抛物线的简单几何性质练习题

第三章 3.3.2抛物线的简单几何性质A 级——基础过关练1．我们把过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦做叫通径．抛物线x 2＝－8y 的通径为线段AB ，则AB 长是( )A ．2B ．4C ．8D ．1【答案】C 【解析】由题意|AB |＝2p ＝8.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】由题意，p ＝2，故抛物线的准线方程是x ＝－1，因为过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2.又x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，点P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48【答案】C 【解析】不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.4．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是( ) A ．π6或5π6B ．π4或3π4C ．π3或2π3D ．π2【答案】B 【解析】抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫32，0.由题意知弦所在直线的斜率存在．设直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32，与方程y 2＝6x 联立得4k 2x 2－(12k 2＋24)x ＋9k 2＝0.设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．所以x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2，所以x 1＋x 2＋3＝3k 2＋6k 2＋3＝12.所以k 2＝1，所以k ＝±1.故弦所在直线的倾斜角是π4或3π4.5．(2021年安庆模拟)设抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值是( )A ．34B ．－34C ．3D ．－3【答案】B 【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题可知p ＝1，则OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 【答案】22 【解析】双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝2 2.7．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________.【答案】2 【解析】依题意，抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y －p 2＝x ，代入抛物线方程得y 2－3py ＋p 24＝0，故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝4p .直角梯形ABCD 有一个内角为45°.故|CD |＝22|AB |＝22×4p ＝22p ，梯形面积为12(|BC |＋|AD |)×|CD |＝12×3p ×22p ＝32p 2＝122，解得p ＝2.8．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 【答案】2 【解析】因为y 2＝4x ，所以p ＝2，F (1,0)．又因为|AF |＝2，所以x A ＋p2＝2，所以x A ＋1＝2，所以x A ＝1.故AB ⊥x 轴，点F 为AB 的中点，所以|BF |＝|AF |＝2.9．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．解：设抛物线y ＝x 2上一点P (x 0，y 0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为d ， 则d ＝|x 0－y 0－2|2＝|x 20－x 0＋2|2＝12⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 0－122＋74.当x 0＝12时，d min ＝728.10．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为A ⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将交点A ⎝⎛⎭⎫32，6代入得p ＝2， 故抛物线方程为y 2＝4x .因为双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以双曲线的焦点坐标为F 1(－1,0)和F 2(1,0)，且c ＝1. 又点A ⎝⎛⎭⎫32，6也在双曲线上， 因此由定义可得2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝⎝⎛⎭⎫32＋12＋62－⎝⎛⎭⎫32－12＋62＝72－52＝1，所以a ＝12，b ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32， 故双曲线的方程为4x 2－4y 23＝1. B 级——能力提升练11．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x 【答案】C 【解析】由抛物线的对称性及AB ⊥x 轴知抛物线的焦点在x 轴上．设方程为y 2＝nx (n ≠0)．由题意，可令OA 的方程为y ＝33x ，且OA ＝1，得A ⎝⎛⎭⎫32，12或A ⎝⎛⎭⎫－32，－12，代入y 2＝nx ，得n ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x . 12．(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】BCD 【解析】因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p2＝3，即p ＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．13．已知点O 为坐标原点，点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，点A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．【答案】(1,2)或(1，－2) 【解析】因为抛物线的焦点为F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，所以点A 的坐标是(1,2)或(1，－2)．14．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)．直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为____________．【答案】y ＝x 【解析】由题意知抛物线的方程为y 2＝4x ，设直线l 与抛物线C 的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1≠x 2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1，所以直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 15．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．解：如图，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. 因为x 1>0，x 2>0,2p >0， 所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p ，即三角形的边长为43p .16．点M (m,4)(m >0)为抛物线x 2＝2py (p >0)上一点，F 为其焦点，已知|FM |＝5. (1)求m 与p 的值；(2)以M 点为切点作抛物线的切线，交y 轴于点N ，求△FMN 的面积． 解：(1)由抛物线定义知|FM |＝p2＋4＝5，所以p ＝2.所以抛物线的方徎为x 2＝4y . 又由M (m,4)在抛物线上，所以m ＝4. 故p ＝2，m ＝4.(2)设过M 点的切线方程为y －4＝k (x －4)， 代入抛物线方程消去y ，得x 2－4kx ＋16k －16＝0， 其判别式Δ＝16k 2－64(k －1)＝0，所以k ＝2， 切线方程为y ＝2x －4，切线与y 轴的交点为N (0，－4)，抛物线的焦点F (0,1)， 所以S △FMN ＝12|FN |·m ＝12×5×4＝10.C 级——探究创新练17．抛物线x 2＝y 的焦点F 的坐标为________，若该抛物线上有一点P 满足|PF |＝54，且P 在第一象限，则点P 的坐标为________．【答案】⎝⎛⎭⎫0，14 (1,1) 【解析】抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14，其准线方程为y ＝－14，设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，根据抛物线定义，得y 0＋14＝54，∴y 0＝1，代入x 20＝y 0，由于x 0＞0，∴x 0＝1.18．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2. 又|CO |＝5，所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝2×5－4＝2.(2)设C ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 22x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4⎝⎛⎭⎫1＋y 202＝2y 20－4，y 1y 2＝y22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，6或⎝⎛⎭⎫32，－6， 从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.。

课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 由题意知，点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点. 知识点二中点弦问题3.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．答案 y ＝x解析 由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.90°C.60°D.120°答案 B解析 如图，由抛物线定义知 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， 所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO . 同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.故选B. 5．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，求|PQ |的最小值． 解 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x ，消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与x ＋y ＋12＝0间的距离，即等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.又由Δ＝42(k ＋2)2－16k 2＞0，得k＞－1.则由4k ＋2k 2＝4，得k ＝2.故选C. 2．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＋4＝0D.2x ＋y ＋4＝0答案 A解析 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4.又直线l 的斜率存在，∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0，故选A. 3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析 解法一：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.又x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24.于是y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4.故选B. 解法二：采用特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－4.故选B.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析 设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去x 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点； 当k ≠0时，令Δ＝64－64k 2≥0， 解得－1≤k <0或0<k ≤1. 故－1≤k ≤1.故选C.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D.2答案 D解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2有两个公共点，则a 的取值X 围是________． 答案 a >－14且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，得ax 2－x －1＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12－4×a ×－1>0，解得a >－14且a ≠0.7．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 答案 (1,1)解析 把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3.三、解答题9．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点． (1)若|AB |＝10，某某数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，某某数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.Δ>0解得m <2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．10．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．。

抛物线的几何性质习题一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜= .8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 .三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( )A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( )A.-x pB.y pC.px -D.-px 05.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 .7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜= .8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为 .三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】 一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1 D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 23.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为 .7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是 .8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1= .三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现. 2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为(x-1)2=-2p(y-2.25)将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25)令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动.要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-p y 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料： 圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=1 7.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C 为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k=k=1，∴直线l 的方程为y=x-1.10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p 9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△MCN 为等腰直角三角形，且∠MCN=90°，∴∠MAN=21∠MCN=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P是中位线，又有2｜P′P｜=｜M′M｜+｜N′N｜=｜MF｜+｜FN｜,因而｜PF｜=｜P′P｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。

2.4.2 抛物线的简单几何性质一、选择题1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)考点 抛物线的简单几何性质题点 焦点、准线、对称性的简单应用答案 D解析 ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p 2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线距离的最小值为p 2， ∴抛物线上的点到准线距离的取值范围是[3，＋∞)．2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为23，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为( )A ．4B ．5C ．6D ．7考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 A解析 由题意，知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∵抛物线y 2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为23，则P (3，±23)，∴点P 到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P 到抛物线的焦点F 的距离为4.故选A.3．P 为抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点，A ，B ，P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|，|BB 1|，|PP 1|，则有( )A ．|PP 1|＝|AA 1|＋|BB 1|B ．|PP 1|＝12|AB | C ．|PP 1|>12|AB |D ．|PP 1|<12|AB | 考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 与弦长有关的其它问题答案 B解析 如图所示，根据题意，PP 1是梯形AA 1B 1B 的中位线，故|PP 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.4．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( )A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)， ∴直线过点(1,0)，又点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．5．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 D解析 由题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝⎛⎭⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24， 又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝(1＋1)2＋m 2，得m ＝±23， ∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 与弦长有关的其它问题答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2， 即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 消去x ， 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.7．已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．0考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 B解析 因为点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，所以x ≥0，因为z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2， 所以当x ＝0时，z 最小，其值为3.8．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 C解析 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∵当x ＝p 2时，|y |＝p ， ∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p 2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36. 二、填空题9．(2018·北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 由题意知，直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a ＞0)． 又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．10．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 0或1解析 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y ，得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.11．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 6解析 抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得||x ＝ 3＋p 24.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p＝ 3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 三、解答题 12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 由其他条件求抛物线方程解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，由题意知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2， ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17， ∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .13．已知倾斜角为π6的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，抛物线C 上存在点P 与x 轴上一点Q (5,0)关于直线l 对称，则p 等于( )A.12B ．1C ．2D ．3 考点 抛物线的简单几何性质题点 焦点、准线、对称性的简单应用答案 C解析 由题意得，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P (x 0，y 0)，直线PQ 的方程为y ＝－3(x －5)，由⎩⎨⎧y 20＝2px 0，y 0＝－3(x 0－5)，得3(x 0－5)2＝2px 0， 又|FP |＝|FQ |，即x 0＋p 2＝⎪⎪⎪⎪5－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 0－5)2＝2px 0，x 0＋p 2＝⎪⎪⎪⎪5－p 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝5，p ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，p ＝2. 综上，p ＝2.14.如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2,0)的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N .(1)求y 1y 2的值； (2)连接MN ，记直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，证明：k 1k 2为定值． 考点 抛物线中的定值、定点问题题点 抛物线中的定值问题(1)解 依题意，设AB 的方程为x ＝my ＋2， 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8.(2)证明 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，k 1k 2＝y 3－y 4x 3－x 4×x 1－x 2y 1－y 2＝y 3－y 4y 234－y 244×y 214－y 224y 1－y 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4， 设直线AM 的方程为x ＝ny ＋1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ny －4＝0，所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4，k 1k 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－4y 1＋－4y 2＝y 1y 2－4， 由(1)知y 1y 2＝－8，所以k 1k 2＝2为定值．。

第一课时 抛物线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程为( )A ．x ＋4＝0B ．x －4＝0C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：由题意知，点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，所以点M (x ，y )的轨迹是抛物线，且方程为y 2＝16x .答案：D2．若抛物线y 2＝x 上一点M 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－24解析：设M (x 0，y 0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，由题意知|MF |＝|OM |.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－142＋y 20＝x 20＋y 20，解得x 0＝18，代入y 2＝x ，得y 0＝±24，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24.答案：B3．(2019·福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点A (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 的值为( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2解析：由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵A (k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝4p . 又|AF |＝4，∴p2＋2＝4，∴p ＝4，∴k ＝±4.答案：B4．(2019·保定模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M ，N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：如图，由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，M p 2，p ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ，则|PF |＝|MF |＝|NF |＝p .∴∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而∠MPN ＝90°，∴△PMN 为直角三角形，故①正确，②错误；直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2py＋p 2＝0，∴Δ＝(－2p )2－4p 2＝0，∴直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．答案：A5．(2019·郑州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝3，∴x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.答案：B6．(2019·马鞍山市阶段测试)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →＝4FN →，则直线l 的斜率为( )A ．±32B ．±23C ．±34D ．±43解析：不妨设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，N (x 2，y 2)，∵MF →＝4FN →，∴y 1＝－4y 2，又y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p 2，x 2＝p 8，∴k MN ＝－p2－0p 8－p 2＝43.根据对称性可得直线l 的斜率为±43.答案：D 二、填空题7．(2019·凯里市期末)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则此抛物线的方程为________．解析：因为以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为93＝34|BF |2，∴|BF |＝6，∴F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，此抛物线的方程为y 2＝6x .答案：y 2＝6x8．如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB 过F ，则椭圆的离心率是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝c ，2p ＝2b2a ，∴4c ＝2b 2a，即b 2＝2ac ＝a 2－c 2，∴e ＝2－1或e ＝－2－1(舍去)．答案：2－19．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为________．解析：设抛物线方程为x 2＝2py ，A (x 0，y 0)，l 为准线，过A 作AB ⊥l ，交l 于B ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，y 0＋p 2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝±22，y 0＝3－p 2.又(x 0，y 0)在x 2＝2py 上，∴8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2＝6p －p 2，解得p ＝2或p ＝4.故所求的抛物线方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 答案：x 2＝4y 或x 2＝8y 三、解答题10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.11．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解：(1)∵直线l 的倾斜角为60°，∴k ＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，∴直线l ：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，y 2＝6x ，得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AF |＋|BF |＝x 1＋p2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，又|AB |＝9，∴x 1＋x 2＝6. ∴AB 的中点M 的横坐标是3， 又∵准线方程为x ＝－32，∴M 到准线的距离为3＋32＝92.12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (0，－2)的距离比它到x 轴的距离大2，记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋b 与轨迹C 恰有2个公共点，求实数b 的取值范围．解：(1)设轨迹C 上的动点M (x ，y )，则由题意，x 2＋(y ＋2)2＝|y |＋2，∴x 2＝4(|y |－y )，∴轨迹C 的方程为x2＝⎩⎪⎨⎪⎧－8y ，y ≤0，0，y >0.(2)轨迹C 与直线y ＝2x ＋b 有两个交点，等价于①直线y ＝2x ＋b 与x ＝0(y >0)，x 2＝－8y (y ≤0)各有一个交点，即满足b >0，且⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－8y ，y ＝2x ＋b只有一根，即x 2＝－8(2x ＋b )只有一根，Δ＝256－32b ＝0，∴b ＝8.②直线y ＝2x ＋b 与x 2＝－8y (y ≤0)有两个交点，而与x ＝0(y >0)没有交点，即b ≤0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－8y ，y ＝2x ＋b 有两根，Δ＝256－32b >0，∴b <8，取交集为b ≤0.综上，实数b 的取值范围为(－∞，0]∪{8}．13．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解：(1)设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题设得F 34，0，故|AF |＝|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得，x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得，9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，解得t ＝－78，所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →，可得y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3，代入抛物线C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，故|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223－13＝4133.。

习题（23）抛物线的简单几何性质（1）一、选择题：1．直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2．已知F 是抛物线y 2=-12x 的焦点，直线l 过焦点F 且x l ⊥轴，若l 交抛物线于A ，B 两点，则|AB |=（即通径长）（ ）A. 3B. 6C. 12D. 243．过抛物线x 2=4y 焦点作直线交抛物线于),(11y x A ,),(22y x B ，若y 1+y 2=6，则|AB |=（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax )0(≠a 的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A. y 2＝4xB. y 2＝8xC. y 2＝±4xD. y 2＝±8x5．抛物线x 2=4y 截直线l : y =kx +1所得的弦长为316，则l 的倾斜角为（ ） A. ︒60 B. ︒30 C. ︒60或︒120 D. ︒30或︒150 *6．已知抛物线C : y 2=8x 与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点,若0=⋅MB MA ,则k =（ ） A.21B.22 C ．2 D ．2二、填空题：7．已知抛物线y 2=2x 上两点A ,B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为 ．8．平面内动点P 到定点A (2,0)的距离比P 到y 轴的距离大2，则动点P 的轨迹方程为 ． 9．过(0,2)的直线与抛物线y 2=8x 交于A ,B ,若线段AB 的中点的横坐标是2,则|AB |= ． 10．已知点M (3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，P 是该抛物线上的点，则|PM |＋|PF |的最小值是 ，此时P 点的坐标是 ．11．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率为1的直线 与该抛物线交于A ,B 两点，A ,B 在x 轴上的射影分别 为D,C ，若梯形ABCD 的面积为212，则抛物线的焦 点F 的坐标为 ．三、解答题：12．已知P (0,1)是抛物线y 2=x 上一点，直线l 经过点P 且与抛物线只有一个公共点，求直线l 的方程．13．已知直线l : y =-1及圆1)2(:22=-+y x C ，动圆M 与直线l 相切，且与圆C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．14．如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为A 1, A 2, ……,A 9和B 1, B 2, ……,B 9,连结i OB ,过A 1做x 轴的垂线与i OB 交于点i OB ，i P )91*,(≤≤∈i N i .(1)求证:点i P )91*,(≤≤∈i N i 都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点M ，N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为1:4,求直线的方程.lCMOyx。

抛物线的简单几何性质典型例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ典型例题一例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于点M ,如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？解：思路一:求出M 、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等,则ＭQ//x 轴,为此,将方程)2(,22px k y px y -==联立,解出),)11(,2)11((2222k k p k k p P ++++))11(,2)11((2222k k p kk p Q +--+ 直线OP 的方程为,)11()11(2222x k k k y ++++=即.)11(22x kk y +--=令2px -=,得M 点纵坐标Q M y k k p y =+-=)11(2得证. 由此可见，按这一思路去证,运算较为繁琐.思路二:利用命题“如果过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y 、2y ，那么221p y y -=”来证.设),(11y x P 、),(22y x Q 、),(33y x M ，并从px y 22=及)2(px k y -=中消去x ，得到0222=--kp py ky ，则有结论221p y y -=，即122y p y -=.又直线O Ｐ的方程为x x y y 11=, 2px -=,得1132x py y -=．因为),(11y x P 在抛物线上,所以p yx 2112=．从而212211113)(2y y p y p py x py y =-=⋅-==．这一证法运算较小．思路三:直线MQ 的方程为o y y =的充要条件是),2(),,2(0200y p y Q y pM -.将直线M Ｏ的方程p y y 02-=和直线ＱF 的方程)2(2220px py py y o --=联立,它的解（ｘ ,y )就是点Ｐ的坐标，消去o y 的充要条件是点P 在抛物线上,得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在)，容易证明成立.典型例题二例２ 已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，点Ｒ是含抛物线顶点Ｏ的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积.分析:求RA Ｂ的最大面积，因过焦点且斜率为１的弦长为定值,故可以AB 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.解：设A Ｂ所在的直线方程为2p x y -=． 将其代入抛物线方程px y 22=,消去x 得0222=--p py yp y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴当过R 的直线l 平行于ＡＢ且与抛物线相切时，△ＲAB 的面积有最大值. 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y 由,0842=-=∆pb p 得2p b =，这时),2(p pR .它到A Ｂ的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为2221p h AB =⋅.典型例题三例3 直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点,P 是线段1P 2P 的中点,直线2l 过Ｐ和抛物线的焦点Ｆ，设直线1l 的斜率为k ．(1)将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ; （2）求出)(k f 的定义域及单调区间.分析：2l 过点Ｐ及F ,利用两点的斜率公式,可将2l 的斜率用k 表示出来，从而写出)(k f ,由函数)(k f 的特点求得其定义域及单调区间．解：(1)设1l 的方程为：)1(+=x k y ,将它代入方程x y 42=，得0)42(2222=+-+k x k x k设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、,则2222212,24k k x k k x x -=-=+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：ky 2=,即Ｐ点坐标为)2,2(22k k k -.由x y 42=,知焦点)0,1(F ,∴直线2l 的斜率22221122kk k k k k -=--= ∴函数211)(kk f -=． （2)∵2l 与抛物线有两上交点,∴0≠k 且04)42(422>--=∆k k 解得01<<-k 或10<<k∴函数)(k f =的定义域为{}1001<<<<-k k k 或 当)0,1(-∈k 时,)(k f 为增函数.典型例题四例4 如图所示:直线l 过抛物线px y 22=的焦点，并且与这抛物线相交于A 、Ｂ两点，求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据ｌ上任一点到C 、Ｄ距离相等来得矛盾结论.证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线,因为直线l 与抛物线交于Ａ、B 两点，所以直线l 的斜率存在,且不为零；直线CD的斜率存在,且不为0．设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(222pt pt .则211t t k CD += ∴l 的方程为)2()(21px t t y -⋅+-=∵直线l 平分弦CD∴CD 的中点))(),((212221t t p t t p ++在直线l 上, 即]2)()[()(22212121p t t p t t t t p -++-=+,化简得:0)21)((222121=+++t t t t p由0)(21≠+t t p 知0212221=++t t 得到矛盾,所以直线l 不可能是抛物线的弦C Ｄ的垂直平分线. 证法二：假设直线l 是弦CD 的垂直平分线∵焦点F 在直线l 上,∴DF CF =由抛物线定义，),(),,(2211y x D y x C 到抛物线的准线2px -=的距离相等. ∵2121,y y x x -==,∴CD 的垂直平分线l ：0=y 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾，下略.典型例题五例5 设过抛物线)0(22>=p px y 的顶点Ｏ的两弦OA 、O Ｂ互相垂直，求抛物线顶点O 在ＡＢ上射影N 的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算．解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A则:2221212,2px y px y ==,22221214p y y x x ⋅=∴OB OA ⊥ ,1-=⋅∴OB OA k k 即02121=+y y x x042122221=+∴y y py y 021≠y y ,2214p y y -=∴ ①把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为:),(000x x y x y y --=-显然00≠x 0200)(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222020020=+-+y x p y py y x 00≠∴x ，0202021)(2x y x p y y +-=∴ ②由①、②得：020202)(24x y x p p +-=-，化简得)0(02002020≠=-+x px y x 用x 、y 分别表示00y x 、得:)0(0222≠=-+x px y x解法二:点N 在以O Ａ、OB 为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设)2,2(2pt pt A ,则以OA 为直径的圆方程为:)()()(242222t t p pt y pt x +=-+-022222=--+pty pt y x ①设)2,2(121pt pt B ，O Ａ⊥ＯＢ,则tt t t 1111-=⇒-=在求以ＯB 为直径的圆方程时以t1-代1t ，可得022)(222=+-+pty px y x t ②由①+②得：0)2)(1(222=-++px y x t)0(0222≠=-+∴x px y x典型例题六例6如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点Ｎ的距离相等,若△AMN 为锐角三角形,7=AM ，3=AN ，且6=BN ,建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.分析:因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定Ｃ所满足的抛物线方程．解:以1l 为ｘ轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系．由题意，曲线段C 是Ｎ为焦点,以2l 为准线的抛物线的一段,其中A 、Ｂ分别为曲线段的两端点．∴设曲线段Ｃ满足的抛物线方程为:),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、Ｂ的横坐标令,p MN =则)0,2(),0,2(pN p M -，3,17==AN AM ∴由两点间的距离公式,得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++92)2(172)2(22A A A Apx p x px p x解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22A x p∵△ＡMN 为锐角三角形，∴A x p>2,则4=p ，1=A x 又B 在曲线段C 上，4262=-=-=∴pBN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82>≤≤=y x x y典型例题七例7如图所示,设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(22=+-y x 在ｘ轴上方的交点为Ａ、Ｂ，与圆27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、Ｄ,P 为AB 中点，Q 为C Ｄ的中点.（1)求PQ ．(2）求△AB Ｑ面积的最大值.分析：由于P 、Q 均为弦ＡB 、CD 的中点,故可用韦达定理表示出Ｐ、Q 两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ ．解:(1)设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 29)5(222得：016)5(22=+--x p x , P x x x BA -=+=∴5212198)5(222222)(222p p p p x x x x p x x p y y y BA B A B A B A -=+-=++=+=+=由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 227)6(222得09)6(22=+--x p x ， p x x x DC -=+=∴622 )(2222D C DC x x py y y +=+=同1y 类似,229p p y -=则0,12121=-=-y y x x ，1=∴PQ（２）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S BPQ -=-⋅=+=∆∆∆2221)1(821022p p p P-=--=10<<p ,∴当21=p 时,ABQ S ∆取最大值21． 典型例题八例８ 已知直线l 过原点,抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上,且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程.分析：设出直线l 和抛物线C 的方程,由点A 、B 关于直线l 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设α=∠Ox B ',利用对称的几何性质和三角函数知识求解.解法一:设抛物线C 的方程为px y 22=)0(>p ，直线l 的方程为kx y =)0(≠k ， 则有点)0,1(-A ,点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+-⋅=,11,2121111k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=;12,1121221k k y k k x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=+,18,2282222k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1)1(8,11622222k k y k k x 如图，'A 、'B 在抛物线上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+-+-⋅=+.1162)1()1(64,112)1(42222222222k k p k k k k p k k 两式相除,消去p ，整理，得012=--k k ，故251±=k , 由0>p ,0>k ,得251+=k .把251+=k 代入，得552=p . ∴直线l 的方程为x y 251+=,抛物线C 的方程为x y 5542=． 解法二:设点A 、B 关于l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ， 又设α=∠Ox B ',依题意,有1'==OA OA ,8'==OB OB . 故αcos 82=x ，αsin 82=y ． 由︒=∠90BOA ，知︒=∠90''OA B ．∴ααsin )90cos(1=︒-=x ,ααcos )90sin(1-=︒-=y .又01>x ,02>x ，故α为第一象限的角．∴)cos ,(sin 'αα-A 、)sin 8,cos 8('ααB ．将'A 、'B 的坐标代入抛物线方程,得⎪⎩⎪⎨⎧==.cos 16sin 64,sin 2cos 22ααααp p ∴αα33cos sin 8=，即21tan =α从而55sin =α，552cos =α, ∴552=p ，得抛物线C 的方程为x y 5542=. 又直线l 平分OB B '∠,得l 的倾斜角为︒+=-︒+452290ααα． ∴251sin 1cos )90cos(1)90sin()452tan(+=-=︒++︒+=︒+=αααααk ． ∴直线l 的方程为x y 251+=． 说明：(１)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强，一时难于想到．(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法,需要重点掌握．典型例题九例9 如图，正方形ABCD 的边AB 在直线4+=x y l ：上，C 、D 两点在抛物线x y =2上，求正方形ABCD 的面积．分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．解：∵直线4+=x y AB ：,CD AB //,∴设CD 的方程为b x y +=，且),(11y x C 、),(22y x D .由方程组⎩⎨⎧+==bx y x y 2，消去x ,得02=+-b y y ，于是 121=+y y ,b y y =21,∴21211y y k CD -+=(其中1=k ) ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+⋅=.由已知,ABCD 为正方形,AD CD =，∴CD 可视为平行直线AB 与CD 间的距离，则有24bCD -=,于是得24)41(2bb -=-.两边平方后,整理得,01282=++b b ,∴6-=b 或2-=b .当6-=b 时,正方形ABCD 的面积50)241(22=+==CD S ．当2-=b 时，正方形ABCD 的面积18)81(22=+==CD S .∴正方形ABCD 的面积为１8或5０.说明：运用方程（组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件．典型例题十例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为410⨯d km 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为︒30，求这彗星与地球的最短距离.分析:利用抛物线有关性质求解．解：如图，设彗星轨道方程为px y 22=，0>p ,焦点为)0,2(p F , 彗星位于点),(00y x P 处.直线PF 的方程为)2(33p x y -=.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==),2(33,22p x y px y 得2)347(p x ±=, 故2)347(0p x ±=． p p p p x PF )324(|22)347(|332|2|3320±=-±=-=. 故d p =±)324(,得d p 232±=． 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为d p 4322±=，所以彗星与地球的最短距离为410432⨯+d km 或410432⨯-d km ，（P 点在F 点的左边与右边时,所求距离取不同的值)． 说明：（1)此题结论有两个，不要漏解；（２)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设),(00y x P 为抛物线px y 22=上一点,焦点为)0,2(p F ，准线方程为2p x -=,依抛物线定义,有220p x p PF ≥+=)0(0≥x ,当00=x 时，PF 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．典型例题十一例11 如图,抛物线顶点在原点,圆x y x 422=+的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2,直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点，求CD AB +的值.分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.解：由圆的方程x y x 422=+,即4)2(22=+-y x 可知，圆心为)0,2(F ,半径为２,又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F ,设抛物线方程为x y 82=,BC AD CD AB -=+ ∵BC 为已知圆的直径，∴4=BC ，则4-=+AD CD AB ．设),(11y x A 、),(22y x D ，∵FD AF AD +=，而A 、D 在抛物线上，由已知可知,直线l 方程为)2(2-=x y ，于是,由方程组⎩⎨⎧-==).2(2,82x y y 消去y ，得0462=+-x x ，∴621=+x x ． ∴1046=+=AD ，因此,6410=-=+CD AB ．说明:本题如果分别求AB 与CD 则很麻烦，因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在,在求AD 时，又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避免了一些繁杂的运算.。

抛物线的简单几何性质一、抛物线几何性质的应用 活动与探究1已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．迁移与应用1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________． 注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．二、抛物线的焦点弦 活动与探究2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 迁移与应用1．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．A ．45°B ．90° C．60° D．120°2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．三、直线与抛物线的位置关系 活动与探究3已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．迁移与应用1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．A ．－1B ．2C ．2或－1D ．42．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点⇔a ≠0且Δ＞0；②相切⇔a ≠0且Δ＝0；③相离⇔a ≠0且Δ＜0．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．当堂检测1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为|PF|＝( )．A．．8 C．．162．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )．A．1 B．1或3 C．0 D．0或13．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则p＝__________．4．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．线OA与l的距离等于5答案：课前²预习导学 【预习导引】1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p2 x ≤0y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．2．x 0＋p2x 1＋x 2＋p 2p预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13．预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．课堂²合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．解：设所求的抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2．如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”， 过点P 作准线的垂线，垂足为H ，由抛物线定义可知|PF |＝|PH |． 当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋2p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝8x ． 迁移与应用 1．y 2＝16x 或y 2＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p2，而点M 到准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p 2，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p 2，－42，代入方程得32＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2＝8x ．2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ． 同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1．故∠A 1FB 1＝90°．2．解：已知抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°， 则有|AF |＝|BF |＝p ，所以112||||AF BF p+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°， 设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线方程联立并消去y ，整理得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋224k p ＝0，由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝24p ．另一方面，由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p． 于是121111||||22p p AF BF x x +=+++ ＝()122121224x x pp p x x x x +++++＝()()22222222=2424k pp k p k p p p pk ++++⋅+． 活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．解：∵A ，B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA ²OB ＝0．由OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，OB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0．∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24． 将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610．迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2．而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8k2＝4，解得k＝－1或k ＝2．而当k ＝－1时，方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去x ，整理得ky 2－8y －32k ＋8＝0．此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，由韦达定理得y 1＋y 2＝8k．又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4． 故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则有2118y x ＝，2228y x ＝，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 由于Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，于是y 1－y 2x 1－x 2＝4， 即直线AB 的斜率k ＝4，故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．当堂检测1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为|PF |＝( )．A ．．8C ．．16答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为2)y x =-，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，．设P (x 0，，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1答案：D 解析：联立22,8y kx y x=+⎧⎨=⎩得(kx ＋2)2－8x ＝0．整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0．当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1． 综上，k ＝0或1．3．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为，则p ＝__________．答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －2p ＝x ，即y ＝x ＋2p ．联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＝(1p ，x 2＝(1p ．∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|＝． 由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)²|CD |＝132p ⋅⋅=p 2＝4，∴p ＝±2．∵p ＞0，∴p ＝2．4．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242(2)2y y ⎧=⎨-=⎩,①,② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为212y x =， ∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为4'4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为2'2x y =-=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ²1，∴p ＝2．故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l l 的方程；若不存在，说明理由． 答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ． 由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0． ∵直线l 与抛物线C 有公共点， ∴Δ＝4＋8t ≥0，解得12t ≥-．另一方面，由直线OA 与l 的距离5d ==，解得t ＝±1． ∵11,2⎡⎫-∉-+∞⎪⎢⎣⎭，11,2⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，∴符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0．用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本。

高二数学课时作业§ 3.2《抛物线的简单几何性质》一．单选题1.点P 在抛物线28y x =上，若点P 到点()2,0的距离为6，则点P 到y 轴的距离为（）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知圆C 的圆心为抛物线223y x x =++的顶点，且圆C 经过点()1,6，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)20x y -++=B ．22(1)(2)20x y ++-=C ．22(1)(2)16x y -++=D ．22(1)(2)16x y ++-=3.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线22y x =上，则这个等边三角形的边长为（）A ．2B ．C ．4D ．4.已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两个点，O 为坐标原点，若OA OB =且AOB V 的垂心恰是抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（）A ．x p=B ．3x p=C ．52x p =D ．32x p =5.已知()3,2A ，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，当PA PF +取最小值时，点P 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（2，2）C ．（2，0）D ．（－2，－2）6.已知直线1:4360l x y ++=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A ．2B ．3C ．115D ．3716二.多选题7.已知抛物线C 过点()1,4A -，则（）A ．拋物线C 的标准方程可能为216y x=B ．挞物线C 的标准方程可能为214x y=-C ．过点A 与抛物线只有一个公共点的直线有一条D ．过点A 与抛物线只有一个公共点的直线有两条8.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线:1l y x =-与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则（）A ．2p =B ．OA OB⊥C ．||8AB =D ．8FA FB ⋅=-三．填空题9.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点()03,P y 在抛物线C 上，则PF =．10.已知等腰梯形ABCD 的四个顶点在抛物线2:4E y x =上，且:1:2AB CD =，则原点到AB 的距离与原点到CD 的距离之比为．四．解答题11.已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上的任意点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴的距离的差都是1．(1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 上总存在不同两点关于直线y x m =+对称，求实数m 的取值范围．12.已知抛物线2:2C y x =，(2,0)A .(1)Q 是抛物线上一个动点，求QA 的最小值；(2)过点A 作直线与该抛物线交于M 、N 两点，求OM ON ⋅的值.。

课时作业(三十) 抛物线的简单几何性质[练基础]1．若点(m ，n )在抛物线y 2＝－13x 上，则下列点中一定在该抛物线上的是( )A ．(－m ，－n )B ．(m ，－n )C ．(－m ，n )D ．(－n ，－m )2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点(－5，25 )在抛物线上，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝4x3．垂直于x 轴的直线交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，且|AB |＝43 ，求直线AB 的方程( )A ．x ＝3B ．x ＝3C ．y ＝3D ．y ＝34．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( )A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点5．已知抛物线y ＝mx 2(m ＞0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝6，则焦点F 的坐标为( )A ．(0，94 )B ．(0，98) C ．(0，92 ) D ．(0，32) 6．(多选)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ≠0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45 ，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝－2y7．[2022·湖南师大附中高二期中]已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，且|F A |＝4，则|AB |＝________．8．抛物线y 2＝2x 上两点A ，B 与坐标原点O 构成等边三角形，则该三角形的边长为________．9．设抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 中点M 的横坐标为2，且|AF |＋|BF |＝6.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l (斜率存在)经过焦点F ，求直线l 的方程．[提能力]10．若正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是( )A ．483B ．243C ．1639D ．463 11．[2022·湖南长郡中学高二期中](多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为3 且经过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝4，则以下结论正确的是( )A ．p ＝2B ．F 为AD 中点C ．|BD |＝2|BF | D ．|BF |＝212．过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，则AB 所在直线的方程为________．13．已知抛物线C 1：y 2＝8x 的焦点为F ，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝16与抛物线C 1在第一象限的交点为A (x 0，y 0)，直线l ：y ＝t (0＜t ＜y 0)与抛物线C 1的交点为B ，直线l 与圆C 2在第一象限的交点为D ，则y 0＝________；△C 2DB 周长的取值范围为________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－1，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，坐标原点为O ，且直线OM 的斜率为22.(1)求实数p 的值；(2)求△OAB 的面积．[培优生]15．已知抛物线y ＝14 x 2和y ＝－116x 2＋5所围成的封闭曲线如图所示，给定点A (0，a )，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(2，4)C ．(32 ，3)D ．(52，4)。

3.3.2 抛物线的简单几何性质（同步练习）一、选择题1.顶点在原点，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝32x B ．y 2＝3x C ．y 2＝6x D ．y 2＝－6x2.已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p 2的距离为1，则p 的值为( ) A ．1 B ．1或3C ．2D ．2或63.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B ．1 C.32D ．2 4．P 为抛物线y 2＝2px(p ＞0)上任意一点，F 为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定5.已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．－2D ．26.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ， 若FA ―→＝3FB ―→，则|AF ―→|＝( )A ．3B ．4C ．6D ．77.已知抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF||BF|∈(0,1)，则|AF||BF|＝( ) A.15 B ．14 C.13 D ．128.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题9.已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________10.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF|＝2，则|BF|＝________11.抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________12.(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，y 1，B(1，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________13.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________三、解答题14.根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF|＝5.15.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．16.已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的过焦点F 的一条弦．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝2p sin 2θ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.17.已知抛物线y 2＝2x.(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.C 解析：∵抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫32，0，∴p ＝3，且抛物线开口向右．∴抛物线的标准方程为y 2＝6x.2.B 解析：|AF|＋|BF|＝4⇒x A ＋p 2＋x B ＋p 2＝4⇒x A ＋x B ＝4－p ⇒2x 中＝4－p ，因为线段AB 的中点到直线x ＝p 2的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪x 中－p 2＝1，所以|2－p|＝1⇒p ＝1或3. 3.D 解析：∵y 2＝4x ，∴F(1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P(1,2)． 将点P(1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)，得k ＝2.故选D. 4．C 解析：设PF 的中点M(x 0，y 0)，作MN ⊥y 轴于N 点，设P(x 1，y 1)，则|MN|＝x 0＝12(|OF|＋x 1)＝12⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＝12|PF|.故相切． 5.A 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)x 1－x 2＝2，即4k AB ＝2，k AB ＝12. 6.B 解析：由已知点B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于点H ，如图，则|BH|＝23|FK|＝43，所以|BF|＝|BH|＝43.所以|AF ―→|＝3|BF ―→|＝4. 7.C 解析：因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF||BF|＝|x A ||x B |＝13，故选C. 8.BCD 解析：因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p 2＝3，即p ＝6．又因为抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)． 二、填空题9.答案：43解析：由抛物线定义得x A ＋1＝5，x A ＝4，又点A 位于第一象限，因此y A ＝4，从而k AF ＝4－04－1＝43. 10.答案：2解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.11.答案：2 3解析：由抛物线可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线y ＝－p 2，由于△ABF 为等边三角形，设AB 与y 轴交于M ，则 |FM|＝p ，不妨取B ⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋42，－p 2，|FM|＝3|MB|，即p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋42，解得p ＝2 3. 12.答案：3解析：根据抛物线的几何性质可得d 1＝p 2＋23，d 2＝p 2＋1，d 3＝p 2＋32，由题意可得p>0，因此可判断d 3最大，故d 3＝p 2＋32＝3，解得p ＝3. 13.答案：2解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.三、解答题14.解：(1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)且－p 2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x. (2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px(p ≠0)，A(m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x.15.解：∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点．∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，∴直线的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k 2＋2. 又|AB|＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24. ∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)．16.证明：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy －p 2＝0， 则y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm ，∴y 21＋y 22＝2p(x 1＋x 2)＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝4p 2m 2＋2p 2，∴x 1＋x 2＝2pm 2＋p. 当θ＝90°时，m ＝0，x 1＋x 2＝p ，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝2p sin 2θ； 当θ≠90°时，m ＝1tan θ，x 1＋x 2＝2p tan 2θ＋p ，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p tan 2θ＋2p ＝2p sin 2θ. ∴|AB|＝2p sin 2θ. (2)由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24. (3)1|AF|＋1|BF|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p .17.解：(1)设抛物线上任一点P(x ，y)，则|PA|2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13， 因为x ≥0，且在此区间上函数单调递增，所以当x ＝0时，|PA|min ＝23， 故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点M(x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则M 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪y 20－2y 0＋622＝|(y 0－1)2＋5|22， 当y 0＝1时，d min ＝522＝524，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.。

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十六 抛物线的简单几何性质基础全面练 (20分钟 35分)1．(2021·天水高二检测)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A(x 0，y 0)是C 上一点，|AF|＝54 x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】选A.由抛物线C ：y 2＝x 可得p ＝12 ，p 2 ＝14 ，准线方程为x ＝－14 ，因为A(x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54 x 0，x 0>0.所以54 x 0＝x 0＋p 2 ＝x 0＋14 ，解得x 0＝1.2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)【解析】选D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p 2 ＝3，即p ＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2 ，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).3．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解析】选C.方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．4．已知F 是抛物线x 2＝2y 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB 的中点到x 轴的距离为________．【解析】因为|AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义可得|AD|＋|BE|＝6，又线段AB 的中点到抛物线准线y ＝－12 的距离为12 (|AD|＋|BE|)＝3，所以线段AB 的中点到x 轴的距离为52 .答案：525．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，则|FN|＝________．【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F(2，0)，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：±2 2 ，|FN|＝2|FM|＝ 2⎝⎛⎭⎫1－22＋()222 ＝6. 答案：66．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【解析】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 . 因为直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 且倾斜角为135°， 所以直线方程为y ＝－x ＋12 p.设直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ， 消去y ，得x 2－3px ＋p 24 ＝0.所以x 1＋x 2＝3p.②由①②得p ＝2，所以所求抛物线方程为y 2＝4x.当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x.综上，所求抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x.综合突破练 (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，||AB ＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．32C ．12D ．52【解析】选B.设A ⎝⎛⎭⎫x 1，y 1 ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2 ，C 的横坐标为x 0， 则x 0＝x 1＋x 22 ，因为AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，所以||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝4，所以x 1＋x 2＝3，故x 0＝x 1＋x 22 ＝32 .2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB|＝2 2 ，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18【解析】选A.线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 ，则焦点到直线AB 的距离为1－12 ＝12 . 3．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2【解析】选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p 2 ，|FP 2|＝x 2＋p 2 ，|FP 3|＝x 3＋p 2 ，所以|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，点F 是△ABC 的重心，O 为坐标原点，△OFA ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2【解析】选C.设A ，B ，C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，所以S 1＝12 |y 1|，S 2＝12 |y 2|，S 3＝12 |y 3|，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝14 (y 21 ＋y 22 ＋y 23 )＝x 1＋x 2＋x 3，因为点F 是△ABC 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝3，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝3.5．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A ．43B ．75C ．85D ．3【解析】选A.设抛物线y ＝－x 2上一点M 为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23 时，取得最小值为43 . 二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线相切，则p ＝________．【解析】x 2＋y 2－6x －7＝0，所以⎝⎛⎭⎫x －3 2＋y 2＝16，圆心为⎝⎛⎭⎫3，0 ，半径为4，抛物线准线为x ＝－p 2 ，由圆与直线相切可知p 2 ＝1，所以p ＝2.答案：27．如图：已知P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，过P 分别作y 轴与直线x －y ＋4＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则|PA|＋|PB|的最小值为________.【解析】抛物线的准线方程是x ＝－1，又根据抛物线的几何性质知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F 到直线x －y ＋4＝0的距离，所以点F 到直线的距离d ＝|1－0＋4|2＝522 ， 即|PA|＋|PB|的最小值是52 2 －1.答案：52 2 －18．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于2 3 ，则抛物线的方程为________．【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3 ，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1， 3 )或(－1， 3 )，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px(p>0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x.答案：y 2＝3x 或y 2＝－3x三、解答题(每小题10分，共20分)9．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为3 5 ，求b 的值．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ， 消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12 ，则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24 ，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1－2b . 所以|AB|＝1＋22 |x 1－x 2|＝ 5 ·1－2b ＝3 5 ，所以1－2b ＝9，即b ＝－4.10．点M(m ，4)(m>0)为抛物线x 2＝2py(p>0)上一点，F 为其焦点，已知|FM|＝5.(1)求m 与p 的值．(2)以M 点为切点作抛物线的切线，交y 轴于点N ，求△FMN 的面积．【解析】(1)由抛物线定义知，|FM|＝p 2 ＋4＝5，所以p ＝2.所以抛物线的方程为x 2＝4y ，又由M(m ，4)在抛物线上，所以m ＝4.故p ＝2，m ＝4.(2)设过M 点的切线方程为y －4＝k(x －4)，代入抛物线方程消去y 得，x 2－4kx ＋16k －16＝0，其判别式Δ＝16k 2－64(k －1)＝0，所以k ＝2，切线方程为y ＝2x －4，切线与y 轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0，1)，所以S △FMN ＝12 |FN|·m ＝12 ×5×4＝10.创新迁移练1．(2021·兰州高二检测)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512 mB ．256 mC ．95 mD ．185 m【解析】选D.以桥顶为坐标原点O ，桥形的对称轴为y 轴，过O 的垂线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线x 2＝－2py ()p>0 经过点⎝⎛⎭⎫6，－5 ，则36＝10p ，解得p ＝185 ，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝185 .2．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|.(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径．【解析】(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO|＝ 5 . 所以|MN|＝2|CO|2－d 2 ＝25－4 ＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20 4，y 0 ，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 20 4 2 ＋(y －y 0)2＝y 40 16＋y 20 ，即x 2－y 20 2 x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 20 2 ＝0，设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20 －4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 20 2＝2y 20 －4.y 1y 2＝y 20 2＋1.由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y 1y 2|＝4，所以y 20 2 ＋1＝4，解得y 0＝±6 ，此时Δ>0.11 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6 或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6 ， 从而|CO|2＝334 ，|CO|＝332 ，即圆C 的半径为332 . 关闭Word 文档返回原板块。

自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向向右向左向上向下自我检测1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 抛物线复习教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想． 重点 同上 难点同上探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求P A ＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．一、填空题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于________．2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n ＝________.3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则AB ＝________.8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.轨迹方程自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一 直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二 定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．一、填空题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题9．已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。