抛物线的简单几何性质导学案

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质【课前预习】知识点一向右 向左 向上 向下 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R x 轴 y 轴 (0,0) e=1 诊断分析(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)抛物线不关于原点对称. (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,抛物线没有对称中心. (3)抛物线的离心率均为1.知识点二1.(2)焦点弦 x 0+p2 p2-x 0 y 0+p2 p2-y 0 2.2p 诊断分析(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)抛物线x 2=4y ,y 2=4x 的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同. (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (3)抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径长|PF|=x 1+p2. 【课中探究】探究点一例1 解:(1)由y 2=8x ,得p=4,变量x 的范围为x ≥0,∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x 轴.(2)椭圆的方程可化为x 24+y 29=1,其短轴在x 轴上,∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y 2=2px 或y 2=-2px ,其中p>0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p2=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程为y 2=12x 或y 2=-12x ,其准线方程为x=-3或x=3.变式 解:(1)设AB 与x 轴交于点E ,则由|AB|=2得E (√3,0),∴A (√3,1).设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),则1=2p ·√3,∴2p=√33,∴抛物线的方程为y 2=√33x.(2)由(1)知2p=√33,∴p 2=√312,∴抛物线的焦点坐标为(√312,0),准线方程为x=-√312,离心率e=1.探究点二例2 解:(1)因为直线l 的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=√3,又F (32,0),所以直线l 的方程为y=√3(x -32).由{y 2=6x ,y =√3(x -32),消去y 得x 2-5x+94=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p , 所以|AB|=5+3=8.(2)结合(1)知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p=x 1+x 2+3=9,所以x 1+x 2=6,于是线段AB 的中点M 的横坐标是3,又准线方程是x=-32,所以点M 到准线的距离为3+32=92.变式 AD [解析] 设直线AB 的方程为x=ty+p 2,将x=ty+p2代入y 2=2px ,得y 2-2pty-p 2=0,则y 1+y 2=2pt ,y 1y 2=-p 2,x 1+x 2=t (y 1+y 1)+p=2pt 2+p ,x 1x 2=y 12y 224p2=p24.当直线AB 与x 轴垂直时,t=0,|AB|最小,故A 中说法正确;1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+px 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=2p,故B 中说法错误;以弦AB 为直径的圆的圆心为(x 1+x 22,y 1+y 22),半径为12|AB|=12(x 1+x 2+p )=pt 2+p ,圆心到准线的距离d=12(x 1+x 2)+12p=pt 2+p=12|AB|,所以圆与准线x=-p 2相切,故C 中说法错误;y 1y 2=-p 2,故D 中说法正确.故选AD .探究点三例3 (1)A (2)2√2 [解析] (1)依据抛物线的对称性,以及等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y 2=4x 上,可设另外两个顶点的坐标分别为(m 24,m),(m 24,-m)(m>0),∴tan 30°=√33=mm 24,解得m=4√3,故这个等边三角形的边长为2m=8√3.故选A .(2)因为抛物线C 的方程为y 2=4√2x ,所以2p=4√2,可得p2=√2,所以焦点为F (√2,0),准线方程为x=-√2,又P 为抛物线C 上一点,且|PF|=3√2,所以点P 到准线x=-√2的距离为3√2,所以x P =3√2-√2=2√2,所以y P 2=4√2×2√2=16,所以|y P |=4,所以S △POF =12×|OF|×|y P |=12×√2×4=2√2.变式 (1)B [解析] 根据题意,可得F (1,0),准线方程为x=-1.不妨设A (x ,y )(y>0),∵|AQ|=43,∴x+1=43,∴x=13,∴A (13,2√33),∴直线AF 的方程为2√33-0=x -113-1,即y=-√3(x-1).将x=-1代入y=-√3(x-1)中,可得y=2√3,∴B (-1,2√3).将y=2√3代入y 2=4x 中,可得x=3,∴P (3,2√3).△PBF 的周长C △PBF =|FB|+|PF|+|PB|,又|FB|=√22+(2√3)2=4,|PF|=|PB|=4,∴C △PBF =12.故选B .(2)解:设点A (x 0,y 0)(x 0>0),由题意可知点B (x 0,-y 0).∵抛物线的焦点F (p2,0)是△AOB 的垂心,∴AF ⊥OB ,∴k AF ·k OB =-1,即y 0x 0-p2·(-y 0x 0)=-1,∴y 02=x 0(x 0-p 2).又y 02=2px 0,∴x 0=2p+p 2=5p2, ∴直线AB 的方程为x=5p2.。

3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.情景导入(1)通过多媒体课件展示．抛物线形反射镜，平行光束聚焦于焦点，激发学生兴趣．(2)问题：一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问能否通过该拱桥？为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点⎝⎛⎭⎫p2，0⎝⎛⎭⎫－p2，0⎝⎛⎭⎫0，p2⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝12.直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝ .3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ①k ＝0时，直线与抛物线只有 交点；②k ≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线 ⇔有 个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线 ⇔只有 公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线 ⇔ 公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是无中心的圆锥曲线．( ) (2)抛物线y 2＝2px 过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p ． ( ) (3)抛物线y ＝－18x 2的准线方程为x ＝132．( )2．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．44．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.合作探究类型1 抛物线性质的应用例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，求抛物线的方程．规律方法用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．跟踪训练1．若直线x＝m与抛物线y2＝43x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．类型2 直线与抛物线的位置关系例2 (1)过定点P (0,1)作与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax (a ≠0)恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合． 规律方法直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切． 跟踪训练2．若抛物线y 2＝4x 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A ，B ，求证OA ⊥OB .证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA →⊥OB →，即OA ⊥OB . 类型3 中点弦及弦长公式例3 过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程． 规律方法“中点弦”问题解题方法跟踪训练3．已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．类型4 抛物线的综合应用 [探究问题]1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？2．如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题？例4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值． 母题探究1.若本例题改为：如图所示，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△P AB 的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？2.若本例改为“抛物线方程为y2＝x，且过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A(1,1)不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1·k2为定值．应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．课堂小结1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线．2.抛物线中常见的几个结论：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．点F 是抛物线的焦点(如图)．则有(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .(3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切． (4)以焦半径为直径的圆与y 轴相切． 课堂检测1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( ) A ．12B ．14C ．16D ．182．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4， 则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22) B ．(1，±2) C ．(1,2)D ．(2,22)4．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B . (1)求抛物线C 的方程；(2)若|AB |＝8，求k 的值．参考答案新知初探 2.x 1＋x 2＋p . 3．①一个 ②相交 两相切 一 相离 没有思考： [提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点． 初试身手1．[提示] (1)√ (2)√ (3)× 2．【答案】D【解析】顶点到准线的距离为p 2，则p2＝4.解得p ＝8，又因对称轴为y 轴，则抛物线方程为x 2＝±16y . 3．【答案】B【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 4．【答案】4【解析】双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)，由条件可知，－p2＝－3＋p 216，解得p ＝4. 合作探究类型1 抛物线性质的应用例1 (1)【答案】y 2＝3x 或y 2＝－3x【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .(2)解：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ， 由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵BD ∥FG ，∴43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x . 跟踪训练1．解：根据题意△ABF 为等边三角形，则tan 60°＝|m －3|43m ，m ＞0，解得m ＝73±12.类型2 直线与抛物线的位置关系例2 解：(1)当直线的斜率不存在时，直线x ＝0，符合题意．当直线的斜率存在时，设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝1，满足直线与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点；当k ≠0时，将直线方程y ＝kx ＋1代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.由Δ＝0，得k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.故满足条件的直线有三条． (2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①.(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程． 令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45.所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45.跟踪训练2．证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA →⊥OB →，即OA ⊥OB . 类型3 中点弦及弦长公式例3 解：法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)， 即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4. ∴AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标． 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 跟踪训练3．解：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px消去y ，得⎝⎛⎭⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x . 类型4 抛物线的综合应用 [探究问题]1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数．2．[提示] 常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算说明与参数无关，进而找到定点、定值．也常用特值法找定点、定值．例4 解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.1．【答案】A【解析】线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12. 2．【答案】D【解析】抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2. 所以符合题意的点为(2，±42)．]3．【答案】B【解析】由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B.4．【答案】158【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14. ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158. 5．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 由|PF |＝2得：1＋p 2＝2，得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2. ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k2＋2＝8， 解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1.。

3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【学习目标】能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.◆知识点一抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标(p2,0)(-p2,0)(0,p2)(0,-p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2开口方向范围对称轴顶点坐标离心率【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线关于原点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )◆知识点二抛物线的焦半径、焦点弦与通径1.焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的.设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径|AF|焦点弦长|MN|x1+x2+p-x1-x2+p y1+y2+p-y1-y2+p2.通径经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0).( )(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p.( )◆探究点一抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.变式已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.[素养小结]运用抛物线的几何性质要把握三个要点:(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.◆探究点二焦点弦的性质问题例2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.变式 (多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是( )A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.1|AF|+1|BF|=p2C.以弦AB为直径的圆与直线x=-p2相离D.y1y2=-p2[素养小结]抛物线焦点弦长的求法:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.◆探究点三抛物线几何性质的应用例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )A.8√3B.4√2C.4√3D.3√2(2)已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3√2,则△POF的面积为.变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=43,则△PBF的周长为( )A.16B.12C.10D.6(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.[素养小结]利用抛物线的性质可以解决的问题:(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.。

抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。

培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。

（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《抛物线的简单几何性质》导学案学习目标:1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程:一、课前准备 复习1：准线方程为x =2的抛物线的标准方程是___________________．复习2：双曲线221169x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形标准方程焦点(0,)2p -准线 2p y =-顶点 (0,0)(0,0)对称轴 x 轴 离心率试试：画出抛物线8y x =的图形，顶点坐标( )、焦点坐标( )、准线方程（ ）、对称轴（ ）、离心率（ ）． ※ 典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,22)M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ． 小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※ 动手试试练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点 (5M ，4)-；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ； ⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =． 三、总结提升 ※ 学习小结1．抛物线的几何性质 ； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※ 知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p ．※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是( )． A ．212y x =B ．2y x =C ．22y x =D ．24y x =2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程( ) ． A ．220y x = B ．220x y = C ．2120y x =D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．4 4．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB=______________________．课后作业1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；P--．⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点(6,3)2.M是抛物线24=上一点，F是抛物线的焦点，60y x∠=o，求FA．xFM。

§2。

3。

2抛物线的简单几何性质（第1课时)[自学目标］：1．掌握抛物线的图形和简单几何性质［重点］：抛物线的简单几何性质的应用[难点］：运用抛物线的定义解决问题［教材助读］：抛物线的几何性质：［1．范围：因为p＞0,由方程()022>y可知,这条抛物线上的点M=ppx的坐标（x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向和无限延伸．2．对称性：以－y代y,方程()022>y不变，所以这条抛物线关于px=p对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的．3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫做．在方程()022>ypx=p中，当y=0时，x=0,因此抛物线()022>y的顶点就是．=ppx4．离心率：抛物线上的点M与和它到的比，叫做抛物线的离心率，用e表示,由抛物线的定义可知，e= 。

源：]()022>=p px y x yO F l()022>-=p px y x yO F l()022>=p py x()022>-=p py x[预习自测］1、求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点(5,4)M -, 。

②顶点在原点,焦点是(0,5)F , 。

③顶点在原点，准线是4x = 。

④焦点是(0,8)F - ，准线是8y =, 。

2、若抛物线过点（1,2),则抛物线的标准方程为: 。

x yO F l x yOF l3、有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米,当水面下降1米时，水面宽是多少米？待课堂上与老师和同学探究解决.［合作探究展示点评］探究一：抛物线的定义与性质的应用例1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M ，(2,求它的标准方程探究二：实际应用例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。

第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断． 【重点难点】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点) 二、学习过程 【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【提示】 范围、对称性、顶点、离心率． 【导入新课】标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p2)(0，－p2)准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R________________对称轴 ____________顶点 ______ 离心率 ______ 开口方向向右 向左向上向下特征：1.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1. 【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例3 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【变式拓展】1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4，求该抛物线的方程并指出焦点坐标与准线方程．2.直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．3.求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程．三、总结反思（1）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （2）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（3）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2.(2)焦点弦长设AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点．四、随堂检测1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是( )A.2B.4C.8D.12.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )A.6B.8C.9D.103.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.484.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( )A.错误!未找到引用源。

2.3.2抛物线的简单几何性质导学案一、学习目标1．能叙述抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等。

学习过程：在直角坐标系中，顶点在原点，轴与坐标轴重合的共有四种情况，因此抛物线的方程相应也有四种形式，它们都叫抛物线的标准方程。

二、新知探究：以22(0)y px p =>为例来研究（类比椭圆和双曲线用两种方法进行探究） 1、对称性：方法一：观察抛物线：22(0)y px p =>关于____对称，有______条对称轴。

方法二：通过方程证明：2范围：方法一：观察抛物线：22(0)y px p =>的图像在____________， 方法二：通过方程证明：所以抛物线的范围是 。

3、顶点：方法一：观察抛物线：22(0)y px p => 顶点方法二：抛物线22(0)y px p =>令____0==x y 得：所以顶点是___；双曲线有__个顶点，椭圆___个顶点。

4、离心率： ，抛物线22(0)y px p =>的离心率e______。

5、思考：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响.在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：（1）x y 212= （2）2;y x = （3）22;y x = （4）24.y x = 说明抛物线的开口大小取决于___________________________________。

三、填写下表（用类比的方法）：设焦点到准线的距离为P(P>0)1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，通过点)22,2(-，且以坐标轴为轴，求该抛物线的标准方程.(类比椭圆或双曲线标准方程求法)2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。

已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。

3、P是抛物线24y x=上的点，若P到准线的距离是5，求P点的坐标。

4. P是抛物线24y x=上的点，若P到准线的距离是5，求P点的坐标。

例1已知抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2.-2V2),求它的标准方程.变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,-2血)的抛物线有几条？求出它们的标准方程.例2斜率为1的直线/经过抛物线v2 = 4x的焦点F,且与抛物线相交于A , B两点, 求线段AB的长. 变式：过点M(2,0)作斜率为1的直线/,交抛物线V2 = 4x于A, B两点、,求嗣| .练1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5, -4)；⑵顶点在原点，焦点是F(0,5)；⑶焦点是F(0,-8),准线是y = 8.1.下列抛物线中，开口最大的是().A. v2B. )* = xC. v2 = 2.xD. )，= 4x2.顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程().A. v2 = 2O.vB. .V2 = 20vC. v2 = —-vD. = — v- 20 20 -3.过抛物线严=力的焦点作直线/,交抛物线于A , B两点，若线段AB中点的横坐标为3,则|AB| 等于().A. 10B. 8C. 6D. 44.抛物线v = ax2 (a K 0)的准线方程是 ______ .5.过抛物线y2 = 2x的焦点作直线交抛物线于A(.¥,, y,), B(A:.V2)两点,如果“+x：=6,则§ 2. 4. 2抛物线的简单几何性质（1）一、课前准备复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ________ .复习2：双曲线有哪些几何性质?二、新课导学学习探究探究1:类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质?新知：抛物线的几何性质图形标准方程焦点准线顶点对称轴离心率试试：画出抛物线y = 8x2的图形，顶点坐标（）、焦点坐标（）、准线方程__________ 、对称轴________离心率_______ .典型例题练1.直线y = x-2与抛物线y2=2x相交于A, B两点，求证：0A10B,2.垂直于兀轴的直线交抛物线/=4x于A, B两点，且|AB| = 4希，求直线的方程.1.过抛物线y2=2px（p>0）焦点的直线交抛物线于A, B两点，则|佔|的最小值为（）.A.彳B. pC. 2pD.无法确定2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）.A. -B. 5C. —D. 102 23.过点（0,1）且与抛物线/=4x只有一个公共点的直线有（）.A. 1条B. 2条C. 3条D. 0条4.若直线兀-丁 = 2与抛物线/=4x交于A、B两点,则线段的中点坐标是___________ ・5.抛物线上一点（-5,2厉）到焦点F（x,0）的距离是6,则抛物线的标准方程是______________ .6.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y = 2x + l交于P , Q两点，\PQ\ = y/15f求抛物线的方程._______________ -6、根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是兀轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(-6,-3).7、M是抛物线护=4无上一点，F是抛物线的焦点，60°,求|则.学习过程复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点戶(-2,3)的抛物线的方程为( ).A. y2 = —xB. y2 = ——x = ——yC. x2 = — yD. y2 = -—x ^x2 = — y4 4 3 3 2 3复习2：已知抛物线y2=-2px(p>0)的焦点恰好是椭圆—+ ^ = 1的左焦点，贝ljp=_16 12二、新课导学学习探究探究1：抛物线y2=2px(p>0)±一点的横坐标为6,这点到焦点距离为10,则:这点到准线的距离为 ___________ ;焦点到准线的距离为_________ ;抛物线方程 ___________________ ;这点的坐标是 ______________ ;此抛物线过焦点的最短的弦长为____________ •典型例题例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于4, 3两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.例2已知抛物线的方程y2=4x f直线/过定点P(-2,l),斜率为比比为何值时，直线/与抛物线/=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？。

§2.4.2抛物线的简单几何性质（导学案）学习目标：1．能叙述抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等。

2．能用抛物线的简单几何性质解决一些简单问题。

3．能在对抛物线几何性质的讨论中，体会数形结合的思想与转化。

学习重点：抛物线的简单几何性质及初步运用。

学习难点：抛物线的简单几何性质及初步运用。

预学案1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做_______．定点F叫做抛物线的_______，定直线l叫做抛物线的_______．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程相同点：(1)_______________；(2)____________；(3)________________，垂足与焦点在对称轴上关于_____对称.探究案探究点一、求抛物线标准方程例1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点且开口向右，并且经过点)3M，2,4(求它的标准方程，并画出其大致图形．变式1：已知抛物线的顶点在坐标原点，并且经过点)2M，求它的标准方程，并画,2(-2出其大致图形．例2、已知A在平行于y轴的直线L上，且L与x轴的交点为（4,0），动点P 满足,平行于求P点的轨迹方程，并说明轨迹形状。

AP⊥轴，且OPOAx变式2、已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上的一点A的横坐标为2，且16FA,求此抛物线的方程。

.=OA探究点二、抛物线性质的应用例3、已知正三角形AOB 的顶点A,B 在抛物线x y 62=上，O 是坐标原点，求三角形AOB 的边长。

变式3：垂直于x 轴的直线与抛物线x y 42=交于A,B 两点，且|AB|=34，求直线AB 的方程。

我的收获你在这堂课学到了什么？训练案1.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.102.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x3.以抛物线y2=2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为( ）A.相交B.相离C.相切D.不确定4．经过抛物线y2=2px(p＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( )A.pB.2pC.4pD.不确定5.若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 .6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .。