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华中科技大学流体力学第四章_2全解

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流体力学第4章

流体力学第4章

• 广义牛顿公式的分量形式
(4.5.14)
• 不可压缩流体的广义牛顿公式为
(4.5.15)
(Hale Waihona Puke .5.16)• 4.6 流体力学基本方程组 • 4.6.1 微分形式的基本方程组 • （1）应力形式的基本方程组
(4.6.1)
• （2）张量形式的基本方程组
(4.6.2)
• （3）应变形式的基本方程组 • 应力张量的散度divP
(4.6.3)
• 运动方程可以写为矢量形式
(4.6.4)
• 运动方程（4.6.4）式
(4.6.5)
• 能量方程中，应力张量做功
(4.6.6)
• 耗散函数Φ
(4.6.7)
• 应力张量做功
(4.6.8)
(4.6.9)
• 能量方程
(4.6.10)
• 连续性方程
• 能量方程
(4.6.11)
• 基本微分方程组
(4.4.6)
(4.4.7) (4.4.8)
(4.4.9)
• 张量表示
(4.4.10)
• （4.4.9）式在直角坐标系中的形式为
(4.4.11)
• 4.5 本构方程 • 4.5.1 广义牛顿定律的基本假定 • 1)运动流体的应力张量P在流体运动停止后， 趋于静止流体的应力张量； • 2)流体中一点的应力是该点瞬时变形率的线 性函数； • 3)流体各向同性，即流体的所有物性在各个 分向上都相同； • 4)不可压缩流体的粘性，仅用动力学粘性常 数μ来表示。
• 状态方程
(4.6.18e)
• 4.6.2 积分形式的基本方程组
(4.6.19)
• 4.6.3 初始条件和边界条件 • （1）初始条件 • 当t=t0时

4工程流体力学 第四章流体动力学基础

4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS

p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：

华中科技大学流体力学课后习题答案完整版

华中科技大学流体力学课后习题答案完整版

解： v |(1,2) =
v
2 x
+
v
2 y
|(1,2) = 30.41m / s ；
a=
a
2 x
+
a
2 y
|(1,2) =
(∂vx / ∂x ⋅ vx )2 + (∂vy / ∂x ⋅ vx + ∂vy / ∂y ⋅ vy )2 = 167.71m / s2 。
2.4 （1） ax = 35, a y = 15 ；（2）260。
直立部分： P2
=
ρg⎜⎛ h ⎝
+
h ⎟⎞ ⋅ hB 2⎠
=
3 2
ρgh 2 B
方向向左；作用点距离水平面为
yD
=
3 2
h+
Bh3 12 3h 2 ⋅ Bh
=
14 h 9
⇒ L2 = 2h −14h 9 = 4h 9 M 2 = P2 ⋅ L2 = 2ρgh3 B 3
于是关闭闸门所需的力 P 由力矩平衡方程
H2
− h2
设此合力的作用点距底部 x 处，则
( ) R ⋅ x = P1 ⋅ H 3 − P2 ⋅ h 3 = ρgB H 3 − h3 6
将 H = 7.5m
⇒
x
=
H
2 + Hh + h2
3(H + h)
h = 3m B = 5m 代入得 R = 1160KN
x = 2.79m
1.29 解：闸门自动开启，此时压力中心 D 应与 O 点重合；水位超过 H，则压力中心 D 高
解：（1） ax |(2,1) = (∂vx / ∂x ⋅ vx + ∂vx / ∂y ⋅ v y ) |(2,1) = 35 ，

流体力学第四章

流体力学第四章
v2 2g
2
适用于有限大流束的伯努利方成为：
U2 z const 2g p
（13）2Fra bibliotek或U p U z1 1 z2 2 2 2g 2g
p1
2
（14）
方程适用条件：
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断 面间不必要求为渐变流动。
v2 U F (t ) 2 t p
（4 - 4）
为书写简单，引入 0 F (t )dt 将Φ 对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影
vx x x
vy y y
t
vz z z
引入Φ 后，式（４-４）可改写成：
则欧拉方程可写成
v x U p ( ) vx vy x x x v y U p ( ) vx vy y y x v x vz y v y vz y v x z v y
z
（1） （2） （3）
v z v z v z U p ( ) vx vy vz z z x y z
v2 U 2 t p
（４-5）
若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上， 有U＝－ｇｚ，故
v2 gz 2 t p
或
v2 1 z 2g g t p
(4-7)
上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
讨论：
1.关于渐变流动（缓变流动）过流断面上 的压力分布，是否与静止流体的压力分布 相同？
2.为什么在急变流动的过流断面上， (Z+P/) 项不保持常数？

流体力学第四章

流体力学第四章

三 理想流体运动微分方程的积分 伯努利方程（能量方程）
伯努利方程必须满足下列条件： 运动是恒定流 （4）行列式
三 理想流体运动分方程的积分 伯努利方程（能量方程） 行列式
静止流体 为有势流，说明伯努利方程适用于整个 有势流，即流场中所有各点的总机械能保持不变，不限于在同 一条流线上。
一 速度势的性质
一 速度势的性质
1 速度势 对任意方向m的偏导数，等于速度u在该方向的速
度分量um。
u在x轴方向上的速度分量在m方向的投影
2 速度势相等的点所连成的空间曲面称等势面，与流线相正交， 即为过流断面 等势面的微分方程
等势面的积分形式
dx，dy，dz是等势面上微小线段dl在x，y，z轴的投影。 由于两个矢量的标量积为零，所以等势面与流线相正交，即为过 流断面。 对平面势流来讲，等势面与平行平面的交线是等势线，显然与流 线正交。
葛罗米柯运动微分方程
（1）若流体是不可压缩均质的 （2）作用于不可压缩均质流体的质量力是有势的条件下的
三 理想流体运动微分方程的积分 伯努力方程（能量方程） 恒定流 各式分别乘以坐标任意增量dx，dy，dz，并将它们相加，得
当行列式值等于零时，上式即可积分，积分后，得
即为不可压缩均质理想流体恒定流的运动方程，又称伯努利方程。 伯努利方程又称能量方程，它说明在流场中任一点单位质量流体的 位势能、压势能和动能的总和保持一常数值，而这三种机械能可以 相互转化。
有势流 有涡流
三 理想流体运动微分方程的积分 伯努力方程（能量方程）
葛罗米柯运动微分方程只有在质量力是有势的条件下才能积分。
若作用于流体上的单位质量力
是有势的，势场
中的力在x、y、z坐标轴上的分量可用某一函数W（x，y, z）的相

华中科技大学流体力学习题参考答案（1）

华中科技大学流体力学习题参考答案（1）

严新华主编《水力学（修订本）》教材（科技文献出版社2001年版）部分习题参考答案第一章 习题答案1-1 水的运动粘性系数s m /10006.126-⨯=ν；空气的动力粘性系数s Pa ⋅⨯=-51081.1μ。

1-2 活塞移动速度s m V /49.0=。

1-3 动力粘性系数s Pa ⋅=151.0μ。

1-4 2/5.11m N =τ。

1-5 阻力矩m N M ⋅=6.39。

第二章 习题答案2-1（a ）图中2/6.68m KN p A =；绝对压强2/93.169m KN p A='。

（b ）图中22/4.29,0,/6.19m KN p p m KN p A B C -===；绝对压强222/93.71,/33.101,/93.120m KN p m KN p m KN p AB C ='='='。

2-2 20/4900m N p -=；液面真空值20/4900m N p V =。

2-3（1）2/54.115m KN p A ='；2/47.17m KN p A =。

（2）压力表读数m h m KN p M 213.1,/63.92==。

2-4 A 点表压强2/8.9m KN p A -=；液面空气真空度2/6.19m KN p V =。

2-5 m H 40.0=。

2-6 cm h 1284=。

2-7 O H 84.172mmh V =。

2-8 ①2/22.185m KN p p B A =-；②2/42.175m KN p p B A =-。

2-9 ⑴21/86.1m KN p p B A -=-为油时：ρ；⑵21/784.0m KN p p B A -=-为空气时：ρ。

2-10 ⎪⎭⎫⎝⎛-='b a 1ρρ；gH b a p p BA ρ=-。

2-11 241/1084.118m N p ⨯=。

2-12 )/3.101(/84.37822m KN p m KN p a =='取：。

流体力学4-6章答案 (2)

流体力学4-6章答案 (2)

第四章 流体运动学和流体动力学基础4-15如图所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系式。

解：对同在一条流线上的1、2两点列伯努利方程gu g p z g u g p z 2222222111 设测压管左侧液面坐标为z 3，1、2点的静压力满足gH H z z g p z z g p m 322311H z g p z g p m12211 代入伯努利方程可得4241/1/1124d d gH q m V4-16按图所示的条件求当H =30cm 时的流速u 。

解：设皮托管入口前方未受扰动处一点为点1，皮托管入口处一点为点2，由静压强分布可知x d g p p w 231x d H g p p w 242 gH p p w 8.043由以上三式，可得gH p p w 2.012由于1，2两点处于同一条流线上，对其列伯努利方程gp g u g p w w 2212 可得s m gH gp p g u w /084.13.08.94.04.0212 4-22如图所示，离心式水泵借一内径d =150mm 的吸水管以q V =60m 3/h 的流量从一敞口水槽中吸水，并将水送至压力水箱。

设装在水泵与吸水管接头上的真空计指示出负压值为39997Pa 。

水力损失不计，试求水泵的吸水高度H s 。

解：（1）取敞口水槽的自由液面与水泵出口之间的流体为控制体，令动能修正系数 1= 2=1，列伯努利方程gV g p H s 202222 吸水管内的平均流速为s m d q V V /943.015.03600/6044222可得 m g V g p H s 036.48.92943.08.910399972232224-29如图所示，一股射流以速度 0水平射到倾斜光滑平板上，体积流量为q V 0。

求沿板面向两侧的分流流量q V 1和q V 2的表达式，以及流体对板面的作用力。

忽略流体撞击的损失和重力影响，射流的压强分布在分流前后都没有变化。

流体力学第四章

流体力学第四章
流体力学
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS

流体力学第四章

流体力学第四章

等势线方程： Q ln r c1
流线方程：
Q ln r c2
可以看出，等势线是一族对数螺旋线，流线是与等势线正交的对数螺旋线。
二、点汇与点涡叠加的流动
流体自外沿圆周切向进入，又从中央不断流出，这样的流动可以近似地看成 是点汇与点涡叠加。点汇与点涡叠加后的势函数和流函数为：
1
2
Q
2
ln r
轴线的平面内的流动完全相同。所以只需确定一个
含旋转轴平面内的流动过程
如图所示
对于空间的点源
：
Q
4r 2ur
4r 2
r
u0
积分得：
Q
4r
同理对于空间点汇：
Q
4r
其复合流动的速度势为 ：
Q
4
1 r1
1 r2
空间偶极流的速度势为： M cos
4r 2
由此，绕球流动的速度势为：
u0
x
M
4r
2
cos
2
1
2
Q
2
2
ln
r
其等势线方程
c1
re Q
பைடு நூலகம்
流线方程为：
Q c2
re
这种流动的特点与点源与点涡叠加的流动很类似，等势线是是一族对数螺旋
线，流线是与等势线正交的对数螺旋线，只是前者由中心向外流，后者是由四周 向中心流动。
三、 点源和点汇——偶极流
如图4-7所示，在x轴上放置点源与点汇，相距为 2a，并与原点o对称，其强度
A
图4-11 圆球绕流
ur
M u
r
o
u
B x
将 M 2u0 r03 代入上式得绕流圆球流动的势函数为 ：

（完整word版）流体力学习题及答案-第四章

（完整word版）流体力学习题及答案-第四章

（完整word版）流体力学习题及答案-第四章(完整word版)流体力学习题及答案-第四章亲爱的读者：本文内容由我和我的同事精心收集整理后编辑发布到文库，发布之前我们对文中内容进行详细的校对，但难免会有错误的地方，如果有错误的地方请您评论区留言，我们予以纠正，如果本文档对您有帮助，请您下载收藏以便随时调用。

下面是本文详细内容。

最后最您生活愉快~O(∩_∩)O ~第四章流体动力学基本定理及其应用4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：()p f v v t v ?-=??+??ρ1其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。

（2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。

单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：C gz p=++ρ2V 2，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。

4-2 设进入汽化器的空气体积流量为s m /15.0Q 3=，进气管最狭窄断面直径D=40mm ，喷油嘴直径d=10mm 。

试确定汽化器的真空度。

又若喷油嘴内径d=6mm ，汽油液面距喷油嘴高度为50cm ，试计算喷油量。

汽油的重度3/7355m N =γ。

答：（1）求A 点处空气的速度：设进气管最狭窄处的空气速度为1v ，压力为1p ，则根据流管的连续方程可以得到：()Q v d D =-12241π，因此：()2214dD Qv -=π。

（2）求真空度v p选一条流线，流线上一点在无穷远处F ，一点为A 点；并且：在F 点：0F p p =，0F =v ；在A 点：?1A ==p p ，1A v v =。

将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：gv p p 20211+=+γγ 因此真空度为：()()222222221101842121d D Q d D Q v p p p v -?=-==-=πρπρρ 若取空气的密度为3/226.1m kg =ρ，那么计算得到：()Pa p v 3222221095.901.004.0114.315.0226.18?=-=。

流体力学第四章.

流体力学第四章.


广泛应用于测量渠道和管道中的水流 点流的仪器.利用能量转化(动能转化为势能) 原理。 u 2 pB pA
h 2g



u
2gh
所以
u c
2gh
4.3实际流体的伯努利方程
实际流体都具有黏性，流动时由于质点之间或流层与 流层之间的相对运动而产生内摩擦阻力。流体流动就要克 服内摩擦阻力而做功，因而消耗能量，使流体的一部分机 械能不可逆转的转化成热能而耗散，流体的机械能会沿流 层而减小，表现为机械能的损失。 4.3.1元流的伯努利方程 实际流体元流的伯努利方程可以根据能量守恒原理， 通过对理想流体元流的伯努利方程进行修正的方法而得到。 现以hw’代表元流中单位重量流体从过流断面1流到过流断 面2所耗损的机械能。则
4.1流体的运动微分方程
4.1.1理想流体的运动微分方程—欧拉方程 1.理想流体运动时的应力状态 理想流体运动时的应力特性与静止流体完全 相同，即流体中只存在压应力—压强，压强的方 向与作用面的内法线方向一致，其大小在同一点 各方向上均相等，与作用面的方位无关。 2.理想流体运动微分方程 理想流体运动微分方程的基本原理就是牛顿 第二定律（F=ma），该方程就是在此基础之上推 导而来。
位置水头、压强水头、速度水头之间的关系见书114页图4-2
例题4-2见书114页 3.应用毕托管量测点流速 当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边 （或四周）分流时，在物体表面上受水流顶冲的 A点流速等于零，称为滞止点（或驻点）。在滞 止点处水流的动能全部转化为压能。毕托管就是 利用这个原理制成的一种量测流速的仪器。
2、 测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压 管水头线降落，用测压管测量。

流体力学第四章

流体力学第四章

1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。

流体力学第四章

流体力学第四章
消公共因子 : 2 4 R' ' r R' r 4 ( R ) P' (1) 2 2 1 ' ' ' 2 ( R ) P (2),' 表示对R微商 r r r R' 2 ( R ) 0 (3) r
流体力学第四章
总32页
10
代边界条件 : R ( ) U , c3 U , c4 0 ( ) U , c3 U , c4 0 c1 c2 R(a ) 3 U 0 a a c1 c2 ( a ) 3 U 0 2a 2a 3 c1 2 aU 1 3 c2 a U 2
P [( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]d

[( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]2a sin ad
0

4 ga 3 6Ua 浮力 阻力，其中阻力p 6Ua 3
1 vr r 2 sin 2、存在流函数 (r , )， 1 v r sin r 3 a 1 a3 求积可得 : a (r , ) Ur 3 sin 2 ( ) 3 4r 4r
流体力学第四章 总32页 13
§3、流体对小球的Stokes阻力
总32页 3

p 2 v 0
流体力学第四章
性质：
1 不可压、小数 Re 流动， 压力p为调和函数， 即 2 p 0 、 对方程 : 1

p 2 v p 2 v两边取散度
p 2 p 2 v 2 ( v ) 0 2、 若流动为二维， 则流函数满足双调和方程 2 ( 2 ) 0 引ς v, (ς 涡度矢) ( v ) ( v ) 2 v 2 v 即 2 v ς p ς

[理学]流体力学 第4章-基本方程ppt课件

[理学]流体力学 第4章-基本方程ppt课件

r r
z
z
g
1
1 r2
r
r 2 r
1 r
z z
r t
r
r r
r
r
2 r
z
r z
gr
1
1 r
r
r
r
1 r
r
r
zr z
z
t
r
z
r
r
z
z
z
z
gz
1 1 r rz 1 z
r r r
z
z
该偏微分方程组就是所谓的流体运动的应力形式的动量方程， 代入不同流体的本构方程就可以得到不同流体的运动方程。
dE
dt
d dt
V
2
2
dV
比内能
27/57
能量守恒方程 推导
对开放系统，能量守恒方程为：
热通量
d
dt
V
2 2
dV
V
g dV
TdA qdA
( A)
( A)
动能和内 能变化率
体积力 做功
表面力 做功
应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时能量守恒方程
V
2
t
25/57
第三章 基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程 §3 动量方程 §4 角动量方程 §5 能量守恒方程 §6 初始条件和边界条件
26/57
能量守恒方程 推导
能量守恒定律可表述为：系统从外界吸热的速率与系统对外 界做功的速率之差等于系统能量的变化率。
dE Q W ( dt )系统
能量守恒原理是针对封闭物质系统而言的。开放物质系统能 量的变化取决于它和环境的相互作用。若一个系统和它的环境有 力的作用，则总能量变化指动能和内能之和的变化：

第四章华科土木水力学

第四章华科土木水力学

例如：
§4-1 水头损失及其分类
故对于液体的非圆管流动，有：
l V l V hf de 2 g 4R 2 g
2
2
三.局部损失的计算公式：
V hj 2g
2
§4-2 两种流态
一.雷诺实验：
§4-2 两种流态
一.雷诺实验：
§4-2 两种流态
一.雷诺实验：
§4-2 两种流态
一.雷诺实验：
du l 0 实验表明：l ky dy
2
2
0 d u d y 令：u* u* ky
u 1 ln y c u* k
§4-4 边界层理论
1.边界层的概念：
靠近物体表面的流体薄层，速度梯度很大，称为边界层。 边界层的外部，速度梯度很小，粘性切应力很小，可视为无 粘流动。 边界层对阻力有决定性的影响。
u*r0 V Vd u* 2.5ln 1.75 2.5ln 1.75 u* 2V
§4-7 圆管紊流
V 8 又因 u
1 2.5ln Re 1.75 故： 2 8 1 (2.5ln10) log Re 1.75 2 8 8
l V2 又因： h f d 2g
64 64 故： Vd Re
§4-7 圆管紊流
一.圆管紊流的断面流速分布：
y 根据实验： l ky 1 r0
r r y 0 0 1 0 r0 r0 r0
du y du y l ky 1 1 0 r0 dy dy r0 du u u 1 ln y c 与平板壁面稳流的速度分布式相同 dy ky u k

流体力学 第四章 cn

流体力学 第四章 cn
Ip = = = = = Tm Gm Pm E m S m I m 即λT = λG = λ P = λ E = λ S = λ I Tp Gp Pp Ep Sp
动力相似是运动相似的保证
四、初始条件和边界条件相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似 的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方 程的定解条件一样。 对于非恒定 流，初始条件是必需 的；对于恒定流， 初始条件则失去了实际意义。 边界条件相似是指两个流动相似，其边界性质相 同，如固体 边界上的法线流速 都为零；自由液体 上 压强 均等 于大气压 等等，对于原型和模型 都是 一样的。
为时间比尺（Time Scale）
二、运动相似
w速度相似 意味着各 相应点的 加 速度也是相似的，
即
λl λv λ2 λa = = 2 == = v a m λt λt λl ap
式中λa为加速度比尺（Acceleration Scale） 由此可见，只要速度相似，加速度也必然相似，反 之亦然。 由于速度场的研究是流体力学的重要问题，所以 运动相似通常是模型试验的目的。
四、韦伯准则（Weber Criterion）
当作用力主要为表面张力时
F = S = σl
λ F = λ S = λσ λ l λI = λF
式中λσ为表面张力系数比尺，将上式代入式 得
2 λ ρ λ2 l λ v = λσ λl
化简得
λ ρ λl λ2 v λσ
=1 ρplp v2 p σp ρ mlm v2 m = σm
运动相似是两个流场相应点的速度方向相同，大 up 小成比例，即
um 式中λu为速度比尺（Velocity Scale）
断面平均流速也具有同样比尺，即
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0.85
对应尼古拉兹曲线的区域 IV。
将水力光滑管的计算公式与水力粗糙管的计算公式 相结合得到
1
2.51 2 lg 3 . 7 d Re
科尔布鲁克公式
1
2.51 2lg Re 1 2lg 3.7 d
V u* 2.5ln Re u 2V
1.75
1

2.035lg Re 0.9129


1
根据实验数据对系数进行修正后，得到 Re 5 104 ~ 3 106

2.035lg Re 0.9129


1

或
2lg Re 0.8
在湍流核心区为对数分布， 速度梯度很小。
湍流
水力光滑管的沿程损失系数 平均速度：
u uy 2.5ln * 5.5 u*
1 V R2

R
u 2 rdr 2
0

R
0
y y u 1 d R R
y
R r
由于粘性底层的流量很小， 只在湍流核心区积分。
80 Re 4160 (4) 水力光滑到水力粗糙的过渡区（IV）： 2 与 Re 和 都有关 0.85 d Re 4160 (5) 水力粗糙区（V）（平方阻力区）： 2 与 Re 无关，仅与 相关。 d d
0.85
层流 层流到湍流的过渡
w -- 壁面切应力
w u y
w u y
定义
w u
-- 摩擦速度
w y 2 y u u*
u u y u
Re=106
Re=104
Re<2300
湍流核心区的速度分布
du (a) uv dy
(b) 实验证明切应力变化不大。
hf 与 V2 成正比
2
尼古拉兹公式
或
1
4. 莫迪图

莫迪针对工业管道所整理的曲线
简化的模型：

粘性底层
微团脉动受限制， 湍流附加应力可以忽略；
湍流核心区 微团脉动剧烈， 分子粘性应力可以忽略；
粘性底层的速度分布
du uv 在粘性底层中 dy
y R r
du dy 实验证明，在粘性底层中切应力变化不大，所以
du w dy
边界条件：y = 0 时 u = 0


1
2.51 2lg Re
普朗特─施里希廷公式
由于它是 的隐式公式，使用并不方便。
运用量纲分析方法和实验数据 Re 3 10 3 ~ 10 5
0.3164 Re1/ 4
布拉修斯公式
hf 与 V 1.75成正比。
d d (4) 水力光滑到水力粗糙的过渡状态： 80 Re 4160 2
Δ
Re
尼古拉兹1933--1934年对人工粗糙管所做的实验
(1) 层流区（I）：Re < 2300 与 无关。 (2) 层流到湍流的过渡区（II）：2300 < Re < 4000 仅与 Re 有关，与 无关。 (3) 水力光滑区（III）：4000 < Re < 80 d/ 仅与 Re 有关，与 无关，区域上限取决于 d/。
在层流中
du dy
在湍流中
du uv dy
或
du uv dy
分子粘性应力
du dy
uv 湍流附加应力
（雷诺应力）
混合长理论适合于计算剪切湍流。 涡团粘度模式 布辛涅斯克(Boussinesq1877年)把湍流微团的随机 运动比拟为分子的随机运动；把微团脉动所产生的动 量输运比拟为分子随机运动所产生的动量输运。 湍流应力具有与分子粘性应力相类似的形式 du uv t t -- 湍流粘度 dy 动力粘度 是流体本身的物性系数; 湍流粘度 t 是人为引入的系数， 它依赖于当地流场的运动状况。
1 v T

T 2
vdt
t
t T 2
u u
T
t
1 w T

T t 2
wdt
1 p T

t
T 2
T t 2
pdt
u u u,
v v v,
w w w,
p p p
1 f x, y , z , t T

t
T 2
T t 2
f x, y, z , t dt
w
p d l 4
p1 p2 V2 V2 l V2 z1 z2 g 2g g 2g d 2g
p1 p2 p l V2 g g d 2g
p d w l 4
w
V 8 u*
2

8
V 2
比较
w u
流动比较复杂，无法进行理论推导，实验数据分散， 没有实用的计算公式 。
(3) 水力光滑管：4000 < Re < 80 d/

对应尼古拉兹曲线的区域 III。
粘性底层 ： u y 5 过渡区： 5 u y 30 u y 湍流核心区： 30
其中 u*
w 称为摩擦速度
4.4 圆管定常湍流流动
1. 水力光滑管与水力粗糙管 Re=106 Re=104
Re<2300
粘性底层(近壁层流) ：
du uv dy
w u 5 * 微团脉动受限制， 湍流附加应力可以忽略；
u y
y
湍流核心区：
du uv dy
u y
w uv
混合长公式
du w l dy
2
2
(在讨论的问题中
du du ) dy dy
du 1 w u* dy l l
假设 l = ky
du u dy ky
积分
du u dy ky u u ln y C k
或者
k -- 卡门常数，
由实验得 k = 0.4，B = 5.5
u u* y 2.5ln 5.5 u*
当y
u u y 2.5ln 5.5 u
粘性 底层
过渡区
u u
湍流核心区
u u y u
u y u y


ln
u y

层流：旋转抛物面
层流
湍流：在粘性底层为直线分布， 速度梯度很大；
du l dy
2
2
l 2 c1c2 l 2 -- 混合长
du uv l dy222 uv t
du du uv l dy dy
du t l dy
2
du dy
物理概念上的不合理之处： 在连续介质模型基础上，微团不可能在自由地运 动了一个“混合长”的距离后才与其它微团碰撞。 合理之处： 把湍流应力与时均运动学参数联系起来，保留了一 个待定常数(即混合长)由实验确定，从而使这个模型 的结果尽可能地符合真实情况。 评论： 混合长不是一个真实的物理概念，它只是一个具 有长度量纲的可调整参数。 混合长公式推导所依据的假设不够严格。但是它 使基本方程封闭；适当选择参数，可以对平板附近的 湍流和圆管中的湍流给出合理的结果。
f x, y, z, t f x, y, z, t f x, y, z, t
f x, y, z, t
f x, y, z, t
f x, y, z, t
时均值
瞬时值
脉动（涨落）值
2. 湍流切应力及混合长理论
液体质点的脉动导致动量交换，从而在流层交 界面上产生了湍流附加切应力 ： 动量关系：
（I） （II） （III）
湍流

水力光滑
水力光滑到水力粗糙的过渡 （IV） 水力粗糙 （ V）
3. 沿程损失系数的计算方法 (1) 层流状态：Re < 2300 对应尼古拉兹曲线的区域 I。
64 Re hf 与 V 成正比。
(2) 层流到湍流的过渡状态：2300 < Re < 4000 对应尼古拉兹曲线的区域 II。
混合长理论 1925年德国力学家普朗特建立了混合长理论。 假设： （1） u 和 v 具有相同的量级。
du （2） u 和 v 均与 成正比。 dy
du u l1 dy
du v l2 dy
2
du u v u v c u v cl1l2 dy
y
A
v
u
Q vA
Q
Ft Q u u Au u v
除以 A ，并取时均
Ft
x
控制体积
Ft t uv uv uv A 1 1 u uv v udt dt vdt 0 T T T
习题
4-1，4-2，4-6
4.3 湍流的基本特征及湍流应力
1. 湍流运动的基本特征
层流与湍流在各种形式的粘性流体运动中都会出现。
雷诺数 Re ～ 惯性力 粘性力
当雷诺数达到一定水平， 流体微团的运动逐渐失去了稳定性。
1 u T

t t
T 2
T 2
udt
t t T 2
u
u u(t)曲线
当Re，与粗糙管一致； 当/d0，与光滑管一致。
d (5) 水力粗糙管 Re 4160 2
0.85
对应尼古拉兹曲线的区域 V。 根据大量的实验结果整理出