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函数的单调性与导数PPT课件

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《导数单调性》课件

《导数单调性》课件

THANKS
感谢观看
利用导数单调性，投资者可以评估不 同投资方案的收益和风险，选择最优 的投资策略。
供需关系分析
通过导数单调性分析，可以研究市场 供需关系的变化，预测价格波动和供 求平衡点。
导数在物理学中的应用
速度与加速度的研究
导数单调性在物理学中常用于研究物体的运动状态，如速度和加 速度的变化趋势。
热传导现象分析
通过导数单调性，可以研究热量在物体中的传递方式和速度，解释 热传导现象。
导数单调性与函数极值的关系
总结词
导数单调性是判断函数极值的重要依据
详细描述
函数极值点处的一阶导数等于0，而二阶导数决定了函数的极值是极大值还是极小值。如果二阶导数在极值点处 大于0，则该极值为极小值；如果二阶导数在极值点处小于0，则该极值为极大值。因此，通过分析导数的单调性 ，可以判断函数极值的性质。
《导数单调性》ppt课件
contents
目录
• 导数与单调性的关系 • 导数在研究函数单调性中的应用 • 导数单调性的实际应用 • 导数单调性的深入理解 • 练习与思考
01
导数与单调性的关系
导数定义与几何意义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数在该点的切线斜率。
几何意义
导数表示函数图像在该点的切线 斜率，即函数值在该点的变化率 。
波动现象分析
导数单调性可以用于分析波动现象，如声波、电磁波等的传播规律 。
导数在工程学中的应用
01
02
03
控制系统分析
在工程学中，导数单调性 常用于分析控制系统的稳 定性，如调节水箱水位、 温度等。
结构设计优化
利用导数单调性，工程师 可以分析结构的应力分布 和变形趋势，优化结构设 计。

数学：3.3.1函数的单调性与导数课件

数学：3.3.1函数的单调性与导数课件
3.3.1函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
第十二页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x图) 象的
大致形状
第十三页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
第二十页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
• 解法二：(数形结合)
• 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0 有一根为1，则另一根在[4,6]上．
所以ff′′((46))≤≥00，， 即35((57－－aa))≤≥00，， 所以 5≤a≤7.
总结
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅 仅得到 f '(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。
数.
第十六页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

函数的单调性与导数课件(共13张PPT)

函数的单调性与导数课件(共13张PPT)

a
b用导数确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减 当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
归纳小结
1.“导数法” 求单调区间的步骤：
①求函数定义域
②求 f '( x)
③令f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
2.如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，
如何表示单调区间？
不能用“∪”连接，应用“，”隔开
水以匀速注入下面四种底面积相同的容器中， 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函 数关系图象.
(1)→B (2)→A (3)→D (4)→C
问题 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增， 那么f′(x)一定大于零吗？
如f(x)=x3,x∈(-1,1)
不一定，应是 f′(x)≥0.
结论 若函数单调递增，则
若函数单调递减，则
已知 ，函数
在区间
上是增函数，求实数 的取值范围．
求下列函数的单调区间
在(, 0)上递减
o
在(0, )上递增
x
导数的正负
f '(x) 1 0
f '(x) 1 0 f '(x) 2x 0 f '(x) 2x 0
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减

函数的单调性与导数-图课件

函数的单调性与导数-图课件

单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。

导数与函数的单调性ppt课件

导数与函数的单调性ppt课件

x1x2 x1 - x2
x0x
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在
该区间有下面的结论:
如果在某区间上f/(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f/(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
引例：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
（方法3:导数法）
解:函数的定义域为R, f/(x)=2x-4 令f /(x)>0,解得x>2， 则f(x)的单增区间为（2，＋∞）. 再令f /(x)<0,解得x<2, 则f(x)的单减区间(－∞,2).
上是单调递增的，求a的取值范围. a 16

f
(x) 2x
a x2
0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a 0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a对任意x [2, )恒成立.
变式：(2已x3)知min函数a对f (任x)意xx2[2,a(a)恒 R成)立在.x (, 2] x
课外作业
教材P84页 习题4-1 第1题
步骤：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
. 2.求出函数的导数f/(x)
3.解不等式f/(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f/(x)<0,得函数单减区间.
例5：已知函数f (x) x2 a (a R)在x [2, ) x
解：函数的定义域为x>0, f/(x)=lnx+1.
当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).

函数的单调性与导数 课件

函数的单调性与导数 课件

探究 2 判断函数在某个区间(a，b)内的单调性可从以下几个 方面入手：
(1)利用函数单调性的定义：在定义域内任取 x1，x2(x1<x2)， 通过判断 f(x1)－f(x2)的符号来确定函数 f(x)的单调性．
(2)图像法：利用函数图像的变化趋势直观判断，图像在某个 区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区 间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．
探究 1 (1)利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的 基本步骤：
①确定函数 f(x)的定义域； ②求出函数 f(x)的导数 f′(x)； ③令 f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递增区间； ④令 f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得 x 的相应区 间为 f(x)的单调递减区间．
解法三：∵f′(x)＝2a－3x2，f(x)在(0，1)上是增函数，∴f
′(x)≥0 在(0，1)上恒成立．
又∵f′(x)为二次函数，且开口向下，
f′（0）≥0， ∴f′（1）≥0，解得a≥32.
a>0，
∴a 的取值范围是[23，＋∞)．
(2)f′(x)＝a－1x＝ax－ x 1，
①当 a≤0 时，f′(x)<0，即 f(x)在(0，2)上单调递减，不合
题型一 求函数的单调区间
例 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝2x－lnx； (3)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0<x<2π；
(4)f(x)＝ ax (a≠0)(－1＜x＜1)． 1－x2
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令 f′(x)＞0，得 x＜－1 或 x＞1. 令 f′(x)＜0，得－1＜x＜1. ∴f(x)的增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)； f(x)的减区间是(－1，1)． (2)由 x>0，得函数定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2－1x.令 2－1x>0 解得 x>12；令 2－1x<0，得 0<x<12.所 以 f(x)的增区间是(12，＋∞)；减区间为(0，12)．

人教版高中数学选修1-1 函数的单调性与导数 PPT课件


x
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解： f ( x) =cosx-1<0 从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,p)单调递减， 见右图。
y
o
f ( x) sin x x
x
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 解： f ( x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0 当 f ( x) >0，
即 x 1 17 或x 1 17
2 2
时，
函数单调递增；
当 f ( x) <0，
即 1 17 1 17 时， y x 2 2
函数单调递减； 图象见右图。
o
x
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
1．应用导数求函数的单调区间 基础训练：
(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
增 (1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________ 函数。 增 函数， (2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为_____ 减 函数，在[1,2]上为__ 在(－∞,1]上为______
解：
y ' 6x 3
解：
y ' 9 x 6 x 3 x(3 x 2) 2 令y ' 0得x 或x 0 3 2 令y ' 0得0 x 3
2
2
例2、已知导函数 f ( x ) 的下列信息：
当1<x<4时， f ( x) 0 当x>4,或x<1时， f ( x) 0 当x=4,或x=1时， f ( x) 0 试画出函数f(x)图象的大致形状。

人教版选修2-2第一章函数的单调性与导数2(共20张PPT)教育课件

所 以 f( x ) 的 单 调 减 区 间 为 （ 2 a ， 0 )
例求1参：数求的参取数值范的围范围 若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增， 求a的取值范围
a1 3
求参数
已知函数（f x） 2ax
1
，x (0,1],若（f x）在
x2
x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
解：由已知得
f
'(x)
2a
2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增
f '(x)>0,即a - 2 在x （0，1]上恒成立
而g(x)
1
x3
在（0，1]上单调递增，
x3
g(x)max g(1)=-1 a〉- 1
已知函数（ f x） 2ax 1 ，x (0,1],若（ f x）在 x2
x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。
； 陌陌红包群 / 陌陌红包群 ；
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
函 数 yxcosxsinx在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 (B )

导数与函数的单调性第一课时.ppt


导数与函数单调性
观察函数y=x2－4x＋3的图象上的点的切线：
y
0
. . . .. ..
2
总结:该函数在区间 （－∞，2）上递减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2， +∞）上递增,切线斜 率大于0,即其 导数为正.而当x=2时 其切线斜率为0,即导 x 数为0.函数在该点单 调性发生改变.
y y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
1 2 x
y f '( x )
2 x
o
o
(A)
y
(B)
y
y f ( x)
2
y f ( x)
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
课 堂 小结
1、利用导数法确定函数的单调性及单调区间 2、利用导数法确定函数的大致图像
教学目标
1 从感性上认识函数单调性与导数之间的关系，体
会由特殊到一般的、数形结合的研究方法。
2.掌握如何求简单高次函数单调性的一般方法。
3 能由导函数信息绘
1 过去我们求函数单调性有什么办法？
2 如何判断下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
3 2
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解： f ( x )的大致形状如右图：
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
这里，称A,B两点为“临界点”
o
2
3 x
y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， f '( x )的图象如 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )

函数的单调性与导数-图课件

函数的单调性与导数-图 课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
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采用例题与变式练习相结合的方法，通过4个例题探讨 利用导数研究函数的单调性问题。随后是5道课堂检测，通过 设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。
动画剪纸之对称性
创设情景:
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模 型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常 重要的.
函数的单调性与导数的关系:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
则函数在该区间 如果f´(x)>0, 则f(x)在这个区间为增函数; 如果f´(x)<0, 则f(x)在这个区间为减函数. 如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.
通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的 变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函 数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函 数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的 联系呢?
复习引入：
问题1：函数单调性的定义怎样描述的? 一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于 区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有 (1)若f(x1)<f (x2) ，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
x2 x1
x
x2 x1
说明函数的变化率可以反映函数的单调性， 即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.
上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意 义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象 上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么 函数的单调性与导数有什么关系呢?
观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数 正负的关系
v(t) h(t) 9.8t 6.5的图象.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别?
引导：随着时间的变化,运动员离 水面的高度的变化有什么趋势?是 逐渐增大还是逐步减小?
（1）
（2）
通过观察图象,我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间 t的增加而增加,
在区间（2，+∞）上单 增,切线斜率大于0,即
x 其导数为正.
而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.
结论：在某个区间(a,b)内,
如果 那么函数 如果 那么函数
, 在这个区间内单调递增;
, 在这个区间内单调递减.
如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.
发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很 麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时 候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．
如图（1）,它表示跳水运动中高度h随时间t变 化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象, 图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数
第3章 导数及应用
3.3.1 函数的单调性与导数
函数的 单调性 与导数
内容：利用导数研究函数的单调性
应用
利用导函数判断原函数大致图象
利用导数求函数的单调区间 从导数的角度解释增减及增 减快慢的情况 有关含参数的函数单调性问题
本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之 对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探 究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的 速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在 某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例 子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调 性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的 情况及含参数的函数单调性问题．重点是利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间．
(1)函数y x 的定义域为R, 并且在定义域上是增函数,
其导数 y 1 0
(2)函数y x2 的定义域为R,并且在(, 0)上单调递减,
在(0, )上单调递增,其导数 y 2x
当x 0时, y 0;当x 0时, y 0;当x 0时, y 0.
(3)函数y x3 的定义域为R,并且在定义域上是增函数,
其导数 y 3x2
若x 0,则其导数3x2 0;当x 0,则其导数3x2 0. (4)函数y 1 的定义域为(, 0) (0, ),并且
x 在(, 0)上单调递减,在(0, )上单调递减.
而y
1 x2
,因为x
0, 所以y
0.
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
该函数在区间（－∞，2） 上单减,切线斜率小于0, 即其导数为负;
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区 间内是减函数?
提出问题:(1)你能画出函数的图象吗? (2)能用单调性的定义吗?
试一试,提问一个学生:解决了Hale Waihona Puke ?到哪一步解决不了? （产生认知冲突）
函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调
性的关系是：
y f (x)
(x1, f (x1))
(x0 , f (x0 ))
在x x0处, f (x0 ) 0,切线是左下右上, 函数f (x)在x0附近单调递增
在x x1处, f (x1 ) 0, 切线是左上右下, 函数f (x)在x1附近单调递减
即h(t)是增函数.相应地,v(t) h(t) 0 ．
（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减少,
即h(t)是减函数.相应地,v(t) h(t) 0 ．
函数的单调性可简单的认为是：
若 f (x2 ) f (x1) 0,则函数f (x)为增函数 x2 x1
可把 f (x2 ) f (x1) 看作 y f (x2 ) f (x1)
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)任取x1、x2∈D，且x1< x2. (2)作差f(x1)－f(x2) (作商) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)
(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较) (5)结论 3.研究函数的单调区间你有哪些方法? （1）观察法:观察图象的变化趋势; （2）定义法: