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3.3.2 抛物线的简单几何性质

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人教A版选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质课件

人教A版选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质课件

2p
y
F O lx
y
l OF x
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
关于y轴对称
p 2 y0
y1 y2 p
p 2
y0
( y1 y2 ) p
二、抛物线的几何性质
直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切和相离． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)位置关系判定方法：方程法
当y02=p2时，易知结论成立。 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
三、题型与方法
题型四 抛物线的综合应用 例6.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N. (1)求y1y2的值；
解：（1）依题意，设AB的方程为x＝my＋2， 代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8. 证明:（2）设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1.
二、抛物线的几何性质
5.焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
焦半径公式：
MF
x0
p 2
6.焦点弦：
过抛物线的焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦.
焦点弦公式：
二、抛物线的几何性质
7.通径： 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反应 抛物线基本特征的草图. 2p越大，抛物线张口越大
8
32
二、抛物线的几何性质
方程
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
抛
物 图形

3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)

3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)

抛物线的焦点弦问题
解：设抛物线方程为 x2＝2py 或 x2＝－2py(p>0)，
p 依题意得 y＝
，代入 x2＝2py 或 x2＝－2py 得|x|＝p，
2
∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为 x2＝8y 或 x2＝－8y.
04课堂总结
课堂总结
1.抛物线的几何性质的应用； 2.直线与抛物线的位置关系； 3.抛物线的焦点弦问题。
由题意有 x1＋x2＝2x， ③ y1＋y2＝2y. ④
直线与抛物线的位置关系
①－②得 y21－y22＝2(x1－x2)，将④代入上式且当 x1≠x2 时，所以y1－y2
1 ＝
．
x1－x2 y
又y1－y2
y－1 ＝
y－1 (kAB＝kMQ)，所以
1 ＝
，
x1－x2 x－2
x－2 y
即 y2－y＝x－2，所以(y－1)2＝x－7 ．
顶点
4个
2个
1个
离心率
0<e<1
e>1
e＝1
决定形状 的因素
e 决定扁平程度
e 决定“张口”大小 p 决定“张口”大小
抛物线的简单几何性质
典例：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．( ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
2
4
故弦 AB 的中点的轨迹方程为(y－1)2＝x－7 ．
2
4
抛物线的焦点弦问题
例 8：已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点．若直线 l 的倾斜角为 60°.求|AB|的值．

3.3.2第1课时(抛物线的简单几何性质)课件(人教版)

3.3.2第1课时(抛物线的简单几何性质)课件(人教版)

五、课堂小结
1.抛物线的简单几何性质：
图形 y
l
O Fx
方程 焦点 y2=2px F( p ,0) (p>0) 2
准线
x=-p 2
yl FO x
y2=-2px (p>0)
F(-
p 2
,0)
x=p 2ຫໍສະໝຸດ yF x x2=2py F(0,p) y = - p
O
(p>0)
2
2
l
ly
O F
x
x2=-2py (p>0)
四、典型例题
例2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2, -2 2 )，求它的标准方程.
四、典型例题
顶点在原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M(2, -2 2 )的抛物 线有几条?求出这些抛物线的标准方程.
四、典型例题
方法归纳
求抛物线方程,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程, 求出p值即可. (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. (3)焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).
二、探究新知
类比用方程研究对椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你 认为应研究抛物线
y2=2px(p>0) 的哪些几何性质?如何研究这些性质?
三、抛物线的简单几何性质
视察右下图,类比研究椭圆、双曲线范围的方法，发现抛物线 y2=2px(p>0)上点的横坐标、纵坐标的范围是多少？ 你能利用方 程(代数方法)解释它的范围吗？
三、抛物线的简单几何性质
在①同y2=一4x坐标②系y画2=下2x列抛③物y线2=,x视察④开y口2 =大21 x小与p的关系.

3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3
4
y＝ （x－1），
3
与抛物线方程联立，得
消去 y，
y2＝4x，
整理得 4x 2－17x＋4＝0.
17
25
由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p＝
＋2＝
.
4
4
25
所以线段 AB 的长为
.
4
典例剖析
[方法提升] 求过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长：
(1)焦点弦长公式；
(2)两点间距离公式；
2
法三：
y
2
p
p
AFx1 , BFx2 ,
2
2
AB AFBFx1 x2 p.

o
’
l
F
B
x
典例剖析
题型一：抛物线几何性质的应用
例 1：已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上两点，O 为
坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的
焦点 F，求直线 AB 的方程.
复习导入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线 ( 不
H
经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
d
P
F
l
图形
复
习
导
入
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )

3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)

3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)
2
因此，所求抛物线的标准方程是 x2 2y．
学习目标
学习活动
学习总结
思考4：用待定系数法求抛物线标准方程步骤有哪些?
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结 1.定位置：即根据条件确定抛物线焦点所在坐标轴以及开口方向； 2.设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程； 3.解方程：利用已知条件，求出p； 4.得结果：将p代入所设方程.
因此，所求抛物线的标准方程是 y2 4x．
学习目标
学习活动
学习总结
思考3：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点 M (2,2 2) 的抛物线有几 条？求出这些抛物线的标准方程. 2条 （1）当对称轴为x轴时，抛物线标准方程为 y2 4x；
（2）当对称轴为y轴时，设抛物线标准方程为 x2 2 py( p 0)， 因为点M (2, 2 2)在抛物线上，所以 22 2 p (2 2) ，解得 p 2 ，
顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，由抛物线图象可知， 抛物线的顶点坐标是原点，即（0,0）.
离心率：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比 | MF |
d
，叫做抛物线的离心率，用e表示.由抛物线的定义可知，e=1.
学习目标
学习活动
学习总结
思考1：结合之前所学，分别说说椭圆，双曲线、抛物线的离心率都有什么区 分和联系？
（3）通径可以反应抛物线开口大小：即p越大，抛物线开口越大；p越小， 抛物线开口越小.
学习目标
学习活动
学习总结
练一练
已知抛物线 C : y 4x2，则抛物线C的焦点到其准线的距离为（
A．2
B．4
C．1
D．1
4
8
解：抛物线C : y 4x2 ，所以标准方程：x2 1 y ，

3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)(1)

3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)(1)
于是 AB AF BF x1 x2 + 2.
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p

(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向

3.3.2抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)课件(人教版)

3.3.2抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)课件(人教版)

p 2 y0
( x1 x2 ) p y1 y2 p
2p
p 2 y0 ( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
PART
ONE
抛物线的简单几何性质
焦点弦问题
如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，称为焦
点弦．设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，弦 AB 的中点为 M(x0，y0)，过 A，M，B 分别向抛物 线的准线 l 作垂线，垂足分别为 A1，M1，B1，则根据抛物线的定
ONE
课堂小结
抛物线的简单几何性质
8.直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 且与抛物线交于 A，B 两点，若线段|AF|，|BF|
的长分别为 m，n，则m1 ＋1n＝( C )
A.14 C．1
B.12 D．2
由焦点弦性质得 1 ＋ 1 ＝2，即1＋1＝1. |AF| |BF| p m n
03课堂小结
PART抛物线的简单几源自性质（2）分别过 A，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，B1.根据抛物线定义知 |FA|＝|AA1|＝x1＋p2，|FB|＝|BB1|＝x2＋p2， ∴|F1A|＋|F1B|＝x1＋1 p2＋x2＋1 p2
＝2x12＋p＋2x22＋p＝2（（2x22＋ x1＋p）p）＋（22（x22＋x1p＋）p） ＝4x1x42＋（2xp1＋（xx21）＋＋x2）4p＋p2＝24p（（xx11＋＋xx22＋＋pp））＝2p.
解：设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，则其准线方程为 x＝－p. 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，
抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)

3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)

2
y2

2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2


1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.

3.3.2抛物线的简单几何性质PPT课件(人教版)

3.3.2抛物线的简单几何性质PPT课件(人教版)
p PF PH x0 2 .
OF
x
B
6、通径 通径的长度：2p
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
思考?：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
是
归纳特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1;
1.解：设两交点为A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ，抛物线
方程为
y2=2px
(p>0),
则焦点
F
p 2
,
0
,
AB
:
y
k(
x
p 2
)
y2 2 px y k( x
p) 2
k2x2
p(k 2
2) x
k2 p2 4
0
p(k 2 2)
p2
x1 x2
k2
, x1 x2 4
2
点M在抛物线上，所以 -2 2 2 p 2
即p=2
因此，所求抛物线标准方程是 y2 4 x
说明：当焦点在 x(y)轴上,开口方向不定时, 设为 y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)), 可避免讨论.
思考
顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴 ,并且经过点
M(2 , 2 2) 的抛物线有几条?求它的标准方程
在方程①中，当 y=0时，x=0， O F
x
因此抛物线①的顶点就是坐标原点。
4、离心率 e=1.
抛物线上的点p到焦点 的距离和它到准线的距
离之比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物

3.3.2抛物线的简单几何性质课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必

3.3.2抛物线的简单几何性质课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必

综上可得以下结论：
（1）以AB为直径的圆必与准线l相切.
（2）以AF（或BF）为直径的圆必与y轴相切.
（3）以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°.
（4）A1，O，B三点共线，B1，O，A三点共线.
（5）A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，
即x1x2＝
p2 4
，y1y2＝-p2.
2. 弦长公式
一条直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的弦，其弦长公式与椭
圆 的 弦 长 公 式 一 样 ， 设 直 线 与 抛 物 线的交点为A（x1，y1），B（x2，
y2），
则|AB|＝ 1 k2 · ＝ (x1 x2)2 4x1x2 1 k2 |x1-x2|
或|AB|＝
1
1 k2
·
＝ ( y1 y2)2 4 y1y2
图形
顶点
开口方向
右
y2＝-2px （p>0）
x2＝2py （p>0）
O（0，0）
左
上
x2＝-2py （p>0）
下
对称轴 x的取 值范围 y的取 值范围 离心率
x轴
y轴
x≥0
x≤0
R
R
y≥0
y≤0
e＝1
【特别提示】 （1）抛物线的性质与椭圆、双曲线比较起来，有较大差别.它的离心率为 定值1，只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，它没有对称中 心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线. （2）抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状.
二、直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线位置关系的判断 设直线l：y＝kx+m，抛物线y2＝2px（p>0），将直线方程与抛物线 方程联立，整理成关于x的方程k2x2+（2km-2p）x+m2＝0. （1）若k≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点.

人教版数学选择性必修一3.3.2抛物线的简单几何性质课件

人教版数学选择性必修一3.3.2抛物线的简单几何性质课件
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
3．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，
若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
抛物线的简单几何性质
本
节
目
标
1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用，会
用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．
2．掌握直线与抛物线位置关系的判断，掌握直线与
抛物线相交时与弦长相关的知识，掌握直线与抛物线
相关的求值、证明问题．
课前预习
➢ 预习课本P134～137，思考并完成以下问题
1．抛物线有哪些几何性质？
过P(－1,0)的直线l方程为y＝k(x＋1)，
代入抛物线y2＝4x得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
求得x1＋x2＝
4−2 2
2
，x0＝
1 +2
2
− 2
根据两点间距离公式得( 2

＝
− 2
2
2

2
，y0＝k(x0＋1)＝

-1)2＋( )2＝4，解得k＝±1.
，F(1,0)，
则点A的横坐标为( B )
A．2
B．0
C．2或0
D．－2或2
3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，
则被抛物线截得的弦长为( B )
A．8
B．16
C．32
D．64
2
4．若双曲线
3
−
16 2
2＝2px的
＝1(p>0)的左焦点在抛物线y

3.3.2抛物线的简单几何性质第一课时课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质第一课时课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
p
准线方程为y 5, 所以 5, 得p 10, 抛物线的标准方程为x 2 20 y .
2
环节四 目标检测，检验效果
(3) 准线在y轴的右侧, 顶点到准线的距离是4;
(4) 焦点F 在y轴负半轴上, 经过横坐标为16的点P , 且FP平行于准线.
(3) 抛物线的准线在y轴右侧, 可设抛物线的方程为y 2 2 px( p 0),
即点(x,-y)也在抛物线上,
故抛物线y2
=2px(p>0)关于x轴对称.
x
O F
l
(x,-y)
环节一 创设情境，提出问题
3.顶点
y
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物
线的顶点.
∴ y2 =2px(p>0)中，令y=0，则x=0.
即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0).
O F
l
x
环节一 创设情境，提出问题
解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点(2, −2 2)，
所以可设它的标准方程为 2 = 2( > 0).
因为点在抛物线上，所以(−2 2)2 = 2 × 2，解得 = 2.
因此，所求抛物线的标准方程是 2 = 4.
环节二 例题练习，巩固理解
问题：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点
2
将M (2, 2 2)代入, 得4 4 2 p, 解得p
,
2
所以所求抛物线的标准方程是x 2 2 y .
综上可知, 所求抛物线的标准方程是y 4 x和x 2 y.
2
2
环节二 例题练习，巩固理解
例4.斜率为1的直线经过抛物线 2 = 4的焦点，且与抛物线相交于，两点，

3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)

3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)
2
2
y - 2 pmy - p = 0.
2
设A( x1 ，y1 )，B( x2 ，y2 ), 则 y1 y2 = - p .
2
p -p
p
C (- ，y2 )， 即C (- ， )
∵ B / / x轴
22
2 y1
y1
y1
2p
OA的方程y =
x，x1 =
OA的方程y =
x，
x1
2p
y1
C 的坐标满足OA 的方程， 直线AC 过点O .
例6 若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1, y1)、B(x2,
y2), 且有x1x2=s2; y1y2= -2ps. 求证:直线过定点 (s, 0) (s>0).
y 21 = 2 px1
证明：因为 2
y 2 = 2 px2
y1 - y2
2p
相减得k AB =
=
x1 - x2 y1 + y2
(3)求弦AB中点P的轨迹方程；
A
y
解：设OA的方程为∶y = kx，k≠ 0，
2p 2p
2
F P x
)
代入y =2px 得: A( 2 ,
k
k
1
同理, 以 代k得B(2pk2, -2pk) .
k
O
设AB的中点P的坐标为(x，y)
1

1
1 2
2
k 2 (k ) 2
x = p( k + k 2 )
kOA
y1
y2

, kOB
x1
x2
∵ OA⊥OB
F
O
∴ kOAkOB=-1，

高二数学人教A版选择性必修第一册教学课件：3.3.2抛物线的简单几何性质

高二数学人教A版选择性必修第一册教学课件：3.3.2抛物线的简单几何性质

5. 已知直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F ，且与抛物线相交于 A ，B 两点.
（1）若 | AF | 4 ，求点 A 的坐标；
（2）求线段 AB 长的最小值.
解析：（1）（1）由 y 2 4 x 得 p 2 ，其准线方程为 x 1 ，焦点 F (1,0) .
设 A x1 , y1 , B x2 , y2 .
p
解：由题意可知， p 2 ， 1 ，焦点 F 的坐标为 (1，
0) ，准线方程为 x 1 .
2
如图，设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 ) ，A ，B 两点到准线的距离分别为 d A ，d B .
由抛物线的定义，可知 | AF | d A x1 1，
| BF | d B x2 1 ，
所以可设它的标准方程为 y 2 2 px( p 0) .
因为点 M 在抛物线上，所以 (2 2) 2 2 p 2 ，解得 p 2 .
因此，所求抛物线的标准方程是 y 2 4 x .
例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F，且与抛物线相交
于 A，B 两点，求线段 AB 的长.
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标：
1. 理解抛物线的简单几何性质；
2. 能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题.
教学重点：
抛物线的几何性质.
教学难点：
抛物线几何性质的应用.
类比椭圆、双曲线的几何性质，来研究抛物线 y 2 2 px( p 0) 的几何
于是 | AB | | AF | | BF | x1 x2 2 .

3.3.2抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质

2 （舍）故选：D
例题分析2
已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，过 F 且倾斜角为 的直线l 与抛物线相交于 A, B 两
4 点， AB ＝8 ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，交于点 Q .下列说法不正确的是（ ）
A． QA QB
B． AOB ( O 为坐标原点)的面积为 2 2
【答案】D 【解析】由题设，令 AB 为 x ky p ，联立抛物线方程并整理得 y2 2kpy p2 0 ，
2
∴若 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则 y1 y2 2kp ， y1 y2 p2 ，又 AF 2 BF 易得| y1 | 2 | y2 | ，
∴
y1
4kp,
a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 与抛物线
y2
4cx
（其中 c
a2 b2 ）交于 A，B 两点，若
AB 4c ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 3 B．B．2 C． 5 D． 2 1
【答案】D 【分析】
由 AB 4c ，求得 yA yB 2c ，代入抛物线方程求得 xA xB c ，然后把点的坐标代入双 曲线方程，即可解得离心率.
x ，因为 y
1 ，所以 kQA x
1
x1 ， B x2, y2 在
y 2
x ，因为 y
1 ，所以 kQB x
1 x2 ，
所以 kQA kQB
1 x2
1 x1
1 x1 x2
1，QA QB
，故 A
正确；
由 y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 4x1 x2 4 2 ，得
错误；
由 y2 41 得 y 2 ，所以 M 在抛物线内部，抛物线的准线方程为l : x 1，
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3.3.2抛物线的简单几何性质基础过关练题组一抛物线的几何性质及其运用1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为()A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于()A.2B.1C.4D.83.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()B.1C.2D.4A.124.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是()A.x=-1B.y=-1C.x=-2D.y=-25.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为()A.2√3B.4C.6D.4√36.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.题组二直线与抛物线的位置关系7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为()A.5B.6C.7D.88.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.0条10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为()A.2x-y-3=0B.2x-y-5=0C.x-2y=0D.x-y-1=011.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点.(1)求弦AB的长;(2)求△FAB的面积.12.(2020海南中学高二上期中)已知抛物线y 2=-x 与直线y=k(x+1)相交于A,B 两点,O 是坐标原点. (1)求证:OA ⊥OB;(2)当△OAB 的面积等于√10时,求k 的值.题组三 抛物线的综合运用13.在同一平面直角坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax+by 2=0(a>b>0)的曲线大致为( )14.已知双曲线y 24-x 2=1的两条渐近线分别与抛物线y 2=2px(p>0)的准线交于A,B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积为1,则p 的值为( ) A.1 B.√2 C.2√2 D.415.抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D.316.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,若A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1等于( ) A.90° B.45° C.60° D.120°能力提升练题组一 抛物线的几何性质及其运用 1.()设抛物线x 2=8y 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果直线AF 的倾斜角等于60°,那么|PF|等于( ) A.2√3B.4√3C.83D.32.(多选)(2020山东淄博一中高二上期中,)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y 轴上,若线段FM 的中点B 在抛物线上,且点B 到抛物线准线的距离为3√24,则点M 的坐标为( ) A.(0,-1) B.(0,-2) C.(0,2) D.(0,1)3.()若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为√3,则点M 到该抛物线焦点的距离为 . 4.(2020北京通州高二上期末,)已知双曲线x 2-y23=1,抛物线y 2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,点P(x 0,y 0)为抛物线上一点. (1)求双曲线的焦点坐标;(2)若点P 到抛物线的焦点的距离是5,求x 0的值.题组二 直线与抛物线的位置关系 5.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k= ( ) A.13B.√23C.23D.2√236.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知y 2=x,点A,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,O 为坐标原点,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,则△AOB 面积的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.127.(2020河南开封高二上期末联考,)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x 0,√2p)在抛物线C 上,且|PF|=3. (1)求抛物线C 的方程;(2)过焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A,B 两点,点A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),O 为坐标原点,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(x 1+x 2),求直线l 的方程.题组三 抛物线的综合运用 8.(2020山东泰安高二上期末,)已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点,点B 为抛物线的焦点,点P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m 取最大值时,点P 恰好在以A,B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(深度解析) A.√2+12 B.√ C.√5+12D.√5-19.(多选)(2020山东烟台高二上期末学业水平诊断,)已知抛物线E:y 2=4x 的焦点为F,准线为l,过F 的直线与E 交于A,B 两点,C,D 分别为A,B 在l 上的射影,且|AF|=3|BF|,M 为AB 中点,则下列结论正确的是(深度解析) A.∠CFD=90°B.△CMD 为等腰直角三角形C.直线AB 的斜率为±√3D.△AOB 的面积为4 10.()设抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点F 作直线与抛物线交于A,B 两点,点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ ),过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P 的横坐标为 ,|AB|= .11.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)已知O 为坐标原点,点P(1,2)在抛物线C:y 2=4x 上,过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A,B,若k PA +k PB =0,则k AB ·k OP 的值为 .答案全解全析基础过关练1.D∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-p2=-1,即p=2,∴抛物线的焦点坐标为(0,1).2.C抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-p2,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+p2=8,所以p=4,即焦点F到抛物线准线的距离等于4,故选C.3.C抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,所以3+p2=4,解得p=2.4.A如图所示,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由题意,得∠BFA=∠OFA-90°=30°,所以|AB|=|AF|·sin30°=2,点A到准线的距离d=|AB|+|BC|=2+p=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1,故选A.5.D由题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.设P(m24,m),则M(-1,m),∴等边三角形的边长为1+m24,又F(1,0),|PM|=|FM|,∴1+m24=√(1+1)2+m2,解得m=±2√3,∴等边三角形的边长为4,其面积为4√3,故选D.6.答案y2=4x解析抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴5+p2=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.7.D由条件知,直线y=x-1过抛物线的焦点,将y=x-1代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,∴|AB|=x1+x2+2=8.8.C因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y 2=2px(p>0)的内部, 所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点; 当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点. 故选C.9.C 易知过点(0,1),且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y 2=4x 只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y 2=4x 联立并整理,得k 2x 2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点;当k ≠0时,令Δ=(2k -4)2-4k 2=0,解得k=1,即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.10.A 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1,y 22=4x 2⇒(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2). 又AB 的中点为M(2,1), ∴y 1+y 2=2,∴k=y 1-y 2x 1-x 2=2,因此直线AB 的方程为y-1=2(x-2), 化简得2x-y-3=0,故选A.11.解析 (1)联立{y =x -2,y 2=4x,消去y 整理得x 2-8x+4=0,其中Δ=64-4×4=48>0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=8,x 1x 2=4,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4√3, 所以|AB|=2·|x 1-x 2|=√2×4√3=4√6. (2)由题意得点F(1,0), 故点F 到直线l 的距离d=√=√22,所以S △FAB =12×|AB|×d=12×4√6×√22=2√3.12.解析 (1)证明:当k=0时,直线与抛物线仅一个交点,不合题意,∴k ≠0. 由y=k(x+1),得x=yk-1,代入y 2=-x,整理得,y 2+1ky-1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则y 1+y 2=-1k ,y 1y 2=-1.∵点A,B 在抛物线y 2=-x 上,∴A(-y 12,y 1),B(-y 22,y 2),∴k OA ·k OB =y 1-y 12·y 2-y 22=1y 1y 2=-1,∴OA ⊥OB.(2)设直线AB 与x 轴交于点E,则E(-1,0), ∴|OE|=1,∴S △OAB =12|OE|(|y 1|+|y 2|)=12|y 1-y 2|=12√1k 2+4=√10,解得k=±16.13.D 解法一:将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax+by 2=0转化为x 21a 2+y 21b 2=1与y 2=-a bx.因为a>b>0,所以1b >1a>0,所以椭圆的焦点在y 轴上,抛物线的焦点在x 轴上,且开口向左.故选D.解法二:方程ax+by 2=0(a>b>0)中,将y 换成-y,其结果不变,即ax+by 2=0的曲线关于x轴对称,排除B,C;由解法一知椭圆的焦点在y 轴上,排除A.故选D.14.B 双曲线y 24-x 2=1的两条渐近线方程是y=±2x,∵抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是x=-p 2,∴A,B 两点的纵坐标的差的绝对值是2p,又△AOB 的面积为1,∴12×p2×2p=1,∴p=√2.故选B.15.A 设抛物线y=-x 2上一点为A(m,-m 2),A 点到直线4x+3y-8=0的距离d=|4m -3m 2-8|5=|3(m -23)2+203|5,∴当m=23时,d 取得最小值,为43.故选A.16.A 如图,由抛物线的定义,知|AA 1|=|AF|,|BB 1|=|BF|, 所以∠AA 1F=∠AFA 1. 又∠AA 1F=∠A 1FO, 所以∠AFA 1=∠A 1FO. 同理∠BFB 1=∠B 1FO,于是∠AFA 1+∠BFB 1=∠A 1FO+∠B 1FO=∠A 1FB 1, 故∠A 1FB 1=90°.故选A.能力提升练1.C 在△APF 中,由抛物线的定义,可得|PA|=|PF|.∵|AF|sin 60°=4,∴|AF|=√.过P 作PB ⊥AF 于B,∵∠PAF=∠PFA=30°,∴|PF|=|BF|cos30°=83,故选C.2.BC 设M(0,y),易知F (p2,0),则B (p 4,y2),如图所示.则|BB 1|=p 4+p 2=3√24,∴p=√2.∴抛物线方程为y 2=2√2x,且B (√24,y2),又B 在抛物线上,∴14y 2=2√2×√24,因此y 2=4,解得y=±2.故选BC.3.答案 32解析 设点M (y 22,y),∵|MO|=√3,∴(y 22-0)2+(y-0)2=3,∴y 2=2或y 2=-6(舍去),∴x=y 22=1.∴M 到抛物线y 2=2x 的准线x=-12的距离d=1-(-12)=32.∵点M 到抛物线焦点的距离等于点M 到抛物线y 2=2x 的准线的距离, ∴点M 到该抛物线焦点的距离为32,故答案为32.4.解析 (1)因为双曲线的方程为x 2-y23=1,所以a 2=1,b 2=3.所以c 2=a 2+b 2=4.所以c=2.所以双曲线的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).(2)因为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同, 所以抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标是(2,0),所以p=4. 因为点P(x 0,y 0)为抛物线上一点,所以点P(x 0,y 0)到抛物线的焦点的距离等于点P(x 0,y 0)到抛物线的准线x=-2的距离. 因为点P 到抛物线的焦点的距离是5,即x 0+2=5,所以x 0=3.5.D 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1>0,x 2>0,y 1>0,y 2>0,因为|FA|=2|FB|,所以x 1+2=2(x 2+2),因为y 1x 1+2=y 2x 2+2,所以y 1=2y 2,所以y 12=4y 22,即8x 1=4×8x 2,所以x 1=4x 2,与x 1+2=2(x 2+2)联立,解得x 2=1,所以y 2=2√2,因此k=y 2x 2+2=2√23,故选D.6.B 设直线AB 的方程为x=ty+m,点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 与x 轴的交点为M(m,0),将x=ty+m 代入y 2=x,可得y 2-ty-m=0,根据根与系数的关系得y 1y 2=-m,y 1+y 2=t.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,∴x 1·x 2+y 1·y 2=12,又x 1x 2=y 12y 22,∴(y 1·y 2)2+y 1·y 2-12=0,令y 1y 2=u,则u 2+u-12=0,解得u=-4或u=3,∵点A,B 位于x 轴的两侧,∴u=y 1·y 2=-4,故m=4. 故直线AB 所过的定点坐标是(4,0),故△AOB 的面积S=12×4×|y 1-y 2|=2×√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=22+16≥8, 当t=0时,直线AB 垂直于x 轴,△AOB 的面积取得最小值,为8,故选B.7.解析 (1)由点P(x 0,√2p)在抛物线C 上,得(√2p)2=2px 0,解得x 0=p,由抛物线定义得,|PF|=x 0+p 2=3p 2=3,解得p=2, 故抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)设直线l 的方程为x=my+1,联立{y 2=4x,x =my +1,消去x,得y 2-4my-4=0, 故y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4,所以x 1x 2=y 124×y 224=y 12y 2216=1,x 1+x 2=(my 1+1)+(my 2+1)=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(x 1+x 2)=x 1x 2+y 1y 2=-3,即4m 2+2=3,解得m=±12,所以所求直线l 的方程为y=2x-2或y=2-2x.8.B 由x 2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,从而A(0,-1),如图所示.设∠PAQ=θ.∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴m=|PA||PB|=|PA||PQ|=1sinθ.结合图形知,当AP 与抛物线相切时,sin θ最小,从而m 最大.设直线AP 的方程为y=kx-1(k ≠0),由{x 2=4y,y =kx -1,得x 2-4kx+4=0, 令Δ=16k 2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得P 点坐标为(2,1).设双曲线的方程为y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0). 在双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1, 2a=|PA|-|PB|=2√2-2⇒a=√2-1,∴离心率e=c a =√=√2+1,故选B.解题模板 在解决圆锥曲线问题时,对条件的运用,可用代数法,借助方程的手段解决问题;也可用几何法,利用几何性质、几何图形解决问题.如本题中条件“|PA|=m|PB|”就是借助图形,利用几何性质解决问题,简化运算.9.AC 由y 2=4x,得2p=4,即p=2,∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.设直线AB 的方程为x=my+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由{y 2=4x,x =my +1得y 2-4my-4=0, ∴y 1+y 2=4m,y 1·y 2=-4,从而x 1+x 2=4m 2+2,x 1·x 2=1.又|AF|=3|BF|,∴x 1+p 2=3(x 2+p2),即x 1=3x 2+2. 因此x 2=m 2,且3x 22+2x 2-1=0⇒x 2=13或x 2=-1(舍去). ∴m 2=13,∴m=±√33,即直线AB 的斜率为±√3,C 正确; 选项A 中,C(-1,y 1),D(-1,y 2),∴FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+y 1y 2=4-4=0,从而∠CFD=90°,A 正确;选项B 中,M(2m 2+1,2m),∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4(m 2+1)2+4m 2-2m(y 1+y 2)+y 1y 2=4m 4+4m 2=169,结合图形知△CMD 不是直角三角形,B 错误;选项D 中,S △AOB =12|OF||y 1-y 2|=12√16m 2+16=4√33,D 错误.故选AC.陷阱分析 解决多选题时,先明确条件的含义,如本题中,由条件“|AF|=3|BF|”可以确定直线的方程,得到选项C 正确,进而可以将变化的问题化为确定的问题,简化运算.解题时避免将选项逐一验证,增加运算难度.10.答案 1;8解析 由y 2=4x,得2p=4,∴p=2.因此F(1,0),准线l:x=-1.如图所示.设P(x 0,y 0),则|PF|=x 0+1=2⇒x 0=1.由P 在抛物线上知,y 02=4x 0=4,∴y 0=±2.不妨取y 0=2,得P(1,2).设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴M 为线段AB 的中点,∴M (x 1+x 22,y 1+y 22).∵A,B 均为抛物线上的点,∴y 12=4x 1,y 22=4x 2,从而(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2).又y 1+y 22=2,∴y 1+y 2=4. 因此k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1,∴直线AB 的方程为y=x-1.由{y 2=4x,y =x -1,得x 2-6x+1=0, ∴x 1+x 2=6,因此|AB|=x 1+x 2+p=6+2=8.11.答案 -2解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则k AB =y 2-y 1x 2-x 1=y 2-y 1y 224-y 124=4y 1+y 2, k PA =y 1-2x 1-1=y 1-2y 124-1=4y 1+2,同理k PB =4y 2+2. ∵k PA +k PB =0,∴4y 1+2+4y 2+2=0,得y 1+y 2=-4,∴k AB =4-4=-1. 又k OP =21=2, ∴k AB ·k OP =-1×2=-2.。