高中数学抛物线的简单几何性质教案

抛物线的简单几何性质一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．教学过程【情境设置】由一名学生回答，教师板书．问题抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是．与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质．下面我们根据抛物线的标准方程：来研究它的几何性质．【探索研究】1．抛物线的几何性质（1）范围因为，由方程可知，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，为1．【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：由求出的标准方程，变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图）．然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为，灯深，求抛物线的标准方程和焦点位置．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.（三）随堂练习1．求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于轴对称，并且经过点②顶点在原点，焦点是③顶点在原点，准线是④焦点是，准线是2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是m，跨度是m，求拱形的抛物线方程答案：1．①②③④2．(要选建立坐标系)（四）总结提炼抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．（五）布置作业1．顶点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A．B．C．D．2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1B．2C．4D．63．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为__________.4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________.5．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6，求的横坐标及抛物线方程．答案：1．B 2．C 3．4．5．6．9，。

《抛物线的简单几何性质》教案课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程：一、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线图形xyOFl xyOFl方程)0(22p px y)0(22p px y)0(22p py x)0(22p py x焦点)0,2(p )0,2(p )2,0(p )2,0(p 准线2p x 2p x 2p y2p yxyO FlxyOF l2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2，左端为2x（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围因为p ＞0，由方程022p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y 代y ，方程022p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022p px y中，当y=0时，x=0，因此抛物线022p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e22ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，则有px y2和y 1＝mx ＋n ．∴pxn mxy y 21xp xn mx 2当m ≠0时，若x →＋∞，则yy 1当m ＝0时，px ny y 21，当x →＋∞，则yy 1这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．xyA 0AO解：由题意，可设抛物线方程为px y 22，因为它过点)22,2(M ，所以22)22(2p ，即2p因此，所求的抛物线方程为x y42．将已知方程变形为x y 2，根据x y2计算抛物线在0x的范围内几个点的坐标，得x 0 1 2 3 4 …y22.83.54…描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是px y22(p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302p ，即445p所求的抛物线标准方程为x y 2452．例3 过抛物线px y 22的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切．四、课堂练习：1．过抛物线x y42的焦点作直线交抛物线于11,y x A ，22,y x B 两点，如果621x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10（B ）8（C ）6（D ）4xyEOF B ADC H2．已知M 为抛物线x y42上一动点，F 为抛物线的焦点，定点1,3P ，则||||MF MP 的最小值为（ B ）（A ）3 （B ）4（C ）5（D ）63．过抛物线02a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp11=（ C ）（A ）a2（B ）a21（C ）a4（D ）a44．过抛物线x y42焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是______ (答案：122x y )5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（答案：22,45M , M到y 轴距离的最小值为45）五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆1522yx的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y（3）x 2＝－8y2．90°3．x 2＝±16 y 4．545．520米七、板书设计（略）八、课后记：课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22p px y，022x p p x PF抛物线)0(22p px y，0022x p p x PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22p px y当直线为0y y ，即0k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0k ，设bkxyl :将b kxy l :代入0:22FEy Dx Cy AxC ，消去y ，得到关于x 的二次方程02cbxax （*）若0，相交；0，相切；0，相离综上，得：联立pxyb kx y 22，得关于x 的方程02cbx ax当0a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0a，则若0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点）0，无公共点（相离）（2）相交弦长：弦长公式：21k ad，其中a 和分别是02c bx ax（*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kxy l :的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02cby ay ，此时弦长公式相应的变为：211kad（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》一、教材分析（一）教学内容《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学（必修）第二册上第八章的第6节的内容。

本节课的主要内容是探究抛物线的简单几何性质及应用。

通过对抛物线的简单几何性质进行分析，并利用这些性质来解决简单的几何问题。

（二）教材的地位和作用本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。

其中，蕴含的数形结合思想也是高中数学的重要思想。

学习本节课的内容能够较好地培养学生抽象概括能力，观察分析能力和探索求知的精神。

（三）课时安排本节内容安排1课时完成教学。

二、教学目标根据新课程标准的理念以及对教材的分析和高中学生的认知规律，本课节的教学目标确定为：知识目标：掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

能力目标：让学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力，以及对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。

情感目标：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。

三、难重点分析重点：抛物线的简单几何性质。

只有在完全掌握抛物线的简单几何性质的基础上，才能自如地解决相关几何问题。

难点：抛物线的简单几何性质的应用。

要求能灵活地运用抛物线的性质来解决简单的几何问题。

四、教法与学法分析（一）教法分析本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。

先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。

抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。

培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。

（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。

抛物线的简单几何性质教学设计教学设计：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.理解抛物线的定义和特点；2.掌握抛物线的几何性质；3.能够应用抛物线的性质解决相关问题。

二、教学过程：1.导入（5分钟）：通过向学生展示一些有关抛物线的图片，引起他们对抛物线的兴趣。

然后询问学生对抛物线的认识，并鼓励他们提出自己对抛物线的猜测。

2.概念讲解（15分钟）：2.1抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它的定义由以下两个要素确定：焦点F和直线l，且F不在l上。

抛物线上的所有点与F的距离等于该点到直线l的距离。

2.2抛物线的特点：2.2.1抛物线的轴：过焦点F垂直于直线l的直线称为抛物线的轴。

2.2.2焦点和直线的关系：抛物线上任意一点P与焦点F之间的距离等于该点到抛物线的轴的距离。

2.2.3抛物线的对称性：抛物线关于抛物线的轴具有对称性。

2.2.4抛物线的顶点：焦点F和抛物线的轴的交点称为抛物线的顶点。

3.性质探究（30分钟）：3.1性质1：焦点到顶点的距离等于顶点到抛物线轴的距离。

教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。

学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。

3.2性质2：顶点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线轴的距离。

教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。

学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。

3.3性质3：抛物线的对称性。

教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。

学生可以在纸上绘制抛物线，使用尺子或折纸法等方法观察抛物线的对称性。

4.拓展应用（30分钟）：4.1问题1：已知抛物线焦点F为(0,4)，顶点为(0,0)，求抛物线的方程。

教师引导学生分析问题，让学生通过已知条件，利用抛物线的特征来确定未知数，并列出方程。

然后让学生自主计算，并核对答案。

4.2问题2：已知抛物线焦点F为(2,2)，顶点为(0,0)，直线l的方程为y=x+1，求抛物线的方程。

2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。

二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。

2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。

三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。

【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。

1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。

我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。

【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。

问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。

而因为，且，所以。

【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。

问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。

课题：抛物线的简单几何性质（一）教学目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。

教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课教学方法：学导式，启发式教学过程设计：一、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点f 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 定点f 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

2．抛物线的标准方程：22y px = (0)p >二、讲授新课：1.范围当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线)2.对称性抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴。

3.顶点抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点，即坐标原点。

4.离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫抛物线的离心率，用e 表示.由抛物线定义可知, 1e =。

说明:①对于其余三种形式的抛物线方程，要求自己得出它们的几何性质，这样，有助于学生掌握抛物线四种标准方程。

②根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。

根据焦参数p 的值确定抛物线开口的大小，p 越大，抛物线开口越开阔。

③抛物线没有渐近线。

④垂直于对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，其长为2p 。

下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质.例 1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点，求它的标准方程。

变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程。

例2.斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交与,A B 两点，求线段AB 的长以及11AF BF+的值。

变式：倾斜角为α的直线l 经过抛物线22y px =的焦点F ，且与抛物线相交与1122(,),(,)A x y B x y 两点，求线段AB 的长以及11AF BF+的值。

抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。

2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。

3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。

教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。

2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。

3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。

步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。

b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。

c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。

d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。

步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。

2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。

步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。

2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。

3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。

步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。

2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。

教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。

2. 抛物线的图像和实例题目。

教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。

2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。

教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。

2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。

备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。

3.3.3 抛物线的简单几何性质（教学设计）(周济红)-高中数学新教材选择性必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）教学目标：1. 理解抛物线的定义和特征，掌握顶点、对称轴等基本概念。

2. 了解抛物线的简单几何性质，如焦点坐标、焦距、几何中心等。

3. 能够运用抛物线的性质解决实际问题。

教学重点：1. 抛物线的定义和特征。

2. 抛物线的几何性质。

3. 抛物线的应用。

教学难点：1. 抛物线的特征与其他曲线的比较和区分。

2. 抛物线几何性质的理解和应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 让学生回忆上一节课的内容，引导学生找出抛物线的特征。

2. 引入本节课的新内容：解释“抛物线”的定义和示意图，并引导学生在图中找出顶点、对称轴等基本要素。

二、讲解（25分钟）1. 抛物线的特征：开口向上或向下的曲线，由一条确定的直线（对称轴）及一个点（顶点）的位置关系所确定。

2. 抛物线的基本要素：顶点、对称轴、焦点、焦距等。

（画图解释）3. 抛物线的几何性质：如焦点坐标、焦距、几何中心等。

（画图解释）三、练习（20分钟）1. 让学生自己画出抛物线的图像，并找出其基本要素。

2. 让学生练习计算焦点坐标、焦距、几何中心等问题，巩固抛物线的几何性质。

四、应用（15分钟）1. 将抛物线的性质与实际问题相结合，如公路桥梁及反射镜等问题。

2. 让学生思考如何应用抛物线的性质解决这些实际问题，并在课堂上进行讨论。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的知识点。

2. 强调抛物线的应用，让学生懂得将所学的知识运用于实际问题中。

教学评价：1. 在节目结束时，教师通过提问和课外作业的方式进行教学评价。

2. 评价标准：理解抛物线的定义和特征，能够应用抛物线的几何性质解决实际问题。

抛物线的简单几何性质教案教案：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.了解抛物线的定义和基本性质；2.掌握抛物线的几何特征，如顶点、焦点和准线等；3.能够在实际问题中应用抛物线的几何性质。

二、教学准备：1.教师准备：教材、黑板、白板、粉笔/白板笔；2.学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器。

三、教学过程：1.导入（10分钟）：教师向学生介绍抛物线的定义，即平面上离一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）的点的轨迹。

2.探究抛物线的性质（30分钟）：a)定义性质教师和学生一起探究抛物线的核心性质：(1)焦点离抛物线准线的距离等于焦点离顶点的距离；(2)抛物线关于准线对称；(3)抛物线拱点所在的直线过抛物线的焦点。

b)几何特征(1)顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的对称中心。

(2)焦点：焦点是抛物线离心率的定位点，也是抛物线的最高点或最低点离焦点最近的点。

(3)准线：准线是与抛物线平行且位于焦点上方的一条水平线。

c)抛物线方程教师给出标准抛物线方程y = ax² + bx + c，并与学生一起通过几何特征推导出方程的性质，如顶点坐标、焦点坐标、离心率等。

3.练习与应用（40分钟）：a)练习题学生完成一些关于抛物线的基本计算练习题，以加深对抛物线几何性质的理解。

b)实际应用学生在教师的指导下，应用抛物线的几何性质解决一些实际问题，例如求解最优路径、抛物线天花板设计等。

4.小结与评价（10分钟）：教师对本节课内容进行小结，并对学生的学习情况进行评价。

四、教学反思：通过本节课的教学活动，学生可以深入了解抛物线的几何性质，并能够应用这些性质解决实际问题。

为了培养学生的实际应用能力，教师可以增加更多的实际应用案例，并提供丰富的练习题目供学生练习。

为了提高教学效果，教师还可以在课堂中使用多媒体教学工具，如电子白板或投影仪，展示抛物线的几何特征和应用案例的图像。

在教学过程中，教师应该多与学生进行互动，引导学生发现问题并提出自己的解决思路。

抛物线的简单几何性质教案抛物线是一种经典的二次函数，具有许多独特的几何性质。

它是数学中的重要概念，也常常出现在物理等实际应用中。

本文将介绍抛物线的一些简单几何性质，并设计一个教案，帮助学生理解和掌握这些性质。

一、抛物线的定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是一组与一直线和一个点的距离比例关系相符的点的轨迹。

2. 抛物线的特点：(1) 对称性：抛物线关于与其对称轴垂直的直线对称。

(2) 相同距离比例：抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比例始终相等，即反映了抛物线的几何性质。

(3) 焦点和准线：抛物线上的焦点与准线的距离相等，且焦点位于对称轴上。

(4) 抛物线开口方向：开口向上或向下取决于二次函数的二次项系数的正负。

二、教案设计1. 教学目标：(1) 理解抛物线的定义；(2) 掌握抛物线的对称性、焦点和准线的性质；(3) 理解抛物线开口方向与二次项系数的关系。

2. 教学过程：(1) 导入：提问学生对抛物线的认识，引导学生思考距离比例的概念，并通过图片和实物示例展示抛物线的形状。

(2) 概念解释：向学生介绍抛物线的定义和性质，让学生了解对称性、焦点和准线等概念，激发学生的兴趣。

(3) 教学演示：通过数学软件或手绘，展示抛物线的对称性和焦点、准线的位置，并解释相同距离比例的特点。

(4) 学生练习：提供抛物线的图形，让学生找出其对称轴、焦点和准线，并计算相同距离比例。

(5) 小组合作：学生分小组讨论并解决抛物线开口方向与二次项系数的关系问题，并向其他小组进行解释和讨论。

(6) 总结复习：学生总结抛物线的简单几何性质，并展示在教室内或墙壁上。

3. 教学评价：(1) 课堂回答问题：老师通过提问检查学生对抛物线性质的理解和掌握情况。

(2) 练习册作业：让学生在练习册上完成相关练习题，检测学生对抛物线性质的理解和应用能力。

三、教学展望通过这节课的教学，学生应能够理解抛物线的基本几何性质，并能够应用这些性质解决简单的问题。

《抛物线的简单几何性质》教学案例（一）教学题目：《抛物线的简单几何性质》第一课时（二）授课类型：新授课（三）教学目标：知识与技能：1、从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。

2、掌握抛物线的几何性质、范围、对称性、顶点、离心率，能根据给出条件求抛物线的标准方程，了解抛物线的通径及画法。

过程与方法：经历由抛物线的标准方程推导抛物线的性质，培养学生数形结合及方程的思想。

情感、态度与价值观：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用，培养学生的应用意识，进而培养学生乐于学习数学的兴趣。

（四）教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

（五）教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用。

（六）教学方法：采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。

（七）课时分配：1课时（八）教学媒体：多媒体课件（九）学情分析：我授课的学生大部分数学基础不太好,尤其理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐，所以在教学中注重双基的训练。

（十）教学步骤：教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、导入1、抛物线的定义：平面内与一个点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F→焦点，直线L→准线。

2、抛物线的标准方程。

图形标准方程焦点坐标准线方程3、唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。

问题1：如果测得酒杯口宽4cm，杯深8cm，试求抛物线方程。

解：如图建立平面直角坐标系,则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程为：A、B点在抛物线上，代入抛物线方程，可得P=41则所求的抛物线方程为：yx212=问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。

老师展示结论。

提出问题，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法。

展示解题过程。

抛物线的定义及标准方程由学生口述。

3.3.2抛物线的简单几何性质（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选修第一册第三章)一、教学目标1.掌握直线与抛物线的三种位置关系和焦点弦的简单几何性质，会用弦长公式求直线与抛物线的相交线.2.通过对直线与抛物线的位置关系的探究，以及焦点弦的有关重要结论的证明，掌握坐标法求解解析几何问题的一般思路，体会数形结合在解析几何应用中的重要性，培养数学运算、逻辑推理的数学素养. 二、教学重难点 教学重点：1. 直线与抛物线的位置关系.2.与焦点弦有关的重要结论3.坐标法的应用 教学难点：几何图形与代数运算的联系的建立 三、教学过程1.探究直线与抛物线的位置关系【复习回顾】直线与椭圆的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？例 已知直线和椭圆. 为何值时，直线与椭圆:有两个公共点？有且只有一个公共点？没有公共点？【预设答案】位置关系 公共点个数 方程解的个数 判别式 相交 2个 2个不等 相切 1个 2个相等 相离0个0个问题1：直线与抛物线的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？ 【预设答案】:450l x y m -+=22:1259x yC +=m l C ∆0∆>0∆=0∆<公共点个数 判别式 1个 或 2个 0个例1 已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 【预设答案】解：由题意，设直线的方程为，由方程组 消去，得（1）当时，直线的方程为，将代入，得， 此时直线与抛物线只有一个公共点（2）当时， 方程①的根的判别式由，得或，此时方程①有两个相等的实数根，直线与抛物线有且只有一个公共点.由，得，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个公共点.由，得，此时方程①没有实数根，直线与抛物线没有公共点. 【设计意图】复习回顾直线与椭圆的位置关系，用同样的研究方法来研究直线与抛物线的位置关系.2.证明抛物线的焦点弦的有关重要结论问题2:直线过抛物线的焦点时，直线与抛物线的位置关系如何？有多少个公共点？∆0k =0∆=0∆>0∆<24y x =l ()2,1P -k k l 24y x =l ()12y k x -=+()2124y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩x ()2-44210ky y k ++=①0k =l 1y =1y =24y x =14x =l 1,14⎛⎫⎪⎝⎭0k ≠()21621k k ∆=-+-0∆=-1k =12k =l0∆>112k -<<l 0∆<112k k <->或l【预设答案】直线与抛物线相交, 有两种情况，当直线与抛物线对称轴重合时，有一个公共点；当直线与抛物线不重合时，两个公共点，第二种情况中，过焦点的直线被抛物线所截的弦长就是焦点弦.【设计意图】由一般到特殊，由研究三种位置关系到研究其中一种，为接下来研究直线与抛物线相交时所成的焦点弦的有关重要结论打下基础.【复习回顾】上节课例2，求焦点弦的弦长，用了哪些方法？例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB 的长.【预设答案】法一：直接求两点坐标，利用两点间的距离公式求弦长法二：设而不求，利用弦长公式和根与系数的关系（韦达定理）求弦长 法三：活用定义，利用根与系数的关系（韦达定理）求弦长【设计意图】梳理求焦点弦长度的几种解法，引导学生体会坐标法解决问题的基本思想方法：先用几何眼光观察，再用代数运算解决.例3 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.（1）用，表示线段的长，并证明：长度最小为（通径）.（2）求证：.（3）求证：. （4）求证：以为直径的圆与准线相切. （5）求证：以焦半径为直径的圆与轴相切.【预设答案】l 24y x =F A B l 22(0)y px p =>F 11(,)A x y 22(,)B x y 1x 2x AB AB 2p 221212,4p x x y y p ==-112FA FB p+=AB AF y此时，代入得， ，（不妨设），故（称为通径） ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 由方程组得， 所以 所以， 所以长度最小为.（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，，显然成立；当直线斜率存在时，由方程组得，所以，，所以 （3）由（1）知，当直线斜率不存在时，， ，结论显然成立. 当直线斜率存在时，122px x ==22(0)y px p =>1y p =2y p =-12y y >2AB p =l l 2=-()py k x 222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px22222204-++=()k p k x p k x 1222p x x p k+=+122222pAB x x p p p k =++=+>AB 2p l (,)2p A p (,)2p B p -221212,4p x x y y p ==-l 222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px 22222204-++=()k pk x p k x 1222p x x p k +=+2124p x x =22212121212((()2224p p p p y y k x k x k x x x x p ⎡⎤=-⋅-=-++=-⎢⎥⎣⎦l (,)2p A p (,)2pB p -l由方程组得，所以，，（4）如图，设的中点为， 过,,分别作准线的垂线， 垂足分别为,,，则， 结论得证.(5) 如图，设的中点为， 过 ,分别作轴的垂线， 垂足分别为,，则， 结论得证.【设计意图】由例2到例3，由特殊到一般. 一方面，利用代数方法研究焦点弦的重要结论，使学生在解题过程中充分认识坐标法的程序性、普适性特点；另一方面，引导学生在解析几何的解题中，先用几何眼光观察，再用代数运算解决，充分利用图形的几何特征简化运算，注重数形结合，相辅相成.【总结】与抛物线焦点弦有关的重要结论直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px 22222204-++=()k p k x p k x 1222p x x p k +=+2124p x x =121111222+=+=++p p FA FB px x ABM A B M 'A 'B 'M '''222AA BB AF BF ABMM ++===AF N A N y E 'N 2'222pAF OF AE FOAF NN -++===l 22(0)y px p =>F 11(,)A x y 22(,)B x y（1），长度最小为（通径）（2）（3）.（4）以为直径的圆与准线相切.（5）以焦半径为直径的圆与轴相切.【设计意图】由学生自己证明并总结出与抛物线焦点弦的有关重要性质，加深对抛物线几何性质的理解.3.直线与抛物线的相交弦问题3:当直线不过抛物线焦点时，结论是否成立？【预设答案】不成立，证明如下：例4斜率为1的直线经过抛物线的定点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB的长.【预设答案】解：由方程组，得所以，它的长度与紧密关联.【设计意图】区分抛物线的焦点弦和一般相交弦，求解方法也有差异，一般弦长无法利用定义简化计算过程，只能用两点间的距离或弦长公式.四、课外作业1.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛12AB x x p=++AB2p221212,4px x y y p==-112FA FB p+=ABAF y12AB x x p=++121222p pFA FB x x x x p AB+=+++=++>l24y x=(,0)P m A B24y x my x=-⎧⎨=⎩22(24)0x m x m-++=1224x x m+=+212x x m=2AB x=-==mF A B A更多高中资料见：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495物线的准线于点，求证：直线平行与抛物线的对称轴．2. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若点，求的最小值．3. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，求证：是一个定值． 【答案】4. 已知过定点的直线交抛物线于，两点，求△面积的最小值． 【答案】D DB 24y x =F (),P x y ()1,0A -PF PA24y x =F F l A B OA OB ⋅3-()2,0P l 24y x =A B AOB。

3.3.2抛物线的简单几何性质(第一课时)教学设计（一）教学内容：抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质，抛物线几何性质的应用.（二）教学目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率的简单几何性质；2.根据抛物线的几何性质,利用数形结合思想，会求解抛物线的标准方程；3.通过抛物线几何性质的应用提升学生直观想象、数学运算、逻辑推理素养（三）教学重点和难点重点：抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质；难点：抛物线几何性质的应用（四）教学过程设计1、复习引入问题1：(1)抛物线的定义是什么？抛物线的标准方程是什么？【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。

问题2：上一节我们学习了抛物线的标准方程，对于这个新的曲线，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？【师生活动】学生独立思考．教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“椭圆与双曲线”；然后指引学生回顾椭圆、双曲线研究了哪些内容，如椭圆、双曲线中研究了范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；最后确定本节课抛物线简单几何性质的研究问题：范围、对称性、顶点、离心率．【设计意图】引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比椭圆与双曲线，提出要研究的问题．问题3：阅读教科书第134页“思考”，类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线22(0)=>的哪些几何性质？如何研究y px p这些性质？【师生活动】学生独立观察，充分思考．根据学生思考的结果，教师可以适时地选择以下问题进行追问．追问：（1）你认为研究抛物线的哪些简单几何性质？（从椭圆、双曲线的简单几何性质入手）.（2）你从哪个角度来分析抛物线的简单几何性质. （直观感知图形的性质，再用方程进行论证，将方程具体结合到几何进行论证）.【师生活动】教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，得到抛物线的简单几何性质的内容．【设计意图】让学生充分经历从观察、分析到证明的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学直观想象、逻辑推理的时机．2、合作学习探究新知探究：类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法，y2=2px(p> 0)你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？【师生活动】要求学生自学，再在小组讨论，小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导。