2.3.2《抛物线的简单几何性质》ppt课件

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．” 2．抛物线的标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，
y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)． 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方
程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线2 的几何性质
解法二:由题意可知,
y
p

2,
p 2

1,
准线l
:
x

1.
A’
A
设A(x1, y1), B(x2, y2), A, B到
准线l的距离分别为dA, dB.
OF
(4)离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的
距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表
示，由抛物线的定义可知，e=1
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方程 图
形 范围
y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
（p＞0） （p＞0） （p＞0） （p＞0）
y l
yl
y F
y l
OF x F O x
M(2, 2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过
点M (2,2 2),所以，可设它的标准方程为y2 2Px(P 0)
因为点M在抛物线上，所以 (2 2)2 2P 2，即p 2
因此，所求抛物线的标 准方程是 y2 4x
变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
16
P越大,开口越开阔
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图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p 2
,0)
x

p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x2 = 2py
p
x （p>0） F (0, 2 )
标准 方程
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y 图形 o F x
. .
y F ox
焦点 准线
F( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F o
x
F(0, p) 2
y p 2
y
o F
x
F (0, p) 2
y p 2
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二、讲授新课： 类比探索
y
F
.
o
x
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 只有一个顶点
2.3.2《抛物线的简单几何性质》
1
教学目标
知识与技能目标
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准 方程出发，推导这些性质．
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学 生分析、归纳、推理等能力
过程与方法目标 复习与引入过程 1．抛物线的定义是什么？ 请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l
抛物线的简单几何性质(一)
3
一、复习回顾：
1、抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F )的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。
y2 2 px p 0是焦准距
y
l d. M
K. OF x
－－抛物线标准方程 4
2、抛物线的标准方程：
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
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典型例题： 例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标 原点,并且过点M(2, 2 2 ),求它的标准方程.
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论
OF
x
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的焦半径。
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焦半径公式：|PF|=x0+p/2
抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X 基本量：P（决定抛物线
O
x l
OF x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
（0,0）
离心率
e=1
关于y轴对称
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补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义）
y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
与抛物线相交于两点，连接这
两点的线段叫做抛物线的通径。
开口大小）
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特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无
限延伸,但它没有渐近线;
y2=4x
2.抛物线只有一条对4 称轴,没有对称中y心2=;2x
3 2
y2=x1
3.抛物线只有一个顶1 点、一个焦点、y一2=条2准x线;
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
4.抛物线的离心率是-3 确定的,为1;
-4
-5
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
A
y=x-1
代入方程y2 4x, 得( x 1)2 4x,Βιβλιοθήκη 化简得x2 6x 1 0.


x1 x1

x2 x2
6 1
OF
x
B’ B
AB 2 (x1 x2 )2 4x1x2 8
所以，线段AB的长是8。
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例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
还有没有其他方法?
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例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点
y
为F(1,0),所以直线AB的方程为 A’