-2，+∞)2.复数Z 满足（1-2i)z =(1+i)2，则z 对应复平面上的点的坐标为 A.（-54 ，52 ） B.（-52 ，53 ） C.（54，-52） D.（52，53） 3.已知向量a 、b ，其中a=（-2，-6），b= ，a •b=-10 ，则a 与b 的夹角为A.1500B.-300C.-600D.12004.设a ， b 表示两条不同的直线， α、β、γ表示三个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若a 丄α,且a 丄b,则b ∥aB.若γ丄α且γ丄β,则α∥βC.若a ∥α且a ∥β, 则α∥βD.若γ∥α且γ∥β,则α∥β5.函数f(x)=asin3x+bx 3+4,其中 a ，b ∈R ，f'(x)为f(x)的导函数，则f( 2014 )+f(-2014 ) +f'( 2015 )-f'(-2015) = A. 0B. 2014C. 8D. 20156.已知右边程序框图（如图）,若输入a 、b 分别为10、4,则输出的a 的值为A.0B.2C.4D.147.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，若asinA+bsinB=2sinC,则cosC 的最小值为A. B.C.21 D. -21 8.有如下几种说法：①若pVq 为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“∃x 0∈R ，2x0≤ 0”的否定是∀x ∈R,2X>0；③直线l:y=kx+l 与圆O:x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，则“k =l”是△OAB 的面积为21的充分而不必要条件；④随机变量ξ-N(0,1)，已知φ (-1.96)=0.025，则 P( ξ∣f ∣< 1.96 )=0.975. 其中正确的为A. ①④B.②③C. ②③④D.②④ 9.将函数f(x)=Sin(2x+3π)的图象向右平移2π个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则dx x g ⎰π)(A. 0B. πC.2D.110.任取k ∈[-1，1],直线 L:y=kx+3 与圆 C:(x-2)2+(y-3) 2=4 相交于M 、N 两点，则∣MN ∣≥的概率为A. 33B. 23 C. 32 D. 2111.已知函数f （x ）g(x)= 54-f(1-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点的个数为 A.2 B.3 C.4 D.512.多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm 2) A.28+B. 30+C. 28+D. 28+第Ⅱ卷(非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.二项式(2x+x1)6的展开式中的常数项是 .14.实数x 、y 满足条件的最小值为 .15.已知sina=53 ，α∈(0, 2π)，tan β=41，则 tan(α+β))= . 16.已知AB 是圆C:（x+2)2+(y-l)2=52的一条直径，若楠圆 x 2+4y 2=4b 2(b ∈R)经过 A 、B 两点，则该椭圆的方程是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知各项均为正数的等差数列{a n }，且a 2+b 2=20,a 1+a 2=64. (I)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =nX 42an,求数列的前n 项和.18.(本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形， AD 丄DC ，AD=DC ，E 、F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD, DF 丄平面ABCD ，且DF=1. (I)若AE 丄CF ，求 BE 的值；(Ⅱ)求当BE 为何值时，二面角E-AC-F 的大小是60°. 19. (本小题满分12分）2015年10月4日，强台风“彩虹”登陆广东省湛江市，“彩虹”是1949年以来登陆中国陆地的最强台风。

2016届山西省太原市高三第二次模拟考试数学（理）试题数学试卷（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{log (1)2}A x x =-<，{6}B x a x =<<，且{2}A B x x b =<<I ，则a b +=（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42.如图，在复平面内，表示复数z 的点为A ，则复数12zi-的共轭复数是（ ） A ．i B ．i - C ．35i D ．35i -3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是（ ） A ．1y x=- B ．33x x y -=- C ．y x x = D ．3y x x =-4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A ．30 B ．24 C ．12 D ．45.若函数()f x 同时满足以下三个性质：①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()()04f x f x π-+-=；③()f x 在(,)42ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x =B ．()sin 2cos 2f x x x =+C ．()sin()8f x x π=+D ．3()cos(2)4f x x π=+6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,3,4,5,6}C ．{2,3,4,5}D ．{2,3,4,5,6}7.设,x y满足不等式组60210320x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y=+的最大值为24a+，最小值为1a+，则实数a的取值范围是（）A．[2,1]- B．[1,2]- C．[3,2]-- D．[3,1]-8.已知三棱锥S ABC-中，底面ABC3SA垂直于底面ABC，1SA=，那么三棱锥S ABC-的外接球的表面积为（）A．2π B．4π C．6π D．5π9. 已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>与函数y x=(0)x≥的图象交于点P，若函数y x=P处的切线过双曲线左焦点(1,0)F-，则双曲线的离心率是（）A B C ．3210.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则100S =（ ）A ．50B ．100C ．1500D ．250011.已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点,A B ，使OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，则0x 的取值范围是（ ） A ．24(0,)13 B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)1212.已知函数1()ln 22xf x =+，2()xg x e -=，若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln 2-B ．ln 2C ．3-D ．23e -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知6)ax-的展开式中含32x 的项的系数为30，则实数a =____________.14.在区间[]0,1上随机抽取两个数,x y ，则事件“12xy ≥”发生的概率为_____________.15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2sin sin a bc B A+=，则C ∠的大小是__________.16.已知关于x的函数()f x =a ，最小值为b ，若2a b +=，则实数t 的值为_________.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，且14n n n S a a +=•，数列{}n b 中，114b =，且1(1)nn nnb b n b +=+-，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12332n n n b a c +=（*n N ∈），求{}n c 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A B AC ⊥，且15A B AC ==，113AA BC ==，12AB =.（1）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ； （2）求二面角1A BB C --的正切值的大小.19.（本小题满分12分）近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动，预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的.（1）求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；（2）求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X 的分布列； （3）用η表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数2()1f x x x η=--在区间(3,5)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，过焦点且垂直于长轴的弦长.（1）已知点,A B 是椭圆上两点，点C 为椭圆的上顶点，ABC ∆的重心恰好是椭圆的右焦点F ，求,A B 所在直线的斜率；（2）过椭圆的右焦点F 作直线12,l l ，直线1l 与椭圆分别交于点,M N ，直线2l 与椭圆分别交于点,P Q ，且2222MP NQ NP MQ +=+u u u r u u u r u u u r u u u u r ，求四边形MPNQ 的面积S 最小时直线1l 的方程. 21.（本小题满分12分）已知函数2()1x f x e ax bx =---（,a b R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若对于任意[]0,1a ∈，总存在[1,2]x ∈，使得()0f x ≤成立，求b 的最小值；（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，1O e 与2O e 相交于,A B 两点，AB 是2O e 的直径，过A 点作1O e 的切线交2O e 于点E ，并与1BO 的延长线交于点P ，PB 分别与1O e ，2O e 交于,C D 两点.（1）求证：PA PD PE PC •=•； （2）求证：AD AE =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B . （1）若3πα=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若2PA PB OP •=，其中3)P ，求直线l 的斜率. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x a =++-，a R ∈.（1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；（2）当12a <-时，对于1(,]2x ∀∈-∞-，都有()3f x x +≥成立，求a 的取值范围.太原市2016年高三年级模试题（二）数学试卷（理工类）参考答案一、选择题：二、填空题： 14.1ln 22- 15. 2π三、解答题： 17.解：（1）1n =时，可得24a =，∴{}n a 的奇数项和偶数项分别以4为公差的等差数列， 当*21,n k k N =-∈时，21422n k a a k n -==-=； 当2n k =，*k N ∈时，242n k a a k n ===. ∴2n a n =*()n N ∈.（2）∵1111n n n b nb n ++=-，1111(1)(1)n n n b nb n n +=-++， ∴11111()(1)1n n nb n b n n--=----，121111()(1)(2)21n n n b n b n n ---=------，…21111(1)22b b -=--， ∴131n n nb n+=， ∴1(2)31n b n n =≥+，1n =也适合，*1()31n b n N n =∈+， ∴2n nn c =， 再由错位相减得222n nn T +=-. 18.（1）证明：在ABC ∆中，∵222AB AC BC +=，∴AC AB ⊥， 又∵1A B AC ⊥，且1,A B AB 是平面11ABB A 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面11ABB A ， 又AC ⊂平面11ACC A ， ∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A .（2）在1A BA ∆中，∵22211A B AB AA +=，∴1A B AB ⊥，双∵1A B AC ⊥，且,AB AC 是平面ABC 内的两条相交直线， ∴1A B ⊥面ABC ，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)B ，(12,0,0)A ，(12,5,0)C ，1(0,0,5)A ，1(12,0,5)B -，取平面11ABB A 的一个法向量1(0,1,0)n =u r， 设平面11BCC B 的一个法向量2(,,)n x y z =u u r， 由21200n BB n BC ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r，得12501250x z x y -+=⎧⎨+=⎩， 取5x =，则2(5,12,12)n =-u u r，∴121212cos ,n n n n n n •==•u r u u ru r u u r u r u u r ，设二面角1A BB C --的大小为θ，则cos θ=， ∴13tan 12θ=，二面角1A BB C --的正切值为1312.19.解：（1）未来一周5天都组织集体活动的概率是32111()()25200P ==， 则至少有一天停止组织集体活动的概率是1991200P -=. （2）X 的取值是0，1，2，3，4，5， 则2(0)25P X ==， 311322314114567(1)()()()2552520025P X C C ==⨯⨯⨯+==， 23213132332141141173(2)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=， 13223132332111141443(3)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=， 23231321111411(4)()()()25255200P X C C ==+⨯⨯⨯=， 32111(5)()()25200P X ===， ∴不需要停止组织集体活动的天数X 分布列是（3）因为函数2()1f x x x η=--在区间(3,5)上有且只有一个零点，且05η≤≤，则(3)(5)0f f <，∴82435η<<， 故3η=或4，故所求概率为：132231323123233223141141114114737129()[()()()()()][()()()]25255252552520025200P A C C C C C =+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+=+=20.（1）由题意：c a =，22b a =，解得1,1b c ==，所求椭圆的方程为2212x y +=.设1122(,),(,)A x y B x y ，∵(1,0)F ，∴(0,1)C ，根据题意1213x x +=，12103y y ++=，即123x x +=，121y y +=-.由221112x y += ①，222212x y += ②①-②得12121212()()02x x y yy y x x +-++•=-， ∴1212121232()2AB y y x x k x x y y -+==-=-+.（2）设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y ，则由题意：2222MP NQ NP MQ +=+u u u r u u u r u u u r u u u u r ，即22222222()()()()()()()()M P M P N Q N Q N P N P M Q M Q x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-+-+-整理得：0N P M Q M P N Q N P M Q M P N Q x x x x x x x x y y y y y y y y +--++--=， 即()()()()0N M P Q N M P Q x x x x y y y y --+--=，所以12l l ⊥.①若直线12l l ⊥中有一条斜率不存在，不妨设2l 的斜率不存在，则2l x ⊥轴，所以MN =，PQ =， 故四边形MPNQ的面积11222S PQ MN ==⨯=. ②若直线12,l l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：(1)(0)y k x k =-≠，则由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4220k x k x k +-+-=，则22421M N k x x k +=+，222221M N k x x k -=+，N MN x =-==同理可求得，PQ =，故四边形MPNQ 的面积：22114161229212S PQ MN k k===≥+++ （当1k =±取“=”），此时，四边形MPNQ 面积S 的最小值为1629<， 所以直线1l 方程为：10x y --=或10x y +-=. 21.解：（1）设2()1x g a e ax bx =---，则[1,2]x ∈时，()g a 在[]0,1上为减函数， 所以只要(0)10x g e bx =--≤，所以只要10x e bx --≤在[1,2]上有解即可.即1x e b x -≥在[1,2]上有解，设1()x e h x x-=，因为'2(1)1()0x e x h x x -+=>，所以()h x 在[1,2]上为增函数，只要(1)1b h e ≥=-，所以b 的最小值是1e -.（2）2()1x f x e ax bx =---，'()2x f x e ax b =--， 由(1)0f =，得10e a b ---=，∴1b e a =--， ∴'()21x f x e ax e a =--++，又(0)0f =.若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点， 则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 内不可能单调， 则'()f x 在区间0(0,)x 内不可能恒为正，也不可能恒为负，故'()f x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，同理'()f x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ， 故函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间，'()f x 在区间(0,1)内至少有两个零点.设'()()2x u x f x e ax b ==--， ∴'()2x u x e a =-.当12a ≤或2e a ≥时，函数'()f x 在区间(0,1)内单调，不满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”；当122e a <<时，'()f x 在区间(0,ln(2))a 内单调递减，在区间(ln(2),1)a 内单调递增，因此1(0,ln(2))x a ∈，2(ln(2),1)x a ∈，又'min ()(ln(2))22ln(2)132ln(2)1f x g a a a a e a a a a e ==--++=--+， 令()32ln(2)1v x x x x e =--+1()22e x <<，则'()12ln(2)v x x =-，令'()0v x =，得x =，列表如下：依表格知：当122e x <<时，max ()10v x e =+<， ∴'min ()32ln(2)10f x a a a e =--+<恒成立，于是，函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间满足122(0)0(1)0e a u u ⎧<<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，即1222010e a e a a ⎧<<⎪⎪-+>⎨⎪-+>⎪⎩， 解得21e a -<<，综上所述，a 的取值范围为(2,1)e -. 22.（1）∵,PE PB 分别是2O e 的割线， ∴PA PE PD PB •=•，又∵,PA PB 分别是1O e 的切线和割线， ∴2PA PC PB =•， ∴PE PDPA PC=， ∴PA PD PE PC •=•. （2）连结,AC ED ，∵BC 是1O e 的直径，∴090CAB ∠=， ∴AC 是2O e 的切线，由（1）知PAPCPE PD=，∴//AC ED ， ∴AB DE ⊥，CAD ADE ∠=∠,又∵AC 是2O e 的切线，∴CAD AED ∠=∠， ∴AED ADE ∠=∠，∴AD AE =，（或AB DE ⊥，∵AB 是2O e 的直径，由垂径定理得，»»AD DE=,∴AD AE =.）23.解：（1）曲线C 的普通方程是2214x y +=,当3πα=时，设点M 对应的参数为0t ，直线l 方程为12233x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480t t ++=，设直线C 上的点,A B 对应参数分别为12,t t ，则12028213t t t +==-， 所以点M的坐标为12(,13. （2）将2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得222(cos 4sin )4cos )120t t αααα++++=， 因为122212cos 4sin PA PB t t αα•==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+， 解得25tan 16α=，由于32cos cos )0ααα∆=->，故tan α= 所以直线l的斜率为 24.解（1）令210x +=，得12x =-；令20x -=，得2x =.①当2x ≥时，原不等式化为2124x x ++-<，即53x <，无解； ②当122x -<<时，原不等式化为2124x x ++-<，即1x <，得112x -<<. ③当12x ≤-时，原不等式化为2124x x --+-<，即1x >-，得112x -<≤-， 所以原不等式的解集为{11}x x -<<.（2）令()()g x f x x =+，当12x ≤-时，()1g x x a x =---，由12a<-，得11,()221,a a x g x x a x a⎧--<≤-⎪=⎨⎪-+-≤⎩， 对于1(,]2x ∀∈-∞-使得()3f x x +≥恒成立，只需min ()3g x ≥ 1((,])2x ∈-∞-即可，作出()g x 的大致图象，易知，min ()()1g x g a a ==--， ∴13a --≥，得4a ≤-。

2016届山西省太原市高三第二次模拟考试数学（理）试题数学试卷（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{log (1)2}A x x =-<，{6}B x a x =<<，且{2}AB x x b =<<，则a b +=（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42.如图，在复平面内，表示复数z 的点为A ，则复数12zi-的共轭复数是（ ） A ．i B ．i - C ．35i D ．35i -3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是（ ） A ．1y x=-B ．33x x y -=-C ．y x x =D ．3y x x =- 4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A ．30 B ．24 C ．12 D ．45.若函数()f x 同时满足以下三个性质：①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()()04f x f x π-+-=；③()f x 在(,)42ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x =B ．()sin 2cos 2f x x x =+C ．()sin()8f x x π=+D ．3()cos(2)4f x x π=+6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,3,4,5,6}C ．{2,3,4,5}D ．{2,3,4,5,6}7.设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[1,2]-C ．[3,2]--D ．[3,1]-8.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，1SA =，那么三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．5π9. 已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与函数y =(0)x ≥的图象交于点P ，若函数y =在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A B C D ．3210.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则100S =（ ）A ．50B ．100C ．1500D ．250011.已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点,A B ，使OA OB OP +=，则0x 的取值范围是（ ）A ．24(0,)13B ．24(,0)13-C ．13(0,)24D ．13(0,)1212.已知函数1()ln 22x f x =+，2()x g x e -=，若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln 2-B ．ln 2C ．3-D ．23e -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知6)ax 的展开式中含32x 的项的系数为30，则实数a =____________.14.在区间[]0,1上随机抽取两个数,x y ，则事件“12xy ≥”发生的概率为_____________. 15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2sin sin a bc B A+=，则C ∠的大小是__________.16.已知关于x的函数()f x =a ，最小值为b ，若2a b +=，则实数t 的值为_________.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，且14n n n S a a +=•，数列{}n b 中，114b =，且1(1)nn nnb b n b +=+-，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12332n n n b a c +=（*n N ∈），求{}n c 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A B AC ⊥，且15A B AC ==，113AA BC ==，12AB =.（1）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ； （2）求二面角1A BB C --的正切值的大小. 19.（本小题满分12分）近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动，预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的. （1）求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；（2）求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X 的分布列；（3）用η表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数2()1f x x x η=--在区间(3,5)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. 20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>.（1）已知点,A B 是椭圆上两点，点C 为椭圆的上顶点，ABC ∆的重心恰好是椭圆的右焦点F ，求,A B 所在直线的斜率；（2）过椭圆的右焦点F 作直线12,l l ，直线1l 与椭圆分别交于点,M N ，直线2l 与椭圆分别交于点,P Q ，且2222MP NQ NP MQ +=+，求四边形MPNQ 的面积S 最小时直线1l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数2()1xf x e ax bx =---（,a b R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若对于任意[]0,1a ∈，总存在[1,2]x ∈，使得()0f x ≤成立，求b 的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，1O 与2O 相交于,A B 两点，AB 是2O 的直径，过A 点作1O 的切线交2O 于点E ，并与1BO 的延长线交于点P ，PB 分别与1O ，2O 交于,C D 两点.（1）求证：PA PD PE PC •=•； （2）求证：AD AE =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B . （1）若3πα=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若2PA PB OP •=，其中P ，求直线l 的斜率. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()21f x x x a =++-，a R ∈. （1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集； （2）当12a <-时，对于1(,]2x ∀∈-∞-，都有()3f x x +≥成立，求a 的取值范围. 太原市2016年高三年级模试题（二）数学试卷（理工类）参考答案一、选择题：1-5.ABCBB 6-10.CADBD 11-12.AB二、填空题：13.-5 14.1ln 22- 15. 2π16.1 三、解答题：17.解：（1）1n =时，可得24a =，∴{}n a 的奇数项和偶数项分别以4为公差的等差数列， 当*21,n k k N =-∈时，21422n k a a k n -==-=； 当2n k =，*k N ∈时，242n k a a k n ===. ∴2n a n =*()n N ∈. （2）∵1111n n n b nb n ++=-，1111(1)(1)n n n b nb n n +=-++， ∴11111()(1)1n n nb n b n n--=----， 121111()(1)(2)21n n n b n b n n ---=------，…21111(1)22b b -=--，∴131n n nb n+=， ∴1(2)31n b n n =≥+，1n =也适合，*1()31n b n N n =∈+， ∴2n n nc =，再由错位相减得222n n n T +=-.18.（1）证明：在ABC ∆中，∵222AB AC BC +=，∴AC AB ⊥， 又∵1A B AC ⊥，且1,A B AB 是平面11ABB A 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面11ABB A ， 又AC ⊂平面11ACC A ， ∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A .（2）在1A BA ∆中，∵22211A B AB AA +=， ∴1A B AB ⊥，双∵1A B AC ⊥，且,AB AC 是平面ABC 内的两条相交直线， ∴1A B ⊥面ABC ，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)B ，(12,0,0)A ，(12,5,0)C ，1(0,0,5)A ，1(12,0,5)B -， 取平面11ABB A 的一个法向量1(0,1,0)n =， 设平面11BCC B 的一个法向量2(,,)n x y z =，由21200n BB n BC ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，得12501250x z x y -+=⎧⎨+=⎩，取5x =，则2(5,12,12)n =-，∴121212cos ,n n n n n n •==-•，设二面角1A BB C --的大小为θ，则cos θ=， ∴13tan 12θ=，二面角1A BB C --的正切值为1312.19.解：（1）未来一周5天都组织集体活动的概率是32111()()25200P ==， 则至少有一天停止组织集体活动的概率是1991200P -=.（2）X 的取值是0，1，2，3，4，5， 则2(0)25P X ==， 311322314114567(1)()()()2552520025P X C C ==⨯⨯⨯+==， 23213132332141141173(2)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=， 13223132332111141443(3)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=， 23231321111411(4)()()()25255200P X C C ==+⨯⨯⨯=， 32111(5)()()25200P X ===， ∴不需要停止组织集体活动的天数X 分布列是（3）因为函数2()1f x x x η=--在区间(3,5)上有且只有一个零点，且05η≤≤， 则(3)(5)0f f <，∴82435η<<， 故3η=或4， 故所求概率为： 20.（1）由题意：c a =，22b a =，解得1,1b c ==， 所求椭圆的方程为2212x y +=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，∵(1,0)F ，∴(0,1)C ，根据题意1213x x +=，12103y y ++=， 即123x x +=，121y y +=-.由221112x y += ①，222212x y += ②①-②得12121212()()02x x y yy y x x +-++•=-， ∴1212121232()2AB y y x x k x x y y -+==-=-+.（2）设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y ， 则由题意：2222MP NQ NP MQ +=+， 即22222222()()()()()()()()M P M P N Q N Q N P N P M Q M Q x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-+-+-整理得：0N P M Q M P N Q N P M Q M P N Q x x x x x x x x y y y y y y y y +--++--=， 即()()()()0N M P Q N M P Q x x x x y y y y --+--=，所以12l l ⊥.①若直线12l l ⊥中有一条斜率不存在，不妨设2l 的斜率不存在，则2l x ⊥轴，所以MN =，PQ =故四边形MPNQ的面积11222S PQ MN ==⨯=. ②若直线12,l l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：(1)(0)y k x k =-≠，则由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4220k x k x k +-+-=，则22421M N k x x k +=+，222221M N k x x k -=+，==同理可求得，PQ =，故四边形MPNQ 的面积：（当1k =±取“=”），此时，四边形MPNQ 面积S 的最小值为1629<，所以直线1l 方程为：10x y --=或10x y +-=. 21.解：（1）设2()1xg a e ax bx =---，则[1,2]x ∈时，()g a 在[]0,1上为减函数，所以只要(0)10xg e bx =--≤，所以只要10x e bx --≤在[1,2]上有解即可.即1x e b x -≥在[1,2]上有解，设1()x e h x x-=，因为'2(1)1()0x e x h x x-+=>，所以()h x 在[1,2]上为增函数，只要(1)1b h e ≥=-，所以b 的最小值是1e -.（2）2()1xf x e ax bx =---，'()2xf x e ax b =--， 由(1)0f =，得10e a b ---=，∴1b e a =--， ∴'()21xf x e ax e a =--++，又(0)0f =.若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点， 则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 内不可能单调， 则'()f x 在区间0(0,)x 内不可能恒为正，也不可能恒为负，故'()f x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，同理'()f x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ， 故函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间，'()f x 在区间(0,1)内至少有两个零点.设'()()2xu x f x e ax b ==--， ∴'()2x u x e a =-. 当12a ≤或2e a ≥时，函数'()f x 在区间(0,1)内单调， 不满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”；当122ea <<时，'()f x 在区间(0,ln(2))a 内单调递减，在区间(ln(2),1)a 内单调递增， 因此1(0,ln(2))x a ∈，2(ln(2),1)x a ∈，又'min ()(ln(2))22ln(2)132ln(2)1f x g a a a a e a a a a e ==--++=--+， 令()32ln(2)1v x x x x e =--+1()22ex <<，则'()12ln(2)v x x =-， 令'()0v x =，得x =，列表如下：依表格知：当122ex <<时，max ()10v x e =+<， ∴'min ()32ln(2)10f x a a a e =--+<恒成立，于是，函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间满足122(0)0(1)0e a u u ⎧<<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，即1222010e a e a a ⎧<<⎪⎪-+>⎨⎪-+>⎪⎩， 解得21e a -<<，综上所述，a 的取值范围为(2,1)e -. 22.（1）∵,PE PB 分别是2O 的割线，∴PA PE PD PB •=•， 又∵,PA PB 分别是1O 的切线和割线，∴2PA PC PB =•， ∴PE PDPA PC=， ∴PA PD PE PC •=•.（2）连结,AC ED ，∵BC 是1O 的直径，∴090CAB ∠=， ∴AC 是2O 的切线， 由（1）知PA PC PE PD=，∴//AC ED ， ∴AB DE ⊥，CAD ADE ∠=∠,又∵AC 是2O 的切线，∴CAD AED ∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AD AE =，（或AB DE ⊥，∵AB 是2O 的直径，由垂径定理得，AD DE =,∴AD AE =.）23.解： （1）曲线C 的普通方程是2214x y +=, 当3πα=时，设点M 对应的参数为0t ，直线l方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）， 代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480t t ++=， 设直线C 上的点,A B 对应参数分别为12,t t ，则12028213t t t +==-， 所以点M的坐标为12(,13. （2）将2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得222(cos 4sin )4cos )120t t αααα++++=， 因为122212cos 4sin PA PB t t αα•==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+， 解得25tan 16α=，由于32cos cos )0ααα∆=->，故tan α=所以直线l24.解 （1）令210x +=，得12x =-；令20x -=，得2x =. ①当2x ≥时，原不等式化为2124x x ++-<，即53x <，无解； ②当122x -<<时，原不等式化为2124x x ++-<，即1x <，得112x -<<. ③当12x ≤-时，原不等式化为2124x x --+-<，即1x >-，得112x -<≤-， 所以原不等式的解集为{11}x x -<<.（2）令()()g x f x x =+，当12x ≤-时，()1g x x a x =---， 由12a <-，得11,()221,a a x g x x a x a⎧--<≤-⎪=⎨⎪-+-≤⎩， 对于1(,]2x ∀∈-∞-使得()3f x x +≥恒成立，只需min ()3g x ≥ 1((,])2x ∈-∞-即可， 作出()g x 的大致图象，易知，min ()()1g x g a a ==--，∴13a --≥，得4a ≤-。