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(1)分割
y
i 1 n
它们的面积记作s1, S 2 , , Sn .显然, S = ∑ Si .
i=1
n
y y = x2
o y
图1.5 3
y = x2
i 1 i n n
1 x
o
i1 i n n
1
图 1 .5 4
上, 可以认为函数 f (x ) = x 2 的值变化很小 , 近似等于一 个常数 , 不妨认为它近似地 i 1 等于左端点 处的函数 n i 1 x 值f .从图形上看 , 就是 n 用平行于 x轴的直线段近似
i 1 i , 上任意一 可以证明, 取f (x ) = x 在区间 n n 点ξ i处的值f (ξ i )作近似值, 都有
2
1 1 S = lim ∑ f (ξ i )x = lim f (ξ i ) = . n→∞ n→ ∞ n 3 i=1
n
一般地对如图 .5 1 , ,对如图 1 ,我们 所示的曲边梯形 也可以采用分割,近 也可以采用分割, 似代替,求和,取极 似代替,求和, . 值的方法求出其面积
y f (b ) f (a )
y = f (x )
o
a
b
x
1 思考 图 .5 1 ,阴影部分类似于一个梯 ,但有一 中 形 , x 边是曲线y = f (x) 的一段我们把由直线 = a, x = b (a ≠ b), y = 0和曲线y = f (x) 所围成的图形称为曲边 , ? 梯形如何计算这个曲边梯形 的面积呢
我们通过下表还可以从数值上看出这一变化趋势 .
[ ] n 区间0,1 的等分数 2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的近似值 n 的近似值 S 0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741
y
f (b ) f (a )
y = f (x )
o
a
b
x
图1 . 5 1
�
1 , . 图 .5 5的演变过程也可以用几何画板演示
(4)取极限 分别将区间[0,1]等分成4,8,,20, 等份 (图1.5 5),可以看到,当n趋向于无穷大,即x趋向
1 1 1 于0时, Sn = 1 1 趋向于S, 从而有S = 3 n 2n n 1 i 1 1 1 1 1 lim Sn = lim ∑ f = lim 1 1 = . n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ 3 n 2n 3 i=1 n n
记 f (x ) = x . 如图 1 .5 3 ,当 n 很大 , 即 i 1 i x很小时 , 在区间 , n n
2
(2 )近似代替
y
y=x
2
o y
图1.5 3
y = x2
i 1 i n n
地代替小曲边梯形的曲 边(图1.5 4 ).这样, 在区 i 1 i , 上, 用小矩形 间 n n
,许多函数 例如 y = x, ( 在学习过的函数中 y = x , y = x等) 的图形都是某个区间 I上
2
.一般地如果函数 , 的一条连续不断的曲线 不断的曲线那么我们就把它称为区 I上 , 间 . 的连续函数 ,下面研究的都是连续函 . 数 如不加说明
y = f (x)在某个区间上的图象是一条连续 I
2
y
y = x2
S
o
图1.5 2
1
x
1 思考 图 .5 2 中的曲边梯形与我们熟 "直边 悉的 " ? 图形 的主要区别是什么能否将求这个曲边梯形 " " ? 面积S的问题转化为求 直边图形面积问题
, 1 可以发现图 .5 2 中的曲边 " " 梯形与 直边图形的主要区 , , 别是 前者有一边是曲线段 " " 而 直边图形的所有边都是 直线段 .
" , 探究 在"近似代替 中如果认为函数f (x) = x2 在 i 1 i , 点 区间 n , n(i = 12, ,n)上的值近似地等于右端 i i S ? 处的函数值f ,用这种方法能求出 的值吗 n n 1 i 1 i , ξ , 处 若能求出这个值也是 吗?取任意 i ∈ 3 n n f , ? 的函数值 (ξi )作为近似值情况又怎样
2 2
可以证明
[
]
1 1 (n 1)n(2n 1) 1 1 = 1 1 . = 3 3 n 2n n 6
1 1 1 从而可得S的近似值 S ≈ Sn = 1 1 . 3 n 2n
y
y = x2
y
y = x2
y
y = x2
y
y = x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
图1.5 5
在过去的学习中 ,我们曾经 ,我们曾经
y y = x2
S
o 1 x
图1.5 2
,利用多边形面积求出圆 用多边形逼近圆的方法 " " , 的面积.这种 以直代曲的思想启发我们是否也 (比如矩形逼近曲边梯形的方法 ) ,求图 能用直边形 1.5 2中阴影部分面积呢 ?
如图1.5 3, 把区间 [0,1] 分成 许多小区间, 进而把曲边梯形 拆分为一些小曲边梯形 .对每 一个小曲边梯形 " 以直代曲 " 即用矩形 的面积 近似 代 替 小 曲边梯形的面积, 得到每个小
图1.5 1
下 先研 一 特殊 形: 如何 面 究 个 情 求抛 线y = x2 物 与 线x =1, y = 0所 所的 面 形(图 .5 2中 直 围 平 图 1 阴 部分)的 积S ? 影 面
1 图 .5 2 中的图形可以 x , 看成是直线 = 0, x = 1 y = 0 和曲线 = x 所围 y . 成的曲边梯形
y y = x2
o
i 1 i n n
1 x
图1.5 3
曲边梯形面积的近似值.可以想象,随着拆分越来越 细, 近似程度就会越来越好. 也即 : 用化归为计算矩 形面积和逼近的思想方法求出曲边梯Байду номын сангаас的面积.我 们通过下面步骤来具体实施这种方法.
在区间 [0,1] 上间 y = x2 隔地插入 n 1个点, 将它等 分成n个小区间 : 1 1 2 n 1 i o 0, n , n , n , , n ,1 , 1 x n 图1.5 3 i 1 i 记第i个区间为 , (i = 1,2, , n), 其长度为 n n i i 1 1 分别过上述n 1个点作x轴的 x = = . n n n 垂线, 把曲边梯形分成n个小曲边梯形(图1.5 3 ),
1.4.1 曲 梯 面 与 积 边 形 积 定 分
,我们已经知道正方形, 三角 在过去的学习中 我们已经知道正方形, 等平面"直边图形 的 " 形,平行四边形,梯形 平行四边形, , 面积;物理中 我们知道了匀速直线 运动的时 等等 , 间,速度与路程的关系 .在数学和物理中 的平面 我们还经常会遇到计算平面曲线围成 "曲边图形的面积,变速直线运动 "的面积, 物体位移, 物体位移, 呢 . 变力做功的问题如何解决这些问题 ? 能否 " " 把求"曲边图形 面积转化为求"直边图形 面 积? 能否利用匀速直线运动 的知识解决变速 ? 直线运动的问题 为此,我们需要学习新的数 学知识 . 定积分
n n 2 ' i
i 1 i 1 1 S n = ∑ S = ∑ f x = ∑ n i =1 i=1 n i=1 n
1 1 1 n 1 1 2 2 2 = 0 + + + ) 1 + 2 + + (n 1 n n n n n (n 1)n(2n 1) . 1 2 2 = 3 1 + 22 + + (n 1) 6 n
1 x
的面积 S 近似地代替 Si , 即在局部小范围内 " 以直代曲" , 则有Si ≈ i 1 ' S i = f x = n
x
' i
o
i1 i n n
1
图 1 .5 4
i 1 1 (i = 1,2, , n). n n
2
(3 )求和
n
由(2),图1.5 4中阴影部分的面积 Sn 为
