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6.1 单位与量纲 制定基本量纲的规则： 相互独立且足以描述物理现象。 量纲一致性原理 正确反映客观规律的物理方程中，各项 有相同量纲。
量纲分析的瑞利法 根据量纲一致性原理，简化一般的函数
关系，以指导实验研究。
例1. 已知单位长度圆管的压强损失与圆管流的密度、 粘度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。试用简单 的幂次式表达这一函数关系。
St fd V
A=dL 迎风截面面积 f 尾流振荡频率
物理定律不依赖于单位的选择 当 Re=104 ~ 105，CD 1.2, St 0. 2
6.2 量纲分析与定理
CD
1
FD
V 2 A
CD
2
如何确定无量纲综合参数?
Re
圆柱绕流的阻力系数
6.2 量纲分析与定理
量纲分析的布金汉定理( 定理)
若某物理问题有n个变量，满足函数关系 f (q1, q2, q3,..., qn ) 0
其中涉及m个独立的基本量纲， 则n个变量可
组成nm个独立的无量纲数
1, 2,3,..., nm
这些无量纲数存在函数关系
F(1, 2,3,..., nm ) 0
不可压流动有三个独立的基本量纲（有多种选择）： 1、几何相似要求有一个长度量纲 2、运动相似要求有一个速度量纲 3、加上一个包含质量的量纲
例2. 已知圆球的流体阻力与圆球直径d、相对速度V、流
单位长度圆管的压强损失
p Kd 1 V 2
l
例
K V 2 ( ) ( )
d d Vd
题 或写成
p (Re, ) l V 2
g
d d 2g
这就是圆管沿程损失的达西公式
第六章 量纲分析与相似原理
§6.2 量纲分析与定理
阻力和脱涡频率表示为 无量纲综合参数
圆柱绕流
CD
1
FD
V 2 A
2
Ma V a
例
同时又要求雷诺数相等
题
Re Vl
如何确定必 要的无量纲 综合参数?
— 为Re相等，采用较小的模型时需要增大速度；
— 为Ma相等，在相同温度下速度不能增大。
两者都不能忽略时采用变密度风洞、冰风洞等。
第六章 量纲分析与相似原理 § 6.3 流动相似原理
一、相似性的概念
模型与原型相似的条件 ？
) d
题 不可压缩圆管流粘性摩擦为主，忽略Fr，We，M
p
l
V 2
f2 (Re, d
,
) d
p
V 2
l d
f
3
(Re,
d
)
p (Re, ) l V 2 达西公式
g
d d 2g
例4. 风洞试验预报声纳传感器的阻力。实型球壳直径 d=10m，深水拖曳速度V=0.10 m/s。若模型直径dm=1m， 求在空气中模型的速度。若风洞试验的模型阻力为 6N， 试估算实型阻力。气温和水温均为15C。
1
p
V d a1 b1 c1
,,,7
E
V d a7 b7 c7
F(1, 2,3, 4,5, 6, 7 ) 0
6.2 量纲分析与定理
根据量纲一致性原理确定基本量纲的指数
p
V 2
f1
(
V , Vd ,
gd
V 2d ,
V , l , )
E/ d d
例
p
V 2
f1(Fr,
Re ,
We,
M,
l, d
Fr V gl
若模型与实物比尺lm/lp=1/10，则
例
Vm glm 1
题
Vp glp 3.16
船模的水池阻力实验要求雷诺数相等
mVmlm pVpd p
m
p
Vm plp m 10
Vp p mlm
两个条件 互相矛盾!
必须针对具体问题，确定起主要作用的综合参数
6.2 量纲分析与定理
例6. 如果要求马赫数相等
第六章 量纲分析与相似原理
§ 6.1 单位与量纲 § 6.2 量纲分析与定理 § 6.3 流动相似原理
第六章 量纲分析与相似原理 §6.1 单位与量纲
量纲： [M]、 [L]、[T] 、[] 质量、长度、时间、温度
基本量纲： 一组独立量纲 国际单位制有七个基本量纲
导出量纲：如 F ma
[F]=[MaLbTc] a=1，b=1，c=2 [F]=[M1L1T-2]
a1=1, 3a1b1+3c1=1, b1= 2 (1)
题
2 : ML1T1 (ML3 )a2 (LT 1)b2 (L)c2
a2=1, 3a2+b2+c2=1, b1=1 (2)
解出
1
FD
V 2d 2
2
Vd
CD f (Re)
6.2 量纲分析与定理
CD
1
FD
V 2 A
2
FD d
圆柱、圆盘、圆球的阻力系数
1
FD
V d a1 b1 c1
,
2
V d a2 b2 c2
6.2 量纲分析与定理
量纲关系 FD MLT 2
d L
V LT1
ML1T1
例
ML3
F(1,1) 0
1
FD
V d a1 b1 c1
2
V d a2 b2 c2
由量纲一致性 1 : MLT 2 (ML3)a1 (LT 1)b1 (L)c1
例3.试用 定理求直圆管的压强差关系式。已知压强 差与流体的密度 、粘度 、弹性模数E、平均速度V、 管径 d、管长 l、粗糙高度 、重力g、表面张力有关。
解：按题意这一关系式可表达为
p f (V , , d,l, , g, , , E)
例
题
有n=10个变量，m=3个独立变量 ，取、V、d
无量纲模型都应满足
例
FD
V 2d 2
f
() Vd
题
由实物与模型的雷诺数相等得模型速度
mVmdm Vd
m
Vm
Vd
m mdm
12.77m / s
再由阻力系数相等得到实型阻力的估算值
FD
V 2d 2
FD m
mVm 2 d m 2
FD 29.9N
6.2 量纲分析与定理
例5. 船模的波浪阻力实验要求弗汝德数相等
解：这一函数关系以幂次式表达为 p Kd V l
根据量纲一致性原理，方程两边有相同的量纲。
[ML1T2][L]1= [L]+ [LT1] [L2T1] [ML3]
[F]=[M1L1T2]
1
1
2
3
2
1
2
2
p Kd 1 V 2
l
6.1 单位与量纲
体动力粘性系数及密度有关。试求圆球 阻力FD的表
达式。
解 阻力可表达为 FD f (d,V , , )
问题涉及的变量数 n=5
例
基本应量用纲数定m理= 寻3 求更简洁的函数关系
无量纲 的个数是 n m=2
由 定理有函数关系
题
F(1, 2 ) 0 选 、V、d 作为基本的度量尺度， 可表示为
